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2026 届高三上学期 10 月学情调研
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C B D A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 CD ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
7
12． 13． 14．
8
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） ；（2） ．
【分析】（1）求导后，根据 和 ，解得 即可得解；
（2）转化为 ，再利用导数求出函数 在 上的最大值，然后解不等式 可
得结果.
【详解】（1）∵ ，
由 ，得 且 ，解得 ， ，
又 ，∴ ，
∴ ；
（2）存在 ，使得 ，等价于 ，
∵ ，当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
又 ， ，
∴ 在 上的最大值为 ，
∴ ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由已知得出 ，利用余弦定理结合 可得出 ，再利用余弦定理可
求得 的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出 、 、 的值，求出 的值，利用正弦定
理可求出 的长.
【详解】（1）因为 ，所以， ，即 ，
因为 ，则 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 .
（2）因为 ，则 ，
因为 ，可得 ，因为 ， ，故 ， ， ，
是 上的点，且 ，则 ，
，
所以， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 .
17．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布可求得分布列，进而利用期望公式可求得期望；
（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.
【详解】（1） 的可能取值为
的分布列如下：
0 1 2 3（2）记事件 “第 次取到红球”，于是
那么
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线性质可得 ，根据线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，利用线面角的向量求法可构造方程求得
，再利用二面角的向量求法求得结果.
【详解】（1）由直三棱柱 的性质知： ，
分别为 的中点， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）由直棱柱的性质得： 平面 ，
平面 ， ， ；
则以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 ，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得： ，
平面 的一个法向量 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
，
由图可知：二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为 .
19．(1) ；(2)答案见解析；
(3) 或 .
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，应用分类讨论及对应导数的区间符号研究函数的单调性；
（3）问题化为方程 有两个不同实根，构造 并应用导数、分类讨论研
究函数的零点个数，确定参数范围.
【详解】（1）由题意， 的定义域为 ，当 时 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以在 处的切线方程为 ，即 ；
（2） 且 ，则 ，
当 ，即 时， ，则 在 上单调递减，
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上， 时 在 上单调递减；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）方程 有两个不同实根，等价于方程 有两个不同实根，
设 且 ，则 且 ，
当 时， 时 ， 时 ，
此时函数 只有一个零点 ，方程只有一个根，不符合；
当 时， 在 上单调递增，
当 时， ， ，即 使 ，在 上 ，在 上 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，又 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ， ，
，又 ，则 在 上和 上各有一个零点，符合；
当 时， ，且在 上 ，在 上 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
只有一个零点 ，不符合；
当 时， ， ，即 使 ，
在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增，
， ，
又 时， 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
在 上存在一个零点，又 ，
时 有两个零点，符合；
综上，方程 有两个不同实根时， 或 ．
