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保山市普通高中 2023~2024 学年上学期期末质量监测
高三数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B B D A
【解析】
1．对于A选项是奇函数，但在 上不单调，对于B选项是偶函数，对于C选项不是奇
函数，只有D选项满足题意，故选D．
2．由题意知， ， ，所以 A是B的必要不充分条件，故选
C．
3．对于任一组数据加上同一非零常数，方差、极差和众数的个数均不变，故选A．
4．设直线 的方程为 ，与 ： 联立方程得： ，令
，则 ， ，所以
，故选B．
5．如图 1，取 的中点 ，连接 ，所以 的取值范围是
，即 ，又由
，所以 ，故选B． 图1
6．如图2，连接 ，则由对称性可知四棱锥
数学参考答案·第1页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司为 正 四 棱 锥 ， 连 接 ， 交 于 点 ， 连 接 ， 则 可 得
，即 是四棱锥 外接球的球心，所以其表面
积为 ，故选B． 图2
7．
，故选D．
8．由当 时， ，所以 ，又由切线不等式 ，
故而 ，故选A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ABC BCD
【解析】
9．对于A，由 ，所以 ，故选A；对于B，由 ，所以
，故 在复平面内所对应的点在第三象限，故不选B；对于C，
，所以 ，
故选C；对于D， ，所以 ，故 ，不
选D，故选AC．
10．由题意知： 故选ABD．
数学参考答案·第2页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司11．对于A，令 ，则 ，故选A；对于B， ，故选B；
对于C， ，则 ，故选C；对于D，由
， ，
令 ， ，故不选D，故选ABC．
12．如图 3，过 分别作 的垂线，垂足分别是 ，由 ，所以
， ，对于 A， 沿对角线
向上翻折的过程中，点 在过 与 的垂面内，而过点
与 垂直的点在过 与 的垂面内，故而不存在某 图3
一位置使得 ，故不选A；对于B，当且仅当平面
平面 ，此时三棱锥 的体积最大，
，故选B；对于C，延长 交
图4
于点 ，由 ，所以 为边
的中点，故而此时的三棱锥 可以放在如图4所示的长 方
体内，且此时 在平面 上的投影即为点 ，由 ，
， ，又 ，所以直线 与平面 所
图5
成的线面角为 ，故选C；对于D， 的轨迹是以
点 为圆心， 为半径的一段弧，由题意知， ，所以在直角 中，如
图5， ，则 ，所以 的轨迹长度为 ，故选BCD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
数学参考答案·第3页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司答案 ；
【解析】
13．由题意知：平均年龄
（岁）．
14．由题意需满足 又 ，所以 ．
15．由 ，且 ，则
，所以
．
16．由题意知双曲线C的一条渐近线为 ， 的坐标 为
， 所 以 点 到 渐 近 线 的 距 离
.如图6，延长 ，两 直
图6
线交于点 ，由 ，且 是 的角平分线，所以 是等腰三角形，
且 ， ，又有 为 的中位线，所以
，故而答案为2．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）由 及正弦定理知：
，即 ，
所以 ，由 ，所以 ．……………………………………（5分）
数学参考答案·第4页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，
所以 ，
故而 的面积的最大值为 ．…………………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）由 ，所以 ，故数列 的公比为3，
所以 ，故而 ，
所以 ． …………………………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知， ，
当 时， 成立；
当 时，且 ，
所以
． ………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图7，取 的中点 ，连接 ， ，
由 ，所以 ，
由 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 ． ……………………………………………（5分） 图7
数学参考答案·第5页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司（2）解：由（1）知： 平面 ，即平面 平面
，
由 ， ，所以 ，
又 ，所以 为正三角形，
取 ， 的中点 ，则 ， 两两垂直，
建立如图8所示的空间坐标系；
图8
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
所以 即
令 ，所以 ， ，即 ；
设 是平面 的一个法向量，
所以 即
令 ，则 ， ，即 ，
设二面角 的平面角为 ，所以 ，
二面角 平面角的余弦值为 ． ……………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知，在一局比赛中，
甲获得1分的概率是 ，乙获得1分的概率是 ，
甲、乙均不得分的概率是 ，
甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分是3∶0或4∶1，
当比分是3∶0时，甲获胜的概率为 ；
数学参考答案·第6页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司当比分是4∶1时，甲获胜的概率为
所以甲恰在第五局结束后取得游戏胜利的概率为 ．……………（6分）
（2）（ⅰ）由题意知： ， ， ．
（ⅱ）由题意知：当 时， ，
所以 ，所以 是以 为公比， 为首项的等比数列；
所以 ． ……………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知： ，
所以 ，
①当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减；
②当 时，令 得： 或 ，且 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
④当 时，令 得： 或 ，且 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
…………………………………………………………………………………………（6分）
（2）由 恒成立，即 恒成立，
数学参考答案·第7页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 ，所以 ，
故而 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以 的最大值为 ，所以 ． ……………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知： ，所以 ，又由 ，所以 ，所以 ；
故而椭圆 的方程为 ． …………………………………………………（3分）
（2）如图9，令 ， ， ， ，
所以切线 的方程为 ，
切线 的方程为 ，
（切线方程证明思路：椭圆与直线方程联立，求解判别式
即可得到结果）
又点 是切线 ， 的公共点，
图9
所以 故而 所在的直线为 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，不妨设为 ，则 ，
所以直线l的方程为 ，
联立方程： 解得： ，
联立方程：
消除 得： ，
数学参考答案·第8页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
又有 ， ， ，
，
所以 ．……………………………………………………………（12分）
数学参考答案·第9页（共8页）
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