澄宜六校联盟高三年级12月学情调研数学试卷评分标准_2025年12月_251230江苏省无锡市澄宜六校联盟2025-2026学年高三上学期12月学情调研（全科）

澄宜六校联盟高三年级12月学情调研试卷参考答案及评分细则
一、单选题
1、D 2、B 3、C 4、D 5、B 6、B 7、D 8、A
二、多选题
9、ABD 10、AD 11、ACD
三、填空题
12、1 13、2 2 14、
四、解答题
10+  ≤ 2 2
15.（1）因为c2bcosAb，由正弦定理得sinC2sinBcosAsinB
又ABCπ，所以
sin  AB 2sinBcosAsinAcosBcosAsinBsin  AB sinB..................3分
 π  π  π π
因为ABC 为锐角三角形，所以A 0, ，B 0, ，AB   , 
 2  2  2 2
 π π
又 y sinx在  , 上单调递增，所以AB  B，即A2B；.............5分
 2 2
（2）由（1）可知，A2B，所以在△ABD中，ABC BAD，
AD AB 2 1
由正弦定理得：   ，所以AD BD  ，........8分
sinB sin  π2B  sin2B cosB
1 sinB
所以S  ABADsinB   tanB .........................................................10分
ABD 2 cosB
π π π
又因为ABC 为锐角三角形，所以0 B ，02B ，0π3B ，解得
2 2 2
π π  3 
 B ，所以tanB ,1，.......................................12分
 
6 4  3 
 3 
即△ABD面积的取值范围为 ,1．....................................13分
 
 3 
16.解：（1）由题意知f'（x）＝ex（x+1）﹣ax﹣a＝（ex﹣a）（x+1）（a R）．
若 a＝0，则f（x）＝xex，所以f'（x）＝ex（x+1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣1．
∈
当x （﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，当x （﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，
所以 f（x）在 （﹣∞，﹣1）单调递减，在 （﹣1，+∞） 单调递增，
∈ ∈
所以f（x）的极小值等于 ；.............................................................2分
1
(−1)=− 
（2）因为 ＞ ，所以lna＞﹣1，由f'（x）＞0，即（ex﹣a）（x+1）＞0，
1
解得x＜﹣  1或  x＞lna，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞） 单调递增，
{#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}由f'（x）＜0，即（ex﹣a）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜lna，所以f（x）在 （﹣1，lna） 单
调递减，故f（x） 的单调增区间为 （﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞）．........................5分
（3）证明：当 ＞ 时，由（2）知，
1

f（x）的极大值等于 ＞ ＞ ；.......................7分
1 1 1 2
2
(−1)=  (  )=−  +2  −2  − 
当 时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）无极大值；...................9分
1
= 
当 ＜＜ 时，当x （﹣∞，lna）时，f（x）＞0，f（x）单调递增，
1
当0x （  lna  ，+∞）时∈，f（x）＜0，f（x）单调递减，
所以∈f（x） 的极大值等于 ，.............................11分
1 2
(    )=  (  )=−2  (    )
令 ＞ ，所以 ，
1 2 1
(  )=−2  (    ) (  0) ′  (  )=−    (2    +1)
g（x）在 ， ＜ ，在 ， 上，g'（x）＞0，
1 1 1
2 2
(0  )±′  (  ) 0 (   )
所以g（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
1 1 1
2 2
(0  ) (   )
故 ，............................................................................14分
1 2
2 2
(  )≥  (  )=− 
综上所述， ．...........................................................................15分
2
2
17.（1）证明  (：  )因≥为−∠  FCD＝∠FCB＝90°，
所以FC⊥CD，FC⊥CB，又CD∩CB＝C，CD，CB 平面ABCD，
则FC⊥平面ABCD，而AE⊥平面ABCD，
⊂
所以FC∥AE，又AE 平面BCF，FC 平面BCF，
所以AE∥平面BCF，..........................................................................................2分
⊄ ⊂
因为AD∥BC，且AD 平面BCF，BC 平面BCF，
所以AD∥平面BCF，........................................................................................4分
⊄ ⊂
又AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，
故平面ADE∥平面BCF，..
⊂
因为DE 平面ADE，故DE∥平面BCF；.....................................................6分
（2）解法一：连结AF，设AB＝a（a＞0），
⊂
则BC＝ a，BD＝DF ，BF ，...........................................8分
2
在△BDFλ中，以BF为=底  ，1则+高  h = 2   ，
2 1 2 1 2
=   −(2   ) =  1+2 
{#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}.
1 1 2
∆    =2 2   ⋅  1+2 
............................................11
1 1 1 2 5 10 2 3 1 2
分  −    =3⋅2 2   ⋅  1+2  ⋅ 5   = 30   1+2 
因为 ， = ...........13分
1 2 1 1 1 2 1 2 3
△    =2     −    =3  ∆    ∙   3⋅2   ⋅   =6  
由等体积法可得， = , =
10 2 3 1 2 1 2 3
−      −    30   1+2  6  
可得，解得 ．................................................................................15分

= 3A=B    AD,AE 面ABCD
（2）解法二：由 ,以AB,AD,AE 为x,y,z轴建立空间直角
坐标系.设AB 1,BC (0),
     
则A 0,0,0 ,B(1,0,0),D(0,,0),C 1,,0 ,F 1,, ,................................8分
   
则BD  1,,0 ,BF  0,, .
 
设面BDF的法向量n x,y,z
xy0 x


yz0
取
y1
，则 n,1,1 ............................................11分

z1
又AB   1,0,0  , ABn  5 ，..................................13分
d    
n 211 5
 3.即 ............................................................................................15分

18.解：（1）因  为  =点 3 ， 是椭圆E上一点，且焦距为2，
3
( 3 2 )
所以 ，解得 ，则椭圆E的方程为 ；...............................4分
3 2 3 2 2  2  2
+4  =1  =4
（2）
2
（i）
2
设直线l的方程2 为x＝my+1，P（x
1
，y
1
），4 +Q（3 x=
2
，1y
2
），
=3
−  =1
联立 ，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
=   +1
2 2
由韦达3  定理+得4  =12 ， ，.......................................6分
6  9
1+  2 =−3  2 +4  1  2 =−3  2 +4
所以 ，
2
1+  2 =3   1  2
因为 ；
3
1  1(  2−2)  1(   2−1)   1  2−  1 2(  1+  2)−  1  1+3  2 1
3
2 =  2(  1+2) =  2(   1+3) =   1  2+3  2 = 2(  1+  2)+3  2 =9  1+9  2 =3
{#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}......................................................................................................................................9分
（ii）设直线A P的直线方程为y＝k （x+2），
1 1
所以直线A Q的方程为y＝3k （x﹣2），联立 ，
2 1
=  1(  +2)
解得x
G
＝4，..........................................................

...
=
....
2
..

...1.
(
..

...
−
....
2
..
)
.............................11分
，...13分
1
1 2|   ||   |    ∠    |   ||   | |   | |   | |4−  1| |4−  2| |16−4(  1+  2)+  1  2|
1
2 = 2|   1||   2|     1   2 =|   1||   2|=|   1|⋅|   2|= 6 ⋅ 2 = 12
由（i）知 ，
8
1+  2 =  (  1+  2)+2= 3  2 +4
，..........................15分
2
2 4−12 
1  2 =(   1+1)(   2+1)=   1  2+  (  1+  2)+1= 3  2 +4
所以 12  2+28 ．
1 |16−4(  1+  2)+  1  2| |16− 3  2+4 | 1
2
则当  m 2＝= 0时，12取得最小=值，最12小值为=1．− .. 3 ..  .... + .. 4 .............................................17分
1 3
19.解：（Ⅰ）数集{  12，2，4}具有性质P，{14，3，5，7}不具有性质P，理由如下：
因为1×1，1×2，1×4，2×2， ， 都属于数集{1，2，4}，所以{1，2，4}具有性质P；
4 4
2 4
因为3×5， 都不属于数集{1，3，5，7}，所以{1，3，5，7}不具有性质P．.........3分
5
证明：（Ⅱ）（3 i）当n＝3时，A＝{a ，a ，a }，1≤a ＜a ＜a ．
1 2 3 1 2 3
因为1＜a ＜a ，所以a a ＞a ，a a ＞a ，所以a a 与a a 都不属于A，
2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3
因此 ， ，所以a ＝1．因为 ＜ ＜ ，且 ，所以 ，
1
3  3  3  3  3
2 ∈   3 =1 ∈  1  2  3  2 ∈   2 =  2
又 ，所以 ，所以a ，a ，a 成等比数列....................................4分
1 2 3
2  2  3
（ii）  因1 =为  A 2＝{a ，  1a=，  ⋯2 =，  a 2 }具有性质P，所以a a ， 至少有一个属于A，....5
1 2 n n n

因为1≤a ＜a ＜⋯ ＜a ，所以a a ＞a ，a a A，因此 ，a ＝1，.........7
1 2 n n n n n n   1

因为1＝a ＜a ＜⋯ ＜a ，所以a a ＞a （k＝2，3，4，⋯ n），.................................9
1 2 n k n n ∉   =1 ∈ 
故当k≥2时，a a A， ，（k＝2，3，4，⋯ n），..............................................11
k n

又因为 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
∉   ∈ 

所以 ， ，⋯ ， ， ，-----------------------------------13
1  2  3 ⋯   −1  

所以
=  1   −1 =  2  2 =   −1  1 =  
，.....................................15

所以   +   −1+⋯+  2+  1 =  1+  2+⋯ ． +..  .  . − .. 1 ..+....  ..  ...........................................17
1 1 1
1+  2+⋯+   =   (  1+  2+⋯   )
{#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}