澄宜六校联盟高三年级12月学情调研数学试卷评分标准_2025年12月_251230江苏省无锡市澄宜六校联盟2025-2026学年高三上学期12月学情调研（全科）

澄宜六校联盟高三年级12月学情调研试卷参考答案及评分细则 一、单选题 1、D 2、B 3、C 4、D 5、B 6、B 7、D 8、A 二、多选题 9、ABD 10、AD 11、ACD 三、填空题 12、1 13、2 2 14、 四、解答题 10+ ≤ 2 2 15.（1）因为c2bcosAb，由正弦定理得sinC2sinBcosAsinB 又ABCπ，所以 sin  AB 2sinBcosAsinAcosBcosAsinBsin  AB sinB..................3分  π  π  π π 因为ABC 为锐角三角形，所以A 0, ，B 0, ，AB   ,   2  2  2 2  π π 又 y sinx在  , 上单调递增，所以AB  B，即A2B；.............5分  2 2 （2）由（1）可知，A2B，所以在△ABD中，ABC BAD， AD AB 2 1 由正弦定理得：   ，所以AD BD  ，........8分 sinB sin  π2B  sin2B cosB 1 sinB 所以S  ABADsinB   tanB .........................................................10分 ABD 2 cosB π π π 又因为ABC 为锐角三角形，所以0 B ，02B ，0π3B ，解得 2 2 2 π π  3   B ，所以tanB ,1，.......................................12分   6 4  3   3  即△ABD面积的取值范围为 ,1．....................................13分    3  16.解：（1）由题意知f'（x）＝ex（x+1）﹣ax﹣a＝（ex﹣a）（x+1）（a R）． 若 a＝0，则f（x）＝xex，所以f'（x）＝ex（x+1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣1． ∈ 当x （﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，当x （﹣1，+∞）时，f'（x）＞0， 所以 f（x）在 （﹣∞，﹣1）单调递减，在 （﹣1，+∞） 单调递增， ∈ ∈ 所以f（x）的极小值等于 ；.............................................................2分 1 (−1)=− （2）因为 ＞ ，所以lna＞﹣1，由f'（x）＞0，即（ex﹣a）（x+1）＞0， 1 解得x＜﹣ 1或 x＞lna，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞） 单调递增， {#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}由f'（x）＜0，即（ex﹣a）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜lna，所以f（x）在 （﹣1，lna） 单 调递减，故f（x） 的单调增区间为 （﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞）．........................5分 （3）证明：当 ＞ 时，由（2）知， 1 f（x）的极大值等于 ＞ ＞ ；.......................7分 1 1 1 2 2 (−1)= ( )=− +2 −2 − 当 时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）无极大值；...................9分 1 = 当 ＜＜ 时，当x （﹣∞，lna）时，f（x）＞0，f（x）单调递增， 1 当0x （ lna ，+∞）时∈，f（x）＜0，f（x）单调递减， 所以∈f（x） 的极大值等于 ，.............................11分 1 2 ( )= ( )=−2 ( ) 令 ＞ ，所以 ， 1 2 1 ( )=−2 ( ) ( 0) ′ ( )=− (2 +1) g（x）在 ， ＜ ，在 ， 上，g'（x）＞0， 1 1 1 2 2 (0 )±′ ( ) 0 ( ) 所以g（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， 1 1 1 2 2 (0 ) ( ) 故 ，............................................................................14分 1 2 2 2 ( )≥ ( )=− 综上所述， ．...........................................................................15分 2 2 17.（1）证明 (： )因≥为−∠ FCD＝∠FCB＝90°， 所以FC⊥CD，FC⊥CB，又CD∩CB＝C，CD，CB 平面ABCD， 则FC⊥平面ABCD，而AE⊥平面ABCD， ⊂ 所以FC∥AE，又AE 平面BCF，FC 平面BCF， 所以AE∥平面BCF，..........................................................................................2分 ⊄ ⊂ 因为AD∥BC，且AD 平面BCF，BC 平面BCF， 所以AD∥平面BCF，........................................................................................4分 ⊄ ⊂ 又AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE， 故平面ADE∥平面BCF，.. ⊂ 因为DE 平面ADE，故DE∥平面BCF；.....................................................6分 （2）解法一：连结AF，设AB＝a（a＞0）， ⊂ 则BC＝ a，BD＝DF ，BF ，...........................................8分 2 在△BDFλ中，以BF为=底 ，1则+高 h = 2 ， 2 1 2 1 2 = −(2 ) = 1+2 {#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}. 1 1 2 ∆ =2 2 ⋅ 1+2 ............................................11 1 1 1 2 5 10 2 3 1 2 分 − =3⋅2 2 ⋅ 1+2 ⋅ 5 = 30 1+2 因为 ， = ...........13分 1 2 1 1 1 2 1 2 3 △ =2 − =3 ∆ ∙ 3⋅2 ⋅ =6 由等体积法可得， = , = 10 2 3 1 2 1 2 3 − − 30 1+2 6 可得，解得 ．................................................................................15分 = 3A=B  AD,AE 面ABCD （2）解法二：由 ,以AB,AD,AE 为x,y,z轴建立空间直角 坐标系.设AB 1,BC (0),       则A 0,0,0 ,B(1,0,0),D(0,,0),C 1,,0 ,F 1,, ,................................8分     则BD  1,,0 ,BF  0,, .   设面BDF的法向量n x,y,z xy0 x   yz0 取 y1 ，则 n,1,1 ............................................11分  z1 又AB   1,0,0  , ABn  5 ，..................................13分 d     n 211 5  3.即 ............................................................................................15分 18.解：（1）因 为 =点 3 ， 是椭圆E上一点，且焦距为2， 3 ( 3 2 ) 所以 ，解得 ，则椭圆E的方程为 ；...............................4分 3 2 3 2 2 2 2 +4 =1 =4 （2） 2 （i） 2 设直线l的方程2 为x＝my+1，P（x 1 ，y 1 ），4 +Q（3 x= 2 ，1y 2 ）， =3 − =1 联立 ，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， = +1 2 2 由韦达3 定理+得4 =12 ， ，.......................................6分 6 9 1+ 2 =−3 2 +4 1 2 =−3 2 +4 所以 ， 2 1+ 2 =3 1 2 因为 ； 3 1 1( 2−2) 1( 2−1) 1 2− 1 2( 1+ 2)− 1 1+3 2 1 3 2 = 2( 1+2) = 2( 1+3) = 1 2+3 2 = 2( 1+ 2)+3 2 =9 1+9 2 =3 {#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}......................................................................................................................................9分 （ii）设直线A P的直线方程为y＝k （x+2）， 1 1 所以直线A Q的方程为y＝3k （x﹣2），联立 ， 2 1 = 1( +2) 解得x G ＝4，.......................................................... ... = .... 2 .. ...1. ( .. ... − .... 2 .. ) .............................11分 ，...13分 1 1 2| || | ∠ | || | | | | | |4− 1| |4− 2| |16−4( 1+ 2)+ 1 2| 1 2 = 2| 1|| 2| 1 2 =| 1|| 2|=| 1|⋅| 2|= 6 ⋅ 2 = 12 由（i）知 ， 8 1+ 2 = ( 1+ 2)+2= 3 2 +4 ，..........................15分 2 2 4−12 1 2 =( 1+1)( 2+1)= 1 2+ ( 1+ 2)+1= 3 2 +4 所以 12 2+28 ． 1 |16−4( 1+ 2)+ 1 2| |16− 3 2+4 | 1 2 则当 m 2＝= 0时，12取得最小=值，最12小值为=1．− .. 3 .. .... + .. 4 .............................................17分 1 3 19.解：（Ⅰ）数集{ 12，2，4}具有性质P，{14，3，5，7}不具有性质P，理由如下： 因为1×1，1×2，1×4，2×2， ， 都属于数集{1，2，4}，所以{1，2，4}具有性质P； 4 4 2 4 因为3×5， 都不属于数集{1，3，5，7}，所以{1，3，5，7}不具有性质P．.........3分 5 证明：（Ⅱ）（3 i）当n＝3时，A＝{a ，a ，a }，1≤a ＜a ＜a ． 1 2 3 1 2 3 因为1＜a ＜a ，所以a a ＞a ，a a ＞a ，所以a a 与a a 都不属于A， 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 因此 ， ，所以a ＝1．因为 ＜ ＜ ，且 ，所以 ， 1 3 3 3 3 3 2 ∈ 3 =1 ∈ 1 2 3 2 ∈ 2 = 2 又 ，所以 ，所以a ，a ，a 成等比数列....................................4分 1 2 3 2 2 3 （ii） 因1 =为 A 2＝{a ， 1a=， ⋯2 =， a 2 }具有性质P，所以a a ， 至少有一个属于A，....5 1 2 n n n 因为1≤a ＜a ＜⋯ ＜a ，所以a a ＞a ，a a A，因此 ，a ＝1，.........7 1 2 n n n n n n 1 因为1＝a ＜a ＜⋯ ＜a ，所以a a ＞a （k＝2，3，4，⋯ n），.................................9 1 2 n k n n ∉ =1 ∈ 故当k≥2时，a a A， ，（k＝2，3，4，⋯ n），..............................................11 k n 又因为 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ∉ ∈ 所以 ， ，⋯ ， ， ，-----------------------------------13 1 2 3 ⋯ −1 所以 = 1 −1 = 2 2 = −1 1 = ，.....................................15 所以 + −1+⋯+ 2+ 1 = 1+ 2+⋯ ． +.. . . − .. 1 ..+.... .. ...........................................17 1 1 1 1+ 2+⋯+ = ( 1+ 2+⋯ ) {#{QQABLQI85wgQ0IYACL6aB0H0CAiYkIAQLKgOxRAYKAYDQRFAFAA=}#}