文档内容
【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
二○二二年东营市初中学业水平考试
数学试题
（总分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本
试题共6页.
2.数学试题答题卡共8页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和
答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回.
3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑.
如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相
应位置上.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确
的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂除法和算术平方根的运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
B. ，原计算错误，不合题意；
C. ，原计算错误，不合题意；
D. ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂除法和算术平方根，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
3. 如图，直线 ，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【详解】解：由题意得∠ABC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，
∵ ，
∴∠2=∠3=50°，
故选B．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性
质是解题的关键．
4. 植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级2班植树棵数是这批树苗总数
的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A. 36 B. 60 C. 100 D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】设这批树苗一共有x棵，根据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，列出方程求解
即可．
【详解】解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得： ，
解得 ，
∴七年级2班植树的棵数是 棵，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
5. 一元二次方程 的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
6. 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，结合概率计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，由轴对称图形的定义可知当选取编号为1，3，5，6其中一个白色区域涂黑后，能
使黑色方块构成的图形是轴对称图形，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴任意将图中 的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，简单的概率计算，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
7. 如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列
等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴ ， ，故B不符合题意，C符合题意；
∴ ，故D不符合题意；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的
横坐标为 ，则不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进
行求解即可．
【详解】解：由题意得不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取
值范围，
∴不等式 的解集为 或 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
9. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为 的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线
长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得： ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是
解题的关键．
10. 如图，已知菱形 的边长为2，对角线 相交于点O，点M，N分别是边 上的
动点， ，连接 .以下四个结论正确的是（ ）
① 是等边三角形；② 的最小值是 ；③当 最小时 ；④当
时， .
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出 ，然后证
，AM=AN，即可证出．
②当MN最小值时，即AM为最小值，当 时，AM值最小，利用勾股定理求出
，即可得到MN的值．
③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到 ，用勾股定理求
出 ， ，而菱形ABCD的面积为： ，
即可得到答案．
④当 时，可证 ，利用相似三角形对应边成比例可得 ，根据等量
代换，最后得到答案．
【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD， ，OA=OC，
∵ ，
∴ ， 与 为等边三角形，
又 ，
，
∴ ，
在 与 中
∴ ，
∴AM=AN，
即 为等边三角形，
故①正确；
∵ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当MN最小值时，即AM为最小值，当 时，AM值最小，
∵ ，
∴
即 ，
故②正确；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
而菱形ABCD的面积为： ，
∴ ，
故③正确，
当 时，
∴
∴
∴
∴
故④正确；
故选：D．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角
形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共23分.只要
求填写最后结果.
11. 2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数
就超6亿.6亿用科学记数法表示为____________.
【答案】
【解析】
的
【分析】科学记数法 表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：6亿＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法和公式法即可求解．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．
13. 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时
长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟．
作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90
人数（单位：人） 1 4 6 2 2
【答案】70
【解析】
【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组数据的众数．
【详解】解：由表可知：
∵6＞4＞2＞2＞1，
∴这组数据的众数是70分钟．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是本题关键．
14. 如图，在 中，弦 半径 ，则 的度数为____________．
【答案】100°##100度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形
内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相
关知识是解题的关键．
15. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，以及根的判别式即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念以及根的判别式是
本题的关键．
16. 如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数 的图
象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明 ACO≌ ODB得到AC=OD，
△ △
OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数 ，推出
，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴经过点A的反比例函数表达式为 ，
故答案为： ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
17. 如图，在 中，点F、G在 上，点E、H分别在 、 上，四边形 是矩形，
是 的高． ，那么 的长为____________．
【答案】 ##4.8
【解析】
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出 ，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为
△AEH的高，可得出 ，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
代入可得： ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
18. 如图， 是等边三角形，直线 经过它们的顶点
，点 在x轴上，则点 的横坐标是____________.
【答案】
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】如图，设直线 与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝ ，然
后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得 ， ，然后求出
， ， ，…，进
而可得 ，再求出 即可．
【详解】解：如图，设直线 与x轴交于点C，
在 中，当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，即 ，解得： ，
∴A（0，2），C（ ，0），
∴OA＝2，OC＝ ，
∴tan∠ACO＝ ，
∴∠ACO＝30°，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC＝ ，
∵AO⊥ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，…，
∴ ，
∴ ，
∴点 的横坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性
质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. 计算及先化简，再求值：
（1）
（2） ，其中 .
【答案】（1）3 （2） ，5
【解析】
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值计算，再根据二次根式的混合运算的法则进行计算即可．
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
原式=
=
=3
【小问2详解】
原式=
=
=
当x=3，y=2时，原式= =5
【点睛】此题考查了二次根式和三角函数的化简，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.
20. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠
接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣
传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行
了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】（1）200；
（2）见解析； （3）估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为 ．
【解析】
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概
率公式计算即可．
【小问1详解】
解： （名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
【小问2详解】
参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
【小问4详解】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同
的统计图中获取有用信息是解题的关键．
21. 如图， 为 的直径，点C为 上一点， 于点D， 平分 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及 平分 推导出 ，即可得出
，从而推出 ，即证明得出结论；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）过点O作 于F，利用 即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接OC，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点D，
∴ ，
∴直线 是 的切线；
【小问2详解】
过点O作 于F，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并
正确作出辅助线是本题的关键．
22. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔
垂直于桥面 于点B，其中两条斜拉索 与桥面 的夹角分别为 和 ，两固定点D、C
之间的距离约为 ，求主塔 的高度（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】主塔 的高度约为78m．
【解析】
【分析】在Rt ABD中，利用正切的定义求出 ，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求
△
出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt ABD中， ，
△【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在Rt ABC中，∠C＝45°，
∴AB△＝BC，
∴ ，
∴ m，
∴AB＝BC＝ m，
答：主塔 的高度约为78m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果
的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两
种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应
如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【解析】
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用
1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答
案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝
（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【小问1详解】
解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
则 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
【
小问2详解】
解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得： ，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，y取最大值，此时 ， ，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等
量关系列出方程和解析式是解题的关键．
24. 如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰
直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）
（2）（1，-2） （3）（-1，0）或（ ，-2）或（ ，2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
的
（2）先求出点C 坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，
EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为 ，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线 ，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为 ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
【小问3详解】
解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作 轴，过点M作MF⊥EF于F，过
点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设点P的坐标为（1，m），
∴ ，
∴ ， ，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作 轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作
MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴ ，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（ ，-2）；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（ ，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（ ，-2）或（
，2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角
形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
25. 和 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 运动，
运动到点B、C停止.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 的数量关系是____________，位
置关系是____________；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不
成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形 的面积是 面积的一半，请直接写出答案；此时，四
边形 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
【答案】（1）CD=EF，CD∥EF
（2）CD=EF，CD∥EF，成立，理由见解析
（3）点D运动到BC的中点时， 是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 和 均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据
E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CD∥EF；
（2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出
AFB≌ ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出 BFE
△是等边三△角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF； △
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设 ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a，
△
BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EG∥AD，推出 EBG∽ ABD，推出
△ △
，得到 = h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
推出 ，根据EF=BD，EF∥BD，推出四边形BDEF是平行
四边形，根据BF=EF，推出 是菱形．
【小问1详解】
∵ 和 均为等边三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CD∥EF；
故答案为：CD=EF，CD∥EF；
【小问2详解】
CD=EF，CD∥EF，成立．
证明：
连接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴ AFB≌ ADC(SAS)，
∴△∠ABF=∠△ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴ BFE是等边三角形，
∴△BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BC∥EF，
即CD∥EF，
∴CD=EF， CD∥EF；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
如图，当点D运动到BC的中点时，四边形 的面积是 面积的一半，此时，四边形 是
菱形．
证明：
过点E作EG⊥BC于点G，设 ABC的边长为a，AD=h，
△
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EG∥AD，
∴ EBG∽ ABD，
△ △
∴ ，
∴ = h，
由（2）知，CD=EF， CD∥EF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴ ,
此时，EF=BD，EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵BF=EF，
∴ 是菱形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
