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2015 年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分2015年东营市初中学生学业考试数学试题
1．（3分）（2015•东营）|﹣ |的相反数是（ ）
A． B． ﹣ C． 3 D． ﹣3
2．（3分）（2015•东营）下列计算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． a6÷a3=a2 C． （a+b）2=a2+b2 D． 2a+3b=5ab
3．（3分）（2015•东营）由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等
于（ ）
A． 50° B． 30° C． 20° D． 15°
5．（3分）（2015•东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8
元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到
乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是（ ）
A． 11 B． 8 C． 7 D． 5
6．（3分）（2015•东营）若 = ，则 的值为（ ）
- 1 -A． 1 B． C． D．
7．（3分）（2015•东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、
正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是
（ ）
A． 1 B． C． D．
8．（3分）（2015•东营）下列命题中是真命题的是（ ）
A． 确定性事件发生的概率为1
B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 正多边形都是轴对称图形
D． 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
9．（3分）（2015•东营）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，
连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（ ）
A． ∠A=∠DFE B． BF=CF C． DF∥AC D． ∠C=∠EDF
10．（3分）（2015•东营）如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°．AB=AC．点D是线段AB上的一点，连结
CD．过点B作BG⊥CD，分别交C△D、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连
结DF，给出以下四个结论：① = ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四
点在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S =9S ，其中正确的结论序号是（ ）
ABC BDF
△ △
- 2 -A． ①② B． ③④ C． ①②③ D． ①②③④
二、填空题：本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分，共28分
11．（3分）（2015•东营）东营市2014年城镇居民人均可支配收入是37000元，比2013年提高了8.9%．
37000元用科学记数法表示是 元．
12．（3分）（2015•东营）分解因式：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2= ．
13．（3分）（2015•东营）在一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，
82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 ．
14．（3分）（2015•东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频
道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为
30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，
则AB两点的距离是 米．
15．（4分）（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为
0.8m，则排水管内水的深度为 m．
16．（4分）（2015•东营）若分式方程 =a无解，则a的值为 ．
17．（4分）（2015•东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点
B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 ．
- 3 -18．（4分）（2015•东营）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为1的等边三角形，点A
1 1 1 2 2 2 3
在x轴上，点O，B ，B ，B ，…都在直线l上，则点A 的坐标是 ．
1 2 3 2015
三、解答题：本大题共7小题，共62分
19．（7分）（2015•东营）（1）计算：（﹣1）2015﹣ +（3﹣π）0+|3﹣ |+（tan30°）﹣1
（2）解方程组： ．
20．（8分）（2015•东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定
推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划，某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：
- 4 -足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李
老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）
（1）将统计图补充完整；
（2）求出该班学生人数；
（3）若该校共用学生3500名，请估计有多少人选修足球？
（4）该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解
他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选
修足球的概率．
21．（8分）（2015•东营）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC
于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
- 5 -22．（8分）（2015•东营）如图是函数y= 与函数y= 在第一象限内的图象，点P是y= 的图象上一动
点，PA⊥x轴于点A，交y= 的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y= 的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
23．（8分）（2015•东营）2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，
房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方
米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金
20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
- 6 -24．（10分）（2015•东营）如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行
如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出
S
ABC
与S四边形AFBD 的关系；
（△2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？
请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3
的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．
- 7 -25．（13分）（2015•东营）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的
坐标；若不存在，请说明理由．
- 8 -参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分2015年东营市初中学生学业考试数学试题
1．（3分）（2015•东营）|﹣ |的相反数是（ ）
A． B． ﹣ C． 3 D． ﹣3
考点： 绝对值；相反数．
专题： 常规题型．
分析： 一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答： 解：∵|﹣ |= ，
∴ 的相反数是﹣ ．
故选：B．
点评： 本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，不要把相反
数的意义与倒数的意义混淆．
同时考查了绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数．
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2．（3分）（2015•东营）下列计算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． a6÷a3=a2 C． （a+b）2=a2+b2 D． 2a+3b=5ab
考点： 二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式．
分析： 分别利用二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方公式化简求出即
可．
解答： 解：A、 ﹣ = ，故此选项正确；
B、a6÷a3=a3，故此选项错误；
C、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误；
D、2a+3b无法计算，故此选项错误；
故选：A．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方公式等知
识，正确化简各式是解题关键．
- 9 -3．（3分）（2015•东营）由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答： 解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）（2015•东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等
于（ ）
A． 50° B． 30° C． 20° D． 15°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
分析： 如图，首先运用平行线的性质求出∠4，然后借助三角形的外角性质求出∠3，即可解决问题．
解答： 解：由题意得：∠4=∠2=40°；
由外角定理得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4﹣∠1=40°﹣20°=20°，
故选C．
- 10 -点评： 该题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键
是牢固掌握三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点，这也是灵活运用、解题的基础．
5．（3分）（2015•东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8
元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地
经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是（ ）
A． 11 B． 8 C． 7 D． 5
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 已知从甲地到乙地共需支付车费15.5元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，首先去掉前3千
米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
解答： 解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意：
8+1.5（x﹣3）≤15.5，
解得：x≤8．
即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米．
故选：B．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意明确其收费标准分两部分是完成本题的关
键．
6．（3分）（2015•东营）若 = ，则 的值为（ ）
A． 1 B． C． D．
考点： 比例的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据合分比性质求解．
- 11 -解答： 解：∵ = ，
∴ = = ．
故选D．
点评： 考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性
质；等比性质．
7．（3分）（2015•东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、
正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（
）
A． 1 B． C． D．
考点： 概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
专题： 计算题．
分析： 先根据轴对称图形和中心对称图形的定义得到圆和菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，
然后根据概率公式求解．
解答： 解：投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率= = ．
故选D．
点评： 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现
的结果数．也考查了轴对称图形和中心对称图形．
8．（3分）（2015•东营）下列命题中是真命题的是（ ）
A． 确定性事件发生的概率为1
B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 正多边形都是轴对称图形
D． 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
- 12 -考点： 命题与定理．
分析： 根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即可．
解答： 解：确定性事件发生的概率为1或0，故A错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；
正多边形都是轴对称图形，故C正确；
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，
故选：C．
点评： 本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定
的判定定理是解题的关键．
9．（3分）（2015•东营）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，
连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（ ）
A． ∠A=∠DFE B． BF=CF C． DF∥AC D． ∠C=∠EDF
考点： 全等三角形的判定；三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线的性质，可得∠CEF=∠DFE，∠CFE=∠DEF，根据SAS，可判断B、C；根据三
角形中位线的性质，可得∠CFE=∠DEF，根据AAS，可判断D．
解答： 解：A、∠A于△CFE没关系，故A错误；
B、BF=CF，F是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DF∥AC，DE∥BC，
∴∠CEF=∠DFE，∠CFE=∠DEF，
在△CEF和△DFE中 ，
∴△CEF≌△DFE （ASA），故B正确；
C、点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
- 13 -∴∠CFE=∠DEF，
∵DF∥AC，
∴∠CEF=∠DFE
在△CEF和△DFE中 ，
∴△CEF≌△DFE （ASA），故C正确；
D、点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠CFE=∠DEF，
，
∴△CEF≌△DFE （AAS），故D正确；
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定，利用三角形
中位线的性质得出三角形全等的条件是解题关键．
10．（3分）（2015•东营）如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°．AB=AC．点D是线段AB上的一点，连结
CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、△CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结
DF，给出以下四个结论：① = ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同
一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S =9S ，其中正确的结论序号是（ ）
ABC BDF
△ △
A． ①② B． ③④ C． ①②③ D． ①②③④
考点： 相似形综合题．
- 14 -分析： 由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG= AB= BC，进而由
△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
由圆内接四边形的性质得到∠2=∠ACB由于∠ABC=90°，AB=AC，得到∠ACB=∠CAB=45°，于是得到
∠CFD=∠AFD=90°，根据垂径定理得到DF=DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S
ABF
=
△
S ，又S = S ，所以S =6S ，由此确定结论④错误．
ABC BDF ABF ABC BDF
△ △ △ △ △
解答： 解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中， ，
∴△AFG≌△AFD（SAS）
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ = ，∴FC=2AF，
- 15 -∴AF= AC= AB．
故结论②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠2=45°，
∴∠CFD=∠AFD=90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴ ，
∴DF=DB，故③正确；
∵AF= AC，∴S = S ；∵ = ，∴S = S ，
ABF ABC BDF ABF
△ △ △ △
∴S = S ，即S =9S ．
BDF ABC ABC BDF
△ △ △ △
故结论④正确．
故选D．
点评： 本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结
论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加
利用．
二、填空题：本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分，共28分
11．（3分）（2015•东营）东营市2014年城镇居民人均可支配收入是37000元，比2013年提高了8.9%．
37000元用科学记数法表示是 3.7×1 0 4 元．
- 16 -考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：37000=3.7×104，
故答案为：3.7×104．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2015•东营）分解因式：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2= （ 3 x ﹣ 3 y + 2 ） 2 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=[2+3（x﹣y）]2=（3x﹣3y+2）2．
故答案为：（3x﹣3y+2）2
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（3分）（2015•东营）在一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，
82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 8 1 ．
考点： 中位数．
分析： 先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
解答： 解：从小到大排列此数据为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，
第五个和第六个数都是81，
∴这组数据的中位数为81，
故答案为：81．
点评： 本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候
一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即
为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
- 17 -14．（3分）（2015•东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频
道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B
处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两
点的距离是 20 0 +200 米．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
解答： 解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt ACD中，∠CDA=90°，tanA= ，
△
∴AD= =200 ，
在Rt BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=△CD=200，
∴AB=AD+DB=200 +200，
故答案为：200 +200．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三
角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
15．（4分）（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为
0.8m，则排水管内水的深度为 0. 8 m．
- 18 -考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在
Rt AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．
解△答： 解：如图，过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，
OA=0.5m，AB=0.8m，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=0.4m，
在Rt AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴OC=△0.3m，
则CE=0.3+0.5=0.8m，
故答案为：0.8．
点评： 本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是
解题的关键，注意勾股定理的运用．
16．（4分）（2015•东营）若分式方程 =a无解，则a的值为 ± 1 ．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的
值代入计算即可求出a的值．
解答： 解：去分母得：x﹣a=ax+a，即（a﹣1）x=﹣2a，
显然a=1时，方程无解；
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
把x=﹣1代入整式方程得：﹣1﹣a=﹣a+1，
- 19 -解得：a=﹣1，
综上，a的值为±1，
故答案为：±1
点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
17．（4分）（2015•东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点
B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 ．
考点： 平面展开-最短路径问题．
专题： 计算题．
分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形
MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即
可．
解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时
AB最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴ = ，即 = =2，即MC=2NC，
∴CN= MN= ，
在Rt ACN中，根据勾股定理得：AC= = ，
△
故答案为： ．
- 20 -点评： 此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，
熟练求出CN的长是解本题的关键．
18．（4分）（2015•东营）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为1的等边三角形，点A
1 1 1 2 2 2 3
在x轴上，点O，B ，B ，B ，…都在直线l上，则点A 的坐标是 （ ， ） ．
1 2 3 2015
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
专题： 规律型．
分析： 根据题意得出直线BB 的解析式为：y= x，进而得出B，B ，B ，B 坐标，进而得出坐标变化规
1 1 2 3
律，进而得出答案．
解答： 解：过B 向x轴作垂线B C，垂足为C，
1 1
由题意可得：A（0，1），AO∥A
1
B
1
，∠B
1
OC=30°，
∴CB =OB cos30°= ，
1 1
∴B 的横坐标为： ，则B 的纵坐标为： ，
1 1
∴点B ，B ，B ，…都在直线y= x上，
1 2 3
∴B （ ， ），
1
同理可得出：A的横坐标为：1，
∴y= ，
- 21 -∴A （ ， ），
2
…
A （1+ ， ）．
n
∴A （ ， ）．
2015
故答案为（ ， ）．
点评： 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律
是解题关键．
三、解答题：本大题共7小题，共62分
19．（7分）（2015•东营）（1）计算：（﹣1）2015﹣ +（3﹣π）0+|3﹣ |+（tan30°）﹣1
（2）解方程组： ．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂
法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：（1）原式=﹣1﹣3+1+3﹣ + =0；
（2） ，
①+②得：3x=15，即x=5，
把x=5代入①得：y=1，
则方程组的解为 ．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
- 22 -20．（8分）（2015•东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定
推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划，某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足
球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师
对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）
（1）将统计图补充完整；
（2）求出该班学生人数；
（3）若该校共用学生3500名，请估计有多少人选修足球？
（4）该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解
他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选
修足球的概率．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
专题： 数形结合．
分析： （1）、（2）先利用B的人数和所占的百分比计算出全班人数，再利用C、E的百分比计算出C、E
的人数，则用全班人数分别减去B、C、D、E的人数得到A的人数，然后计算A、D所占百分比；
（3）根据样本估计总体，用40%表示全校学生对足球感兴趣的百分比，然后用3500乘以40%即可得
到选修足球的人数；
（4）先利用树状图展示所有20种等可能的结果数，找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球
所占结果数，然后根据概率公式求解．
解答： 解：（1）∵该班人数为8÷16%=50（人），
∴C的人数=24%×50=12（人），E的人数=8%×50=4（人），
∴A的人数=50﹣8﹣12﹣4﹣6=20（人），
A所占的百分比= ×100%=40%，D所占的百分比= ×100%=12%，
如图，
- 23 -（2）由（1）得该班学生人数为50人；
（3）3500×40%=1400（人），
估计有1400人选修足球；
（4）画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球占6种，
所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率= = ．
点评： 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、
扇形统计图和条形统计图．
21．（8分）（2015•东营）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC
于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
- 24 -考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得
∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得A△C的长．
解答： （1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∴AC•AD=AB•AE；
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在RT OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=△2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在RT ABC中，AC=2BC=2×2=4．
△
点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的
性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
- 25 -22．（8分）（2015•东营）如图是函数y= 与函数y= 在第一象限内的图象，点P是y= 的图象上一动
点，PA⊥x轴于点A，交y= 的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y= 的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
解答： （1）证明：∵点P在函数y= 上，
∴设P点坐标为（ ，m）．
∵点D在函数y= 上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（ ，m），
由题意，得
BD= ，BP= =2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：S四边形OAPB = •m=6，
设C点坐标为（x， ），D点坐标为（ ，y），
S = •y• = ，
OBD
△
- 26 -S = •x• = ，
OAC
△
S四边形OCPD =S四边形PBOA ﹣S
OBD
﹣S
OAC
=6﹣ ﹣ =3．
△ △
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线
段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
23．（8分）（2015•东营）2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，
房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方
米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金
20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： （1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
解答： 解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，
解得：x =0.1=10%，x =1.9（舍去），
1 2
则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），
则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
24．（10分）（2015•东营）如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行
如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出
S
ABC
与S四边形AFBD 的关系；
△
- 27 -（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？
请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3
的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF= BC=BF，求出答案；
（3）根据题意画出图形，利用sin∠CGF= 求出即可．
解答： 解：（1）S
ABC
=S四边形AFBD ，
理由：由题意可得：△AD∥EC，
则S =S ，
ADF ABD
故S △ =S △ =S ，
ACF ADF ABD
则S △ ABC =S △ 四边形AF △ BD ；
△
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：∵F为BC的中点，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形，
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
- 28 -∴AF= BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG= k，
sin∠CGF= = = ．
点评： 此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练
应用正方形的判定方法是解题关键．
25．（13分）（2015•东营）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的
坐标；若不存在，请说明理由．
- 29 -考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠AMN=∠NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得 = ，根据解方程
组，可得H点坐标．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）代入解析式，得
，
解得 ．
∴抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；
（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，
如图1 ，
设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，
∴E点的坐标为（t，t+2），
DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
S =S +S = DE•h+ DE（2﹣h）= DE•2=DE=﹣2t2﹣4t=﹣2（t﹣1）2+2
DAC CDE ADE
△ △ △
∵﹣2＜t＜0，
∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；
- 30 -（3）存在点H满足∠AMH=90°，
由（1）知M点的坐标为（﹣ ，﹣ ）
如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N ，
∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，
∴∠AMN=∠NKM．
∵∠ANM=∠MNK，
∴ AMN∽△MKN，
△
∴ = ，
∴MN2=AN•NK，
∴（ ）2=（2﹣ ）（x+ ），
解得x=
∴K点坐标为（ ，0）
直线MK的解析式为y= x﹣ ，
∴ ，
把①代入②，化简得48x2+104x+55=0．
=1042﹣4×48×55=64×4=256＞0，
△
- 31 -∴x =﹣ ，x =﹣ ，将x =﹣ 代入y= x﹣ ，
1 2 2
解得y=﹣
∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，
∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，
此时点H的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
点评： 本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积
是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出 = 是解题关键，解方程组是此题的难点．
- 32 -
