文档文本内容
秘密★启用前 试卷类型:A
二 0 一三年东营市初中学生学业考试
数 学 试 题
（总分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；
全卷共6页．
2. 数学试题答案卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题
卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3. 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】
涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm签字笔答在答题
卡的相应位置上.
4. 考试时，不允许使用科学计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确
的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1． 的算术平方根是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径
0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）．
A. m B. m
C. m D. m
4.如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O,∠A= ,∠AOB= ,则∠C等于（ ）
A. AB. B C. Dy.
B
A
A
O
O B x
[来源:学科网ZXXK][来源:学_科_网Z_X_X_K] C D
（第4题图） （第5题图）5.将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90至 的位置，
点B的横坐标为2，则点 的坐标为（ ）
A．(1,1) B．( ) C．(-1,1) D．( )
6. 若 定 义 ： ， ， 例 如 ，
，
则 =（ ）
A． B． C． D．
7．已知 的半径 =2， 的半径 是方程 的根， 与 的圆心距为1，
那么两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
8.如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形 A D
的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树
叶形图案的周长为（ ）
A. B.
C. D.
B C
（第8题图）
9．2013年“五·一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河
入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景
点的概率是（ ）
A. B. C. D.
10．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别
是3、4及x，那么x的值（ ）
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
11．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，
则参赛球队的个数是（ ）A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
12．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且 A F
D
CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）
O
AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） 中正确的有（
E
）
B C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 （第12题图）
第Ⅱ卷（非选择题 共 84 分）
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．分解因式 = .
14．一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是 .
15．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的
仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水
平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米.
16．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处
有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕
捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.
17．如图，已知直线l：y= x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的
垂线交y轴于点A；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B，过点B 作直线l的垂线交y轴于
1 1 1 1
点A；……按此作法继续下去，则点A 的坐标为 .
2 2013
B
A
A
30 D 2
l
B A
1 B
1
A B
60
O x
A C
（第15题图） （第16题图） (第17题图)[来源:Zxxk.Com]
三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18． (本题满分7分，第⑴题3分，第⑵题4分)
（1）计算：
（2）先化简再计算： ，再选取一个你喜欢的数代入求值.
19．(本题满分8分)东营市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.某中学为了搞好“创
城”活动的宣传，校学生会就本校学生对东营“市情市况”的了解程度进行了一次调查测
试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60
—69分；C：70—79分；D：80—89分；E：90—100分）.请你根据图中提供的信息解答以下问
题：
人数
400
D
E 350
35% 300
A
250
10%
200
B C 150
30%
100
50
（1）求该校共有多少名学生；
A B C D E 成绩
（2）将条形统计图补充完整； D
（第19题图）
E
（3）在扇形统计图中，计算出“60—69分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90—100分”的概率是多少？
20．(本题满分8分)如图， 为 的直径，点 为 上一点，若 ，过点
作直线 垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 与 的延长线相交于点 ， 的半径为3，并且
.
求 的长．
M
l
D
C
A
E B O
（第20题图）21．(本题满分9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比
例函数 在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x
轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
y
（2）求△AOB的面积． A
B
O C x
（第21题图）
22. (13东营，本题满分10分)在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑
和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑
和1台电子白板需要2.5万元.
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万
元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.
23．(13东营，本题满分10分) (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m
经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,
请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重
合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若
∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状. F
C
C
B B C
B
D A E m D A E m D A E m
（图2） （图3）
（图1）
（第23题图）24．(13东营，本题满分12分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为
B（0，-1）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出
点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
(3)在（2）的基础上，设直线x=（t 0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最
大，并求出最大值．
y
O A
x
B
（第24题图）秘密★启用前 试卷类型:A
2013年东营市初中学生学业考试
数学试题参考答案与评分标准
评卷说明：
1. 选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．
2. 解答题中的每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累
计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见相应评分．
3. 如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后
续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就
不再给分．
一.选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选
项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C B C B B A A B C B
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13. ； 14. 2； 15. 9； 16. 1.3；
17.
（注：以上两答案任选一个都对）
三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18. (本题满分7分，第⑴题3分，第⑵题4分)
（1）解：
原式=
=
= …………………………3分
（2）解：
原式=…………………………6分
选取任意一个不等于 的 的值，代入求值.如：当 时，
原式 …………………………………7分
19. (本题满分8分)
解：（1）该学校的学生人数是： （人）.………………………2分
（2）条形统计图如图所示.………………………………………………………4分
（3）在扇形统计图中，“60—69分”部分所对应的圆心角的度数是：
………………………………………………………6分
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90—100分”的概率是：
………………………………………………………………8分
人数
400
350
300
250
200
150
100
50
A B C D E 成绩
D
（第19题答案图E）
20. (本题满分8分)
（1）解：直线CD与⊙O相切. ………………1分
M
理由如下：连接OC. l
D
∵OA=OC
C
∴∠BAC=∠OCA
∵∠BAC=∠CAM A
E B O
∴∠OCA=∠CAM
∴OC∥AM…………………………3分
（第20题答案图）
∵CD⊥AM
∴OC⊥CD∴直线 与 相切. …………………………5分
（2）解：
∵
∴∠COE=2∠CAB=
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan = .…………………………8分
21. (本题满分9分)
解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，
∵sin∠AOC＝＝，OA＝5 y
A
∴AD＝4.
由勾股定理得：DO=3， B
O D C x
∵点A在第一象限
∴点A的坐标为(3，4)………………2分
（第21题图）
将A的坐标为(3，4)代入y＝ ，得 ，∴m＝12
∴该反比例函数的解析式为 ………………4分
将A的坐标为(3，4)代入 得：
∴一次函数的解析式是 …………………………6分
(2)在 中，令y＝0，即x＋2=0，∴x=
∴点B的坐标是
∴OB＝3，又DA=4
∴ ，所以△AOB的面积为6．………9分
22. (本题满分10分)
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：…………………………3分
解得： …………………………4分
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元. …………………………5分
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，
则 …………………………6分
解得： ，即a=15，16，17．…………………………7分
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为 万元；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为 万元；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为 万元；
所以，方案三费用最低. …………………………10分
23. (本题满分10分)
证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m
∴∠BDA＝∠CEA=90°
∵∠BAC＝90° C
B
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°
[来源:学科网] D A E m
∴∠CAE=∠ABD………………1分
（图1）
又AB=AC
∴△ADB≌△CEA………………2分
∴AE=BD，AD=CE
C
∴DE=AE+AD= BD+CE ………………3分
B
(2)∵∠BDA =∠BAC= ，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—
D A E m
∴∠DBA=∠CAE………………4分
（图2）
∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC
∴△ADB≌△CEA………………5分∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA =∠CAE
∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF
F
∴∠DBF=∠FAE………………8分
C
∵BF=AF
B O
∴△DBF≌△EAF………………9分
D A E m
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
（图3）
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形.………………10分
24. (本题满分12分)
解：(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为 .
由抛物线过B(0,-1) 得 ，∴ ．……………………2分
∴抛物线的解析式为 .
即 ．………………………………3分
(2)设C的坐标为(x，y).
y
∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC． O A H D
x
B
则有 △AOB∽△CDA．………………………4分
[来源:学科网]
P
∴OB·CD=OA·AD．
C
即1· =2(x-2).∴ =2x-4． （第24(2)答案图）
∵点C在第四象限.∴ ………………………………5分
由 解得 ．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上.
∴点C的坐标为 (10,-16)．……………………6分
∵P为圆心，∴P为BC中点． x=t
y
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
O A
∴PH= (OB+CD)= ．……………………7分 N x
B
M
∵D(10,0)∴H(5,0)∴P (5, )．
C
故点P坐标为(5， )．…………………………8分
（第24(3)答案图）
(3)设点N的坐标为 ，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M.
，
所以 ………………………9分
设直线BC的解析式为 ，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)
所以 成立，解得： …………………………10分
所以直线BC的解析式为 ，则点M的坐标为.
MN= = ………………………11分= =
所以，当t=5时， 有最大值，最大值是 .…………………………12分
山东省东营市2013年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）（2013•东营） 的算术平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
考点：算术平方根．3718684
分析：首先根据算术平方根的定义求出 的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
解答：解：∵ =4，
∴4的算术平方根是2，∴ 的算术平方根是2；
故选D．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键先计算出 的值，再根据算术平方根的定义进行
求解．
2．（3分）（2013•东营）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2=a B．a2•a3=a6 C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a3
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．3718684
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析
判断后利用排除法求解．
解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、a2•a3=a5，选项错误；
C、正确；
D、（3a）3=27a3，选项错误．
故选C．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
3．（3分）（2013•东营）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为
0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）．
A．0.10×10﹣6m B．1×10﹣7m C．1.0×10﹣7m D．0.1×10﹣6m
考点：科学记数法与有效数字．3718684
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于
0.0000001中1的前面有7个0，所以可以确定n=﹣7．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0
的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与
10的多少次方无关．
解答：解：0.0000001=1×10﹣7=1.0×10﹣7，
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
4．（3分）（2013•东营）如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=50°，∠AOB=105°，则
∠C等于（ ）A．20° B．25° C．35° D．45°
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．3718684
分析：求出∠B的度数，根据平行线性质得出∠C=∠B，代入求出即可．
解答：解：∵∠A=50°，∠AOB=105°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AOB=25°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠B=25°，
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
5．（3分）（2013•东营）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°
至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（ ） C．（﹣1，1） D．（ ）
考点：坐标与图形变化-旋转．3718684
分析：过点A作AC⊥OB于C，过点A′作A′C′⊥OB′于C′，根据等腰直角三角形的性质求出OC=AC，再
根据旋转的性质可得OC′=OC，A′C′=AC，然后写出点A′的坐标即可．
解答：解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点A′作A′C′⊥OB′于C′，
∵△AOB是等腰直角三角形，点B的横坐标为2，
∴OC=AC=×2=1，
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，
∴OC′=OC=1，A′C′=AC=1，
∴点A′的坐标为（﹣1，1）．
故选C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了等腰直角三角形的性质，旋转变换只改变图形的位
置不改变图形的形状与大小的性质．
6．（3分）（2013•东营）若定义：f（a，b）=（﹣a，b），g（m，n）=（m，﹣n），例如f（1，2）=（﹣1，
2），g（﹣4，﹣5）=（﹣4，5），则g（f（2，﹣3））=（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
考点：点的坐标．3718684
专题：新定义．
分析：根据新定义先求出f（2，﹣3），然后根据g的定义解答即可．
解答：解：根据定义，f（2，﹣3）=（﹣2，﹣3），
所以，g（f（2，﹣3））=g（﹣2，﹣3）=（﹣2，3）．
故选B．
点评：本题考查了点的坐标，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关键．
7．（3分）（2013•东营）已知⊙O 的半径r=2，⊙O 的半径r 是方程 的根，⊙O 与⊙O
1 1 2 2 1 2
的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点：圆与圆的位置关系；解分式方程．3718684
分析：首先解分式方程求得⊙O 的半径r，然后根据半径和圆心距进行判断两圆的位置关系即可．
2 2
解答：
解：解方程 得：x=3
∵r=2，⊙O 与⊙O 的圆心距为1，
1 1 2
∴3﹣2=1
∴两圆内切，
故选B
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与分式方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
的数量关系间的联系是解此题的关键．8．（3分）（2013•东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径
画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A．πa B．2πa C． D．3a
考点：扇形面积的计算．3718684
分析：由图可知，阴影部分的周长是两个圆心角为90°、半径为a的扇形的弧长，可据此求出阴影部分的
周长．
解答：解：∵四边形ABCD是边长为a正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=CB=AD=CD=a，
∴树叶形图案的周长= ×2=πa．
故选A．
点评：
本题考查了弧长的计算．解答该题时，需要牢记弧长公式l= （R是半径）．
9．（3分）（2013•东营）2013年“五•一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、
龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率
是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．3718684
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，再利
用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：用A、B、C表示：东营港、黄河入海口、龙悦湖；
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，则两家抽到同一景点的有3种情况，∴则两家抽到同一景点的概率是： =．
故选A．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所
求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2009•杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直
角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个
考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．3718684
专题：分类讨论．
分析：两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定
理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
解答：解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据
勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直
角边为 ．
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，
第一种是 ，解得x=5；
第二种是 ，解得x= ．所以可以有2个．
故选B．
点评：本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．
11．（3分）（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计
划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
考点：一元二次方程的应用．3718684
专题：应用题．
分析：
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= ．即可列方程求解．
解答：解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2=21，
解得x=7或﹣6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
12．（3分）（2013•东营）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相
交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S =S 中正确的有（ ）
△AOB 四边形DEOF
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．3718684
分析：根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断
△ABD≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根
据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABD≌△DAE得S =S ，则S ﹣S =S ﹣
△ABD △DAE △ABD △AOF △DAE
S ，即S =S ．
△AOF △AOB 四边形DEOF
解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABD和△DAE中
，
∴△ABD≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABD≌△DAE，
∴S =S ，
△ABD △DAE
∴S ﹣S =S ﹣S ，
△ABD △AOF △DAE △AOF
∴S =S ，所以（4）正确．
△AOB 四边形DEOF
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS” 、“SAS” 、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）（2008•怀化）分解因式：2a2﹣8b2= 2 （ a﹣2 b ）（ a+2 b ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．3718684
分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于
要进行二次分解因式．
14．（4分）（2013•东营）一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是 2 ．
考点：中位数；众数．3718684
分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出a的值，将数据从小到大排列可得出中位数．
解答：解：1，3，2，5，2，a的众数是a，
∴a=2，
将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，5，
中位数为：2．
故答案为：2．
点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，属于基础题．15．（4分）（2013•东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C
处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与
教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 9 米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
分析：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米，先解Rt△BDE，得
出DE= x米，AC= x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB﹣BE=AE，列出关于x的方程，
解方程即可．
解答：解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，
则AE=CD=6米，AC=DE．
设BE=x米．
在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴DE= BE= x米，
∴AC=DE= x米．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB= AC= × x=3x米，
∵AB﹣BE=AE，
∴3x﹣x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
即旗杆AB的高度为9米．
故答案为9．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
16．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器
底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对
的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1. 3 m（容器厚度忽略不计）．
考点：平面展开-最短路径问题．3718684
分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解答：解：如图：
∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D=0.5m，BD=1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=1.3（m）．故答案为：1.3．
点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
17．（4分）（2013•东营）如图，已知直线l：y= x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点
B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B，过点B 作直
1 1 1 1
线l的垂线交y轴于点A；…按此作法继续下去，则点A 的坐标为 （ 0 ， 4 201 3 ）或（ 0 ， 2 402 6 ）
2 2013
（注：以上两答案任选一个都对） ．
考点：规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．3718684
分析：根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A，A 的坐标，通过相应规
1 2
律得到A 坐标即可．
2013
解答：
解：∵直线l的解析式为；y= x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴AB= ，
∵AB⊥l，
1
∴∠ABA=60°，
1
∴AA=3，
1∴AO（0，4），
1
同理可得A（0，16），
2
…
∴A 纵坐标为：42013，
2013
∴A （0，42013）．
2013
故答案为：（0，42013）．
点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破
点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A、A、A…的点的坐标是解决本题的关键．
1 2 3
三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（7分）（2013•东营）（1）计算：
．
（2）先化简再计算： ，再选取一个你喜欢的数代入求值．
考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．3718684
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角
函数值化简，第四项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将a=0代入计
算即可求出值．
解答：
解：（1）原式=+1﹣2× ﹣2 ﹣（1﹣3 ）=+1﹣ ﹣2 ﹣1+3 =；
（2）原式= • ﹣ =1﹣ = ，
当a=0时，原式=1．
点评：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．（8分）（2013•东营）东营市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好
“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对东营“市情市况”的了解程度进行了一次调
查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：
60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问
题：（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？
考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．3718684
分析：（1）根据扇形图可得70﹣79分的学生占总体的30%，由条形图可得70﹣79分的学生有300人，利用
总数=频数÷所占百分比进行计算即可；
（2）首先计算出59分及以下、80﹣89分的学生人数，再补图；
（3）首先计算出60﹣69分部分的学生所占百分比，再利用360°×百分比即可；
（4）成绩为“90﹣100分”的学生有50人，用50：总人数1000即可．
解答：解：（1）该学校的学生人数是：300÷30%=1000（人）．
（2）1000×10%=100（人），
1000×35%=350（人），
条形统计图如图所示．
（3）在扇形统计图中，“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×（ ×100%）=72°；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是： = ．点评：此题主要考查了扇形统计图、条形统计图，以及概率，关键是正确理解图中所表示的意义，从图中获
取正确的信息．
20．（8分）（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作
直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．
考点：切线的判定；解直角三角形．3718684
分析：（1）连接OC，根据OA=OC，推出∠BAC=∠OCA，求出∠OCA=∠CAM，推出OC∥AM，求出OC⊥CD，根据切线
的判定推出即可；
（2）根据OC=OA推出∠BAC=∠ACO，求出∠COE=2∠CAB=60°，在Rt△COE中，根据CE=OC•tan60°求
出即可．
解答：解：（1）直线CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC∥AM，∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠CAB=30°，
∴∠COE=2∠CAB=60°，
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°= ．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线性质，锐角三角函数的定义，三角形外角
性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
21．（9分）（2013•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比
例函数 在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA=5，C为x轴
正半轴上一点，且sin∠AOC=．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．3718684专题：计算题．
分析：（1）过A点作AD⊥x轴于点D，根据已知的∠AOC的正弦值以及OA的长，利用三角形函数的定义求出
AD的长，再利用勾股定理求出OD的长，即可得到点A的坐标，把点A的坐标分别代入到反比例函数
和一次函数的解析式中即可确定出两函数的解析式；
（2）根据x轴上点的特征，令一次函数的y=0，求出x的值，确定出点B的坐标，得到线段OB的长，利
用三角形的面积公式即可求出三角形AOB的面积．
解答：解：（1）过A点作AD⊥x轴于点D，
∵sin∠AOC= =，OA=5，
∴AD=4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：DO=3，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（3，4），
将A的坐标为（3，4）代入y=，得4=，
∴m=12，
∴该反比例函数的解析式为y= ，
将A的坐标为（3，4）代入y=nx+2得：n=，
∴一次函数的解析式是y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，即x+2=0，
∴x=﹣3，
∴点B的坐标是（﹣3，0）
∴OB=3，又AD=4，
∴S =OB•AD=×3×4=6，
△AOB
则△AOB的面积为6．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，待定系数法求函数的解
析式，三角形的面积，以及三角函数的定义，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方
法，同学们要熟练掌握这种方法．22．（10分）（2013•东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电
子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1
台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万
元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．3718684
分析：（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，
购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用
不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，
得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出
最省钱的方案．
解答：解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：
，
解得： ，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：
，
解得：15≤a＜17，
∵a只能取整数，
∴a=15，16，
∴有两种购买方案，
方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，
方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，
15×0.5+1.5×15=30（万元），
16×0.5+1.5×14=29（万元），
∵29＜30，
∴选择方案1最省钱．
点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量
关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．23．（10分）（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点
A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），
点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若
∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．3718684
分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得
∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得
∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是
∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
解答：证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（sas），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性
质．
24．（12分）（2013•东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，﹣
1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出
点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积
最大，并求出最大值．
考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）利用顶点式写出二次函数解析式，进而得出a的值，得出解析式即可；
（2）首先得出△AOB∽△CDA，进而得出y与x之间的函数关系，即可得出点C的坐标，根据PH=
（OB+CD）求出P点坐标即可；
（3）首先设点N的坐标为（t，﹣ t2+t﹣1），得出 ，求出直线BC
的解析式，进而表示出M点坐标，即可得出△BCN与t的函数关系式，求出最值即可．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2．
由抛物线过B（0，﹣1）得：4a=﹣1，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ．
即 ．
（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x﹣2）．∴|y|=2x﹣4．
∵点C在第四象限．
∴y=﹣2x+4，
由 ，
解得 ， ．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为 （10，﹣16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=（OB+CD）= ．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5， ）．
故点P坐标为（5， ）．
（3）如图2，设点N的坐标为（t，﹣ t2+t﹣1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
， ，
所以 ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，﹣1）、C （10，﹣16），
所以 成立，
解得： ，
所以直线BC的解析式为 ，则点M的坐标为（t，﹣ t﹣1），
MN= = ，
，
== ，
所以，当t=5时，S 有最大值，最大值是 ．
△BCN
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定与性
质等知识，根据已知利用数形结合得出是解题关键．
