文档内容
2016年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分
1． 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b=7ab B．（ab3）2=ab6C．（a+2）2=a2+4 D．x12÷x6=x6
3．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6
道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直
径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把
△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
9．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分
11．2016年第一季度，东营市实现生产总值787.68亿元，比上年同期提高了0.9个百分点，787.68亿元用科学
记数法表示是 元．
12．分解因式：a3﹣16a= ．
13．某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的
平均数是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，
DE的最小值是 ．15．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 ．
16．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5 cm，且tan∠EFC= ，
那么矩形ABCD的周长为 cm．
17．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁
丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 ．
18．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，
于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1，
随意S= ．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016
的值？如能求出，其正确答案是 ．
三、解答题：共7小题，共62分
19．（1）计算：（ ）﹣1+（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |；（2）先化简，再求值：
（a+1﹣ ）÷（ ），其中a=2+ ．
20．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机
抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所
提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为
；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和
“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，
请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
21．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．
（1）求证：AB是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圆的直径．
22．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花
费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花
20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该
商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时
降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足
球？23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第
二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果
S =4S ，求点D的坐标．
△BAF △DFO
24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、
AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请
说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长．
25．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四
边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？
并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点
P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．2016 年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1． 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b=7ab B．（ab3）2=ab6C．（a+2）2=a2+4 D．x12÷x6=x6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据积的乘方的运算方法判断即可．
C：根据完全平方公式判断即可．
D：根据同底数幂的除法法则判断即可．
【解答】解：∵3a+4b≠7ab，
∴选项A不正确；
∵（ab3）2=a2b6，
∴选项B不正确；
∵（a+2）2=a2+4a+4，
∴选项C不正确；
∵x12÷x6=x6，
∴选项D正确．
故选：D．
3．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，
∴∠A=40°，
故选C．
4．从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，
故选：B．
5．已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选
项．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：x＞3，
在数轴上表示不等式组的解集为：
故选：B．
6．东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6
道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵共设有20道试题，创新能力试题4道，
∴他选中创新能力试题的概率= = ．
故选A．
7．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直
径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的
半径即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，则 =60π，
解得：r=40cm，
故选A．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把
△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行
求解．
【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3× ，6× ）或[﹣3×（﹣ ），6×（﹣ ），即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣
]
2）．
故选D．
9．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
【考点】勾股定理．
【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD
与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2 ，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2 ，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，
则BC的长为6或10．
故选C．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】相似形综合题．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故
①正确；
②由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线
段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有 ．
∵tan∠CAD= ，
∴tan∠CAD= ，故④错误，
故选C．
二、填空题：11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分
11．2016年第一季度，东营市实现生产总值787.68亿元，比上年同期提高了0.9个百分点，787.68亿元用科学
记数法表示是 7.8768×1 0 1 0 元．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．【解答】解：将787.68亿用科学记数法表示为7.8768×1010．
故答案为：7.8768×1010．
12．分解因式：a3﹣16a= a （ a+ 4 ）（ a﹣ 4 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a3﹣16a，
=a（a2﹣16），
=a（a+4）（a﹣4）．
13．某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的
平均数是 10 1 ．
【考点】算术平均数．
【分析】根据算术平均数的计算公式列式计算即可得解．
【解答】解： = = ×808=101．
故答案为：101．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，
DE的最小值是 4 ．
【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴当DE⊥BC时，DE最短，
此时∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=4，
∴DE的最小值为4．
故答案为4．15．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 x ＞ 3 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b
＞kx+4的解集为x＞3．
【解答】解：当x＞3时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
16．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5 cm，且tan∠EFC= ，
那么矩形ABCD的周长为 3 6 cm．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在RT△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三
角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．
【解答】解：∵tan∠EFC= ，
∴设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC= ，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE= = =5 ，
解得：k=1，
故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，
故答案为：36．
17．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁
丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 2 5 ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形面积公式：S= •L•R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意BD=AD+DC，由此即可
解决问题．
【解答】解：由题意 =AD+CD=10，
S = • •AB= ×10×5=25，
扇形ADB
故答案为25．
18．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，
于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1，
随意S= ．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016
的值？如能求出，其正确答案是 （ m≠ 0 且 m≠ 1 ） ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】仿照例子，将3换成m，设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1），则有mS=m+m2+m3+m4+…
+m2017，二者做差后两边同时除以m﹣1，即可得出结论．
【解答】解：设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1）①，将①×m得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②，
由②﹣①得：mS﹣S=m2017﹣1，即S= ，
∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016= （m≠0且m≠1）．
故答案为： （m≠0且m≠1）．
三、解答题：共7小题，共62分
19．（1）计算：（ ）﹣1+（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |；
（2）先化简，再求值：
（a+1﹣ ）÷（ ），其中a=2+ ．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方
法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=2016+1﹣ ﹣2 +3 ﹣1
=2016；
（2）原式= ÷
= ÷
= •
=a（a﹣2）．
当a=2+ 时，原式=（2+ ）（2+ ﹣2）=3+2 ．
20．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机
抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所
提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 6 0 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 ° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和
“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，
请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了
解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，
再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为： ×360°=90°；
故答案为：60，90°；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900× =300（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为： = ．
21．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．
（1）求证：AB是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圆的直径．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）欲证明AB是圆的切线，只要证明∠ABC=90°即可．
（2）在RT△AEB中，根据tan∠AEB= ，求出BC，在在RT△ABC中，根据 = 求出AB即可．
【解答】（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC=90°
∴∠ABC=90°
∴AB⊥BC，
∴AB是圆的切线．
（2）解：在RT△AEB中，tan∠AEB= ，
∴ = ，即AB= BE= ，在RT△ABC中， = ，
∴BC= AB=10，
∴圆的直径为10．
22．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花
费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花
20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该
商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时
降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足
球？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙
种足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得： ，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第
二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果
S =4S ，求点D的坐标．
△BAF △DFO【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，
再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）．通过解直角三角形求出
线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S ，根据点D在反比例函数图形上
△BAF
利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S 的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出
△DFO
关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
（2）∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S = AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．
△BAF
∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上，
∴S = ×|﹣6|=3．
△DFO
∵S =4S ，
△BAF △DFO
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为（ ，﹣4）．
24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、
AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请
说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；
（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；
②连接DF，延长AB交DF于M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长，根据勾股定理求出
BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案．
【解答】解：（1）BD=CF．
理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，
在△CAF和△BAD中，
，
∴△CAF≌△BAD，
∴BD=CF；
（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；
②连接DF，延长AB交DF于M，
∵四边形ADEF是正方形，AD=3 ，AB=2，
∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，
DB= = ，
∵∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，
∴△DMB∽△DHF，
∴ = ，即 = ，
解得，DH= ．25．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四
边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？
并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点
P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），
可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M
的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，
4），
∴点A′的坐标为：（4，0），
∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得： ，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；
（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，
设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），
则S = ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4） =﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，
△AMA′
]
∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S =8，
△AMA′
∴M的坐标为：（2，6）；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，
∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），
∴点B的坐标为（1，4），
∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，
①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴﹣x2+3x+4=±4，
当﹣x2+3x+4=4时，解得：x =0，x =3，
1 2
∴P （0，4），P （3，4）；
1 2
当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x = ，x = ，
3 2
∴P （ ，﹣4），P （ ，﹣4）；
3 4
②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P ，P 重合；
1 2
综上可得：点P的坐标为：P （0，4），P （3，4），P （ ，﹣4），P （ ，﹣4）；
1 2 3 4
如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
