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2025 年秋季高三年级期中考试 设 ， 所以函数 号，
数学参考答案
.故函数 只有4个零点.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
8． 答案：
求的.
1． 答案： 【解析】
【解析】
2． 答案： 当 时， ，故函数 在 单调递增.
【解析】
方法一：构造函数 ，
3． 答案：
，
【解析】
4． 答案：
故函数 在 单调递减，
【解析】
5． 答案：
【解析】令 ，此时满足 ，但不满足 ，说明 方法二：对数糖水不等式：
；若 ，假设 ，则： ，
先证明糖水不等式： ，理由：
这与 矛盾，故假设不成立， 成立，说明 ，
所以 是 的必要不充分条件
故
6． 答案：
【解析】
7． 答案：
【解析】
方法三：
；
2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第3页 2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第4页，故选项 正确；
设切点 ， ，
则切线方程为： ，代入点 得：
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
图象有3个不同的交点，
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
，
9． 答案：
函 数 在 单 调 递 减 ， 上 单 调 递 增 ， 且
【解析】最小正周期 ，故选项 正确；
③
由 ， ②
,故选项 正确.
④ o
方法二：一元三次方程
令 ，当 时， 单调递增且 ，此时
①
单调递增， 在 上单调递增，故选项 正确；
，所以函数 的对称中心为 ，故选项 错
韦达定理： 故 ，选项 正确；
误；
,故选项 正确.
三次函数切线问题：过三次函数对称中心做切线（有且仅有一条）
10．答案： 则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅
【解析】当 时， ， 有3条；过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条；过切线或三次函数上的点（除去对称中
心）作切线有且仅有2条；
恒成立，则函数 在 上单调递增，故选项 正确； ， 所 以 函 数 的 对 称 中 心 为 y
4
有2个极值，但 时， 恒成立，此 ， 过 该 点 的 切 线 而 函 数 恒 过 ， 故 只 有
3
时函数函数 在 上单调递增，无极值，故选项 错误； 时，点 落在①③区域内，符合题意. 2
设函数 11．答案：
-1 0 1 2 x
【解析】 ,
y
4
3
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2
1 x若 ，此时 符合题意；
若 ，则：
依题意：观察函数 与函数 的图象，谁的图象在上方就是函数 的图象包含边界，如图
所示：
当 时， 符合题意
综合：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．【解析】（1）方法一：累乘
当 时符合题意 依题意： ，………………1分
而 ，故选项 正确.
当 时， ；…………5分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．答案：
当 时， 符合，故 ………………6分
方法二：构造
【解析】
依题意： ，则数列 为常数数列
13．答案：
【解析】 ，故
（2） ……………………8分
14．答案：
【解析】
，故满足条件的最大整数 的值为 .……………………13分
且满足
16．【解析】（1）
当 时， ，此时 符合题意；
…………………1分
当 时，
2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第3页 2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第4页当 时，
故函数 的单调增区间为 ……………………4分
在 时单调递减， ；…………11分
，………………………6分
当 时，
故函数 的对称中心为 …………………………7分
（2）依题意： ……………………9分
结合图象知： ，即 时， ；………………14分
又 ， ……………………15分
…………………………12分
18．【解析】 为等边三角形
……15分
（1） …………3分
17．【解析】（1） 时， ，
（2）方法一： 是线段 中点， ,不妨设
则小白鼠血液中药物的浓度 …………1分
当 时， ， ，即 时， ；…4分
当 时， ， ，即 时， ； 当 时， ……………………8分
方法二：以线段 中点为坐标原点 ， 方向为 轴， 方向为 轴，建立平面直角坐标系：不
由于 ，故小白鼠在 时，浓度最高，达到 .………………7分
y
妨设 ，则
（2） ………………8分
，
O
x
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（3）由角平分线定理知： ,不妨设 ，要构成 则：
，………………9分
不妨设 与 内切圆半径分别为 、 ,
，令
在 时单调递减
………………11分
19．【解析】（1）证明：若 ，则 ，
令 ，
故 在 单调递增，在 单调递减， ，即
…………………………12分
在 上恒成立， 在 上单调递减.………………4分
（2） ，令 ，
………………15分 ①若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增， 在 上最多一个极值点，
不符合题意 y
………………………………17分
②若 ，
1 x
0 2
方法二：不妨设 故 在 单调递增，在 单调递减，
不妨设 与 内切圆半径分别为 、 ,
且
且
……………………………………6分
2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第3页 2025年秋季高三年级期中考试 数学参考答案（共12页）第4页个 与之对应，与函数定义不符合.
依题意： 且
， ，故函数 只能单调递增，
在 上恒成立
令
故 在 单调递增， 单调递减，
恒成立，故 在 单调递增，
方法二： 与函数 至多有一个交点.
…………………………10分
若 ，则 与 至多有一个交点 与 至多有一
构造函数：
个交点 是单调函数， ， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故 函 数 只 能 单 调 递 减 ， 在 上 恒 成 立 ， 令
综合： ………………………………12分
故 在 单调递增， 单调递减，
（3）方法一：《教材必修二第53面11题》在函数 图象上任取一点 ，饶原点逆时针旋转
角得到点 ，其中 . …………………………17分
若 ，则
要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象，即对定义域内任意一个 的值，都有唯一的 与之对应
是单调函数，否则可能出现一个 ,会求出至少两个 ，导致至少两
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