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2025 年高考上海卷数学真题
一、填空题
1．已知全集𝑈 ={𝑥∣2≤𝑥 ≤5,𝑥 ∈R}，集合𝐴 ={𝑥∣2≤𝑥 <4,𝑥 ∈𝑅}，则𝐴̅ = ．
2．不等式𝑥−1 <0的解集为 ．
𝑥−3
3．己知等差数列{𝑎 }的首项𝑎 =−3，公差𝑑 =2，则该数列的前6项和为 ．
𝑛 1
4．在二项式(2𝑥−1)5的展开式中，𝑥3的系数为 ．
5．函数𝑦 =cos𝑥在[− π , π ]上的值域为 ．
2 4
5 6 7
6．已知随机变量X的分布为( )，则期望𝐸[𝑋]= ．
0.2 0.3 0.5
7．如图，在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，𝐵𝐷 =4√2,𝐷𝐵 =9，则该正四棱柱的体积为 ．
1 1 1 1 1
8．设𝑎,𝑏 >0,𝑎+ 1 =1，则𝑏+ 1的最小值为 ．
𝑏 𝑎
9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有
种．
10．已知复数z满足𝑧2 =(𝑧̅)2,|𝑧|≤1，则|𝑧−2−3i|的最小值是 ．
11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放
置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的
影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角𝜃 = ．（结
果用角度制表示，精确到0．01°）
1, 𝑥 >0
12．已知𝑓(𝑥)={ 0, 𝑥 =0 ，𝑎⃗、𝑏⃗⃗、𝑐⃗是平面内三个不同的单位向量．若𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗)+𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗)+𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)=0，则|𝑎⃗+
−1, 𝑥 <0
𝑏⃗⃗+𝑐⃗|可的取值范围是 ．
二、单选题
13．己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为𝑃(𝐴)= 1，事件B发生的概率为𝑃(𝐵)= 1，则事件𝐴∩𝐵发生的
2 2
概率𝑃(𝐴∩𝐵)为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．0
8 4 2
14．设𝑎 >0,𝑠 ∈𝑅．下列各项中，能推出𝑎𝑠 >𝑎的一项是（ ）A．𝑎 >1，且𝑠 >0 B．𝑎 >1，且𝑠 <0
C．0<𝑎 <1，且𝑠 >0 D．0<𝑎 <1，且𝑠 <0
15．已知𝐴(0,1),𝐵(1,2)，C在Γ:𝑥2−𝑦2 =1(𝑥 ≥1,𝑦 ≥0)上，则△𝐴𝐵𝐶的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
16．已知数列{𝑎 }、{𝑏 }、{𝑐 }的通项公式分别为𝑎 =10𝑛−9，𝑏 =2𝑛、，𝑐 =𝜆𝑎 +(1−𝜆)𝑏 .若对任意的𝜆 ∈[0,1]，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑎 、𝑏 、𝑐 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数𝑛有（ ）
𝑛 𝑛 𝑛
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
三、解答题
17．2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力
项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为𝑦 =−0.311𝑥+𝑏̂，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精
确到0.01秒）．
18．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且𝐴𝐵 =2．
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为π，求圆锥的侧面积；
3
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为π，𝐶𝐷∥𝐴𝐵．设点M在线段OC上，证明：直
3
线𝑄𝑀∥平面PBD．
19．已知𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚ln𝑥,𝑚 ∈𝑅．
(1)若𝑓(1)=0，求不等式𝑓(𝑥)≤𝑥2−1的解集；
(2)若函数𝑦 =𝑓(𝑥)满足在(0,+∞)上存在极大值，求m的取值范围；
20．已知椭圆Γ:
𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎 >√5)，𝑀(0,𝑚)(𝑚 >0)，A是Γ的右顶点．
𝑎2 5
(1)若Γ的焦点(2,0)，求离心率e；
(2)若𝑎 =4，且Γ上存在一点P，满足𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗=2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠𝐶𝑀𝐷为钝角，求a的取值范围．
21．已知函数𝑦 =𝑓(𝑥)的定义域为𝑅．对于正实数a，定义集合𝑀 ={𝑥∣𝑓(𝑥+𝑎)=𝑓(𝑥)}．
𝑎
(1)若𝑓(𝑥)=sin𝑥，判断π是否是𝑀 中的元素，请说明理由；
π
3
𝑥+2, 𝑥 <0
(2)若𝑓(𝑥)={ ,𝑀 ≠∅ ，求a的取值范围；
√𝑥, 𝑥 ≥0 𝑎
(3)若𝑦 =𝑓(𝑥)是偶函数，当𝑥 ∈(0,1]时，𝑓(𝑥)=1−𝑥，且对任意𝑎 ∈(0,2)，均有𝑀 ⊆𝑀 ．写出𝑦 =𝑓(𝑥)，𝑥 ∈(1,2)
𝑎 2
解析式，并证明：对任意实数c，函数𝑦 =𝑓(𝑥)−𝑐在[−3,3]上至多有9个零点．
