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2025 年高考上海卷数学真题
一、填空题
1．已知全集𝑈 ={𝑥∣2≤𝑥 ≤5,𝑥 ∈R}，集合𝐴 ={𝑥∣2≤𝑥 <4,𝑥 ∈𝑅}，则𝐴̅ = ．
【答案】{𝑥|4≤𝑥 ≤5,𝑥 ∈R}/[4,5]
【详解】根据补集的含义知𝐴 ={𝑥|4≤𝑥 ≤5,𝑥 ∈R}.
答案为：{𝑥|4≤𝑥 ≤5,𝑥 ∈R}.
2．不等式𝑥−1 <0的解集为 ．
𝑥−3
【答案】(1,3)
【分析】转化为一元二次不等式(𝑥−1)(𝑥−3)<0，解出即可.
【详解】原不等式转化为(𝑥−1)(𝑥−3)<0，解得1<𝑥 <3，
则其解集为(1,3).
答案为：(1,3).
3．己知等差数列{𝑎 }的首项𝑎 =−3，公差𝑑 =2，则该数列的前6项和为 ．
𝑛 1
【答案】12
【详解】根据等差数列的求和公式，𝑆 =6𝑎 + 6×5 𝑑 =12.
6 1
2
答案为：12
4．在二项式(2𝑥−1)5的展开式中，𝑥3的系数为 ．
【答案】80
【详解】由通项公式𝑇 =C𝑟⋅25−𝑟⋅𝑥5−𝑟 ⋅(−1)𝑟 =C𝑟⋅(−1)𝑟⋅25−𝑟𝑥5−𝑟，
𝑟+1 5 5
令5−𝑟 =3，得𝑟 =2，
可得𝑥3项的系数为C2⋅(−1)2⋅25−2 =80.
5
答案为：80.
5．函数𝑦 =cos𝑥在[− π , π ]上的值域为 ．
2 4
【答案】[0,1]
【详解】由函数𝑦 =cos𝑥在[− π ,0]上单调递增，在[0, π ]单调递减，
2 4
且𝑓(− π )=0,𝑓(0)=1,𝑓( π )= √2，
2 4 2
故函数𝑦 =cos𝑥在[− π , π ]上的值域为[0,1].
2 4
答案为：[0,1].
5 6 7
6．已知随机变量X的分布为( )，则期望𝐸[𝑋]= ．
0.2 0.3 0.5
【答案】6.3
【详解】由题设有𝐸[𝑥]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.
答案为：6.3.
7．如图，在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，𝐵𝐷 =4√2,𝐷𝐵 =9，则该正四棱柱的体积为 ．
1 1 1 1 1【答案】112
【详解】因为𝐵𝐷 =4√2且四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，故𝐵𝐴 =4，
而𝐷𝐵 =9，故𝐵𝐵2+𝐵𝐷2 =81，故𝐵𝐵 =7，
1 1 1
故所求体积为7×16=112，
答案为：112.
8．设𝑎,𝑏 >0,𝑎+ 1 =1，则𝑏+ 1的最小值为 ．
𝑏 𝑎
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将𝑏+ 1 =(𝑏+ 1 )(𝑎+ 1 )展开利用基本不等式计算即可.
𝑎 𝑎 𝑏
【详解】易知𝑏+ 1 =(𝑏+ 1 )(𝑎+ 1 )=𝑎𝑏+ 1 +2≥2√𝑎𝑏⋅ 1 +2=4，
𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏
当且仅当𝑎𝑏 =1，即𝑎 = 1 ,𝑏 =2时取得最小值.
2
答案为：4
9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有
种．
【答案】288
【详解】先选两位家长排在首尾有P2 =12种排法；再排对中的四人有P4 =24种排法，
4 4
故有12×24=288种排法.
答案为：288
10．已知复数z满足𝑧2 =(𝑧̅)2,|𝑧|≤1，则|𝑧−2−3i|的最小值是 ．
【答案】2√2
【分析】先设𝑧 =𝑎+𝑏i，利用复数的乘方运算及概念确定𝑎𝑏 =0，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设𝑧 =𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏 ∈R),∴𝑧̅=𝑎−𝑏i，
由题意可知𝑧2 =𝑎2+2𝑎𝑏i−𝑏2 =𝑧̅2 =𝑎2−2𝑎𝑏i−𝑏2，则𝑎𝑏 =0，
又|𝑧|=√𝑎2+𝑏2 ≤1，由复数的几何意义知𝑧在复平面内对应的点𝑍(𝑎,𝑏)在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，
如图所示即线段𝐴𝐵,𝐶𝐷上运动，
设𝐸(2,3)，则|𝑧−2−3i|=|𝑍𝐸|，由图象可知|𝐵𝐸|=√10>|𝐶𝐸|=2√2，
所以|𝑍𝐸| =2√2.
min
答案为：2√2
11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放
置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的
影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角𝜃 = ．（结
果用角度制表示，精确到0．01°）【答案】12.58∘
【分析】先根据在𝐴处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合𝐵处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在𝐴处，tan𝑥 = 1 =2.5，在𝐵处满足tan∠𝐶𝐸𝐷 =2.5，
0.4
（其中𝐸𝐷//水平面，𝐶𝐸是射过𝐵处杆子最高点的光线，光线交斜面于𝐸），
故设𝐵𝐷 =𝑦，则𝐸𝐷 = 1+𝑦，
2.5
2
由勾股定理，𝑦2+( 1+𝑦 ) =0.452，解得𝑦 ≈0.098，
2.5
于是𝜃 =arcsin 0.098 ≈12.58∘
0.45
答案为：12.58∘
1, 𝑥 >0
12．已知𝑓(𝑥)={ 0, 𝑥 =0 ，𝑎⃗、𝑏⃗⃗、𝑐⃗是平面内三个不同的单位向量．若𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗)+𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗)+𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)=0，则|𝑎⃗+
−1, 𝑥 <0
𝑏⃗⃗+𝑐⃗|可的取值范围是 ．
【答案】(1,√5)
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗),𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗),𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)}= {−1,0,1}，再根据数量积关系设出𝑎⃗,𝑏⃗⃗,𝑐⃗坐标，
利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗)=𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗)=𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)=0，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗ =𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗=𝑐⃗⋅𝑎⃗ =0，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗,𝑐⃗两两垂直，显然不成立；
故{𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗),𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗),𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)}= {−1,0,1}.
𝑓(𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗)=1
不妨设{ 𝑓(𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗)=0 ，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗ >0,𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗=0,𝑐⃗⋅𝑎⃗ <0，
𝑓(𝑐⃗⋅𝑎⃗)=−1
不妨设𝑏⃗⃗ =(1,0),𝑐⃗=(0,1)，𝑎⃗ =(cos𝜃,sin𝜃),𝜃 ∈[0,2π)，
则{ 𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗ =cos𝜃 >0 ，则𝜃 ∈( 3 π,2π)，
𝑐⃗⋅𝑎⃗ =sin𝜃 <0 2
则|𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗|=|(1+cos𝜃,1+sin𝜃)|=√(1+cos𝜃)2+(1+sin𝜃)2 =√3+2cos𝜃+2sin𝜃=√3+2√2sin(𝜃+ π )，
4
由𝜃 ∈( 3 π,2π)，𝜃+ π ∈( 7 π, 9 π)，
2 4 4 4
则sin(𝜃+ π )∈(− √2 , √2 )，2√2sin(𝜃+ π )∈(−2,2)
4 2 2 4
故|𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗|∈(1,√5).
答案为：(1,√5).
二、单选题
13．己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为𝑃(𝐴)= 1，事件B发生的概率为𝑃(𝐵)= 1，则事件𝐴∩𝐵发生的
2 2
概率𝑃(𝐴∩𝐵)为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．0
8 4 2
【答案】B
【详解】因为𝐴,𝐵相互独立，故𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)= 1 × 1 = 1，
2 2 4
故选B.
14．设𝑎 >0,𝑠 ∈𝑅．下列各项中，能推出𝑎𝑠 >𝑎的一项是（ ）
A．𝑎 >1，且𝑠 >0 B．𝑎 >1，且𝑠 <0
C．0<𝑎 <1，且𝑠 >0 D．0<𝑎 <1，且𝑠 <0
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论𝑎与1的关系即可判定选项.
【详解】∵𝑎 >0,𝑎𝑠 >𝑎，∴𝑎𝑠−1 >1=𝑎0，
当𝑎 ∈(0,1)时，𝑦 =𝑎𝑥定义域上严格单调递减，
此时若𝑠−1<0，则一定有𝑎𝑠−1 >1=𝑎0成立，故D正确，C错误；
当𝑎 ∈(1,+∞)时，𝑦 =𝑎𝑥定义域上严格单调递增，要满足𝑎𝑠−1 >1=𝑎0，需𝑠 >1，即A、B错误.
故选D
15．已知𝐴(0,1),𝐵(1,2)，C在Γ:𝑥2−𝑦2 =1(𝑥 ≥1,𝑦 ≥0)上，则△𝐴𝐵𝐶的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为(𝑎,𝑏)，得出𝑎 =√𝑏2+1，将三角形的高转化成关于𝑏的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为(𝑎,𝑏)，则𝑎2−𝑏2 =1，则𝑎 =√𝑏2+1，
𝑘 = 2−1 =1，𝐴𝐵方程为：𝑦−1=𝑥，即𝑥−𝑦+1=0，
𝐴𝐵
1−0
根据点到直线的距离公式，(𝑎,𝑏)到𝐴𝐵的距离为：
|𝑎−𝑏+1|
=
|√𝑏2+1−𝑏+1|
=
√𝑏2+1−𝑏+1，
√2 √2 √2
设𝑓(𝑏)=√𝑏2+1−𝑏 = 1 ，
√𝑏2+1+𝑏
由于𝑏 ≥0，显然𝑓(𝑏)关于𝑏单调递减，𝑓(𝑏) =𝑓(0)，无最小值，
max
即△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边上的高有最大值，无最小值，
又𝐴𝐵一定，故面积有最大值，无最小值.
故选A
16．已知数列{𝑎 }、{𝑏 }、{𝑐 }的通项公式分别为𝑎 =10𝑛−9，𝑏 =2𝑛、，𝑐 =𝜆𝑎 +(1−𝜆)𝑏 .若对任意的𝜆 ∈[0,1]，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑎 、𝑏 、𝑐 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数𝑛有（ ）
𝑛 𝑛 𝑛
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【分析】由𝑐 =𝜆𝑎 +(1−𝜆)𝑏 可知𝑐 范围，再由三角形三边关系可得𝑎 ,𝑏 ,𝑐 的不等关系，结合函数零点解不等
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛式可得.
【详解】由题意𝑎 ,𝑏 ,𝑐 >0，不妨设𝐴(𝑛,𝑎 ),𝐵(𝑛,𝑏 ),𝐶(𝑛,𝑐 )，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
三点均在第一象限内，由𝑐 =𝜆𝑎 +(1−𝜆)𝑏 可知，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗ =𝜆𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗,𝜆 ∈[0,1]，
𝑛 𝑛 𝑛
故点𝐶恒在线段𝐴𝐵上，则有min{𝑎 ,𝑏 }≤𝑐 ≤max{𝑎 ,𝑏 }<𝑎 +𝑏 .
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
即对任意的𝜆 ∈[0,1]，𝑐 <𝑎 +𝑏 恒成立，
𝑛 𝑛 𝑛
令10𝑥−9=2𝑥，构造函数𝑓(𝑥)=2𝑥−10𝑥+9,𝑥 >0，
则𝑓′(𝑥)=2𝑥ln2−10，由𝑓′(𝑥)单调递增，
又𝑓′(3)<0,𝑓′(4)>0，存在𝑥 ∈(3,4)，使𝑓′(𝑥 )=0，
0 0
即当0<𝑥 <𝑥 时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减；
0
当𝑥 >𝑥 时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增；
0
故𝑓(𝑥)至多2个零点，
又由𝑓(1)>0,𝑓(2)<0,𝑓(5)<0,𝑓(6)>0，
可知𝑓(𝑥)存在2个零点，不妨设𝑥 ,𝑥 (𝑥 <𝑥 )，且𝑥 ∈(1,2),𝑥 ∈(5,6).
1 2 1 2 1 2
①若𝑎 ≤𝑏 ，即10𝑛−9≤2𝑛时，此时𝑛 =1或𝑛 ≥6.
𝑛 𝑛
则𝑎 ≤𝑐 ≤𝑏 ，可知𝑏 +𝑐 >𝑎 成立，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
要使𝑎 、𝑏 、𝑐 的值均能构成三角形，
𝑛 𝑛 𝑛
所以𝑎 +𝑐 >𝑏 恒成立，故𝑏 <2𝑎 ，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
10𝑛−9≤2𝑛
所以有{ ，解得𝑛 =6；
2𝑛 <2(10𝑛−9)
②若𝑎 ≥𝑏 ，即10𝑛−9≥2𝑛时，此时𝑛 =2,3,4,5.
𝑛 𝑛
则𝑎 ≥𝑐 ≥𝑏 ，可知𝑎 +𝑐 >𝑏 成立，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
要使𝑎 、𝑏 、𝑐 的值均能构成三角形，
𝑛 𝑛 𝑛
所以𝑏 +𝑐 >𝑎 恒成立，故𝑎 <2𝑏 ，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
所以有{
10𝑛−9≥2𝑛
，解得𝑛 =4或5；
10𝑛−9<2𝑛+1
综上可知，正整数𝑛的个数有3个.
故选B.
三、解答题
17．2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力
项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为𝑦 =−0.311𝑥+𝑏̂，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精
确到0.01秒）．
【答案】(1)10.15；210.015；
3
(2)
10
(3)204.56
【分析】
（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数𝑦，再由(𝑥̅,𝑦̅)在回归直线上，代入方程可得𝑏̂，再代入年份预测可得.
【详解】
（1）由题意，数据的最大值为216.93，最小值为206.78，
则极差为216.93−206.78=10.15；
数据中间两数为209.35与210.78，则中位数为209.35+210.68
=210.015.
2
故极差为10.15，中位数为210.015；
（2）由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，
故设事件𝐴 =“恰有2个数据在211以上”，
则𝑃(𝐴)= C4 2⋅C6 1 = 3，
C3 10
10
故恰有2个数据在211以上的概率为3；
10
（3）由题意，成绩的平均数
206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93
10
=211.399，
由直线𝑦 =−0.311𝑥+𝑏̂过(2006,211.399)，
则𝑏̂ =211.399+0.311×2006=835.265，
故回归直线方程为𝑦 =−0.311𝑥+835.265.
当𝑥 =2028时,𝑦 =−0.311×2028+835.265=204.557≈204.56.
故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.
18．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且𝐴𝐵 =2．
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为π，求圆锥的侧面积；
3
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为π，𝐶𝐷∥𝐴𝐵．设点M在线段OC上，证明：直
3
线𝑄𝑀∥平面PBD．
【答案】
(1)2π
(2)证明见解析
【分析】
（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.
（2）证明平面𝑄𝑂𝐶//平面𝑃𝐵𝐷，然后根据面面平行的性质可得.
【详解】（1）由题知，∠𝑃𝐴𝐵 = π，即轴截面△𝐴𝐵𝑃是等边三角形，故𝑃𝐴 =𝐴𝐵 =2，
3
底面周长为2π×1=2π，则侧面积为：1
×2×2π=2π;
2
（2）由题知𝐴𝑄 =𝑄𝑃,𝐴𝑂 =𝑂𝐵，则根据中位线性质，𝑄𝑂 ∥𝑃𝐵，
又𝑄𝑂 ⊄平面𝑃𝐵𝐷，𝑃𝐵 ⊂平面𝑃𝐵𝐷，则𝑄𝑂//平面𝑃𝐵𝐷
由于𝐴⌢𝐶 = π，底面圆半径是1，则∠𝐴𝑂𝐶 = π，又𝐶𝐷 ∥𝐴𝐵，则∠𝑂𝐶𝐷 = π，
3 3 3
又𝑂𝐶 =𝑂𝐷，则△𝑂𝐶𝐷为等边三角形，则𝐶𝐷 =1，
于是𝐶𝐷 ∥𝐵𝑂且𝐶𝐷 =𝑂𝐵，则四边形𝑂𝐵𝐷𝐶是平行四边形，故𝑂𝐶 ∥𝐵𝐷，
又𝑂𝐶 ⊄平面𝑃𝐵𝐷，𝐵𝐷 ⊂平面𝑃𝐵𝐷，故𝑂𝐶//平面𝑃𝐵𝐷.又𝑂𝐶∩𝑂𝑄 =𝑂,𝑂𝐶,𝑂𝑄 ⊂平面𝑄𝑂𝐶，
根据面面平行的判定，于是平面𝑄𝑂𝐶//平面𝑃𝐵𝐷，
又𝑀 ∈𝑂𝐶，则𝑄𝑀 ⊂平面𝑄𝑂𝐶，则𝑄𝑀//平面𝑃𝐵𝐷
19．已知𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚ln𝑥,𝑚 ∈𝑅．
(1)若𝑓(1)=0，求不等式𝑓(𝑥)≤𝑥2−1的解集；
(2)若函数𝑦 =𝑓(𝑥)满足在(0,+∞)上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】
(1)[1,+∞)
(2)𝑚 >0且𝑚 ≠2.
【分析】
（1）先求出𝑚，从而原不等式即为𝑥+ln𝑥 >1，构建新函数𝑠(𝑥)=𝑥+ln𝑥,𝑥 >0，由该函数为增函数可求不等式
的解；
（2）求出函数的导数，就𝑚 ≤0,0<𝑚 <2,𝑚 =2,𝑚 >2分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（
1）因为𝑓(1)=0，故1−𝑚−2+0=0，故𝑚 =−1，故𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥−ln𝑥，
故𝑓(𝑥)≤𝑥2−1即为𝑥+ln𝑥 ≥1，
设𝑠(𝑥)=𝑥+ln𝑥,𝑥 >0，则𝑠′(𝑥)=1+ 1 >0，故𝑠(𝑥)在(0,+∞)上为增函数，
𝑥
而𝑥+ln𝑥 ≥1即为𝑠(𝑥)≥𝑠(1)，故𝑥 ≥1，
故原不等式的解为[1,+∞).
（2）𝑓(𝑥)在(0,+∞)有极大值即为有极大值点.
𝑓′(𝑥)=2𝑥−(𝑚+2)+ 𝑚 = 2𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚 = (2𝑥−𝑚)(𝑥−1) ，
𝑥 𝑥 𝑥
若𝑚 ≤0，则𝑥 ∈(0,1)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑥 ∈(1,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，
故𝑥 =1为𝑓(𝑥)的极小值点，无极大值点，故舍；
若0< 𝑚 <1即0<𝑚 <2，则𝑥 ∈( 𝑚 ,1)时，𝑓′(𝑥)<0，
2 2
𝑥 ∈(0, 𝑚 )∪(1,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，
2
故𝑥 = 𝑚为𝑓(𝑥)的极大值点，符合题设要求；
2
若𝑚 =2，则𝑥 ∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)≥0，𝑓(𝑥)无极值点，舍；
若𝑚 >1即𝑚 >2，则𝑥 ∈(1, 𝑚 )时，𝑓′(𝑥)<0，
2 2
𝑥 ∈(0,1)∪( 𝑚 ,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，
2
故𝑥 =1为𝑓(𝑥)的极大值点，符合题设要求；
综上，𝑚 >0且𝑚 ≠2.
20．已知椭圆Γ:
𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎 >√5)，𝑀(0,𝑚)(𝑚 >0)，A是Γ的右顶点．
𝑎2 5
(1)若Γ的焦点(2,0)，求离心率e；(2)若𝑎 =4，且Γ上存在一点P，满足𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗=2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠𝐶𝑀𝐷为钝角，求a的取值范围．
【答案】
2
(1)
3
(2)√10
(3)(√5,√11)
【分析】
（1）由方程可得𝑏2 =5，再由焦点坐标得𝑐，从而求出𝑎得离心率；
（2）设点𝑃坐标，由向量关系𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗=2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗坐标化可解得𝑃坐标，代入椭圆方程可得𝑚；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线𝑙方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⋅
𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ <0，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得𝑎范围.
【详解】
（1）由题意知，Γ:
𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎 >√5)，则𝑏2 =5，
𝑎2 5
由右焦点(2,0)，可知𝑐 =2，则𝑎 =√5+𝑐2 =3，
故离心率𝑒 = 𝑐 = 2 .
𝑎 3
（2）由题意𝐴(4,0),𝑀(0,𝑚)(𝑚 >0)，𝑃(𝑥 ,𝑦 )
𝑃 𝑃
4−𝑥 =2𝑥
由𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗=2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗得，{ 𝑃 𝑃 ，
−𝑦 =2𝑦 −2𝑚
𝑃 𝑝
解得𝑃( 4 , 2𝑚 )，代入𝑥2 + 𝑦2 =1，
3 3 16 5
得1 + 4𝑚2 =1，又𝑚 >0，解得𝑚 =√10.
9 45
（3）由线段𝐴𝑀的中垂线𝑙的斜率为2，所以直线𝐴𝑀的斜率为− 1，
2
则𝑚−0
=−
1，解得𝑚
=
𝑎，
0−𝑎 2 2
由𝐴(𝑎,0),𝑀(0, 𝑎 )得𝐴𝑀中点坐标为( 𝑎 , 𝑎 )，
2 2 4
故直线𝑙:𝑦 =2𝑥− 3 𝑎，显然直线𝑙过椭圆内点( 3 𝑎,0)，
4 8
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设𝐶(𝑥 ,𝑦 ),𝐷(𝑥 ,𝑦 )，
1 1 2 2
3
𝑦 =2𝑥− 𝑎
由{ 4 消𝑦得(4𝑎2+5)𝑥2−3𝑎3𝑥+ 9 𝑎4−5𝑎2 =0，
5𝑥2+𝑎2𝑦2 =5𝑎2 16
由韦达定理得𝑥 +𝑥 =
3𝑎3
,𝑥 𝑥 =1
9
6
𝑎4−5𝑎2
，
1 2 4𝑎2+5 1 2 4𝑎2+5
因为∠𝐶𝑀𝐷为钝角，则𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⋅𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ <0，且𝑀(0, 𝑎 )，
2则有𝑥 𝑥 +(𝑦 − 𝑎 )(𝑦 − 𝑎 )<0，
1 2 1 2
2 2
所以𝑥 𝑥 +(2𝑥 − 5𝑎 )(2𝑥 − 5𝑎 )=5𝑥 𝑥 − 5 𝑎(𝑥 +𝑥 )+ 25 𝑎2 <0，
1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 2 16
即5( 9 𝑎4−5𝑎2)− 5𝑎 ×3𝑎3+ 25 𝑎2(4𝑎2+5)<0，解得𝑎2 <11，
16 2 16
又𝑎 >√5，
故√5<𝑎 <√11，即𝑎的取值范围是(√5,√11).
21．已知函数𝑦 =𝑓(𝑥)的定义域为𝑅．对于正实数a，定义集合𝑀 ={𝑥∣𝑓(𝑥+𝑎)=𝑓(𝑥)}．
𝑎
(1)若𝑓(𝑥)=sin𝑥，判断π是否是𝑀 中的元素，请说明理由；
π
3
𝑥+2, 𝑥 <0
(2)若𝑓(𝑥)={ ,𝑀 ≠∅ ，求a的取值范围；
√𝑥, 𝑥 ≥0 𝑎
(3)若𝑦 =𝑓(𝑥)是偶函数，当𝑥 ∈(0,1]时，𝑓(𝑥)=1−𝑥，且对任意𝑎 ∈(0,2)，均有𝑀 ⊆𝑀 ．写出𝑦 =𝑓(𝑥)，𝑥 ∈(1,2)
𝑎 2
解析式，并证明：对任意实数c，函数𝑦 =𝑓(𝑥)−𝑐在[−3,3]上至多有9个零点．
【答案】
(1)不是；
(2)[ 7 ,4)；
4
(3)证明见解析.
【分析】
（1）直接代入计算𝑓( 𝜋 )和𝑓( 𝜋 +𝜋)即可；
3 3
2
（2）法一：转化为在实数𝑥 使得𝑓(𝑥 +𝑎)=𝑓(𝑥 )，分析得𝑥 +2=√𝑥 +𝑎，再计算得𝑎 =(𝑥 + 3 ) + 7，最后
0 0 0 0 0 0
2 4
根据𝑥 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线𝑦 =𝑡与该函数有两个交点，将𝑎用𝑡表示，最后利用
0
二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出𝑥 ∈(1,2)时解析式，再分析出𝑓(−3)∉(0,1)，最后对𝑐的范围进行分类
讨论即可.
【详解】
（1）（1）𝑓( 𝜋 )=sin 𝜋 = √3，𝑓( 𝜋 +𝜋)=−sin 𝜋 =− √3，则𝜋不是𝑀 中的元素.
𝜋
3 3 2 3 3 2 3
（2）法一：因为𝑀 ≠∅，则存在实数𝑥 使得𝑓(𝑥 +𝑎)=𝑓(𝑥 )，且𝑎 >0，
𝑎 0 0 0
当𝑥 <0时，𝑓(𝑥)=𝑥+2，其在(−∞，0)上严格单调递增，
当𝑥 ≥0时，𝑓(𝑥)=√𝑥，其在[0,+∞)上也严格单调递增，
则𝑥 <0≤𝑥 +𝑎，则𝑥 +2=√𝑥 +𝑎，
0 0 0 0
令𝑥+2=0，解得𝑥 =−2，则−2≤𝑥 <0，
0
则𝑎 =(√𝑥 +𝑎) 2 −𝑥 =(𝑥 +2)2−𝑥 =(𝑥 + 3 ) 2 + 7 ∈[ 7 ,4).
0 0 0 0 0
2 4 4
法二：作出该函数图象，则由题意知直线𝑦 =𝑡与该函数有两个交点，
由图知0≤𝑡 <2，假设交点分别为𝐴(𝑚,𝑡)，𝐵(𝑛,𝑡)，联立方程组{ √𝑚 =𝑡 得𝑎 =|𝐴𝐵|=𝑚−𝑛 =𝑡2−(𝑡−2)=(𝑡− 1 ) 2 + 7 ∈[ 7 ,4)
𝑛+2=𝑡 2 4 4
（3）（3）对任意𝑥 ∈(1,2),𝑥 −2∈(−1,0)，因为其是偶函数，
0 0
则𝑓(𝑥 −2)=𝑓(2−𝑥 )，而2−𝑥 −(𝑥 −2)=4−2𝑥 ∈(0,2)，
0 0 0 0 0
所以𝑥 −2∈𝑀 ⊆𝑀 ，
0 4−2𝑥0 2
所以𝑓(𝑥 )=𝑓(𝑥 −2)=𝑓(2−𝑥 )，因为𝑥 ∈(1,2)，则2−𝑥 ∈(0,1)，
0 0 0 0 0
所以𝑓(𝑥 )=𝑓(2−𝑥 )=1−(2−𝑥 )=𝑥 −1，所以𝑓(𝑥)=𝑥−1,𝑥 ∈(1,2)，
0 0 0 0
所以当𝑠 ∈(0,1)时，1−𝑠 ∈(0,1)，1+𝑠 ∈(1,2)，则𝑓(1−𝑠)=1−(1−𝑠)=𝑠，
𝑓(1+𝑠)=(1+𝑠)−1=𝑠，则𝑓(1−𝑠)=𝑓(1+𝑠)，
而1+𝑠−(1−𝑠)=2𝑠，(3−𝑠)−(1−𝑠)=2，
则1−𝑠 ∈𝑀 ⊆𝑀 ，则𝑓(1−𝑠)=𝑓(3−𝑠)，
2𝑠 2
所以当𝑥 ∈(2,3)时，𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥−2)=1−(𝑥−2)=3−𝑥，而𝑓(𝑥)为偶函数，画出函数图象如下：
其中𝑓(−3)=𝑓(3),𝑓(−2)=𝑓(2),𝑓(0)，但其对应的𝑦值均未知.
首先说明𝑓(−3)=𝑛 ∉(0,1)，
若𝑓(−3)=𝑛 ∈(0,1)，则−3+𝑛 ∈(−3,−2)，易知此时𝑓(𝑥)=𝑥+3,𝑥 ∈(−3,−2)，
则𝑓(−3+𝑛)=𝑛，所以𝑓(−3)∈𝑀 ⊆𝑀 ，而𝑥 ∈[−1,0)时，𝑓(𝑥)=𝑥+1，
𝑛 2
所以𝑓(−3)=𝑓(−1)=0，与𝑓(−3)=𝑛矛盾，所以𝑓(−3)∉(0,1)，即𝑓(−3)=𝑓(3)∉(0,1)，
令𝑦 =𝑓(𝑥)−𝑐 =0，则𝑦 =𝑓(𝑥)=𝑐，
当𝑐 =0时，即使让𝑓(−3)=𝑓(3)=𝑓(−2)=𝑓(2)=𝑓(0)=0，此时最多7个零点，
当𝑐 ≥1时，若𝑓(−2)=𝑓(2)=𝑓(0)=𝑓(−3)=𝑓(3)=𝑐，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当𝑐 <0时，若𝑓(−2)=𝑓(2)=𝑓(0)=𝑓(−3)=𝑓(3)=𝑐，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；当0<𝑐 <1时，若𝑓(−2)=𝑓(2)=𝑓(0)=𝑐，此时有3个零点，
若𝑓(−3)=𝑐 ∈(0,1)，则−3+𝑐 ∈(−3，−2)，易知此时𝑓(𝑥)=𝑥+3，
则𝑓(−3+𝑐)=𝑐，所以𝑓(−3)∈𝑀 ⊆𝑀 ，而𝑥 ∈[−1,0)时，𝑓(𝑥)=𝑥+1，
𝑐 2
所以𝑓(−3)=𝑓(−1)=0，与𝑓(−3)=𝑝矛盾，所以𝑓(−3)∉(0,1)，
则最多在(−3,−2),(−2,−1),(−1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，
以及在𝑥 =−2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
