文档内容
#$#%届高三统一考试试题
数学参考答案
!!&"!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
因为#"#$!所以#’""$"##"#$$’""$"#$$!所以$%#’%$!!"&!
#!("!解析"本题考查三角函数的周期#考查数学运算的核心素养!
%’)*+%!,#"’!%’+-.#"的最小正周期均为!!但在%$!!’上不单调递减!%’/0.%!,"’的
"
最小正周期为!!且在%$!!’上单调递减!%’,+-. 的最小正周期为%!!
#
1!&"!解析"本题考查排列组合的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!
因为第一站不去株洲!所以第一站可以从长沙(衡阳(郴州(益阳这%个城市中选择!个!共有
%种选择!所以该旅游团四站的城市安排共有%&1’23种!
%
%!4"!解析"本题考查复数方程的求解与复数的模#考查数学运算的核心素养!
由&15&5!’$!得&#%&5!’5&5!’%!’%&5!’’$!因为-#’,!!所以&’6-或,!!
所以$&,&$的值为槡#或#!
! #
7!4"!解析"本题考查对数运算的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!
( ( !
当’’1!’’$87时!1,$87’,#879: #!则 #’ !则(’!$(!所以$87等星的亮度
# ! ( ( !$ ! #
! !
是1等星亮度的!$倍!
3!&"!解析"本题考查抛物线的定义的应用#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
因为)的准线方程为%’!!所以$$*$’!,%,%’’7!+5!’$#*$!因为*%$!,!’!
所以$$*$5$#,$5+’75$#,$5$#*$,!&%5$,*$’%5槡%1,$’#5%15!’#’2!当且
仅当#在线段,*上时!等号成立!所以$$*$5$#,$5+的最小值为2!
"!;"!解析"本题考查导数的几何意义#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
由-%"’’.%"’!得"1,"#5#"5%’$!设/%"’’"1,"#5#"5%!则/0%"’’1"#,#"5##
$%!’%,#%’$’!所以/%"’为增函数!因为/%,!’’$!所以$%,!!1’!
-0%"’’1"#!则-0%,!’’1!所以曲线%’-%"’在点$处的切线方程为%,1’1%"5!’!令"
!
’$!得%’3!令%’$!得"’,#!则所求三角形的面积为 <3<#’3!
#
=!;"!解析"本题考查正棱台的体积与二面角#考查空间想象能力
与运算求解能力!
如图!取$#的中点1!取$# 的中点1!连接11!,1!,1!
! ! ! ! ! !
则11($#!,1($#!所以二面角$2$#2, 的平面角
! ! ! ! ! ! ! ! ! !
为)11,!则)11,’3$>!设上底面与下底面的中心分别为
! ! ! !
!!高三数学"参考答案"第""""!页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}
书书书槡1 ! 槡1 槡1 ! #槡1
(!(!连接((!则1(’#< < ’ !1(’%< < ’ !过点1作13(,1!
! ! # 1 1 ! ! # 1 1 ! !
13 13 13
垂足为3!则)113’3$>!则 ’ ’ ’/0.3$>’槡1!则13’!!故该三棱
! 1 ! 3 #槡1 槡1 槡1
,
1 1 1
! 槡1 槡1 槡1 "槡1
台的体积为 !$8"’! ………………………………………………………………=分
所以1%=’’><$8"<%!,$8"’’$8#!>!………………………………………………2分
因为1%=’’%#!所以>’#$$!又>为正整数!所以>的最大值为!22!……………!$分
#, $,
!=!%!’证明.在1$#,中! ’ !…………………………………………!分
+-.)#$, +-.)$#,
,1 $,
在1$1,中! ’ !……………………………………………………#分
+-.)1$, +-.)$1,
因为$,平分)#$1!所以)#$,’)1$,!……………………………………………1分
又#,’,1!所以+-.)$#,’+-.)$1,! ………………………………………………%分
所以)$#,与)$1,相等或互补!………………………………………………………7分
%#’解.因为$#,$1!所以)$#,与)$1,互补! ……………………………………3分
在1$#,中!$,#’$##5#,#,#$###,#)*+)$#,’!1,!#)*+)$#,! ………"分
在1$1,中!$,#’,1#51$#,#,1#1$#)*+)$1,’7,%)*+)$1,!…………=分
所以!1,!#)*+)$#,’7,%)*+)$1,!
又)*+)$#,’,)*+)$1,!
!
所以)*+)$#,’ !………………………………………………………………………2分
#
则$,’槡!1,!#)*+)$#,’槡"!………………………………………………………!$分
! 1槡1
所以1$#,的面积?’ $###,+-.)$#,’ !…………………………………!!分
# #
#? 1槡1 7槡1,槡#!
故1$#,内切圆的半径@’ ’ ’ ! …………………!#分
$#5#,5$, 75槡" 3
9,!
!2!证明.%!’因为#95!%4 ,4,!’’9,!!所以4 ,4’ 5!!……………………!分
95! 9 95! 9 #95!
!!高三数学"参考答案"第""""%页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}95! 9 95! 9 9,! 95!,#9
所以4 5 ,%45 ’’4 ,45 , ’ 5!5 ’!!………1分
95! #95! 9 #9 95! 9 #95! #9 #95! #95!
9
所以"45 $是公差为!的等差数列!……………………………………………………%分
9 #9
! ! 9 9
%#’因为4’ !所以45 ’!!由%!’知45 ’9!则4’9, !…………………7分
! # ! # 9 #9 9 #9
! # 9
设A’ 5 5-5 !
9 # ## #9
! ! # 9
则 A’ 5 5-5 !………………………………………………………………3分
# 9 ## #1 #95!
! !
)!,% ’9&
! ! ! ! ! 9 # # 9 95#
所以A, A’ 5 5 5-5 , ’ , ’!, !……2分
9 # 9 # ## #1 #9 #95! ! #95! #95!
!,
#
95#
则A’#, ! …………………………………………………………………………!$分
9 #9
9%95!’ 9%95!’ 95#
所以?’ ,A’ ,%#, ’…………………………………………!!分
9 # 9 # #9
9#59,% 95# 9#59,%
’ 5 # !…………………………………………………………!#分
# #9 #
#$!解.%!’以$为坐标原点!建立如图所示的空间直角坐标系!则$%$!$!#’!(%#!!!$’!*%$!
!
#!!’!#%#!$!#’!1%$!#!$’!………………………………………………………………!分
!
++* ++* ++*
所以#1’%,#!#!,#’!(*’%,#!!!!’!$(’%#!!!,#’!…………………………#分
! !
++* ++* ++* ++* ++*
设#:’$#1’%,#$!#$!,#$’!则$:’$#5#:’%#,#$!#$!,#$’!…………1分
! ! ! ! ! !
设平面$(*的法向量为!’%"!%!&’!
!
++*
3!#$(’#"5%,#&’$!
!
则2 ………………………………………………………………%分
++*
4!#(*’,#"5%5&’$!
令"’1!得!’%1!#!%’!……………………………………………………………………7分
++* 1
依题意可得$:#!’3,3$5%$,=$’$!解得$’ ! …………………………………3分
! 7
1 1 3槡1
所以#:’ #1’ <#槡1’ ! ……………………………………………………"分
! 7 ! 7 7
++* 1++* 1
%#’因为#B’ #,’%$! !$’!……………………………=分
! !$ ! ! 7
++* ++* ++* 3 1 3
所以:B’#B,#:’% !, ! ’!…………………………2分
! ! 7 7 7
设直线:B与平面$(*所成的角为"!
!
++* 1 $#<1,!<#5#<%$
则+-."’$)*+/!!:B0$’ < ’
7 1
槡#2< 槡##5%,!’#5##
7
!!高三数学"参考答案"第""""7页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}%槡#2 %槡#2
!所以直线:B与平面$(*所成角的正弦值为 ! ………………………!#分
#2 ! #2
#!!解.%!’因为$1>$,$1>$’3’$>>$’=! …………………………………………!分
# ! ! #
所以根据双曲线的定义可知点1的轨迹为以> !> 为焦点!实轴长为3的双曲线的左支!
! #
………………………………………………………………………………………………#分
由#4’3!C’%!得4’1!6#’C#,4#’"! …………………………………………………1分
"# %#
所以,的方程为 , ’!%"’$’!………………………………………………………%分
2 "
"# %#
1注2,的方程也可以写为 , ’!%"/,1’!
2 "
%#’由题意可设5的方程为"’’%,%%’,$’!……………………………………………7分
设)%"!%’!D%"!%’!
! ! # #
3"’’%,%!
联立2"# %# 得%"’#,2’%#,73’%5%2’$!………………………………………3分
, ’!!
42 "
73’ %2
则%5%’ !%%’ !………………………………………………………"分
! # "’#,2 ! # "’#,2
% %
直线$).%’ ! %"51’!直线#D.%’ # %",1’!
"51 ",1
! #
% %
联立%’ ! %"51’与%’ # %",1’!
"51 ",1
! #
"51 %%"51’%%’%,%51’ ’%%,%
得 ’ # ! ’ # ! ’ ! # # ……………………………………=分
",1 %%",1’%%’%,%,1’ ’%%,"%
! # ! # ! # !
’%%,%%5%’5%
’ ! # ! # !……………………………………………………………………2分
’%%,"%
! # !
%2’ 73’ "’
, 5% , 5%
"’#,2 "’#,2 ! "’#,2 ! !
’ ’ ’, !………………………………!$分
%2’ "’ "
,"% ,"%, 5%’
"’#,2 ! "’#,2 !
2 2
解得"’, !故点:在定直线"’, 上!……………………………………………!!分
% %
2 2 2 #7
因为圆%",%’#5%%,7’#’ 的圆心到直线"’, 的距离为%5 ’ !
!3 % % %
#7 2 !!
所以$:B$的最小值为 ,槡 ’ !……………………………………………………!#分
% !3 #
##!%!’证明.设函数.%"’’@","%"&$’!则.0%"’’@",!!当"&$时!.0%"’&$!
所以.%"’为增函数!所以.%"’&.%$’’!!………………………………………………!分
4 4 "5!,4
-0%"’’@",", &!, ’ ! ……………………………………………#分
"5! "5! "5!
因为"&$!所以"5!&!!当4/!时!"5!,4&$!………………………………………1分
!!高三数学"参考答案"第""""3页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}"5!,4
所以-0%"’’ &$!所以-%"’在)$!5A’上为增函数!
"5!
故-%"’&-%$’’!!即当4/!时!-%"’&!对"-)$!5A’恒成立! …………………%分
%#’解.%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4 !………………………………………………………………7分
证明如下.
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不妨设"’"!由-%"’’-%"’!得4’ !………………………3分
! # ! # 9.%"5!’,9.%"5!’
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所以要证明%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4!只需证9.%" ! 5!’59.%" # 5!’’ # @ 4 !………………"分
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%方法一’设函数 % %"’’ "5! !则 %0%"’’ %"5!’# !
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易证 %@","’& !所以/0%"’/$!所以/%"’在%,!!5A’上单调递减!…………!!分
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所以 /!/@","!因为此连不等式的两个等号的取等条件不同!所以 ’
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从而 ’ %@","’!所以/0%"’’$!所以/%"’在%,!!5A’上单调递减!………
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