数学298C答案_2024届湖南省六市高三上学期1月金太阳期末统一考试（24-298C）_湖南省六市2024届高三上学期1月金太阳期末统一考试（24-298C）数学

#$#%届高三统一考试试题
数学参考答案
!!&"!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
因为#"#$!所以#’""$"##"#$$’""$"#$$!所以$%#’%$!!"&!
#!("!解析"本题考查三角函数的周期#考查数学运算的核心素养!
%’)*+%!,#"’!%’+-.#"的最小正周期均为!!但在%$!!’上不单调递减!%’/0.%!,"’的
"
最小正周期为!!且在%$!!’上单调递减!%’,+-. 的最小正周期为%!!
#
1!&"!解析"本题考查排列组合的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!
因为第一站不去株洲!所以第一站可以从长沙(衡阳(郴州(益阳这%个城市中选择!个!共有
%种选择!所以该旅游团四站的城市安排共有%&1’23种!
%
%!4"!解析"本题考查复数方程的求解与复数的模#考查数学运算的核心素养!
由&15&#5&5!’$!得&#%&5!’5&5!’%&#5!’%&5!’’$!因为-#’,!!所以&’6-或,!!
所以$&,&$的值为槡#或#!
! #
7!4"!解析"本题考查对数运算的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!
( ( !
当’’1!’’$87时!1,$87’,#879: #!则 #’ !则(’!$(!所以$87等星的亮度
# ! ( ( !$ ! #
! !
是1等星亮度的!$倍!
3!&"!解析"本题考查抛物线的定义的应用#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
因为)的准线方程为%’!!所以$$*$’!,%,%’’7!+5!’$#*$!因为*%$!,!’!
所以$$*$5$#,$5+’75$#,$5$#*$,!&%5$,*$’%5槡%1,$’#5%15!’#’2!当且
仅当#在线段,*上时!等号成立!所以$$*$5$#,$5+的最小值为2!
"!;"!解析"本题考查导数的几何意义#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
由-%"’’.%"’!得"1,"#5#"5%’$!设/%"’’"1,"#5#"5%!则/0%"’’1"#,#"5##
$%!’%,#%’$’!所以/%"’为增函数!因为/%,!’’$!所以$%,!!1’!
-0%"’’1"#!则-0%,!’’1!所以曲线%’-%"’在点$处的切线方程为%,1’1%"5!’!令"
!
’$!得%’3!令%’$!得"’,#!则所求三角形的面积为 <3<#’3!
#
=!;"!解析"本题考查正棱台的体积与二面角#考查空间想象能力
与运算求解能力!
如图!取$#的中点1!取$# 的中点1!连接11!,1!,1!
! ! ! ! ! !
则11($#!,1($#!所以二面角$2$#2, 的平面角
! ! ! ! ! ! ! ! ! !
为)11,!则)11,’3$>!设上底面与下底面的中心分别为
! ! ! !
!!高三数学"参考答案"第""""!页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}
书书书槡1 ! 槡1 槡1 ! #槡1
(!(!连接((!则1(’#< < ’ !1(’%< < ’ !过点1作13(,1!
! ! # 1 1 ! ! # 1 1 ! !
13 13 13
垂足为3!则)113’3$>!则 ’ ’ ’/0.3$>’槡1!则13’!!故该三棱
! 1 ! 3 #槡1 槡1 槡1
,
1 1 1
! 槡1 槡1 槡1 "槡1
台的体积为 <!<% <##5 <%#5 <#<%’’ !
1 % % % 1
2!&("!解析"本题考查直线与圆的位置关系#考查数学运算的核心素养!
$1<%,%4’,4,1$ "
依题意可设圆,的圆心坐标为%,%4!4’!则 ’槡!$!解得4’,!或 !
槡!$ !1
#= "
所以圆,的圆心坐标为%%!,!’或%, ! ’!
!1!1
!$!&;("!解析"本题考查立体几何初步中的点$线$面的位置关系#考查
空间想象能力!
如图!交线5!5!5的位置关系可能是重合!由三棱锥的三个侧棱相交
! # 1
于一点!可知交线5!5!5的位置关系可能是相交于一点!由三棱柱的
! # 1
三个侧棱两两平行!可知交线5!5!5的位置关系可能是两两平行!若
! # 1
有两条交线互相平行!则可证它们均与第三条直线平行!所以交线5!
!
5!5的位置关系不可能是恰有两条交线平行!
# 1
!!!&(4"!解析"本题考查平面向量的综合与基本不等式#考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
1 % ++* ++*
因为)*+)#$1’, !所以+-.)#$1’ !设$$#$’4!$$1$’6!则46+-.)#$1’
7 7
% ! 7 ! 7 7
46’%!解得46’7!则 ++* 5 ++* ’ 5 &#槡 ’#!当且仅当6’74’7时!等号成
7 $$#$ $$1$ 4 6 46
立!&正确!
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* 1++*
因为1(’1(,!#*’,#*,!所以$*’$#5#*’$#5#$1!$(’$151(’ $#5
%
++* ++* ++* ++* ++* 1++* ++* ++* ++* 1 ++* ++*
$1!所以($#*$’$(#$*’% $#5$1’#%$#5#$1’’ $$#$#5#$$1$#5
% %
7++* ++* 1 7 1 1 !7 !7 !7
$##$1’ 4#5#6#5 46<%, ’&#槡4###6#, ’槡346, ’7槡3, !
# % # 7 % # # #
1 ++* ++* !7
当且仅当 4#’#6# 时!等号成立!所以($#*$的最小值为7槡3, !
% #
(正确!
++* ++* ++*
如图!过点#作#3($1!垂足为3!则$#在$1上的投影向量为$3!当
++* ++* ++* 1
$#在$1上的投影向量为,$1时!$1’$3’ $#!因为46’7!所以
7
1 #7 ++* ++* ++* ++* ++* !3 ++* ++* 1
4#’7!得4#’ !则$##$,’$##%$#5$1’’4#,1’ !($#*$’ 4#5#6#,
7 1 1 %
!!高三数学"参考答案"第""""#页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}!7 1 7$ !7 1 #7 7$ !7 !2
’ 4#5 , ’ < 5 , ’ !;错误!4正确!
# % 4# # % 1 #7 # %
1
!#!&;4"!解析"本题考查函数的奇偶性与抽象函数#考查数学抽象与逻辑推理的核心素养!
! ! !
由条件可知-%"#,"’5-%"#5"’’$!因为.%"’’-%"#, ’!所以.% ,"’5.% 5
% # #
! 1
"’’$!且.%,"’’.%"’!可得.% ’’$!.%"5!’’,.%,"’’,.%"’!所以.% ’’
# #
!
,.% ’’-%#’’$!&!;!4均正确!
#
! ! !
取-%"’’)*+槡$"5 $!#!则-%"#5"’’)*+槡$"#5"5 $!#’)*+槡%"5 ’#!#’
% % #
! !
)*+$!"5 !$’)*+%!"5 !’’,+-.!"!此时-%"’满足-%"#5"’是定义在!上的奇函
# #
数!-%%’,$!所以(未必成立!
7!
!1!, "!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
!=
! 槡1 7! 7!
因为"-%, !$’!所以1"-%,!!$’!依题意得)*+1"’, !所以1"’, !解得"’, !
1 # 3 !=
!%!#!!"!解析"本题考查椭圆的性质#考查应用意识与数学运算的核心素养!
6# 槡1
因为7’槡!, ’ !所以4’#6!因为长轴长为=#)?!所以4’%!)?!6’#$87)?!故5’
4# #
#!65%%4,6’’%!!5=#’%!<18!%5=#’#!$8"%.#!!)?!
!7!)$8#!$8#3&"!解析"本题考查全概率公式的实际应用#考查应用意识与数学运算的核心素养!
若从该中学三个年级的学生中随机选取!名学生!则这名学生阅读完*红楼梦+的概率为
% 1 1
$8#< 5$8#7< 58< ’$8!775$818/$8#11!解得8/$8#3!因为
%5151 %5151 %5151
该中学高三的学生阅读完*红楼梦+的概率不低于高一的学生阅读完*红楼梦+的概率!所以
8&$8#!故8的取值范围是)$8#!$8#3&!
!3!1=%!"!解析"本题考查数列与不等式的交汇#考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学
思想!
$’"9$9#,#’95%/$$’"9$%9,’’#/’#,%$!
当’’!时!$’0!6’$,当’’#时!$’"#$!6’!,
! #
当’&1时!$’"9$’,槡’#,%/9/’5槡’#,%$!
% %
因为$’’,槡’#,%’ / ’1,槡7’!!
’5槡’#,% 15槡1#,%
所以’5槡’#,%,%#’,!’’!,%’,槡’#,%’#$!
又’5槡’#,%’’5槡’#’#’!所以6’#’,!!
’
!!高三数学"参考答案"第""""1页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}%75!#1’<%3#,#’
故数列"6$的前3#项和为$5!575"5-5!#1’!5 ’1=%!!
9 #
1$<!$$$
!"!解.%!’依题意可得 #’ ’#7$! …………………………………………………#分
!#$
则:%;&#7$’’$87!………………………………………………………………………1分
<的可能取值为$!!!#!:%<’$’’%!,$!7’#’$!#7!:%<’!’’#<$!7<%!,$!7’’$!7!
:%<’#’’$!7#’$!#7!……………………………………………………………………%分
所以<的分布列为
< $ ! #
: $!#7 $!7 $!#7
………………………………………………………………………………………………7分
%#’因为:%;’#%2’’$8!7!所以:%#%2’;’#7!’’%$87,$8!7’<#’$8"! ………"分
依题意可得="#%>!$8"’! ………………………………………………………………=分
所以1%=’’><$8"<%!,$8"’’$8#!>!………………………………………………2分
因为1%=’’%#!所以>’#$$!又>为正整数!所以>的最大值为!22!……………!$分
#, $,
!=!%!’证明.在1$#,中! ’ !…………………………………………!分
+-.)#$, +-.)$#,
,1 $,
在1$1,中! ’ !……………………………………………………#分
+-.)1$, +-.)$1,
因为$,平分)#$1!所以)#$,’)1$,!……………………………………………1分
又#,’,1!所以+-.)$#,’+-.)$1,! ………………………………………………%分
所以)$#,与)$1,相等或互补!………………………………………………………7分
%#’解.因为$#,$1!所以)$#,与)$1,互补! ……………………………………3分
在1$#,中!$,#’$##5#,#,#$###,#)*+)$#,’!1,!#)*+)$#,! ………"分
在1$1,中!$,#’,1#51$#,#,1#1$#)*+)$1,’7,%)*+)$1,!…………=分
所以!1,!#)*+)$#,’7,%)*+)$1,!
又)*+)$#,’,)*+)$1,!
!
所以)*+)$#,’ !………………………………………………………………………2分
#
则$,’槡!1,!#)*+)$#,’槡"!………………………………………………………!$分
! 1槡1
所以1$#,的面积?’ $###,+-.)$#,’ !…………………………………!!分
# #
#? 1槡1 7槡1,槡#!
故1$#,内切圆的半径@’ ’ ’ ! …………………!#分
$#5#,5$, 75槡" 3
9,!
!2!证明.%!’因为#95!%4 ,4,!’’9,!!所以4 ,4’ 5!!……………………!分
95! 9 95! 9 #95!
!!高三数学"参考答案"第""""%页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}95! 9 95! 9 9,! 95!,#9
所以4 5 ,%45 ’’4 ,45 , ’ 5!5 ’!!………1分
95! #95! 9 #9 95! 9 #95! #9 #95! #95!
9
所以"45 $是公差为!的等差数列!……………………………………………………%分
9 #9
! ! 9 9
%#’因为4’ !所以45 ’!!由%!’知45 ’9!则4’9, !…………………7分
! # ! # 9 #9 9 #9
! # 9
设A’ 5 5-5 !
9 # ## #9
! ! # 9
则 A’ 5 5-5 !………………………………………………………………3分
# 9 ## #1 #95!
! !
)!,% ’9&
! ! ! ! ! 9 # # 9 95#
所以A, A’ 5 5 5-5 , ’ , ’!, !……2分
9 # 9 # ## #1 #9 #95! ! #95! #95!
!,
#
95#
则A’#, ! …………………………………………………………………………!$分
9 #9
9%95!’ 9%95!’ 95#
所以?’ ,A’ ,%#, ’…………………………………………!!分
9 # 9 # #9
9#59,% 95# 9#59,%
’ 5 # !…………………………………………………………!#分
# #9 #
#$!解.%!’以$为坐标原点!建立如图所示的空间直角坐标系!则$%$!$!#’!(%#!!!$’!*%$!
!
#!!’!#%#!$!#’!1%$!#!$’!………………………………………………………………!分
!
++* ++* ++*
所以#1’%,#!#!,#’!(*’%,#!!!!’!$(’%#!!!,#’!…………………………#分
! !
++* ++* ++* ++* ++*
设#:’$#1’%,#$!#$!,#$’!则$:’$#5#:’%#,#$!#$!,#$’!…………1分
! ! ! ! ! !
设平面$(*的法向量为!’%"!%!&’!
!
++*
3!#$(’#"5%,#&’$!
!
则2 ………………………………………………………………%分
++*
4!#(*’,#"5%5&’$!
令"’1!得!’%1!#!%’!……………………………………………………………………7分
++* 1
依题意可得$:#!’3,3$5%$,=$’$!解得$’ ! …………………………………3分
! 7
1 1 3槡1
所以#:’ #1’ <#槡1’ ! ……………………………………………………"分
! 7 ! 7 7
++* 1++* 1
%#’因为#B’ #,’%$! !$’!……………………………=分
! !$ ! ! 7
++* ++* ++* 3 1 3
所以:B’#B,#:’% !, ! ’!…………………………2分
! ! 7 7 7
设直线:B与平面$(*所成的角为"!
!
++* 1 $#<1,!<#5#<%$
则+-."’$)*+/!!:B0$’ < ’
7 1
槡#2< 槡##5%,!’#5##
7
!!高三数学"参考答案"第""""7页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}%槡#2 %槡#2
!所以直线:B与平面$(*所成角的正弦值为 ! ………………………!#分
#2 ! #2
#!!解.%!’因为$1>$,$1>$’3’$>>$’=! …………………………………………!分
# ! ! #
所以根据双曲线的定义可知点1的轨迹为以> !> 为焦点!实轴长为3的双曲线的左支!
! #
………………………………………………………………………………………………#分
由#4’3!C’%!得4’1!6#’C#,4#’"! …………………………………………………1分
"# %#
所以,的方程为 , ’!%"’$’!………………………………………………………%分
2 "
"# %#
1注2,的方程也可以写为 , ’!%"/,1’!
2 "
%#’由题意可设5的方程为"’’%,%%’,$’!……………………………………………7分
设)%"!%’!D%"!%’!
! ! # #
3"’’%,%!
联立2"# %# 得%"’#,2’%#,73’%5%2’$!………………………………………3分
, ’!!
42 "
73’ %2
则%5%’ !%%’ !………………………………………………………"分
! # "’#,2 ! # "’#,2
% %
直线$).%’ ! %"51’!直线#D.%’ # %",1’!
"51 ",1
! #
% %
联立%’ ! %"51’与%’ # %",1’!
"51 ",1
! #
"51 %%"51’%%’%,%51’ ’%%,%
得 ’ # ! ’ # ! ’ ! # # ……………………………………=分
",1 %%",1’%%’%,%,1’ ’%%,"%
! # ! # ! # !
’%%,%%5%’5%
’ ! # ! # !……………………………………………………………………2分
’%%,"%
! # !
%2’ 73’ "’
, 5% , 5%
"’#,2 "’#,2 ! "’#,2 ! !
’ ’ ’, !………………………………!$分
%2’ "’ "
,"% ,"%, 5%’
"’#,2 ! "’#,2 !
2 2
解得"’, !故点:在定直线"’, 上!……………………………………………!!分
% %
2 2 2 #7
因为圆%",%’#5%%,7’#’ 的圆心到直线"’, 的距离为%5 ’ !
!3 % % %
#7 2 !!
所以$:B$的最小值为 ,槡 ’ !……………………………………………………!#分
% !3 #
##!%!’证明.设函数.%"’’@","%"&$’!则.0%"’’@",!!当"&$时!.0%"’&$!
所以.%"’为增函数!所以.%"’&.%$’’!!………………………………………………!分
4 4 "5!,4
-0%"’’@",", &!, ’ ! ……………………………………………#分
"5! "5! "5!
因为"&$!所以"5!&!!当4/!时!"5!,4&$!………………………………………1分
!!高三数学"参考答案"第""""3页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}"5!,4
所以-0%"’’ &$!所以-%"’在)$!5A’上为增函数!
"5!
故-%"’&-%$’’!!即当4/!时!-%"’&!对"-)$!5A’恒成立! …………………%分
%#’解.%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4 !………………………………………………………………7分
证明如下.
! !
@"#,
#
"#
#
,@"!5
#
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不妨设"’"!由-%"’’-%"’!得4’ !………………………3分
! # ! # 9.%"5!’,9.%"5!’
# !
所以要证明%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4!只需证9.%" ! 5!’59.%" # 5!’’ # @ 4 !………………"分
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5!’&#,)9.%"
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设函数/%"’’)9.%"5!’&#, %@", "#’!则/0%"’’ , %@","’!
@ # "5! @
#9.%"5!’ #)!,9.%"5!’&
%方法一’设函数 % %"’’ "5! !则 %0%"’’ %"5!’# !
当,!’"’@,!时! %0%"’#$,当"#@,!时! %0%"’’$!………………………………2分
# #
所以 % %"’ ?0B ’% %@,!’’ @ !所以 % %"’/ @ ! …………………………………………!$分
# #
易证 %@","’& !所以/0%"’/$!所以/%"’在%,!!5A’上单调递减!…………!!分
@ @
又"’"!所以/%"’’/%"’!
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# ! # !
则)9.%"
#
5!’&#,
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#
"#
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’’)9.%"
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5!’&#’
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%@"!,
#
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’!
从而%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4得证!…………………………………………………………!#分
@
%方法二’设函数8%"’’@9.%"5!’,",!!则80%"’’ ,!!当,!’"’@,!时!80%"’
"5!
#$!当"#@,!时!80%"’’$! ……………………………………………………………2分
所以8%"’ ’@9.@,%@,!’,!’$!所以@9.%"5!’/"5!!
?0B
@9.%"5!’ @9.%"5!’
所以 /!/@","!因为此连不等式的两个等号的取等条件不同!所以 ’
"5! "5!
@","!………………………………………………………………………………………!$分
#9.%"5!’ #
从而 ’ %@","’!所以/0%"’’$!所以/%"’在%,!!5A’上单调递减!………
"5! @
…………………………………………………………………………………………!!分
又"’"!所以/%"’’/%"’!
! # # !
# ! # !
则)9.%"
#
5!’&#,
@
%@"#,
#
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5!’&#,
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%@"!,
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"#
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’!
从而%" ! 5!’%" # 5!’’@ # @ 4得证!…………………………………………………………!#分
!!高三数学"参考答案"第"""""页#共"页$!%
{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}