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专题 02 一元二次函数、方程和不等式
（3 种经典基础练+3 种优选提升练）
等式性质与不等式性质（共10题）
一、单选题
1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的
外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过 ，设携带品外部尺寸长、宽、高
分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数
学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数 ， ， ，正确的命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 ， D．若 ， ，则
7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）若 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．若 且 ，则
C．若 ，则 D．
8．（23-24高一上·广西贺州·期末）若 ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高一上·安徽·期末）已知 ，则下列结论成立的是（）
A． B．若 ．则
C．若 ，则 D．
三、解答题
10．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知 ，求证： ；
(2)已知 ，求证： .
基本不等式（共14题）
学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（23-24高一上·浙江·期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
2．（22-23高一上·广东深圳·期末）若x，y满 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
4．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空
地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为2 D． 的最大值为8
6．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高一上·广东茂名·期末）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
8．（23-24高一上·河南安阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A． ，则 的最小值是2
B． ，则 的最小值是
C． ，则 的最小值是1
D． 的最小值为9
三、填空题
9．（22-23高一上·广东广州·期末）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数
的取值范围是 ．
10．（23-24高一上·河南·期末）已知 ，且 ，则 的最大值是 .
11．（21-22高一上·江西南昌·期末）当 时，函数 的最小值为 ．
四、解答题
12．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值．
13．（22-23高一上·陕西榆林·期末）已知 ， .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若 ，证明： .
学科网（北京）股份有限公司14．（22-23高一上·河南·期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ．
二次函数与一元二次方程、不等式（共20题）
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“ ，使 ”是真命题，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一上·河北保定·期末）关于二次函数 ，则下列正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．函数图象与x轴总有两个不同的交点
B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则
C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点
D．当 时，y随x的增大而增大，则
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知命题 ： ，则命题 成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于 的不等式. 的解集为 .
则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为 或
7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）对任意的 ，函数 的值域是 ．
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值是12 D． 的最小值是
8．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数 满足 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． 的最小值为8．
学科网（北京）股份有限公司B． 的最小值为
C． 的最大值为 ．
D． 的最小值为 ．
三、填空题
9．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值
范围为 .
10．（23-24高一上·江西九江·期末）设二次函数 的值域是 ，则
的最小值是 .
11．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式 对于任意实数x恒成立，实数
a的取值范围 ．
12．（22-23高一上·江苏淮安·期末）设 表示函数 在闭区间 上的最大值.若正
实数 满足 ，则正实数 的取值范围是 .
13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取
值范围是 .
14．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，
另一个根大于1，则a的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）（1）求不等式 的解集；
（2）求函数 的最小值．
16．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 的图象与 轴交于 ， 两点，求 的最小值.
17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题 ：实数 满足 ，其中 ，命
题 ：实数 满足 .
(1)若 ，且 和 都是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18．（22-23高一上·湖南邵阳·期末）已知二次函数 的图象过点 .
(1)求 的解析式，并写出 的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式 的解集．
19．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）设函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若 ，且 都有 ，求 的最大值.
学科网（北京）股份有限公司20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ，
.
(1)若 在区间 上最大值为2，求实数 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集.
最值问题（共9题）
一、填空题
1．（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最
小值为 .
2 ． （ 23-24 高 一 上 · 山 东 菏 泽 · 期 末 ） 若 、 、 、 均 为 正 实 数 ， 则
的最小值为 .
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数 且 ，则 的
最大值为 ，最小值为 ．
二、解答题
4．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ， .
学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，求 的最小值.
5．（23-24高一上·甘肃·期末）已知 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的最小值.
6．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，
是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找
到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体
求和等.
例如， ，求证： ．
证明：原式 ．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再
结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数 满足 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司解：由 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
的最小值为 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总
是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若正实数 满足 ，求 的最小值．
7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物
品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物
流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某
冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初
投资的 百万元在第 （ ，且 ）年产生的利润（单位：百万元）
，记这4百万元投资从2024年开始的第 年产生的利润之和
为 .
学科网（北京）股份有限公司(1)比较 与 的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
8．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度
开展促销活动，已知该款食品年销量 吨与年促销费用 万元之间满足函数关系式 （
为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3
万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：
“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食
品正好能销售完.
(1)求 值；
(2)将下一年的利润 （万元）表示为促销费 （万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润 销售收入 生产成本 促销费，生产成本 固定费用 生产费用）
9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，
同时满足：① 在 内是单调函数；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称
是该函数的“优美区间”.
(1)求证： 是函数 的一个“优美区间”；
(2)已知函数 （ ， ）有“优美区间” ，当 变化时，求出
的最大值.
学科网（北京）股份有限公司基本不等式的应用（共11题）
1．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，
它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版
矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
2．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距 （单位： ）正比于车速
（单位： ）的平方与车身长 （单位： ）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速
为 时，安全车距为 个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距 与车速 之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为 ，当速度为多少时该车队通过（第一辆车
头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为 的隧道用时最短?
3．（22-23高一上·湖北武汉·期末）某企业研发部原有 名技术人员，年人均投入 万元，现将
学科网（北京）股份有限公司这 名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名，调整后研发人
员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元
(1)要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前的 名技术人员的年总投入，求调整后的技
术人员的人数 最多为多少人?
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
求出正整数 的最大值.
4．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等
节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影
投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你
追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000 的如图长方体状的走马灯（题中不考虑
木料的厚薄粗细）．
学科网（北京）股份有限公司(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为 ，宽
为 ）
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
5．（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，
由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋
侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房
屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
6．（23-24高一上·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，
预计使用该设备后，前 年的支出成本为 万元，每年的销售收入98万元.使用若
干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格
处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？
学科网（北京）股份有限公司并说明理由.（注：年平均盈利额 ）
7．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个
社区 （忽略社区的大小）， 社区距离 上最近的点 的距离是 社区距离 上最近的点
的距离是 ，且 .点 是线段 上一点，设 .
现规划了如下三项工程：
工程1：在点 处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，且每平方千米造价为
亿元；
工程3：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，且每平方千米造价为1
亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度 （单位：
学科网（北京）股份有限公司千米/小时）和车流密度 （单位：辆/千米）所满足的关系式： ．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(1)若车流速度 千米/小时，求车流密度 的取值范围；
(2)隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 ，求隧道内车
流量 的最大值，并指出车流量最大时的车流密度 辆/千米．
9．（22-23高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为 ，
体育馆高 ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造
价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为 米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为 元
，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高一上·江苏无锡·期末）现有一个无盖长方体形箱体，如图所示，该长方体的长为2米，
宽为x米，高为y米．
(1)如果箱体容积为100立方米，那么至少需要多少平方米制箱材料；
(2)如果制箱材料为60平方米，那么怎样设计箱体能使箱体的容积最大?最大容积是多少?
11．（22-23高一上·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场
进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知
每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为 万元与总座椅数 千套，两者满足关系式：
．15年的总维修费用为80万元，记 为15年的总费用．（总费用=建造成本
费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用 最小，并求出最
小值．
学科网（北京）股份有限公司恒成立问题（共8题）
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数 ，对任意 都有
，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对于 ，不等式 恒成立，求x的取值范围．
3．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数 .
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 .
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设 .
(1)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 .
5．（22-23高一上·天津·期末）已知函数
(1)若 的解集为 ，求实数 的值；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求关于 的不等式 的解集.
6．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知 ．
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 的解集．
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数 .
(1)当 时，解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
8．（22-23高一上·浙江湖州·期末）已知函数 ， ．
(1)若对任意 ，不等式 恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意 ，存在 ，使得 ，求m的取值范围；
(3)若 ，对任意 ，总存在 ，使得不等式 成立，求实数k的取
值范围．
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