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高三年级 12 月阶段性测试
数学参考答案及解析
三、填空题
12． 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由母线与底面所成角是
知 ， ，所以体积 ，故 ，化简可得 ，所以
．故答案为 ．
13． 【解析】如图所示，注意到 为图象中的失去一组对边的实心矩形，
即圆心坐标为 ，半径为 的圆或点 ,当 时显然题设不成立，由题意知圆必
与矩形有无穷个公共点，故应有 ，易知 ， ，故由
解得 ．故答案为 ．
14．3【解析】由 ，得 ，取倒数得： ，所以
，
所 以 ， 又，所以数列 单调递增，由 ，可得： ，
， ， ， ，
显然 ，所以不超过 的最大整数是3．故答案为3．
四、解答题
15．解:（1） ，取 ，（2分）
则 ，（5分）
注意到 ，故此时有 ．（7分）
（2）由条件可知 ， ，（8分）
注意到 ，
，可知 ，于是 ，（10分）
故 ，
于是 ，当且仅当 时，等号成立，（12分）
故 的最小值为 ．（13分）
16．解:（1）1，1，2，2，4，2．（6分）
绘制如图．（7分）（2）设 为素数，则不超过 且与 不互质的正整数只有 的倍数．所以互质的数的数
目为 ．（12分）
故 ，故数列 为公比为 的等比数列．（15
分）
17 ． 解 ： （ 1 ） 由 中 点 性 质 可 知 ， 由 余 弦 定 理 得
，（4分）
即 ．（5分）
（ 2 ） 方 法 一 ： 显 然 ， 而 ， 由 正 弦 定 理 得
，即 ，（7分）
于是
，（11分）
而 ，故
．（14分）
由 知 ， 故 ． 即．（15分）
方法二：注意到 ，于是 ，（9分）
而 ，（11分）
故 ，而 ，（12分）
于是
． ．（15分）
18．解:（1）由 ， ， 平面 ， 平面 ，
知 平面 ，（2分）
由 平面 知 ，（3分）
由 ， ， 平面 ， 平面 可知 平面
，（4分）
而 ，由 ， 是 ，
的方向向量得 ，（6分）
由 ， ， 平面 ， 平面 ，可得 平面．（7分）
（2）（i）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的
方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，（8分）
则 ， ， ， ， ， ．设
，由 得
，解得 ，（11分）
于是 ，显然 ，可得 ， ， 三点共线．（12分）
【注：若用几何法则该问满分4分，最后一问进行建系得1分，剩余分值不变．】
（ii）注意到 ， ，显然平面 的一个法向量为
，（13分）
记平面 的一个法向量为 ，，即 ，可取 ．（15分）
记平面 与平面 的夹角为 ，则 ．（17
分）
19 ． 解 : （ 1 ） 函 数 的 定 义 域 为 ， ． 方 程
的判别式 ．当 时，若 ，则 ，函数无
极值点；若 ，则 ，且二次项系数 ，故 恒成立，即
，函数无极值点．（1分）
当 时， ，且 ，故方程有一正一负两根．由于定义域为 ，仅有
一个正根 ．当 时， ；当 时， ．故 为极大值点．
此时有1个极值点．（2分）
当 时， ，且两根之和 ，两根之积 ，方程有两个不相等
的正实根 ，此时有2个极值点．（3分）
综上所述，当 时，极值点个数为0；当 时，极值点个数为1；当 时，极
值点个数为2．故 的取值范围为 ．（4分）
(2)由于 ，故 恒为函数的一个零点．（5分）
当 时，函数有两个极值点 ．设 ，则 ，且 ，故． 在 上单调递增．又 且 ，所以 是该区
间唯一零点．此时 ．当 时，有 且 ，又 ，故
恒成立，故当 时，函数只有1个零点．（7分）
当 时，函数有唯一的极大值点 ．若 ，则 ．此时 满足 ，
即 ．当 时，极大值点即为零点，函数只有1个零点．（8分）
若 ，则极大值 ． 在 单调递增，在 单调递减，当
时 ， ， 即 ， 取 ， 且
，由于 ，故 ．又 ，所以 ．易知
，则 ，即 ．因为 ，故
．若 ，则 落在 或 ．在 上 ，与 矛盾；
在 上 ，但 ，矛盾．故 ．故根据零点存在性定理，在区间
内存在一个零点．即 时存在2个零点．（9分）
当 时， ．即 ，取 ． ，令
， 则 ． 此 时 ， ， ． 设 ( ) ，
． 当 时 ， ． 故 在 单 调 递 减 ，
，即 ．设 ，且 是的唯一正根．因为 ，抛物线开口向下， ，故当 时 ．
，由 且 ，可知 ．故根据零点存在性定理，在
区间 内存在一个零点．（10分）
综上，当 或 时，有1个零点；当 且 时，有2个零点．
（3）不妨记所有零点之和为 ，所有极值点之和为 ．当 时，零点仅有 ，故
．极值点为 ，由韦达定理 ，故 ．此时 ，即 ．
（11分）
当 时，零点仅有 ，故 ．极值点为 ，故 ．此时 ，即
．（12分）
当 且 时， 有两个零点 (设 )，其中一个为1，另一个记为 ，则
． 极 值 点 仅 有 ， 故 ． 由 单 调 性 知 ， 且 满 足
，即 ．设 ．
，
将 代入得 ．
因为 ，所以 恒成立， 在 上单调递增，又 ，即 ．（15分）
显然 ，取较小的零点 ， ，因为 ，且 ，所以
，又 与 均在区间 上，且在此区间上 单调递减，故
，即 ，即 ．
综上，当 时，所有零点之和等于所有极值点之和的2倍；当 时，所有零点之和
小于所有极值点之和的2倍；当 且 时，所有零点之和大于所有极值点之和的 2
倍．（17分）
