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机密★启用前 【考试时间：12月28日 15:00-17:00】
昆明市第一中学 2024 届高中新课标高三第五次二轮复习检测
数学试卷
命题人：昆一中数学命题小组
命题人：杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、
草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的谷题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无放.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C.2 D.
2.已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
3.古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的
一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，
所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.与直角圆锥的母线长有关
4.下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司5.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若 ， ，则 （ ）
A. B. C.1 D.
7.若曲线 存在平行于 轴的切线，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.四张外观相同的奖券让甲、乙、丙、丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（ ）
A.四人中奖概率与抽取顺序有关
B.在丁未中奖的条件下，甲或乙中奖的概率为
C.事件“甲或乙中奖”与事件“丙或丁中奖”为对立事件
D.事件“丙中奖”与事件“丁中奖”相互独立
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小颔给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知由样本数据 （ ）组成的一个样本，得到经验回归方程为 且 ，
去除两个异常数据 和 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ）
A.相关变量 ， 具有正相关关系
B.去除异常数据后，新的平均数
C.去除异常数据后的经验回归方程为
D.去除异常数据后，随 值增加， 的值增加速度变小
10.下列命题错误的是（ ）
A.已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 ，则
学科网（北京）股份有限公司B.已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 与 的夹角为 ，则 与 所成角为
C.若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
D.若在平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 平面
11.半圆形量角器在第一象限内，且与两坐标轴分别相切于 ， 两点.设量角器的直径 ，圆心为 ，
点 为坐标平面内一点.下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.当点 与点 重合时， 与 的夹角为
D. 的面积为2
12.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 （ ）与椭圆相交于点 ， 两点，
则（ ）
A.当 时， 的面积为 B.不存在 ，使 为直角三角形
C.存在 使四边形 面积最大 D.存在 ，使 的周长最大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时， ______.
学科网（北京）股份有限公司14.函数 则关于 的不等式 的解集为______.
15.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 （ ）在 上， ，若直线
与 交于另一点 ，则 的值为______.
16.给定数列 ，定义 上的加密算法 ：当 为奇数时，将 中各奇数项的值均增加 ，各偶数项的值均减
去1；当 为偶数时，将 中各偶数项的值均增加 ，各奇数项的值均减去2，并记新得到的数列为 （
）.设数列 ：2，0，2，3，5，7，数列 （ ）.则数列 为______；数列 的
所有项的和为______.（第一空2分.第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，且 ，过直线
的平面与棱 ， 分别交于点 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（12分）
已知点 到椭圆 ： 的左焦点和右焦点的距离之比为 .
（1）求点 的轨迹方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）若直线 与 的轨迹相交于 ， ，与椭圆 相交于 ， ，求 的值.
19.（12分）
已如 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）苦 ，求 的周长；
（2）求 的取值范围.
20.（12分）
某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05.如果对每个人的
血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个
人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性：如果混合呈阳性，就需要对每个人再分
别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？如果能减少化验次数，大约能减少多少次？
（2）如果㛿带病毒的人只占0.02，按照 个人一组， 取多大时化验次数最少？此时大约需化验多少次？
附参考说明：（ ）， （ ）先减后增
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
21.（12分）
已知数列 满足 ， 数列 满足 .
（1）求 ， 的值及数列 的通项公式；
（2）若 （ ， ），求 的取值范围；
（3）在数列 中，是否存在正整数 ， ，使 ， ， （ ， ， ）构成等比数列？
若存在，求符合条件的一组 的值，若不存在，请说明理由.
22.（12分）
设 ， 为函数 （ ）的两个零点.
学科网（北京）股份有限公司（1）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）证明： .
昆明一中 2024 届高三第 5 次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序
杨耕耘
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D C B C C
1.解析：因为 ，所以 ，选D.
2.解析：因为 ， ，选A.
3.解析：设直角圆锥底面半径 ，直角圆锥母线 ，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 ，
由直角圆锥的定义可得， ，则 ，由 可得， .选
B.
4.解析： 在 （ ）上单调递增， 在
（ ）上单调递增， 在 （ ）上单调
递增， 在 （ ）上单调递增，则A，B，C错，选D.
学科网（北京）股份有限公司5.解析：因为直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，所以 ，又因为点 在圆
上，所以圆心为 ，则圆心到直线距离 ，故点 到直线
的距离 的范围为 ，则 ，选C.
6.解析：由题意得 ，将 代入 ，得
， ，则 ，选B.
7.解析：由题意， 在 有解，则 有解，因为
在 上单调增，得 ，则 ，选C.
8.解析：因为每个人中奖的概率都为 ，与抽取的顺序无关，所以A错误；令“丁未中奖”为事件A，“甲
或乙中奖”为事件B，则 ， ， ，所以B错误；因为事
件“甲或乙中奖”与事件“丙或丁中奖”不可能同时发生且至少有一个发生，所以它们为对立事件，C正确；
N
设“丙中奖”为事件 ，“丁中奖”为事件 ，则 ，因为只有一张奖券可以中奖，所
以事件M，N不可能同时发生，所以 ，所以 所以事件M，N不相互独
立，所以D不正确，选C.
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD ABD CD
9.解析：因为回归方程的斜率为正，所以相关变量 ，y具有正相关关系，所以A正确；由 代入
得 ，去除两个异常数据 和 后，得到新的 ，
学科网（北京）股份有限公司，所以B错误；又因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以由
，所以去除异常数据后的经验回归方程为^y=3x−3.2
，故C正确；因为经验回归
直线的斜率为正数，所以变量 ，
y
具有正相关关系，去除异常数据后，斜率增大， 值增加的速度变大，D
错误，选AC.
10.解析：对于A：由题意可得 或 ，故A错误；
对于B：由图象可得 ，则 ；所以 ，根据线面角的定义可得： 与 所
成角为 ，故B正确；
对于C：若点恰好在交线上，则不一定垂直于另一个平面，当且仅当点不在交线上时，根据面面垂直的性质
定理，才可得到垂线垂直于另一个平面，故C错误；
对于D：当平面 内存在不共线的三点在平面 的同侧且平面 的距离相等，可得平面 平面 ；当平面
内存在不共线的三点在平面 的两侧时，若到平面 的距离相等，则平面 与平面 相交，所以D错误；
选ACD
11.解析：由题，有
对于Ａ，因为 ，Ａ正确
对于Ｂ，因为 ， ，所以 ，
，两式相加得 ，所以
，Ｂ正确
对于Ｃ，当点 与点 重合时， 与 的夹角为 ，Ｃ错误
学科网（北京）股份有限公司对于Ｄ， 的面积为2，Ｄ正确
选ABD
12.解析：因为当 时， 的面积为 ，所以A错误；因为当 时， ，
，当 时， ， ，根据对称性，存在 使 为直角
三角形，所以B错误；根据椭圆对称性可知，当 时，四边形 面积最大，
所以C正确；由椭圆的定义得：
的周长 ，因为
，所以 ，当 过点 时取等号，
所以 ，所以直线 （ ）过椭圆的右焦
点 时， 的周长最大，所以D正确，选CD.
三、填空题
13.解析：当 时， ， ，得 .
14.解析：当 时， 恒成立；当 时， 的解集为 ；综上， 的解集为
.
15.解析：因为 ，所以 ；又因为 ，所以 ，所以
.
16.解析：由题知， ，1为奇数，所以 ：3， ，3，2，6，6，
，2为偶数，所以 ：1，3，1，6，4，10，
因为 ， 为偶数， 为奇数，
所以对于偶数项， ， ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 为等差数列，得数列 中：
第2项为： ，
第4项为： ，
第6项为： ；
对于奇数项， ， ，得 ，
则 为等差数列，得数列 中：
第1项为： ，
第3项为： ，
第5项为： ，
所以 所有的项的和为
.
所以 为：1，3，1，6，4，10； 的所有项的和 .
四、解答题
17.解：（1）证明：因为四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 且 平面 ，所以 ，
所以 .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系 .
学科网（北京）股份有限公司z
P
F
A E D
B
C
x y
由（1）知 且 ，则 ，
则 ， ， ， ， ，
，所以 ， ， ，
，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，得 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为
.
18.解：（1）由题意得， ，所以左焦点为 ,右焦点为 .
设点 的坐标为 ，则 ,化简得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）由（1）得，点 的轨迹方程为 ,所以圆心到直线 距离为 ，
所以直线 与 相交的线段 ，
联立直线 与 的轨迹方程，
学科网（北京）股份有限公司,得 ，
由根与系数的关系得 ，
曲线 相交的线段
直线
所以 .
19.解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ， 的周长等于9.
（2）由余弦定理得： ，又由（1） 得： ，
所以 ，
而 （当且仅当 时取“ ”），
所以 ，
（当且仅当 ，即 为正三角形时，取“＝”），
又因为 ，余弦函数 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， .
20.解：（1）依题意：每5人一组需要验血次数 的所有可能取值为1，6.
所以： ， .
所以 的分布列为：
1 6
所以 .
所以共需要化验次数大约为： （次）.
故大约减少 （次）.
（2）假设 个人一组，设每个人需要化验的次数为 ，
若混合血样呈阴性，则 ，若混合血样呈阳性，则
所以 的分布列为：
所以 （ ）.
因为 先减后增，
，∴ .
，∴ .
所以当 时， 最小，最小值为： ，
学科网（北京）股份有限公司此时大约需要化验： 次.
21.解：（1）由已知得： ，
.
因为 ， ，所以 ，
而 ，所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）不等式 化为： ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，因为 在 上恒成立，所以
，所以 的取值范围为 .
（3）若 ， ， （ ， ， ）构成等比数列，则 ，
即： ，所以 ，
由于 ， 均为正整数，所以奇数 必须是完全平方数，
又因为 ，所以 ，且 （ ），
所以，当 时， ， ，即： ，不满足题意，舍弃；
当 时， ， ，即： ， ，不满足题意，舍弃；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，即： ， ，
所以符合条件的一组 的值可以是 .
（注： ， ，…即 的奇数均可，答案开放，满足题意的一组值即可）
22.解：（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递减，在 单调递增，
故要使 有两个零点，则需 ，故 ，
当 时，因为 ，又 ，
故 在 内存在唯一零点，又 ，故 在 内存在唯一零点，
则 在 上存在两个零点，故满足题意的实数 的取值范围为 ；
（2）证明：由（1）可设 ，由 可得 ，
令 ，解得 ，构造 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递减，在 单调递增，故 ，即 ，
令 ， ， ，故 在定义域内单调递减，
学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ， ，故 ，
则 ，证毕.
学科网（北京）股份有限公司
