文档内容
新高二开学摸底考试卷
数学•全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得集合 ，可求得 .
【详解】依题得 ，则 ．
故选：C.
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 可得 ，解得 ，
所以由 推得出 ，故充分性成立；
由 推不出 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3．如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.
【详解】由题意可知， ，所以 ，
又 ，即 .
因为 三点共线，所以 ，解得 .
故选：D.
4．若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程 ，再设与曲线 相切
的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 的值，
进而得到 的值.
【详解】由曲线 ，得 ，
在 处的切线斜率为 ，当 时， ，
曲线 在 处的 ，即 ，
曲线 ，导数为 ，
设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上，
即有 ，得 .
故选：A.
5．已知函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由 是 上的增函数，得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：B
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先对 进行化简整理，得到 ，求得结果.
【详解】
，
所以 .
故选：A.
7．已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即
可求得答案.
【详解】由题意知 时， ， 在 上单调递增，最小值为 ，
时， ， 单调递减，在 上无最小值．
则由已知需满足 ，即 ，设 ，易知该函数为R上的增函数，且 ，从而 ．
故选：A．
8．已知函数 ， ，若 存在3个零点，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解.
【详解】
令 ，即 ，
则函数 的零点个数即为函数 与函数 交点的个数，
做出函数 与函数 的图像，如图所示，
当直线 与曲线 相切时，
又当 时， ，则 ，则 ，则 ，即且点为 ，此时 ，
因为 存在3个零点，即函数 与函数 的图像有3个交点，
所以 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余
弦函数的零点对选项逐一判定即可．
【详解】 时， ，因为 ，
所以 关于 对称，故A正确；
时，由 可得 ，
根据余弦函数的单调性可知 的最大值为 ，故B错误；
若 ，则 ， ，所以 ， ，且 ，
所以 的最小值为1，故C正确；
因为 在 上单调递减，且 ，
根据余弦函数的单调性可知 的单调递减区间为：
， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：ACD．
10．若定义在 上的偶函数 ，对任意两个不相等的实数 ，都有
，则称 为“ 函数”，下列函数为“ 函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【分析】通过分析可得“ 函数”满足两个条件，即 是定义域为 的偶函数，且 在 上为
增函数，然后再对各选项进行判断.
【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数 ，都有 ，
变形可得 ，即 ．
若 ，则 ，可得 ，
即 在 上为增函数．
又 为偶函数， 在 上为减函数．
对于选项 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，不符合题意．
对于选项 ，函数 的定义域为 ，且 为偶函数．
，当 时， 在 上为增函数，符合题意．
对于选项 ，函数 的定义域为 ，不符合题意．
对于选项D，易知 的定义域为 ，且 为偶函数．
易知当 时， 单调递增， 符合题意．
故选：BD.
11．定义： 是函数 的导数，若方程 有实数解，则称点 为函数 的
“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知
函数 的对称中心为 .则下列选项正确的有（ ）
A．
B． 的值是
C．函数 有一个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
【答案】BD
【分析】求出函数的一阶导数 ，二阶导数 ，令 ，依题意可得 且 ，
即可求出 、 的值，从而判断A，根据对称性得到 ，利用倒序相加法判断B，利用
导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为 ，利用导数的
几何意义求出切线方程，判断关于 的方程的根的个数即可判断D.【详解】由 ，所以 ， ，
令 ，得 ，由函数 的对称中心为 ，
所以 且 ，解得 ，故A错误；
因为 的对称中心为 ，
即 ，
令 ,
则 ，
所以 ，所以 ，故B
正确；
因为 ，则 ，
所以当 时， ，当 或 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ；
又 ，即 ， ，
所以 在 和 上存在零点，所以函数 有三个零点， 故C错误；
设切点为 ，则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
化简得 ，令 ，
则 ，
当 或 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，而 ， ， ， ，所以 有
3个零点，即方程 有3个不等实根，所以过 可以作三条直线与 图象
相切，故D正确.故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量 ， ， ，若 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.
【详解】因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
所以 .
故答案为： .
13．一艘游轮航行到 处时看灯塔 在 的北偏东 ，距离为 海里，灯塔 在 的北偏西 ，距离
为 海里，该游轮由 沿正北方向继续航行到 处时再看灯塔 在其南偏东 方向，则此时灯塔 位
于游轮的 方向 用方向角作答
【答案】南偏西
【分析】由正弦定理得到 ，由余弦定理得 ，从而由正弦定理得到 ，结合
，得到 ，得到答案.
【详解】如图，在 中， ，
由正弦定理得 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以解得 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
故 或 ，
因为 ，故 为锐角，所以 ，
此时灯塔 位于游轮的南偏西 方向．故答案为：南偏西
14．若 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助 、 表示出 ，从而消去 ，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由 ，则 ，
即
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
15．已知平行四边形 中， ，点 是线段 的中点.
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【详解】（1）
（2） ，
，
，
，
即 ，解得： .
16．已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.【详解】（1）若 ， ， ，
令 ，因为 ，所以 ，
令 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ；
（2）因为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 的取值范围是 .
17．已知在 中， 的面积为 ．
(1)求角 的度数；
(2)若 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当 取到最小值时，求 的
值．
【详解】（1）设 ，则 ，又 ，因此 ，
由 为 的内角，所以 .
（2）由（1）知， ，又 ，则 ，因此 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，在 中，由正弦定理得 ，
，
显然 ，则有 ，因此当 时， 取到最小值，
此时 ，即 ，
所以 的值 .
18．已知 ，其中 ， .
(1)若 ，函数 的最小正周期T为 ，求函数 的单调减区间；
(2)设函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，求函数的最小正周期T，并求
的解析式.
【详解】（1）由题， ，解得 ，故 .
令 ，
所以 的单调减区间为 .
（2）由题，可得 ， ，
因此， ，又 ，得 .由 ，得 .
再将 代入 ，即 .
由 ，解得 .
因此 的解析式为 .
19．已知函数 ，其中实数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围；
(3)当 时，证明： .
【详解】（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以函数 图象在 处的切线方程为 .
（2）当 时， ， ，
当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递增，无最大值；
当 时，由 ，得 ，函数 在 上单调递增，
， ，则0不可能是 在 上的最大值；
当 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，因此函数 在 上单调递减，
， ，即0是 在 上的最大值，
所以 的取值范围 .
（3）当 时， ，不等式 ，
令函数 ，求导得 ，
显然函数 在 上单调递增，而 ，
则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，
所以 恒成立，即 成立.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、
极(最)值问题处理.
