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大庆实验中学实验三部 2021 级高三阶段考试（二）
数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合 ，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：A.
2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数 的共轭复数是
C. 的实部为5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复平面内对应的点，得复数 ，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，
验证各选项的结论.
【详解】复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ，
，A选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司，B选项正确；
， 的实部为-3，C选项错误；
，D选项错误.
故选：B
3. 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p即可
【详解】双曲线 的焦点坐标 ，
抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点，
所以 ，可得 ．
故选：C．
4. 设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A项，若 ， ， ，则 ，A项正确；
对于B项，若 ， ，可能 和 相交，B项错误；
对于C项，若 ， ，直线 可能在平面 内，C项错误；
对于D项，若 ， ，直线 可能在平面 内，D项错误.
故选：A.
5. 数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】 为递增数列，则 对于任意 恒成立，由不等式求 的取值范围即可.
【详解】数列 的通项公式为 ， 为递增数列，
则 对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，故 ，
则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件.
故选：D
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】切化弦，结合 得出 ，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D．
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，应用导数得其单调性，可判断 ，再结合指数函数
的单调性即可判断.
【详解】根据题意，构造函数 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
因此可得 ，即 ，
所以 ，
又指数函数 为单调递增，可得 ，即 .
因为 ，所以 ，
故选：A.
8. 已知 为坐标原点，椭圆 的左､右焦点分别是 ，离心率为 . 是
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学科网（北京）股份有限公司椭圆 上的点， 的中点为 ，过 作圆 的一条切线，切点为 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆 的方程为 ，设 ，再由圆
的切线长的性质，求得 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ，因为 的中点为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ，
设 ，则 ，所以 ，其中 ，
连接 ，因为圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又因为 为圆 的切线，切点为 ，所以 ，且 ，
可得
，
因为 ，所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至
少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.
9. 已知 ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 的最小值为2
D. 若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.
【详解】已知 ，
若 ，则 ，解得 ，A选项正确；
若 ，则 ，解得 ，B选项正确；
， ，
当 时， 有最小值 ，C选项错误；
当 时， ， ，
向量 与向量 的夹角为 ，D选项错误.
故选：AB
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知函数 .记 ，则下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A. 当 时，
B. 函数 的最小值为-1
C. 函数 在 上单调递减
D. 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根，则 或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由定义作出函数 的图像，结合图像验证选项中的结论.
【详解】在同一直角坐标系下作出函数 和 的图像，
的
由函数 定义，得 的图像如图所示，
结合图像可知，当 时， ， ， A选项正确；
函数 的最小值为-1，B选项正确；
函数 在 上单调递增，C选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根，则 或 ，D选项正确.
故选：ABD
11. 过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，且该直线与 轴的交点为 ，
若 （ 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意画出图形，首先得出渐近线方程，由点到直线的距离公式表示出 ，再进一步表示出过
由焦点且与渐近线垂直的直线，令 可得 ，结合离心率公式化为齐次不等式求解即可.
【详解】
由题意不妨设渐近线 的方程为 ，点 ，其中 ，
所以过点 且和渐近线 垂直的方程为 ，令 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由点到直线的距离公式可知 ，
由题意 ，即 ，而 ，
所以 ，解得 ，
对比各个选项可知该双曲线的离心率的可能取值是2， ， .
故选：ABC.
12. 如图，已知正方体 的棱长为 为底面正方形 内（含边界）的一动点，则
下列结论正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
的
C. 当点 在棱 上时， 最小值为
D. 若点 到直线 与到直线 的距离相等， 的中点为 ，则点 到直线 的最短距离是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，当点P与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于 B选项，由P到上底
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学科网（北京）股份有限公司面的距离是定值即可判断；对于 C 选项，将平面 沿 旋转至平面 共面，即可得到
的最小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点P的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点
到直线的最小距离，从而得解.
【详解】对于A选项，如图，连接 ， ，
因为在正方体 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为 为正方形，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
所以当点P与A重合时， 平面 ，故A正确；
对于B选项，三棱锥 的体积就是三棱锥 的体积，而P到上底面的距离是定值，
所以三棱锥 的体积是定值，故B正确；
对于C选项，当点P在棱 上时，把平面 沿 旋转，
使得旋转面与平面 共面，连接 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司此时 取得最小值 ，在 中， ， ，
则 ，故C错误；
对于D，由点P到直线 与到直线 的距离相等，
可知P在以 为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ，P的轨迹是抛物线，其方程为 ，
因为CD的中点为E， 、 ，
的
所以AE 方程: ，与AE平行的抛物线的切线方程设为 ，
联立 ，可得 ，
则由 ，解得 ，可得切线方程为 ，
则点P到直线AE的最短距离为 ，故D正确；
故选：ABD.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，
从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解.
第II卷（非选择题，共90分）
三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置
13. 直线 与直线 垂直，且被圆 截得的弦长为2，则直线 的一个方程
为__________（写出一个方程即可）
【答案】 （或 ）
【解析】
【分析】根据直线垂直的斜率关系得 的斜率，设出直线方程，然后根据弦长公式和点到直线的距离公式
可得.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以，直线 斜的率为 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
圆 的圆心为 ，半径为 .
圆心到直线 的距离 ，
则有 ，解得 或 ，
故直线 的方程为 或 .
故答案为： （或 ）
14. 如图，在正三棱柱 中， 分别是 和 的中点，则直线 与
所成的角余弦值为__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】分别取 中点 ，易证得四边形 和 均为平行四边形，根据平行关系可
知所求角为 或其补角，利用余弦定理可求得结果
【详解】分别取 中点 ，连接 ，因为三棱柱 为正三棱柱，所
以 为等边三角形，
设 ，, ，
所以四边形 和 均为平行四边形， （或其补角）即为
直线 与 所成角；
,
又 ，
,
所以直线 与 所成的角余弦值为 ,
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知数列 满足： ，设数列 的前 项和为 ，若对
于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】已知条件求出 ，裂项相消求出 ，由不等式 恒成立，列不等式求实数 的取
值范围.
【详解】数列 满足： ，
时 ，
时， ，
得 ，即 ，
时也满足 ，则有 .
，
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学科网（北京）股份有限公司，
不等式 恒成立，即 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
16. 设函数 ，若不等式 有且只有三个整数解，则实数 的取值
范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把不等式转化为 ，令 ，求得 ，令
，得到 ，结合 ，得到存在唯一的 使得
，得出函数 的单调性，结合 的值和题设条件，得出
，即可求解.
【详解】由函数 ，若不等式 ，即 ，
因为 ，可化为 ，令 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，所以 在R上单调递增，
又由 ，所以存在唯一的 使得 ，
当 时， ，可得 ，所以 单调递减，
当 时， ，可得 ，所以 单调递增，且 ，
又因为 ，
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有 ，
解得 ，即实数的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分
离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案
填在答题卡的相应位置.
17. 已知函数 （其中 ）的部分图像如图所示，将函数 的图
象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 与 的解析式；
（2）令 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期 和 的值，可求出 ，再将点 代入函数解析式，
结合 可求得 ，写出 ；再由 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图
象；
（2）用辅助角公式和诱导公式得出 ，再利用正弦函数的递增区间得出x的取
值范围.
【小问1详解】
由图像可知 ，
所以 ，
又图像过点 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以
【小问2详解】
因为 ，
所以 所以
，
解得 ，
单调递增区间为
18. 如图所示，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，点 S 在以 为直径的半圆上，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明线面垂直， 平面 ，根据平面与平面垂直的判定可证结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.
【小问1详解】
设 的中点为O，连接 ， ．
因为 为等腰直角三角形，且 ，
所以 ， ，且 ．
因为S在以 为直径的圆上，所以 ．
故 ，故 ．
又因为 ，直线 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
以O为坐标原点， ， 所在直线分别为x，y轴，
过点O且垂直于平面 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ．
由 得 ，
所以 ，
从而得 ，所以 ．
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
不妨取 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
19. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）求 的 边中线 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.
（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.
【小问1详解】
由题意 ，结合已知有 ，
所以 ，而 ，
所以 ，而 ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意 ，
所以 ，
而由余弦定理有 ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，所以 ，
即 的 边中线 的最大值为 .
20. 已知 为数列 的前 项和， 且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用 与 的关系可得 ，再利用等差数列的定义及条件
即求；
（2）由题可得 ，再分组求和即得.
【小问1详解】
当 时， ，又 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
化简，得 ，即当 时， ，
所以 为等差数列，
又 ， ，
所以公差 ，所以 ．
【小问2详解】
由（1）知 为以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，
所以
．
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学科网（北京）股份有限公司21. 在平面直角坐标系 中，抛物线E： 的焦点为F，E的准线交 轴于点K，过K的直
线l与拋物线E相切于点A，且交 轴正半轴于点P.已知 的面积为2.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足 .
证明：直线 过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意假设得直线l： ，联立抛物线方程求得， ，再利用三角形面
积即可求得 ，由此得解；
（2）根据题意设得 ： ，联立抛物线方程求得 ，再依次求得T，H的坐
标，从而求得直线 的方程，化简可得 为 ，由此得证.
【小问1详解】
由题可知， ，准线 ， ，
因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l： ，
联立 ，消去x，得 ，
因为l与E相切，所以 ，所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为交y轴正半轴于点P，所以 ,
因此 ，解得 ，所以 ，
故 ，所以 ，所以 （负值舍去），
所以抛物线E的方程为 .
【小问2详解】
由（1）知 ，又l： ，所以 ，
如图所示：
因为过点P的直线交E于M，N两点，所以 斜率存在且不为零，
所以设 ： ， ， ，
联立 ，消去x，得 ，
则 ，所以 且 ， .
又直线 ： ，令 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线 为 ，所以 恒过定点 .
【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ， ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数 ，其中 .
（1）若 是定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，根据题中条件，得到 在 上恒成立，令 ，对
其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出最大值，即可得出结果；
（2）当 时， ，将问题转化为证明 ，分别讨论
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学科网（北京）股份有限公司， 两种情况，利用导数的方法证明都成立，即可得出结论成立.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在定义域内是单调递减函数，则 在 上恒成立.
即 在 上恒成立，
令 ，得 ，
易知 ，且函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以在区间 上， ；在 上， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 的最大值为 ；
所以当 时， 在定义域上单调递减；
（2）当 时， ，
要证 ，即可证 ，
①当 时，欲证明 ，即证明 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ；
又因为 ， ，所以 在 上成立；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，欲证明 ，即证明 ，
令 ，
则 ，
，当 时， ，
所以 ，
即 在 上成立，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 在 上成立，
所以 在 上单调递减， ，
即 时， 成立.
综合①②可得，对任意 ，恒有 成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或
构造两不同函数），对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性及最值，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司
