专题 18.12 常用五种构造三角形中位线的方法
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形中位线的五种常用方法的理解！
【题型1 连接两点构造三角形的中位线】
1．（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，点D，点E分别是
BC,AB边上的动点，连结DE，点F，点M 分别是CD,DE的中点，则FM的最小值为（ ）
12 9 5
A． B． C．3 D．
5 5 2
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出CE的最小值是解题的关
键．过点B作BH⊥AC于H，连接CE；当CE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当
CE⊥AB于点E时，CE的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出BH的长，进而利用三角形等面
积法求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，连接CE；
∵F，M分别是CD,DE的中点，
1
∴FM= CE，
2
当CE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当CE⊥AB于点E时，CE的值最小，
在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，
1
∴CH= AC=3，
2
∴BH=❑√BC2−CH2=4，
1 1
∴S = ×6×4=12= ⋅AB⋅CE，
△ABC 2 2
24
∴CE= ，
5
12
∴FM= ，
5
故选：A．
2．（24-25八年级·山东淄博·阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3,BC=4，P是斜边
AB上的一个动点，且P在AB上（不包含端点）运动的过程中，始终保持PD∥BC,PE∥CD，G、H
分别是DP、PE的中点，连接GH，则GH的最小值是（ ）
3 6 12 24
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
1
【分析】连接DE,PC，判定四边形PECD是矩形，推出PC=DE，由三角形中位线定理得到GH= DE
2
1
，因此GH= PC，当PC⊥AB时，PC最小，由勾股定理求出AB的长，由三角形面积公式，得到
2
1 1 12 6
△ACB的面积= AB·PC= AC·BC，求出PC= ，即可得到GH的最小值是 ．
2 2 5 5
【详解】解：连接DE,PC，∵PD∥BC,PE∥CD,∠ACB=90°，
∴四边形PECD是矩形，
∴PC=DE，
∵G、H分别是DP、PE的中点，
∴GH是△PDE的中位线，
1
∴GH= DE，
2
1
∴GH= PC，
2
∴当PC最小时，GH最小，当PC⊥AB时，PC最小，
1 1
此时△ACB的面积= AB·PC= AC·BC，
2 2
∵∠C=90°,AC=3,BC=4，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
∴5PC=3×4，
12
∴PC= ，
5
1 1 12 6
∴GH= PC= × = ，
2 2 5 5
6
∴GH的最小值是 ，
5
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四
1
边形PECD是矩形，得到PC=DE，由三角形中位线定理得到GH= PC，由三角形面积公式求出PC的
2
最小值．
3．（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，点E为▱ABCD的对角线BD上一点，DE=1,BE=5，连接
AE并延长至点F，使得AE=EF，则CF为（ ）7 9
A．3 B． C．4 D．
2 2
【答案】C
【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明OE是△ACF的中位线．连接AC
1
交BD于O，由平行四边形的性质推出AO=OC，OD= BD，证明OE是△ACF的中位线，得到
2
FC=2OE，求出BD=6，得到OD=3，求出OE=OD−DE=2，从而FC=2OE=4．
【详解】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴AO=OC，OD= BD，
2
∵AE=EF，
∴OE是△ACF的中位线，
∴FC=2OE，
∵DE=1,BE=5，
∴BD=1+5=6，
1
∴OD= ×6=3，
2
∴OE=OD−DE=3−1=2，
∴FC=2OE=4．
故选：C．4.（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC
的中点．
(1)求证：MD和NE互相平分；
(2)若BD⊥AC，OC2=32，OD+CD=8，求△OCB的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌
握三角形的中位线定理是解题关键．
1 1
（1）先根据三角形的中位线定理可得ME= OA，ME∥OA，DN= OA，DN∥OA，再证出四边形
2 2
DEMN是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；
（2）先求出OB=2OM=2OD，再利用勾股定理可得OD2+CD2=32，然后利用完全平方公式变形求值
可得2OD⋅CD的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接OA,DE,MN，
∵CE是△ABC的中线，点M是OB的中点，
1
∴ME= OA，ME∥OA，
2
1
同理可得：DN= OA，DN∥OA，
2
∴ME=DN，ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分．（2）解：由（1）已证：MD和NE互相平分，
∴OD=OM，
∵点M是OB的中点，
∴OB=2OM，
∴OB=2OD，
∵BD⊥AC，OC2=32，
∴OD2+CD2=OC2=32，
∵OD+CD=8，
∴2OD⋅CD=(OD+CD) 2−(OD2+CD2)=82−32=32，
1 1 1
∴△OCB的面积为 OB⋅CD= ×2OD⋅CD= ×32=16．
2 2 2
5．（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点，
1
延长BA到点D，使AD= AB．连接DE,DF．
2
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)若∠ABC=60°,BC=4，求DF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识；
1 1
（1）利用三角形中位线定理可得出EF∥AB， EF= AB，结合AD= AB，得出EF=AD，可证明四
2 2
边形AEFD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证；
（2）先证明△ABC为等边三角形，可得AE=BE=2，再利用平行四边形性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接EF，AE．∵点E，F分别为BC、AC的中点，
1
∴EF∥AB， EF= AB．
2
1
又∵AD= AB，
2
∴EF=AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°,BC=4，E为BC的中点，
1
∴BE= BC=2，∠ACB=30°，
2
1
∴AB= BC=2，
2
∴AB=BE，
∴△ABC为等边三角形，
∴AE=BE=2，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=2．
6．（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G,H分别是AB,CD的中点，点E
，F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，若BD=28，AE+CF=EF，求EG的长．
【答案】(1)证明见解析(2)7
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识
点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
（1）证明△AGE≌△CHF(SAS)，得¿=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得¿∥HF，即
可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB=OD=14，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利
用中位线定理可得EG的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
在△AGE和△CHF中，
{
AG=CH
)
∠GAE=∠HCF ，
AE=CF
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴¿=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴¿∥HF，
又∵¿=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=28，
∴OB=OD=14，∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，AE=CF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
1
∴EG= OB=7．
2
7．（24-25八年级·山东威海·期末）（1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位
线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
1
求证：DE∥BC，DE= BC．
2
（2）【实践应用】
如图2，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE与AF是否互相平分？请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE与AF互相平分，见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质；
（1）如图所示，延长DE到F，使得DE=FE，证明△AED≌△CEF，得到∠A=∠FCE，AD=CF，
则AD∥CF，再由点D是AB的中点，得到AD=BD=CF，即可证明四边形BCFD是平行四边形，则1
DE∥BC，DF=BC，再由DE=FE，即可证明DE= BC；
2
（2）如图，连接DF，证明四边形ADFE为平行四边形，从而可得结论．
【详解】证明：（1）如图所示，延长DE到F，使得DE=FE，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△AED和△CEF中，
{
AE=CE
)
∠AED=∠CEF ，
DE=FE
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A=∠FCE，AD=CF，
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DF=BC，
又∵DE=FE，
1 1
∴DE= DF= BC，
2 2
1
∴DE∥BC，且DE= BC；
2
（2）如图，连接DF，∵DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，
∴D,E,F分别为△ABC的三边中点，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴DE与AF互相平分．
【题型2 倍长法构造三角形的中位线】
1．（2024下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，
AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为( )
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【答案】C
【分析】延长BC到E使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到
1 1
CM= DE= AB，根据跟勾股定理得到AB的长，于是得到结论．
2 2
【详解】：延长BC到E使BE=AD，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=6，AB=DE
∵BC=3，AD=6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
1 1
∴CM= DE= AB，，
2 2
∵AC⊥BC，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，
1 1 5
∴CM= DE= AB= ，
2 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关
键．
2．（2024上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD、正方形AEFG的边长分别为4
和1，将正方形AEFG绕点A旋转，连接DF，点M是DF的中点，连接CM，则线段CM的最大值为
（ ）．
❑√2
A．3❑√2 B．4❑√2 C．5❑√2 D．2❑√5+
2
【答案】D
【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，延长DC至
点P，使CP=DC，连接PF，AP，AF，由三角形中位线定理可得PF=2CM，由正方形的性质结合勾
股定理可得 ， ，由三角形三边关系可得 ，从而可得
AP=❑√42+82=4❑√5 AF=❑√12+12=❑√2 PF≤AF+APPF的最大值为4❑√5+❑√2，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长DC至点P，使CP=DC，连接PF，AP，AF，
，
∵点M是DF的中点，CP=DC，
∴CM是△DFP的中位线，
∴PF=2CM，
∵正方形ABCD、正方形AEFG的边长分别为4和1，
∴AP=❑√42+82=4❑√5，AF=❑√12+12=❑√2，
∵PF≤AF+AP，
∴PF的最大值为4❑√5+❑√2，
❑√2
∴CM的最大值为2❑√5+ ，
2
故选：D．
3．（24-25八年级·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是
BC的中点．若AB=14cm，AC=20cm，则EF= cm．
【答案】3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一
半是解题的关键．证明△AEB≌△AED，根据全等三角形的性质得到AD=AB=3cm，BE=ED，进而
求出DC，再根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
{
BAE=∠DAE
)
AE=AE ，
∠AEB=∠AED
∴△AEB≌△AED(ASA)，
∴AD=AB=14cm，BE=ED，
∴DC=AC−AD=20−14=6(cm)，
∵BE=ED，F是BC的中点，
∴EF是△BDC的中位线，
1
∴EF= DC=3(cm)，
2
故答案为：3．
4．（2024上·福建漳州·八年级校联考期中）【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半.
【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点；
1
（1）求证：OB= AC.
2（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F分别是AC，CD的中点，
连接BE，EF，BF，求证：∠1=∠2．
【答案】（1）见解析，（2）见解析
【分析】（1）延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平
行四边形ABCD是矩形，得AC=BD，即可得出结论；
1 1
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得BE= AC，再由三角形中位线定理得EF= AD，然后由
2 2
AC=AD，得BE=EF，即可得出结论．
【详解】解：证明：如图1，延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、CD，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
1
∴OB= AC，
2
1
故答案为：OB= AC；
2
（2）证明：如图2，∵∠ABC=90°，E是AC的中点，
1
∴BE= AC，
2
∵F是CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
1
∴EF= AD，
2
∵AC=AD，
∴BE=EF，
∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角
形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理，
1
证出OB= AC是解题的关键．
2
5．（2024上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，D是AB的中
点，E是AC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长等于 ．
【答案】❑√3
【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长AC至点F使得
1
CF=CB，连接BF，作CG⊥BF于点G，则∠F=∠CBF= ∠ACB=30°，易得BF=2❑√3，又由已知
21
得DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF，则AE=EF，故DE为△ABF中位线，从而得DE= BF=❑√3．
2
【详解】延长AC至点F使得CF=CB，连接BF，作CG⊥BF于点G，
1
则∠F=∠CBF= ∠ACB=30°，
2
∴BG=FG=BC·cos30°=❑√3，
∴BF=2❑√3，
∵DE平分△ABC的周长
∴DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF，
∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴AE=EF，
∴DE为△ABF中位线，
1
∴DE= BF=❑√3．
2
故答案为：❑√3．
【题型3 已知角平分线与垂直关系构造中位线】
1.（2024下·河北邯郸·八年级校考期中）在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于
点E．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若AC=5，BC=7，求DE的长．
【答案】(1)见解析(2)1
【分析】（1）根据CE平分∠ACB，AE⊥CE，运用ASA易证明△ACE≌△FCE．根据全等三角形的性
质，得AE=EF，CF=AC，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理即可求解．
【详解】（1）解：延长AE交BC于F，
∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，
∴∠ACE=∠FCE，∠AEC=∠FEC=90°，
在△ACE和△FCE中，
{
∠ACE=∠FCE
)
CE=EC ，
∠AEC=∠FEC=90°
∴△ACE≌△FCE．
∴AE=EF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴DE是△ABF的中位线．
∴DE∥BC；
（2）∵△ACE≌△FCE，
∴CF=AC=5，
∵DE是△ABF的中位线．
1 1 1
∴DE= BF= (BC−AC)= (7−5)=1，
2 2 2
故DE的长为1．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关
键．
2.（2024下·山西运城·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是边AC的中点，连接DE，若DE=2，BC=10，则AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
【答案】A
【分析】如图，延长BA，CD交于点F，根据角平分线和垂线证得BF=BC，DF=CD，再利用中位线的性质
得到AF=2DE，即可计算AB=BF-AF，求得答案．
【详解】如图，延长BA，CD交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠CBD，
∵CD⊥BD，
∴△FBC是等腰三角形（三线合一），
∴BF=BC=10，DF=DC，
∴D是CF的中点，
∵E是边AC的中点，
∴DE是△CAF的中位线，
∴AF=2DE=4，
∴AB=BF−AF=6；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，解题的关键是做出辅助线，利用等腰三
角形和中位线的性质解答．
3．（24-25八年级·江苏南通·期末）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE
，AD=BE=3，则AC的长等于 ．9❑√5
【答案】
2
【分析】本题考查了三角形中位线的性质以及勾股定理的应用，设AD,BE交于点G，过D点作DF∥BE
1
，则DF= BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E
2
3
为AF中点，则AC= AF，即可求解．
2
【详解】解：设AD,BE交于点G，过D点作DF∥BE，
∵AD △ABC AD⊥BE
是 的中线， ，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD=BE=6，则DF=3，AF=❑√AD2+DF2=3❑√5，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠DBG
又∵AD⊥BE，
∴∠AGB=∠DGB=90°
∴∠BAD=∠BDA
又∵BG=BG
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
3 3 9❑√5
∴ AC= AF= ×3❑√5= ．
2 2 2
9❑√5
故答案为： ．
2
4.（2024下·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期中）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ADC=∠BEC=90°，连接DE，则DE= ．
【答案】2
【分析】利用勾股定理求得AC=12，分别延长CD、CE交AB于点F、G，证明△ADC≌△ADF和
△BEC≌△BEG，推出CD=DF，AC=AF=12，CE=EG，BC=BG=5，得到DE是△AFG的中位
线，据此求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=❑√132−52=12，
分别延长CD、CE交AB于点F、G，
∵AD分别平分∠BAC，∠ADC=∠ADF=90°，又AD=AD，
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF，AC=AF=12，
同理△BEC≌△BEG(ASA)，
∴CE=EG，BC=BG=5，
∴DE是△AFG的中位线，
1
∴DE= FG，
2
∵FG=AF+BG−AB=12+5−13=4，
1
∴DE= ×4=2，
2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明DE是△AFG的中位
线是解题的关键．5．（24-25八年级·河南南阳·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，过点B作AC的平行线，与∠CAB的平
分线交于点D，若AC=6，CB=8．E、F分别是CB、AD的中点，则EF的长为 ．
【答案】2
【分析】连接CF并延长交BD于G，先求出AB=10，由AC∥BD，AD是∠BAC的平分线推出
BD=AB=10，证明△DGF≌△ACF(ASA)得GF=CF，DG=AC=6，则BG=BD−GD=4，再证明
EF为△CBG的中位线，即可得解．
【详解】解：如图，连接CF并延长交BD于G，
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10，
∵AC∥BD，
∴∠CAD=∠D，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠D=∠BAD，
∴BD=AB=10，
∵点F为AD的中点，
∴DF=AF，
在△DGF和△ACF中，
{∠DFG=∠AFC
)
DF=AF ，
∠GDF=∠CAF
∴△DGF≌△ACF(ASA)，
∴GF=CF，DG=AC=6，
∴BG=BD−GD=10−6=4，
∵点E为BC的中点，GF=CF即点F是CG的中点，
∴EF为△CBG的中位线，1 1
∴EF= BG= ×4=2，
2 2
∴EF的长为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性
质，三角形的中位线定理．解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，正确
地添加辅助线构造全等三角形．
6．（24-25八年级·江苏南通·期中）已知：点E在正方形ABCD的边AB的延长线上，连接CE，过点C作
CF⊥CE，交边AD于点F．
(1)如图1，猜想CE与CF的数量关系，并说明理由：
(2)如图2，连接EF，AC，作∠AFE的平分线交AC于点G，求证：EF=❑√2CG；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接EG，过点A作AN⊥EG，交EG的延长线于点N，M为AF的中点，
连接MN．若AF=6，FD=1，请求出MN的长．
【答案】(1)CE=CF，理由见解析
(2)证明见解析
(3)MN=1
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到EF=❑√2CF，再利用角平分线的定义，正方形的性
质和等腰三角形的判定定理得到CG=CF，则结论可得；
（3）延长AN交EF于点Q，利用正方形的性质和勾股定理求得EF，再利用三角形的角平分线的性质，全
等三角形的判定与性质得到AN=QN，EQ=EA=8，再利用三角形的中位线定理解答即可．【详解】（1）解：CE与CF的数量关系为：CE=CF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵∠ABC+∠EBC=180°
∴∠EBC=90°=∠D
∵CF⊥CE
∴∠ECF=∠90°
∴∠ECF−∠BCF=∠BCD−∠BCF
即：∠BCE=∠DCF．
在△EBC与△FDC中，
{∠EBC=∠D=90°
)
CB=CD ，
∠BCE=∠FCD
∴△EBC≌△FDC(ASA)，
∴CE=CF；
（2）证明：∵CF⊥CE，CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°，EF=❑√2CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠CFE．
∵FG平分∠AFE，
∴∠EFG=∠AFG．
∴∠CFE+∠EFG=∠CAD+∠AFG，
即∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF，
∴ EF=❑√2CG；
（3）解：延长AN交EF于点Q，如图，由（1）知：△EBC≌△FDC，
∴BE=FD=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD=AF+FD=6+1=7，
∴AE=8，
∴由勾股定理得：
EF=❑√AE2+AF2=10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∵FG平分∠AFE，三角形的三条角平分线交于一点，
∴EG平分∠AEF，
∴∠AEN=∠QEN．
∵EN⊥AN，
∴∠ANE=∠QNE=90°．
在△ENA和△ENQ中，
{∠ANE=∠QNE
)
EN=EN ，
∠AEN=∠QEN
∴△ENA≌△ENQ(ASA)，
∴AN=QN，EQ=EA=8，
∴FQ=EF−EQ=10−8=2，
∵AN=QN，M为AF的中点，
∴MN为△AQF的中位线，
1
∴MN= FQ=1．
2
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
1
7．（24-25八年级·湖北武汉·期中）在△ABC和△ADE中，AD<AB，AB=AC，∠DAE= ∠BAC=α
2
，∠AED=90°，点F是线段DC的中点，连接EF．
(1)若D在BC上，
如图1，点E恰好落在AC上，请探究线段EF与BD的数量关系；
①
如图2，试探究线段EF与BD的数量关系；
②
❑√2 3
(2)如图3，α=30°，点D不在BC上，∠DBC=15°，EF= ，AE= ，直接写出△ABC的面积是
2 2
————·1 1
【答案】(1)①EF= BD， EF= BD
2 2
②
3❑√3+2❑√6
(2)
4
1
【分析】(1)根据题意得∠DAE=∠BAD和BD=CD，∠CED=90°，进一步得EF= CD，结合
2
1
CD=BD，即可得EF= BD；
2
1
延长DE至S，使ES=DE，连接AS,CS，则EF是△DCS的中位线，有EF= CS，判定AE垂直平分
2
②
1
DS，得AD=AS，可得∠DAE=∠EAS= ∠DAS，且∠BAC=∠DAS和∠BAD=∠CAS成立，利用
2
SAS证明△ABD≌△ACS，则有BD=CS；
(2)延长DE至S，使ES=DE，连接AS，CS，过点D作DT⊥AB于点T．则EF是△DCS的中位线，有
1
EF= CS，同上可证△ABD≌△ACS，得CS=BD．则BD=2EF，在Rt△ADE中得DE,AD=2DE，
2
❑√2
进一步判定△ABC是等边三角形，可得∠ABD=45°，求得BT=DT= BD，则可得AB=BT+AT，
2
结合△ABC是等边三角形即可求得面积．
1
【详解】（1）解： EF= BD，理由如下：
2
①
1
∠DAE= ∠BAC=α，
2
∵
∠DAE=∠BAD，
∴AB=AC，
∵BD=CD，
∴∠AED=90°，
∵∠CED=90°，
∴点F是线段CD的中点，
∵ 1
EF= CD，
2
∴
CD=BD，
∵ 1
EF= BD；
2
∴
1
EF= BD，理由如下：
2
②
延长DE至S，使ES=DE，连接AS,CS，如图，
点F是线段CD的中点，
∵EF是△DCS的中位线，
∴ 1
EF= CS，
2
∴
∠AED=90°，
∵∠AES=90°=∠AED，
∴AE垂直平分DS，
∴AD=AS，
∴ 1
∠DAE=∠EAS= ∠DAS，
2
∴
1
∠DAE= ∠BAC，
2
∵
∠BAC=∠DAS，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAS−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAS，
∴AB=AC,AD=AS，
∵△ABD≌△ACS(SAS)，
∴BD=CS，
∴ 1
EF= BD；
2
∴
（2）解：延长DE至S，使ES=DE，连接AS，CS，过点D作DT⊥AB于点T．如图，
点F是线段CD的中点，
∵EF是△DCS的中位线，
∴ 1
EF= CS，
2
∴
同上可证△ABD≌△ACS，
CS=BD．
∴BD=2EF=❑√2，
∴ 3
在Rt△ADE中，∠DAE=30°,AE= ，
2
❑√3
DE= ,AD=2DE=❑√3，
2
∴
∠BAC=2α=60°,AB=AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=15°，
∵∠ABD=45°，
∴ ❑√2
BT=DT= BD=1，
2
∴
在Rt△ADT中，AT=❑√AD2−DT2=❑√2，
AB=BT+AT=1+❑√2，
∴△ABC是等边三角形，
∵❑√3 ❑√3 3❑√3+2❑√6
S = AB2= (1+❑√2) 2= ．
△ABC 4 4 4
∴
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是熟悉等腰三角形的和全等三角形的性质．
【题型4 已知中点，取其他边中点构造三角形的中位线】
1．（24-25八年级·山西太原·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12cm，点D为CB的中
点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边DE的点E在边AB上，AE=7cm，连接BF，则
BF的长为 cm．
【答案】(6❑√2−7)
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取AB的中点K，连
接DK，证明△EDK≌△FDB(SAS)，得到KE=BF，求出KE的长即可得到BF．
【详解】解：取AB的中点K，连接DK，
∵点D为BC的中点，点K为AB的中点，
∴DK是△ABC的中位线，
1
∴DK= CA，DK∥AC，
2
∵CA=CB，点D为BC的中点，
1 1
∴BD= CB= CA，
2 2
∴DK=BD，
∵∠ACB=90°，DK∥AC，
∴∠KDB=90°，∵∠EDK+∠KDF=∠FDB+∠KDF=90°，
∴∠EDK=∠FDB，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴DE=DF，
∴△EDK≌△FDB(SAS)，
∴KE=BF，
∵∠ACB=90°，CA=CB=12cm，
∴AB=12❑√2cm，
∴AK=6❑√2cm，
∴.KE=AK−AE=6❑√2−7(cm)，
∴BF=6❑√2−7(cm)，
故答案为：(6❑√2−7)．
2．（24-25八年级·天津·期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，将直角边AC绕A点
逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为（ ）
A．4❑√2 B．2❑√2+1 C．2❑√2+2 D．2❑√5+2
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取AB的中点F，连接
CF，EF，由旋转的性质及三角形中位线定理求出EF=2，由勾股定理求出AB的长，由直角三角形的性
质求出CF的长，则可求出答案．
【详解】解：取AB的中点F，连接CF，EF，∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，
∴AC=AC′=4，
∵E是BC′的中点，
∴EF是△ABC′的中位线，
1
∴EF= AC′=2，
2
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+42=4❑√2，
∵F为AB中点，
1
∴CF= AB=2❑√2，
2
在△EFC中，
∵CE≤EF+CF，
∴CE≤2+2❑√2，
∴CE的最大值为2+2❑√2，
故选：C．
3．（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且
1
∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于（ ）
2
3 3
A．AB B．AC C． AB D． AC
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的
性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在AC上取点F，使得
AE=EF，连接BF，易得DE为△ABF的中位线，所以DE∥BF，再证明△BCF为等腰三角形，可得
BC=FC，然后由BC+2AE=CF+AF=AC可得答案．
【详解】解：如图，在AC上取点F，使得AE=EF，连接BF，则AF=2AE，
∵D是AB的中点，AE=EF，
∴DE为△ABF的中位线，
∴DE∥BF，
1
∵∠AED=90°+ ∠C，
2
( 1 ) 1
∴∠≝=180°−∠AED=180°− 90°+ ∠C =90°− ∠C，
2 2
∵BF∥DE，
1
∴∠BFC=∠≝=90°− ∠C，
2
1
∴∠FBC=180°−∠C−∠BFC=90°− ∠C，
2
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=CF+AF=AC．
故选：B．
4．（24-25八年级·山东烟台·期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB=2❑√5，CD=2❑√3，
∠ABD=30°，∠BDC=120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．❑√5 D．❑√7
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设BD的中点为M，连接EM、FM，从而可得ME是
△ABD的中位线，MF为△BCD的中位线，由三角形中位线定理可得ME=❑√5，MF=❑√3，求出
∠EMF=∠EMD+∠DMF=90°，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，设BD的中点为M，连接EM、FM，∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴ME是△ABD的中位线，MF为△BCD的中位线，
1 1
∴ME= AB，ME∥AB，MF= CD，MF∥CD，
2 2
∵AB=2❑√5，CD=2❑√3，
∴ME=❑√5，MF=❑√3，
∵ME∥AB，MF∥CD，
∴∠EMD=∠ABD，∠DMF+∠BDC=180°，
∵∠ABD=30°，∠BDC=120°，
∴∠EMD=30°，∠DMF=60°，
∴∠EMF=∠EMD+∠DMF=90°，
∴EF=❑√M E2+M F2=2❑√2，
故选：A．
5．（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,BC上的动点，连接DE，将
△BDE沿直线DE折叠得到△≝¿，点F落在AC上．
(1)如图1，若点E是BC的中点，求证：DE∥AC；
(2)如图2，若∠ABC=90°，且点F是AC的中点．
①判断线段AD、CE与DE之间存在的数量关系，并证明；
②若AB=3,BC=4，直接写出△≝¿的面积．
【答案】(1)见解析625
(2)①AD2+CE2=DE2 ，理由见解析；②
384
【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，折叠的性质
及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解；
（1）由折叠及点E是BC的中点得到CE=FE，得到∠EFC=∠C，利用三角形外角性质即可得到
∠BED=∠C，继而得证；
（2）①过点C作CH∥AB交DF延长线于点H，连接EH．证△ADF≌△CHF(AAS)得到
DF=HF,AD=CH，由垂直平分线的性质得到DE=HE，由勾股定理，得CH2+CE2=EH2，继而得
证；
②取BC的中点M，连接FM，则FM∥AB,则FM⊥BC，由中位线定理得到FM，BM,CM长，设
EM=x，Rt△FEM,由勾股定理得EM,BE,EC长，设BD= y,则AD=3−y，
AD2+EC2=BD2+BE2=DE2，求得BD，在利用三角形的面积公式即可得解
【详解】（1）∵点E是BC的中点，
∴BE=CE．
由折叠，得BE=FE,∠BED=∠≝¿．
∴CE=FE，
∴∠EFC=∠C．
∵∠BEF是△CEF的一个外角，
∴∠BEF=∠EFC+∠C=2∠C．
∵∠BEF=∠BED+∠≝=2∠BED，
∴∠BED=∠C，
∴DE∥AC．
（2）①AD2+CE2=DE2，理由如下：
如图，过点C作CH∥AB交DF延长线于点H，连接EH．
∴∠A=∠FCH,∠ADF=∠CHF,∠BCH=180°−∠ABC=180°−90°=90°．
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，∴△ADF≌△CHF(AAS)．
∴DF=HF,AD=CH．
由折叠，得∠DFE=∠ABC=90°，
∴EF⊥DH，
∴DE=HE．
在Rt△ECH中，由勾股定理，得CH2+CE2=EH2，
∴AD2+CE2=DE2．
②取BC的中点M，连接FM，则FM是△ABC的中位线，
则FM∥AB,
∴FM⊥BC
1 3 1
∴FM= AB= ，BM=CM= BC=2
2 2 2
设EM=x，则BE=EF=2−x,
在Rt△FEM,由勾股定理得：EF2=EM2+FM2
3 2
即(2−x) 2=x2+( )
2
7
解得：x=
16
7 25 7 39
则BE=2− = ,EC=2+ = ，
16 16 16 16
设BD= y,则AD=3−y
∵AD2+EC2=DE2
BD2+BE2=DE2∴AD2+EC2=BD2+BE2
39 2 25 2
(3−y) 2+( ) = y2+( )
16 16
25
解得：y=
12
S
1 1 25 25 625
△≝¿=S = BD⋅BE= × × = ¿
△DBE 2 2 12 16 384
625
故△≝¿的面积为 ．
384
【题型5 作其他辅助线构造三角形的中位线】
1．（24-25八年级·江西宜春·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若∠BDA=90°，
E是AD中点，DE=2，AB=5，则AC的长为（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；熟练掌
握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，证△DGE≌△ACE(AAS)，得出DG=AC，证
出∠F=∠ABD，得出AF=AB=5，BD=FD，证明DG是△BCF的中位线，得出CF=2DG，得出
AF=AC+CF=3DG=3AC，即可得出答案．
【详解】解：延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图所示：则∠DGE=∠ACE，
∵E是AD中点，DE=2，
∴DE=AE=2，
∴AD=4，
∵BD=3，
∵∠BDA=90°，
∴AB=❑√AD2+BD2=5，
在△DGE和△ACE中，
{∠DGE=∠ACE
)
∠DEG=∠AEC ，
DE=AE
∴△DGE≌△ACE(AAS)，
∴DG=AC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠FAD，
∵∠BDA=90°，
∴AD⊥BF，∠FDA=90°，
∴∠F=∠ABD，
∴AF=AB，
∵AB=5，
∴AF=AB=5，
∴△AFB为等腰三角形，
∵∠BDA=90°
∴BD=FD，
∵DG∥AF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴CF=2DG，
∴AF=AC+CF=3DG=3AC，
1 5
∴AC=DG= AF= ，
3 3
故选：D．
2．（24-25八年级·山西长治·阶段练习）已知如图，正方形ABCD，AB=10，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，DF，点G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH= ．
5
【答案】 ❑√2
2
【分析】CH并延长交AD于P， 连接PE，根据正方形的性质得到
∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=10,根据全等三角形的性质得到PD=CF=5,根据勾股定理和三角
形的中位线定理即可得到结论.
【详解】解： 连接CH并延长交AD于P， 连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90∘,AD∥BC,AB=AD=BC=10，
∵E,F分别是边AB,BC的中点，
1
∴AE=CF= ×10=5，
2
∵AD∥BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
{∠DPH=∠FCH
)
∠DHP=∠FHC ，
DH=FH
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF=5，PH=CH，∴AP=AD−PD=5，
∴PE=❑√AP2+AE2=❑√52+52=5❑√2，
∵点G,H分别是EC,FD的中点，
1 5
∴GH= EP= ❑√2，
2 2
5
故答案为： ❑√2．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作
出辅助线是解题的关键．
3．（24-25八年级·北京·阶段练习）已知△ABE，将△ABE绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)到△ACF，
使得点B的对应点C落在直线BE上．
(1)①依题意补全图1；
②若FC垂直BE，直接写出α的值；
(2)如图2，过B作AC的平行线BD，与FE的延长线交于点D，FE交AC于点G，取FD的中点M和BC的
中点N，写出线段MN与FG的数量关系，并证明．
【答案】(1)（1）①作图见解答；②α=90°
1
(2)MN= FG，理由见解析
2
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角
形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由旋转得AB=AC，∠ABE=∠ACF，旋转角度为∠BAC=α，得出∠ABC=∠ACB，则
∠ACF=∠ACB，结合FC垂直BE，求得∠ABC=∠ACB=45°，即可解答；
（2）连接GN并延长，交BD延长线于点H，连接EH，先证明△NBH≌△NCG，再证明
△BHE≌△CGF，得EH=FG，∠BHE=∠FGC，利用平行得∠FGC=∠EDH，则可得
∠BHE=∠EDH，则ED=EH=FG，再证明NM是△GHE的中位线，即可得．【详解】（1）解：①补全图形如图，
②由旋转得AB=AC，∠ABE=∠ACF，旋转角度为∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACF=∠ACB，
∵FC垂直BE，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=2∠ACB=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴α=∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=90°；
（2）解：FG=2MN，理由如下：
如图，连接GN并延长，交BD延长线于点H，连接EH，
∵BD∥AC，
∴∠NBH=∠GCN，
∵BN=CN，∠BNH=∠GNC，∠NBH=∠GCN，
∴△NBH≌△NCG(ASA)，
∴NH=NG，BH=CG，
由旋转得∠ACF=∠CBD，BE=FC，
∵BE=FC，∠GCF=∠EBH，BH=CG，
∴△BHE≌△CGF(SAS)，
∴EH=FG，∠BHE=∠FGC，
∵BD∥AC，
∴∠FGC=∠EDH，∴∠BHE=∠EDH，
∴ED=EH=FG，
∵DM=FM，
∴EM=GM，
∵NH=NG，
∴NM是△GHE的中位线，
1 1
∴NM= EH= FG，
2 2
1
即：2MN= FG．
2
4．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图（1），在等腰△ABC，△ADE中，
AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=α，△ABE可以由△ACD通过顺时针旋转变换得到．
(1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含α的式子表示） ；
(2)如图（2），若M为BC中点，点D在CM上，过点M作MQ⊥AB于Q，交DE于点N．
①求证：N为DE的中点；
②若AB=AC=2，α=120°，点D在MC上运动时（包括M，C两个端点），直接写出NE的最小值．
【答案】(1)旋转中心为A，旋转方向为顺时针，旋转角为α
❑√3
(2)①见解析；②
2
【分析】本题考查等腰三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性
质．
（1）由旋转的相关定义可得旋转中心为A，旋转方向是顺时针，旋转角为α；
（2）①过E作EH⊥AB于G，交BC于H，由△ABE可以由△ACD通过旋转变换得到，知
△ADC≌△AEB，∠ACD=∠ABE，CD=BE，而AB=AC，有∠ACD=∠ABC，故
∠ABE=∠ABC，可得△BGE≌△BGH(ASA)，BE=BH，故CD=BH，即可得HM=DM，MN是
△DEH的中位线，从而点N为DE的中点；
②点D在MC上运动（包括M，C两个端点），当D与M重合时，DE最小，故NE最小，根据1
AB=AC=2，α=120°，M为BC中点，可得AM= AB=1，BM=❑√3AM=❑√3，证明△BEM是等边
2
❑√3
三角形，得EM=BM=❑√3，从而可知NE的最小值为 ．
2
【详解】（1）解：∵△ABE可以由ΔACD通过旋转变换得到，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠EAD=α，
∴旋转中心为A，旋转方向是顺时针，旋转角为α；
（2）①证明：过E作EH⊥AB于G，交BC于H，如图：
∵△ABE △ACD
可以由 通过旋转变换得到，
∴△ADC≌△AEB，
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，
∵AB=AC，
∴∠ACD=∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC，
∵EH⊥AB，
∴∠BGE=∠BGH=90°，
∵BG=BG，
∴△BGE≌△BGH(ASA)，
∴BE=BH，
∴CD=BH，
∵M为BC的中点，
∴BH+HM=CD+DM，
∴HM=DM，
∵MQ⊥AB，EH⊥AB，
∴EH∥MQ，
∴MN是△DEH的中位线，
∴点N为DE的中点；
②解：点D在MC上运动（包括M，C两个端点），当D与M重合时，DE最小，故NE最小，如图：∵AB=AC=2 α=120° M BC
， ， 为 中点，
∴∠ABM=30°=∠C，∠AMB=90°，
1
∴AM= AB=1，BM=❑√3AM=❑√3，
2
∵△ADC≌△AEB，
∴∠ABE=∠C=30°，BE=CM，
∴∠EBM=60°，BE=CM=BM，
∴△BEM是等边三角形，
∴EM=BM=❑√3，
1 ❑√3
∴NE= EM= ，
2 2
❑√3
∴NE的最小值为 ．
2
5．（24-25八年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF
．
(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）由AF是直角三角形ABE的中线，可得BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．
（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．
【详解】（1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
{
AE=AD
)
∠BAE=∠CAD=90°
AB=AC
∴△ABC≌△ACD(SAS)，
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．
（2）证明：成立，理由如下：
如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH ，在△ABH与△ACD中，
{
AH=AD
)
∠BAH=∠CAD ，
AB=AC
∴△ABH≌△ACD(SAS)，
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质
等．作出正确的辅助线是解题关键．
6．（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=9cm，BC=12cm，E为边
CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂
足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN的长为 ．
【答案】7.5cm
【分析】连接AC，FC，由折叠的性质得出CF⊥BE，由勾股定理求出AC，利用三角形的中位线定理解
决问题即可．
【详解】解：如图，连接AC，FC，
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴CF⊥BE，又∵FM⊥BE，
∴F，M，C共线，
∴FM=MC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15cm，
∵N是AF的中点，M是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
1 1
∴MN= AC= ×15=7.5cm．
2 2
故答案为：7.5cm．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
