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高三数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 则 的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
4. 具有线性相关关系的变量 的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y -5 -4.5 -4.2 -3.5
其线性回归直线方程为 ，则回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
5. 已知点 在抛物线C: ( )上,点M到抛物线C的焦点的距离是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 在 中， ， ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知奇函数 是 上增函数， ，则（ ）
A.
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B
C.
D.
8. 已知双曲线C: ,( , )的左､右焦点分别为 , , O为坐标原点,P是双曲线在第一象
限上的点, ,( ), ,则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．
9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A. B.
C. D.
10. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则函数 具有性质（
）
A. 在 上单调递增，为偶函数 B. 最大值为 ，图象关于直线 对称
C. 在 上单调递增，为奇函数 D. 周期为 ，图象关于点 对称
的
11. 已知 为两条不重合 直线, 为两个不重合的平面,则下列说法正确的是
A. 若 且 则
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学科网（北京）股份有限公司B. 若 则
C. 若 则
D. 若 则
12. 设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ，
， ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是数列 中的最大值 D. 数列 无最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且 为等腰直角
三角形，则实数 的值为__________；
14. 已知直线 与曲线 相切，则 =
15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．
良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过
程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变
规律满足． 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；
经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 据此推测良渚古城存在的时期距今约在
5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)
16. 已知四面体 中， ，则四面体 的体积为_____
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在 ,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 ,若 , .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 ;
(2)求 的面积S.
18. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
19. 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形， 平面ABCD， 平面ABCD， 平面
ABCD， ，且AB=4，BC=2， ，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求直线 与平面 成的角的正弦值．
20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养
殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：
方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收
费；
方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药
的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.
（1）设日收费为 （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 ，试写出两种方案中 与 的函数
关系式.
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学科网（北京）股份有限公司（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和
10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下 列联表.
9月份 10月份 合计
未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
根据以上列联表，判断是否有 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
附：
0.050 0.010 0.001
.
3.841 6.635 10828
（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计
数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪
个方案更合适，并说明理由.
21. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处与 轴相切，求 的值；
（2）求函数 在区间 上的零点个数．
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学科网（北京）股份有限公司22. 给定椭圆 ，称圆心在原点 、半径为 的圆是椭圆 的“卫星圆”，
若椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点 是椭圆 的“卫星圆”上的一个动点，过点 作直线 、 使得 ，与椭圆 都只有一个
交点，且 、 分别交其“卫星圆”于点 、 ，证明：弦长 为定值.
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