文档内容
2023 年重庆一中高 2024 届 12 月月考
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求集合A，求对数复合函数的值域求集合B，应用集合交运算求结果.
【详解】由 ，即 ，
由 ，故 ，
所以 .
故选：B
2. 已知p：双曲线C的方程为 ，q：双曲线C的渐近线方程为 ，则（ ）
A. p是q的充要条件 B. p是q的充分不必要条件
C. p是q的必要不充分条件 D. p是q的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若双曲线 的方程为 ，则渐近线方程为 ，
若双曲线C的渐近线方程为 ，则双曲线的方程为 ，
所以 ，但 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：B
3. ， ，若 ，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.
【详解】由题意 ，则当且仅当 ，即 ，解得 .
故选：C.
4. 设 ， ， ，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.
【详解】 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
故选：C.
5. 已知在四面体 中，底面 是边长为 的等边三角形，侧棱长都为 ，D为 的中点，
则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线 与 所成角，再利用余弦定理解三角形即可.
【详解】
取 中点 ，连接 ，由 为 中点，
则 ，且 ；
则 （或其补角）即为直线 与直线 所成角.
又底面三角形 是边长为 的等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司则中线长 ；
在 中，设中线长 ，
则 ，由余弦定理得,
，
所以 ，化简得 ，
解得 ，则有 ，
在 中，由余弦定理得,
,
直线 与直线 所成角为锐角，则余弦值为 .
故选：B.
6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A. 216种 B. 384种 C. 408种 D. 432种
【答案】D
【解析】
【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文
都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.
【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，
若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有 种，
再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有 种，
此时共有 种；
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学科网（北京）股份有限公司若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有 种，
再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，
把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有 种，其余三科全排有 种，
此时共有 种；
若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有 种，
将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有 种，
再把余下的三科安排在下午作全排有 种，
此时共有 种；
综上，共有 种.
故选：D
7. 已知 为正项等比数列，且 ，若函数 ，则
（ ）
A. 2023 B. 2024 C. D. 1012
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得 ，再由题意可得出
，由倒序相加法可求出答案.
【详解】因为 为正项等比数列，且 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，
所以 ，
所以设 ，
则 ，
所以两式相加可得： ，故 ，
故选：A.
8. 已知 ， ， ， ， ，则 的最大值为（
）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先得出 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换
为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司不妨设 ，
满足 ， ， ，
又 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为 ，
而 ，即 ，即 ，
这表明了点 在圆 上面运动，其中点 为圆心， 为半径，
又 ，等号成立当且仅当 三点共线，
故只需求 的最大值即可，
因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以当 且 三点共线时，
有最大值 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧
妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知左、右焦点分别为 ， 的椭圆 的长轴长为4，过 的直线交椭圆于P，Q两点，
则（ ）
A. 离心率
B. 若线段 垂直于x轴，则
C. 的周长为8
D. 的内切圆半径为1
【答案】BC
【解析】
【分析】首先由题意把参数 求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断 A；由题意将 代入
椭圆方程求出弦长即可判断B；由椭圆定义即可判断C；由 的周长是定值，但面积会随着直线的倾
斜程度而变化，由此即可判断D.
【详解】对于A，由题意椭圆 的长轴长为4，所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，离心率为 ，故A错误；
对于B，
由A可知椭圆方程为 ，由题意若直线 的方程为 ，将其代入椭圆方程可得 ，
即 ，故B正确；
对于C， 的周长为 ，故C
正确；
对于D，由题意直线 斜率不为0且经过点 ，不妨设直线 ，
将其与椭圆方程 联立消去 得 ，
，
一方面 ，
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学科网（北京）股份有限公司另一方面，由C选项分析可知 ，不妨设 的内切圆的半径为 ，所以
，
对比两式可知 ，即 与 有关，故D错误.
故选：BC.
10. 与二项式定理 类似，有莱布尼兹公式：
，其中 （ ，
2，…，n）为u的k阶导数， ， ，则（ ）
A. B.
C. D. ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由二项式定理，分别赋值 ，即可判断AB；再根据莱布尼兹公式，结合组合数公式和性质，
即可判断CD.
【详解】A.由二项式定理可知，当 时， ，
，故A错误；
B.由二项式定理可知，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以
又由A可知， ，
所以 ，故B正确；
C.
，
由组合数的性质可知， ， ， ，……，
可知， ，故C正确；
D. ，
因为 ，
， ， ， ，
， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
11. 全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏
高手．下列说法正确的有（ ）
A. 全球游戏高手占比不超过10%
B. 某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%
C. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%
D. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全概率公式和条件概率定义进行计算.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A项，高智商中有的人是游戏高手概率为 ，非高智商人群中是游戏高手
的概率为 ，所以全球游戏高手占比为 ，所以A
项正确；
B项，既是游戏高手，也是高智商的概率为 ，所以B项错误；
C项，设事件A为某人是游戏高手，事件B为某人是高智商，则 ，
则 ，所以C项正确；
.
D项，由C项知， ，所以D项错误
故选：AC.
12. 已知定义在 上的函数 满足 ， ，且实数
对任意 都成立（ ， ），则（ ）
A. B. 有极小值，无极大值
C. 既有极小值，也有极大值 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将题设条件化为 ，进而有 ，其中 为常数，
，根据已知求得 ，对函数求导判断 A、B、C；问题化为 上
，结合 的极值 且 求参数范围判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题设 ，则 ，
所以 ，故 ，其中 为常数， ，
又 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 ，则 ，A对；
由 且 ，令 在 上递增，
， ，故 使 ，即 ，
上 ，即 ， 递减；
上 ，即 ， 递增；
所以 有极小值，无极大值，B对，C错；
由题设， 上 ，即 ，
令 ，则 在 上递增，故 ，
所以 ，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据题设条件得到 ，进而求得 为关键.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列 满足 ，且 ，则 ______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先求得数列的周期性，再应用周期性求值即可.
【详解】由 ，得 ，
则 .
故答案为： .
14. 已知 的两共轭虚根为 ， ，且 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】由根与系数关系有 ，设 ， 且 ，结合题设和复数模长、乘
法运算求参数.
【详解】由题设 ，可令 ， 且 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：3
15. 已知圆 ，过直线 上一动点P作圆C的两条切线，切点分别
为A，B，则 的最小值为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】首先利用图形，解决向量 的运算，再利用 的最小值，即可求解.
【详解】如图，连结 ， ， ， 和 交于点 ，
，
因为 ，所以 ,
设 ，易知其在 为增函数，
则 的最小值为圆心 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，那么 的最小值为 .
故答案为：
16. 正方体 棱长为2，E，F分别是棱 ， 的中点，M是正方体的表面上一动点，
当四面体 的体积最大时，四面体 的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意只需 点离平面 最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面
距离得到 与 重合，再将 置于如下直角坐标系中求 外接圆圆心，进而确定空间
坐标系中外接球球心 坐标，即可求球的表面积.
【详解】如下图， ，即 四点共面，要使四面体 的体积最大，
只需 点离平面 最远即可，显然点 、线段 上点到平面 距离都相等，
构建下图空间直角坐标系 ，则 ，
所以 ，若面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
而 ，则 ， ， ，
，
所以 到面 距离为 ， 到面 距离为 ，
到面 距离为 ， 到面 距离为 ，
综上，正方体的表面上 到面 距离最远，故四面体 的体积最大， 与 重合，
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学科网（北京）股份有限公司首先确定 外接圆圆心 坐标，将 置于如下直角坐标系中，
则 ，则 是直线 与 的垂直平分线 的交点，
由 ，则 ，且 中点为 ，故 ，即 ，
联立 ，即 对应到空间直角坐标系的坐标为 ，
由四面体 的外接球球心 在过 垂直于面 的直线上，设 ，
由 ，即 ，所以 ，
故外接球半径为 ，故外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面 距离最远的点为关键.
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师
进行了调查．
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
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学科网（北京）股份有限公司3.841 6.635 10.828
（1）完成下列 列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；
不喜欢看演唱
喜欢看演唱会 合计
会
文科老师 30
理科老师 40
合计 50
（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到
的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．
【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格进行运算即可得到完整的列联表，再根据卡方计算公式运算对比临界值即可求解.
（2）根据超几何分布的概率计算公式进行运算即可求解.
【小问1详解】
由表可知喜欢看演唱会的理科老师有 人，理科老师共有 人，
文科老师共有 人，不喜欢看演唱会的文科老师有 人，不喜欢看演唱会的人有
人，
完成 列联表如下表所示：
不喜欢看演唱
喜欢看演唱会 合计
会
文科老师 30 10 40
理科老师 20 40 60
合计 50 50 100
，故有95%的把握认为
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学科网（北京）股份有限公司本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关.
【小问2详解】
由题意11名老师中，有4名老师喜欢看演唱会，有7名老师不喜欢看演唱会，
若从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会，
则只能从4名喜欢看演唱会的老师中抽取1人，从7名不喜欢看演唱会的老师中抽取2人，
即所求的概率为 .
18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，E，F为 上分别靠近C和 的四等分点，
若多面体 的体积为40．
（1）求 到平面 的距离；
（2）求二面角 的大小．
【答案】（1）2； （2） .
【解析】
【分析】（1）由直三棱柱结构特征有 ，应用线面平行判定证 面 ，问题化为求
到面 的距离，再结合面 面 ，进一步化为求 中 上的高 ，根据多面体
体积列方程求结果；
（2）过 作 于 ，过 作 面 于 ，连接 ，证 面 ，进而
有 为二面角 的平面角，即可求大小.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司直三棱柱 中 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，即 面 ，只需求 到面 的距离，
又面 面 ，面 面 ，
则 在面 上的射影在直线 上，即 到面 距离为 中 上的高 ，
又E，F为 上分别靠近C和 的四等分点，且多面体 的体积为40，
所以 ，可得 ，即 到平面 的距离为2.
【小问2详解】
过 作 于 ，过 作 面 于 ，连接 ，
由（1）分析易知： ，即四边形 为平行四边形，
由 面 ， 面 ，则 ，
由 ， 面 ，则 面 ，
而 面 ，则 ， ，
故 为二面角 的平面角，由（1）知： ， ，
所以 ，故锐二面角 为 .
19. 已知数列 满足 ， ，且 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求数列 的前n项的和 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知等式变形得 ，利用等比数列的定义证明即可；
（2）对项数 分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.
【小问1详解】
，且 ， ，
，且 ，
，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知， ，
则有 ， ， ，
各式相加得 ，
又 ，则 .
，
则当 为奇数时，
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学科网（北京）股份有限公司；
当 为偶数时，
；
综上所述， .
20. 在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b， 成等比数列．
（1）若 ，求角C；
（2）若 的面积为S，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题设可得 ，结合余弦定理可得 ，应用正弦边角关系、三角
恒等变换可得 ，进而有 ，即可求角C；
（2）由（1）有 ，结合锐角三角形得 ，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得
，令 ，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题设 ，即 ，且 ，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 或 （舍），可得 ，故 .
【小问2详解】
由（1）知 ， 为锐角三角形，则 ，可得 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ， ，故 ，
整理得 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
故 在 上递减， ，即 ，
所以 在 上递减，故 .
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知抛物线 的准线 交 轴于 ，过 作斜率为 的直线 交 于 ，过
作斜率为 的直线 交 于 ．
的
（1）若抛物线 焦点 ，判断直线 与以 为直径的圆的位置关系，并证明；
（2）若 三点共线，
①证明： 为定值；
②求直线 与 夹角 的余弦值的最小值．
【答案】（1）相切，证明见解析
（2）① ； ②
【解析】
【分析】（1）将直线 和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段 的中点和长度，即可得以 为
直径的圆的方程，通过判断圆心与直线 的距离与半径的大小关系来去顶直线与圆的位置关系；
（2）①设 ，通过 三点共线即斜率相等可得 ，再将其代入
计 算 即 可 ； ② 设 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 ，
，通过 的关系代入消 ，通过直线和抛物型线相交，
利用判别式求出 的范围，进而可得最值.
【小问1详解】
若抛物线的焦点 ，则直线 即为直线 ，又
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学科网（北京）股份有限公司故 ，整理得
联立 ，消去 得 ，
则 ， ，
所以 ，
且 ，
故以 为直径的圆的圆的方程为 ，其圆心为 ，半径为 ，
所以以 为直径的圆的圆心到直线 的距离为 ，
故直线 与以 为直径的圆相切；
【小问2详解】
①设 ，又 ，
因为 三点共线，所以 ，
即 ，整理得 ，
所以
,
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学科网（北京）股份有限公司即 为定值 ；
②设直线 的倾斜角分别为 ，
则
由已知可得 ，
联立 ，消去 得 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，此时 最大， 最小，
此时由 ，解得 .
即直线 与 夹角 的余弦值的最小值为 .
【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以
真正的通过计算得出结论.
22. 已知
（1）当 时，求 过点 的切线方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若对 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
[参考不等式： ]
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造 、 并应用导数研究单调性，进而判断 上
最 大 值 所 在 区 间 ， 利 用 导 数 研 究 在 的 最 值 ， 得 到
，利用导数求右侧最大值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，
所以 ， ，故过点 的切线方程为 ，
即为 .
【小问2详解】
下述过程均在 且 条件下，
令 ，则 ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 上 ， 递减， 上 ， 递增，
且 ，
令 ，则 ，令 ，
故 上 ， 递减， 上 ， 递增，
且 ，
由 ，而 ，故 上 ，
时 ，故 上可能存在 （特殊值法判断最大值
可能区间），
要使不等式 恒成立，即 ，只需找到 上 ，
在上 ，显然 ，且 ，
令 且 ，则 且为增函数，
若 时 ，即 ， 递增，则 ；
若 时 ， ，
所以 使 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 上 ， 递减， 上 ， 递增，
，故 上 ，只需 则必为最大值，
此时 在 上右侧端点上取得；
综上，在 上确定 的最大值即可，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
对于 有 ，即 在 上递增，
所以 ，即 ，则 递增，
所以 ，即 递增，则 ，
故 ，即 .
【点睛】关键点睛：第二问，构造中间函数研究 最大值位置，进而得到 关于参数k的表达式
为关键.
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学科网（北京）股份有限公司
