文档内容
宝鸡市高考模拟检测（一）
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷解答题又分必考题和选
考题两部分，选考题为二选一。考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书
写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．若集合 中只有一个元素，则实数 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．已知复数 ， 为 的共轭复数，则 在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设向量 ， ，若向量 与 共线，则 （ ）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，中国代表团共获得201枚金牌，111枚银
牌，71枚铜牌，共383枚奖牌的历史最好成绩．某个项目的比赛的六个裁判为某运动员的打分分别为95，
95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均分为
学科网（北京）股份有限公司该选手的最后得分，设这六个原始分的中位数为 ，方差为 ，四个有效分的中位数为 ，方差为 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．若 的两边分别与 的两边平行，则
B．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
C．若直线 平面 ，直线 ，则
D．到四面体 的四个顶点 ， ， ， 距离均相等的平面有且仅有7个
7．已知直线 和圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，则“ ”是“ 的
面积为 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．三棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，且 ， ，则该三棱锥外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线与抛物线交于 ， 两点，其中点 在第一
象限，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 图像关于直线 对称，且关于点 对称，则 的值可
能是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．15
12．设 ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 为
它们的一个交点， ， 分别为 ， 的离心率，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是_________．
14．设 ， 满足约束条件 则 的最小值为_________．
15．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，且
，则 _________．
16．已知函数 ，若 且 ，则 的最大值为_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、
指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量.为了了解市场需求，某品牌“扫地
机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间
， ，…… 统计）
学科网（北京）股份有限公司（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有99%的把握认为使用“扫地机器
人”与年龄有关？
是否使用扫地机器人
是 否
年龄
（2）从这1000个年龄在 的人中按年龄段采取分层抽样的方法抽取5人，现从这5人中随机，抽取3
人做深度采访，求这3人中恰有2人年龄在年龄在 的概率．
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥 中，
， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求四面体 的体积．
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分12分）
已知数列 ，若 ，且 ．
（1）求证： 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前项和为 ，求证： ．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴， 轴上运动，且 ，动点 满足
．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知 ，求证：当 时， 恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．作答时请先涂题号．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为
学科网（北京）股份有限公司（其中 为参数， ），且直线 和曲线 交于 ， 两点．
（1）求曲线 的普通方程及直线 经过的定点 的坐标；
（2）在（1）的条件下，若 ，求直线 的普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知 ，若 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）已知 ， ， 均为正数，且满足 ，求 的最小值．
2024 年宝鸡市高考模拟检测（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D A C D D B C B A B A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：
是否使用扫地机器人
是 否
年龄
440 110
270 180
学科网（北京）股份有限公司故而有99%的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．
（2）由条件可知抽取5人中，有3人在 ，记为1，2，3，2人在 ，记为4，5．从中抽取3人
的结果有：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），
（345）共10种，
恰有2人年龄在年龄在 占6种，故 ⋅
18．【详解】（1）证明：设 为 的中点，连接 ，
，
又 ，
，又
平面 ，
又 ，
四边形 为矩形
且
设 为 的中点，连接 ， ，则 ，且
四边形 为平行四边形
，又 平面
平面
（2）由 ， 得 ，
由（1）可 得到平面 的距离为
学科网（北京）股份有限公司所以
19．【详解】（1）证明： ，
又 ， 是首项为2，公比为2的等比数列，
，
（2）解： ，且结合（1）得
， 是递增数列
20．【详解】（1）设 ， ， ， ，
，
动点 的轨迹 的方程
（2）设 ，
联立 得
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，化简得
又因为 ， ，
所以
化简得 ，适合
所以
21．【详解】（1） 时，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
即 的递增区间为 ，递减区间为
（2）因为 ， ，
令 ，
则 ，
令 ，则
当 时， ， 在 上单调递减
又因为 ， ，
即存在唯一 ，使
当 时， ；当 时，
学科网（北京）股份有限公司所以 时， 恒成立．即 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．作答时请先涂题号．
22．【详解】（1）由 ，将两个方程左右两边平方后相加，可得曲线 的直角坐标方程
为
由 得直线 经过的定点 的坐标为
（2）将 ， 代入
得 ，
即 ，设其两根为 ，
则 ，
得 ，即 ，得 ，经检验
故直线 的普通方程为：
23．【详解】（1）因为 的解集为 ，所以
；
当 时， ，得
当 时， ，得 ，
综上解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ．
（2）由（1）得 ， ．
又 ， ， 均为正数， ，所以 得 ，
所以 ．
当 且 时，即 ， 取得最小值 ．
学科网（北京）股份有限公司
