青岛版9年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

义 务 教 育 教 科 书 数 学 九年级 上册 QINGDAOCHUBANSHE书 名 义务教育教科书 数学（九年级上册） 主任编编 展 涛 出版发行 青岛出版社 社 址 青岛市海尔路 182 号（266061） 本社网址 http://www.qdpub.com 责任编辑 刘海波 戴振宇 美术编辑 路渊源 制 版 济南汇海科技有限公司 印 刷 昌邑市新华印刷有限公司 出版日期 2014 年 7 月第 2 版 2021 年 6 月第 15 次印刷 开 本 16 开（787mm×1092mm） 印 张 10.5 字 数 150 千字 书 号 ISBN 978-7-5436-3785-6 定 价 9.80 元 编校质量、盗版监督服务电话 4006532017 （0532）68068670 青岛版图书售出后如发现质量问题，请寄回青岛出版社印刷物资处调换。 电话：（0532）68068629亲爱的同学： 你们好！祝贺你进入九年级，开始了义务教育阶段最后一学年的 学习生活，攀登上一个新的起点。 过去你已经熟悉了全等形。但生活中还有形状相同大小未必相等 的图形，怎样判定两个三角形的形状相同呢？形状相同的三角形有 什么性质？怎样把一个图形放大或缩小？你将在“图形的相似”中 得到解答。 你到过或听说过“东方比萨斜塔”——苏州虎丘塔吗？这座塔 四百多年前就开始倾斜，现在它的中心线偏离铅直方向多少度了？它 与地面的倾斜角是多少？你会在“解直角三角形”中学到解决这类实 际问题的本领。 在七年级，你对圆已经有了初步认识，本书将带你进一步探索圆 的性质，掌握圆与角、圆与直线、圆与三角形、圆与正多边形等更为 广阔的知识。通过这一章的学习，你的数学视野将会进一步扩大，你 的推理能力将会进一步得到提高。 在学习了一元一次方程和分式方程的基础上，你将认识新的朋 友——一元二次方程，学会它的解法，并用它解决一些实际问题，你 会再次感受方程是刻画现实世界的重要的数学模型。 数学是人们生活、工作和学习必不可少的工具，也是一种文化和 思维的方式。数学不仅给我们知识，而且给人以智慧、修养和力量。 过去，数学一直是你的亲密伙伴，今后，数学将继续伴你茁壮成长。 现在，就让我们走进九年级数学的新天地，继续领略数学的美 妙，探索数学的奥秘吧！目 录 目 录 第 1 章 图形的相似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 1.1 相似多边形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 1.2 怎样判定三角形相似 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 1.3 相似三角形的性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 22 1.4 图形的位似 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 26 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 32 第 2 章 解直角三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 36 2.1 锐角三角比 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 38 2.2 30°，45°，60°角的三角比 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 41 2.3 用计算器求锐角三角比 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 45 2.4 解直角三角形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 49 2.5 解直角三角形的应用 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 53 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 62 第 3 章 对圆的进一步认识 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 66 3.1 圆的对称性 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 68 3.2 确定圆的条件 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 76 3.3 圆周角 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 81 3.4 直线与圆的位置关系 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 91 3.5 三角形的内切圆 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 101 3.6 弧长及扇形面积的计算 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 104 3.7 正多边形与圆 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 109 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 117 1目 录 第 4 章 一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 122 4.1 一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 124 4.2 用配方法解一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 130 4.3 用公式法解一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 135 4.4 用因式分解法解一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 139 4.5 一元二次方程根的判别式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 142 *4.6 一元二次方程根与系数的关系 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 146 4.7 一元二次方程的应用 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 149 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 155 综合与实践 黄金分割与五角星 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 158 2第1章 图形的相似 23第1章 图形的相似 1.1 相似多边形 交流与发现 五星红旗是中华人民共和国的国旗. 国旗上的左上角 有五颗五角星（图 1-1）. 这五颗五角星的形状相同吗？ 大小相等吗？ 在现实生活中，你还见过形状相同但大小未必相等 图 1-1 的图形吗？ 形状相同的平面图形叫做相似形（similar figures）. 全等形与相似形有什么关系？ 两个全等形也 两个相似形未 是相似形. 必是全等形. 观察与思考 小莹在电脑上任意画出一个四边形 ABCD（图 1-2 ①），并将它按原大复制下来，得到四边形 A'B'C'D' （图 1-2 ②）. 然后将四边形 ABCD 各角的大小保 5 持不变，将它的各边同时放大 倍，得到四边形 4 A''B''C''D''（图 1-2 ③）. 再将四边形 ABCD 各角的大 2 小保持不变，将它的各边同时缩小 ，得到四边形 A'''B'''C'''D'''（图1-2 ④）， 3 把这四个四边形打印在同一张纸上（图 1-2）. 41.1 相似多边形 （1）观察得到的四个四边形，你发现它们的形状和大小有什么特征？它们 是相似形吗？ 形状相同是对相似形的一种描述，能利 用两个相似多边形的各角之间及各边之间的 数量关系表述它们形状相同的特征吗？ （2）观察图 1-2 ① 和 ③，在四边形 ABCD 与四边形 A"B"C"D" 中，∠A 与 ∠A"，∠B 与∠B"，∠C 与∠C"，∠D 与∠D" 之间分别具有怎样的数量关系？ AB BC CD DA 相应的各边的比 ， ， ， 之间有怎样的关系？ A"B" B"C" C"D" D"A" （3）观察图 1-2 ① 和 ④，四边形 ABCD 与四边形 A"'B"'C"'D"' 相应的各角 及相应的各边分别具有怎样的数量关系？图 ③ 和图 ④ 呢？ A'' A A' A''' B D B' D' B'' D'' B''' D''' C C' C'' C''' ① ② ③ ④ 图 1-2 由上面的探究过程，我们发现：把四边形 ABCD 复制、放大或缩小后，所 得到的四边形与原来的四边形相似，它们的各个角对应相等，各边对应成比例. 反过来，如果一个四边形与四边形 ABCD 的各角对应相等，并且各边对应成比 例，那么这个四边形与四边形 ABCD 形状相同，也就是说，这个四边形与四边 形 ABCD 相似. 由此，可以给出相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形 的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 （similar polygons）. 如图 1-2，四边形 ABCD 与四边形 A''B''C''D'' 相似，记作四边形 ABCD ∽ 四边形 A''B''C''D'' . 符号“∽”读作“相似于”. 与三角形全等的表示方法一 5第1章 图形的相似 样，在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）. 例如，在图 1-2 5 中，四边形 A''B''C''D'' 与四边形 ABCD 的相似比为 ，或说成 5 : 4. 四边形 4 2 A'''B'''C'''D''' 与四边形 ABCD 的相似比为 . 当两个多边形全等时，其相似比为 3 1；反之，如果两个相似多边形的相似比为 1，那么这两个多边形全等. 例 1 如图 1-3，已知四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF . （1）写出它们相等的角及对应边的比例式； （2）若 AD = 3，EF = 4，求 BC 的长. 解 （1）在四边形 AEFD 和四边形 EBCF 中， 图 1-3 ∵ 四边形AEFD ∽ 四边形EBCF， ∴∠A =∠BEF，∠AEF = ∠B，∠DFE =∠C，∠D =∠EFC . AE EF DF AD 并且 = = = . EB BC FC EF EF AD （2）∵ AD = 3，EF = 4 . 代入 = 得 BC EF 4 3 = . BC 4 16 解得 BC = . 3 挑战自我 由两个多边形的各个角分别相等，能断定它们相似吗？由两个多边形的边 对应成比例，能断定它们相似吗？如果不能，请分别举出反例；如果能，说明 你的理由. 史海漫游 漫谈相似形 我们知道，形状相同的平面图形叫做相似形，形状相同且大小相等的图形叫做全等 形. 因此，全等形是相似形的特殊情况. 两个全等多边形是相似比为 1 的相似多边形. 61.1 相似多边形 人类对相似形的研究和应用，有着悠久的历史. 古希腊数学家泰勒斯（Thalcs，约公元前 625 — 公元前 547）是希腊几何学的先 驱，早于欧几里得约 300 年，他已开始了对全等三角形和相似三角形的研究. 在他提出 的为数不多的几何命题中，就有“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”，并根据 相似三角形的原理，利用金字塔的塔高与垂直于地面的木杆的杆高之比等于它们的影长 之比，测量出了埃及金字塔的高度. 欧几里得的《原本》中，在系统地建立了与全等形有关的知识体系后，专门有两卷 （第Ⅴ卷和第Ⅵ卷）研究了比例论和相似图形. 1679年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）在 研究图形的相似问题时，产生了一个奇妙的想法，他把拉丁字 母 S 横过来，把相似符号写成“ ”，用“∽”表示全等. 后人在 此基础上，创造了全等符号“≌”，其中上面的“∽”表示两个 图形相似，下面的“=”表示两个图形的大小相等，这充分反映 了两个全等形形状相同、大小相等的本质. 正因为相似符号“∽”和全等符号“≌”具有直观、简便 等优点，所以这两个符号被数学界沿用至今. 莱布尼兹 练 习 1. 三角形与四边形能相似吗？等边三角形与直角三角形能相似吗？为什么？ 2. 如图，△ABC ∽△DFE，点 A 与点 A D D，点 B 与点 F 是对应顶点. 请写出它 们的对应角、 对应边以及对应边之间 B C EE FF 的比例式. （第 2 题） 习题1.1 复习与巩固 1. 如果五边形 ABCDE ∽ 五边形 A'B'C'D'E'，且五边形 ABCDE 与 A'B'C'D'E' 的相似比为 k ，五边形 A'B'C'D'E' 与 ABCDE 的相似比为 k ，那么 k 与 k 满足怎样的数量关系？ 1 2 1 2 2. 如图，已知 △DEA ∽△BCA， （1）BC∥DE 吗？为什么？ 7第1章 图形的相似 （2）如果 BC = 3.6，ED = 2.4，AE = 5，求 AC 的长. 3. 如图，四边形 ABCD ∽四边形 P RS，BC = 8， R = 10，PS = 6，∠B = 64°. 求： （1）∠ 的度数； （2）AD 的长； （3）求四边形 ABCD 与四边形 P RS 的相似比. E D R C A S D A B P B C （第 2 题） （第 3 题） 拓展与延伸 A 4. 如图，△BEA∽△BAD，写出图中所有相等的角和成比例线 段的比例式. E B D （第 4 题） 探索与创新 5. 已知△ABC ∽△DEF，如果 BC = 3，CA = 4，AB = 6，△DEF 的最短边长为 2 . 求： （1）△DEF 各边的长； （2）△ABC 与△DEF 的相似比. 1.2 怎样判定三角形相似 实验与探究 （1）如图 1-4，直线 l ，l 被平行直线 l ，l 所截， 1 2 3 4 交点分别为 A，B，C，D . 过线段 AB 的中点 E，作直线 l ∥l ，交 l 于点 F . F 是线段 DC 的中点吗？如果是，证明 5 4 2 你的结论. 图 1-4 81.2 怎样判定三角形相似 要证明 DF = FC，如果能把它们放 在两个全等三角形中就好办了. 过 D 作 DG∥l ，交 l 于点 G，过 F 作 1 5 FH∥l ，交 l 于点 H，由已知 AE = EB，可 1 4 推出 DG = FH . 再设法证明△DGF ≌△FHC （AAS），便能推出 DF = FC . 上面的结论还可以说成：直线l ，l 被三条平行直线l ，l ，l 所截，如果 1 2 3 4 5 在l 上截得的两条线段的比等于1∶1，那么在l 上截得的两条线段的比也等于 1 2 1∶1，也就是说这时截得的四条线段成比例. 如果l 被l ，l ，l 所截得的线段不 1 3 4 5 相等，上面的结论能进一步推广吗？ （2）在图 1-4 中，如果再取 AE 的中点 P，过点 P 作直线 l ∥l 交 l 于点 6 3 2 （图 1-5 ①），此时对应线段 AP，PB，D ， C 成比例吗？为什么？如果取 EB 的中点 P ，过点 P 作直线 l ∥l ，交 l 于点 （图 1-5 ②）. 你发现 l，l 被平行 1 1 7 3 2 1 1 2 线 l ，l，l 截得的对应线段AP ，P B，D ， C成比例吗（图 1-5 ②）？ 3 7 4 1 1 1 1 ① ② 图 1-5 在图 1-5 ① 中，由 E 是 AB 的中点，P 是 AE 的中点，可得 9第1章 图形的相似 1 1 1 AE = EB = AB， AP = PE = AE = AB， 2 2 4 1 1 3 PB = PE + EB = AB + AB = AB . 4 2 4 1 AB AP 4 1 ∴ = = . PB 3 3 AB 4 另一方面，由 l ∥l ∥l ∥l ，利用（1）的结论，可知 6 3 5 4 DF = FC，D = F， 1 3 于是 D = F = DC， C = F + FC = DC . 4 4 D 1 ∴ = . C 3 AP D ∴ = . PB C 在图 1-5 ② 中，类似地可以得到 AP D 1 = 1， P B C 1 1 即 AP ，P B，D ， C 是成比例线段. 1 1 1 1 （3）在图 1-5 ① 中，再继续取 AP 的中点 P ，或 PE 的中点 P ，或 PB 的中 2 3 点 P ，或 AP 的中点 P ，分别过这些点作 l 的平行线，重复（2）中的推理过 4 4 5 3 程，还可得到 AP D i = i（i = 1，2，3，⋯）. PB C i i （4）一般地，如果任意两条直线l ，l 被一组平行直线 1 2 l ，l ，l 所截，交点分别是点 A，B，C；D，E，F（图 1-6）. 3 4 5 AB DE 都有 = . BC EF 图 1-6 BC EF AB DE （5）在图 1-6 中，利用比例的基本性质，你能得到 = ， = AB DE AC DF 吗？你还可以得到哪些比例式？ 在本书中，把下面的命题作为第 9 个基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 101.2 怎样判定三角形相似 （6）特别地，在△ABC 中，DE∥BC . 线段 AD，AB，AE，AC 成比例吗？ 线段 AD，AB，DE，BC 呢？ AD AE 过点 A 作直线 l∥BC（图 1-7），则 l∥DE，于是 = （基本事实 9）. AB AC AD CF 过 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F（图 1-8），则 = （基本事实 9）. AB CB ∵ DE∥BC，DF∥AC， A ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形. A l ∴ DE = CF . D E D E AD DE ∴ = . AB BC B C B C F AD AE DE 从而 = = . 图 1-7 图 1-8 AB AC BC 于是，就得到基本事实 9 的一个推论： 推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 练 习 1. 如图，已知直线 l ∥l ∥l ，AB = 3 cm，BC = 5 cm，DE = 2.4 cm，求 DF 的长. 1 2 3 2. 如图，已知直线 l ∥l ∥l ，直线 l ，l 分别与 l ，l ，l 相交 ，直线 l 与 l 相交于点 A， 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 如图 ① ② ③. 分别写出图中对应线段的比例式. l l 4 5 l l l l l l 4 5 4 5 4 5 A D C G D A D l l l l 1 1 1 A 1 B E l l l 2 D E l 2 A 2 B E 2 C F l B C l 3 B E l 3 C F l 3 3 ① ② ③ （第 1 题） （第 2 题） 11第1章 图形的相似 实验与探究 （1）相似三角形是最简单、最常见的相似多边形. 你能根据相似多边形的定义 说出两个怎样的三角形是相似三角形吗？怎样判定两个三角形是相似三角形呢？ 利用定义判定两个三角形相似太 不方便了. 能否适当减少其中的某些 条件，建立简便一些的判定方法呢？ （2）我们知道，两个三角形有 6 对元素，只要其中的 3 对元素符合下面的 一种情况，就可以判定这两个三角形全等： ① 两角及其夹边分别相等； ② 两角及其中一组等角的对边分别相等； ③ 两边及其夹角分别相等； ④ 三边分别相等. 在 ① 和 ② 两种情况中，都包含三个条件：两角相等及其中某一边分别相 等，由于相似三角形对应边的长可以不相等，如果把其中一边相等的条件去 掉，仅保留两角分别相等的条件，能判定这两个三角形相似吗？ （3）任意画△ABC，然后再作 A 一个△A'B'C'，使∠A =∠A'，∠B A' =∠B'（图 1-9）. 观察这两个三角 B C B' C' 形，它们的形状相同吗？怎样判定 图 1-9 它们相似呢？ 如果将△A'B'C' 放到 △ABC 上面，使 A' 与 A 重合. A'B' 落到 AB 上，由∠A =∠A'，那么 A'C' 落到 AC 上. 因为∠B =∠B' ，所以 B'C'∥BC，于 是△ABC 与△A'B'C' 的三边对应成比例，且∠C =∠C' ，所以 △ABC ∽△A'B'C' . 121.2 怎样判定三角形相似 （4）小莹利用实验的方法探索发现了命题“两角分别相等的三角形是相似 三角形”. 你能在她的思路的基础上，完成这一命题的证明吗？ * 证明1 在 AB 边（当 AB < A'B' 时，在其延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E（图 1-10）. 则∠ADE =∠B，∠AED =∠C . 在△ADE 和△A'B'C' 中， A ∵ AD = A'B'，∠A =∠A'， D E A' 又∵∠B =∠B'，∴∠ADE =∠B' . ∴ △ADE ≌△A'B'C'（ASA）. B C B' C' 图 1-10 ∴ ∠AED =∠C'，∠C =∠C' . 由基本事实 9 的推论可知： AD AE DE = = . AB AC BC ∵ AE = A'C'，DE = B'C' . A'B' A'C' B'C' ∴ = = . AB AC BC 根据相似三角形的意义，△ABC ∽△A'B'C' . 于是，便得到 相似三角形的判定定理 1 两角分别相等的两个三角形相似. 例 1 如图 1-11，已知点 B，D 分别是∠A的两边 A AC，AE 上的点，连接BE ， CD，相交于点 O，如果∠1 D =∠2，图中有哪几对相似三角形？说明理由. B 1 2 O 解 △DOE ∽△BOC，△ABE ∽△ADC . 理由是： C E 因为∠1 =∠2，∠DOE =∠BOC，由判定定理 1，所以 图 1-11 △DOE ∽△BOC . 同理，由∠E =∠C，∠A =∠A，所以△ABE ∽△ADC . 1 相似三角形的判定定理 1 及后面的判定定理 2，3 的证明为选学内容，不作考试要求. 13第1章 图形的相似 挑战自我 如图（图 1-12）. B，C 分别是∠A 两边上的任 意一点. 过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D . 过点 C 作 CE⊥AB，垂足为点 E . BD，CE 相交于点 F . 图中 共有哪几对相似三角形？说明理由. 图 1-12 练 习 1. 在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = 68°，∠B = 40°，∠A' = C 68°，∠C' = 72°，△ABC 和△A'B'C' 是否相似？为什么？ 2. 如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. A B （1）△ABC 与△ACD 相似吗？为什么？ D （2）图中还有哪几对相似三角形？说明理由. （第 2 题） 观察与思考 （1）我们知道，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 如果把其中两边 相等的条件改为：“两个三角形的两边成比例”，保留“夹角相等”的条件，这两 个三角形相似吗？ （2）如图 1-13，已知△ABC， A 作∠A' =∠A，然后将△ABC 中∠A 的 A' 两边按一定的比例同时缩小（或放 B C B' C' 大）得到△A'B'C'，这时∠A 与∠A' 的 图 1-13 A'B' A'C' 两边的关系满足 = . 观察所得到的△A'B'C'，它与△ABC 相似吗？怎样 AB AC 才能证明你的结论呢？ 由已知∠A =∠A'，能仿照判定定理 1 的证 明思路，在△ABC 上截得一个与△A'B'C' 全等 且与△ABC 相似的三角形吗？ 141.2 怎样判定三角形相似 * 证明 如图 1-14，在 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E . 于是 AD AE ∠B =∠ADE 且 = （基本事实 9 的推论）. ① AB AC A A'B' A'C' ∵ = ， ② D E AB AC AD = A'B' ，比较 ① ② 两式左边和右边， B C AE A'C' A' ∴ = . AC AC ∴ AE = A'C' . B' C' ∵∠A =∠A'， 图 1-14 ∴△ADE ≌△A'B'C'（SAS）. ∴∠ADE =∠B'，∠B =∠B' . ∴△A'B'C' ∽△ABC（相似三角形的判定定理 1）. 于是，便得到 相似三角形的判定定理 2 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 例 2 如图 1-15，AD = 3，AE = 4，BE = 5，CD = 9. A D △ADE 与△ABC 相似吗？说明理由. E 解 △ADE ∽△ABC . 理由是： B C AD 3 1 AE 4 1 AD AE 图 1-15 由 = = ， = = ，可以得到 = . AB 4 + 5 3 AC 3 + 9 3 AB AC ∵∠EAD =∠CAB，∴△ADE ∽△ABC（相似三角形的判定定理 2）. B A 挑战自我 C D 如图 1-16，ABCD，CDEF，EFGH 是三个相连的正方形， 连接 AC，AF，AG . 你能证明∠FAC =∠AGC 吗？试一试. F E G H 图 1-16 15第1章 图形的相似 练 习 1. 选择题：如图，△ACD 与△ABC 相似的条件是（ ）. （A）AC∶CD = AB∶BC （B）CD∶AD = AB∶AC （C）AC2 = AD·AB （第 1 题） （D）CD2 = AD·DB 2. 在△ABC 和△A'B'C' 中. ∠B = B'，AD，A'D' 分别是△ABC，△A'B'C' 的角平分线，且 AB A'B' = . △ABC 与△A'B'C' 相似吗？说明你的理由. BD B'D' 观察与思考 （1）我们知道，三边分别相等的两个三角形全等. 如果把条件“三边相等” 改为“三条边成比例”，这两个三角形相似吗？ （2）如图1-17，把△ABC 的三边按一定的比例缩小（或放大）后得到 A'B' A'C' B'C' △A'B'C' ，这时两个三角形三边之间的关系满足 = = . 观察所得到 AB AC BC 的△A'B'C' ，它与△ABC 相似吗？怎样才能证明你的结论呢？ A A A' D E A' B C B' C' B C B' C' 图 1-17 图 1-18 与证明相似三角形的判定定理 1，2 类 似，如果能在△ABC 中用平行于 BC 边的直 线截得一个△ADE，使它与△A'B'C' 全等， 并与△ABC 相似，问题就可以解决. * 证明 如图1-18，在 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B' . 过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E . 于是 AD AE DE = = （基本事实 9 推论）. ① 16 AB AC BC1.2 怎样判定三角形相似 A'B' A'C' B'C' ∵ = = ， ② AB AC BC AD = A'B' . AD A'B' ∴ = . AB AB AE A'C' DE B'C' 比较 ① ② 可得， = ， = . AC AC BC BC ∴ AE = A'C'，DE = B'C' . ∴△ADE ≌△A'B'C'（SSS）. ∴∠A =∠A' . ∴△ABC ∽△A'B'C'（相似三角形的判定定理 2）. 于是，便得到 相似三角形判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似. AB BC AC 例 3 如图 1-19，已知 = = . 不另外添加字母，写出图中相等 AD DE AE 的角，并说明理由. 要找出图中相等的角，先要根据已知条件 AB BC AC = = ，找出 AB，BC，AC 和AD， AD DE AE DE，AE 分别所在的三角形，再判定这两个三 角形相似就可以找出相等的角了. A 解 在△ABC 与△ADE 中， E AB BC AC ∵ = = ， AD DE AE B C ∴△ABC ∽△ADE（相似三角形的判定定理 3）. D ∴∠BAC =∠DAE，∠ABC =∠ADE，∠C =∠E . 图 1-19 由∠BAC =∠DAE 还可推出∠BAD =∠CAE . 利用相似三角形可以证明 角的相等. 17第1章 图形的相似 挑战自我 （1）如果两个三角形的三条边的比都是 3∶4∶5，这两个三角形相似吗？ （2）在什么条件下两个等腰三角形相似？在什么条件下两个直角三角形相 似？ 练 习 1. 在如图所示的正方形网格中，各画有一个格点三角形. 找出其中的相似三角形. ① ② ③ ④ （第 1 题） 2. 已知三角形三边的长分别为 4，5，6，画出与它相似的另一个三角形，使它的一条边 长为 2 . 你能画出几种符合要求的三角形？与同学交流. 例 4 如图 1-20，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔 的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住. 已知小亮的身高 BC = 1.6 m， 此时，他的影子的长 AC = 1 m，他距水塔的底部 E 处 D 11.5 m，水塔的顶部为点 D . 根据以上数据，你能算 出水塔的高度 DE 是多少吗？ 解 如图 1-20， B ∵∠BAC =∠DAE，∠BCA =∠DEA = 90°， ∴△ABC ∽△ADE（相似三角形的判定定理 1）. A C E 图 1-20 DE AE ∴ = . BC AC ∵AC = 1 m，CE = 11.5 m，BC = 1.6 m，AE = AC + CE = 1 + 11.5 = 12.5（m）， DE 12.5 ∴ = . ∴ DE = 20（m）. 1.6 1 181.2 怎样判定三角形相似 即水塔的高度为 20 m . 按照例 4 的方法，你会测量教室附近一根电线杆的高度吗？与同学一起试 一试. 挑战自我 小亮在测量一根电线杆的高度时，恰逢 阴天，物体没有影子，于是他设计了测量电 线杆高度的另一种方案：先在地面的适当位 置平放一面小镜子，然后他看着镜子中电线 杆的像，沿着电线杆的底部与镜子所在的直 线一步步向后退，一直退到在镜子中刚好能 图 1-21 看到电线杆的顶端为止（图1-21）. 这时， 分别量出他到镜子以及镜子到电线杆底部的距离和他的眼睛到地面的距离，就 可算出电线杆的高. 你认为小亮的这个方案是否可行？它的原理是什么？ 如果认为可行，请用这种方法测出你们学校某幢建筑物的高度. 史海漫游 陈子测日 太阳给人类和自然界的生存与延续提供了宝贵的能源. 太阳离地球究竟有多远？自 古以来，人们就在寻找这一问题的答案. 在我国，约公元前 1 世纪成书的《周髀算 S 经》中有陈子测日的记载 1 . 陈子是公元前 6-7 世 纪人，与测量金字塔高度的古希腊人泰勒斯是同 A F H h h 一时期的人. 他采用的方法如下：如图 1-22，S 表 B C ID l GE 示太阳，C 是太阳正下方的点，在夏至时，分别 图 1-22 1 见《周髀算经》卷上之二，陈子曰：“日中立杆测影，⋯⋯髀长 8 尺，夏至之日，晷 1 尺 6 寸，髀 者，股也. 正晷者，勾也. 正南千里，勾 1 尺 5 寸，正北千里，勾 1 尺 7 寸.” 19第1章 图形的相似 在 D ，E 两处立杆（即“髀”）AD 和 FE，BD 和 GE 分别是杆 AD，FE 在中午时的影子. 记杆高为 h，杆距 DE 为 l，两杆日影差为 d（d = BD - GE）. 这里 h，l，d 均可测出，由 hl h，l，d 可计算出日高 SC .《周髀算经》相当于给出了日高公式：日高 SC = + h . d 这一测量公式当初是怎样推出的，后人颇多探讨，并无定论. 但我们可以用相似三 角形对应边成比例的原理加以解释. 在图 1-22 中，作AI∥SG . 由△SHF ∽△ADI，△SFA ∽△AIB，得 SF SH HF SF AF = = ， = . AI AD DI AI BI SH AF 所以 = ， AD BI AD·AF 因此 SH = . BI ∵ AD = HC = h，AF = DE = l，ID = GE，BI = BD - ID = BD - GE = d， AD·AF hl ∴ SC = + HC = + h . BI d 练 习 1. 如图，小亮要测量河流两岸 A，B 两点间的距离. 他先从 B 处出 发，沿与 AB 成 90°角的方向向前走 50 m 到 C 处，立一竹竿，然 后继续按这个方向朝前走 10 m 到 D 处转 90°，沿 DE 方向再到 E 处，使 A（目标），C（竹竿）与 E 在同一条直线上，量得 DE = 17 m，利用以上数据，他是怎样求出 A，B 两点间距离的呢？ （第 1 题） 2. 在第 1 题中，除了小亮设计的方案外，你还能利用相似三角形的 知识，设计出另外的方案吗？ 习题1.2 A 复习与巩固 D E 1. 如图，已知 DE∥BC，DF∥AC . 指出与△ADE 相似的三角 B C 形，并说明理由. F 2. 已知△ABC ∽△A B C （第 1 题） 1 1 1 （1）如果△A B C ≌△A B C ，那么△ABC 与△A B C 相似吗？为什么？ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 201.2 怎样判定三角形相似 （2）如果△A B C ∽△A B C ，那么△ABC 与△A B C 相似吗？为什么？ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3. 如图，已知 EF∥CD∥AB，EA∥FB . E F （1）写出所有与△ECG 相似的三角形； （2）填空： EC = EG = （ ） ， C G D EA （ ） AB A B BD BG （ ） = = . （第 3 题） BF （ ） EF 4. 如图，AE 与 BD 相交于点 C，∠DME =∠A =∠B，且 DM 交 AC 于点 F，ME 交 BC 于点 G . 写出图中三对相似三角形，并选任一对说明其相似的理由. M A B A G F C D E D E B C （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 AD = 2 AB，AE = 2 AC . 3 3 DE∥BC 吗？为什么？ 6. 在△ABC 与△DEF 中，已知∠B =∠E，且 AB·EF = DE·BC . 这两个三角形相似 吗？为什么？ 7. 如图，在△ABC 中，已知 AE = 2，BE = 3，DB = AE，BC A E = 7.5 . （1）△ABC ∽△DBE 吗？为什么？ B C （2）如果 DE = 2.5，那么 AC 的长是多少？ D （第 7 题） 8. 在△ABC 与△A'B'C' 中，已知 AB = c，BC = a，CA = b， B'C' = a'，C'A' = b'，并且 a∶a' = b∶b' . 当A'B'为多少时（用 a，a'，c 或 b，b'，c 表 示），△ABC 与△A'B'C' 相似？ 9. 大刚的身高为 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，他把一只手臂竖直向 上举起，测得影子长为 1.1 m，大刚举起手臂超过头顶多少米？ A 拓展与延伸 D 10. 如图，在△ABC 中，已知 D 是边 AB 上的一点，连接 CD，那么还需要增加一个什么条件，才能使△ACD B C ∽△ABC ？ （第 10 题） 21第1章 图形的相似 11. 如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠BAC =∠ADC， A AC = 8，BC = 16，求 CD 的长. B C D 探索与创新 （第 11 题） 12. P 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上异于 A，B 的一点，过点 P 作直线截△ABC，使截得的三 角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线有几条？画出图形，并说明理由. 1.3 相似三角形的性质 我们知道，全等三角形的对应线段（对应边上的高、对应边上的中线、 对应角的平分线）相等、面积相等，那么，相似三角形对应线段具有什么性质 呢？相似三角形的面积具有什么性质呢？ 交流与发现 如图 1-23，已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k . AD 与 A'D' 分别是对应边 A BC 与 B'C' 上的高. （1）除△ABC ∽△A'B'C' 以外，图中还有几对相似 B C 三角形？为什么？ D （2）AD 与 A'D' 的比与相似比 k 有什么关系？ A' 因为△ABC ∽△A'B'C'，所以∠B =∠B'， B' C' D' 又因为∠ADB =∠A'D'B' = 90°，所以△ABD 图 1-23 ∽△A'B'D' . 同样地，△ACD ∽△A'C'D' . AD AB = = k . A'D' A'B' 221.3 相似三角形的性质 （3）在△ABC 与△A'B'C' 中，分别作出∠A 与∠A' 的平分线以及 BC 与 B'C' 上的中线，探索对应的角平分线的比、对应边上中线的比分别与相似比 k 之间的 关系，说明你的理由，与同学交流. （4）△ABC 与△A'B'C' 的面积的比 S ∶S 与相似比 k 有怎样的关系？ △ABC △A'B'C' 1 BC·AD S △ABC = 2 = BC · AD = k·k = k2 . S 1 B'C' A'D' △A'B'C' B'C'·A'D' 2 （5）归纳（2）（3）（4）的结论，能得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形对应线段的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方. 例1 如图 1-24，在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB = 3∶1，△ABC 的面 积为 48 . 求△ADE 的面积. 解 在△ADE 和△ABC 中，∠A =∠A，由 DE∥BC，可知∠ADE =∠B， 根据判定定理 1，△ADE ∽△ABC . A 于是 S △ADE =（ AD ）2 . S AB △ABC 由 AD∶DB = 3∶1，得 AD = 3DB， D E 从而 AB = AD + DB = 4DB， B C AD 3DB 3 图 1-24 所以 = = . AB 4DB 4 因为 S = 48，所以 S △ADE =（ 3 ）2 . △ABC 48 4 解得 9 S = ×48 = 27 . △ADE 16 例2 如图 1-25，有一块锐角三角形余料 A ABC，它的边 BC = 12 cm，高 AD = 8 cm . 现要用它 E P N 裁出一个正方形工件，使正方形的一边在 BC 上，其 余的两个顶点分别在 AB，AC 上，求裁出的正方形 B C D M 工件的边长. 图 1-25 23第1章 图形的相似 解 在△ABC 中，设裁出的正方形为 P MN . ∵ PN∥BC， ∴∠APN =∠B . ∵∠A =∠A， ∴△APN ∽△ABC . PN AE ∴ = （相似三角形的性质定理）. BC AD 设 PN = x，则 AE = 8 - x . ∵ BC = 12，AD = 8， x 8-x ∴ = . 12 8 24 解得 x = . 5 24 ∴裁出的正方形工件的边长为 cm . 5 挑战自我 （1）在例 2 中，如果并排放置的由 2 个全等的小正方形组成的矩形内接于 △ABC（图 1-26），那么小正方形的边长为多少？并排放置 3 个全等的小正方 形呢？ A A G E P N n个 P N B C B C FD M M 图 1-26 图 1-27 （2）如图 1-27，如果在△ABC 中并排放 n 个这样的小正方形，你猜测小正 方形的边长为多少？说明你的理由. 练 习 1. 两个相似三角形对应角平分线的比是 1∶4，它们对应高的比是 ，面积的比 是 . 241.3 相似三角形的性质 2. 两个相似三角形对应边的比是 2∶3，它们面积的和为 78 cm2，求较大的三角形的面积. 习题1.3 复习与巩固 1. 已知两个相似三角形两条对应边上的中线的长分别是 3 cm 和 5 cm，那么它们的相似 比是多少？对应高的比呢？ AB 2. 如图 1-23，在△ABC 与△A'B'C' 中，已知∠B =∠B'， C A'B' BC 5 = = . AD，A'D' 分别是这两个三角形的高. 如果 AD = B'C' 4 1.5，那么 A'D' 的长是多少？ A D B （第 3 题） 3. 如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，AD∶CD = 1∶2，求 S△ACD ∶S△CBD . 拓展与延伸 AD 4. 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，且 = 2. 求△ADE 与四 DB 边形 DBCE 的面积比. A A F E M D E B C B C D G （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图，有一块锐角三角形的余料 ABC，它的边 BC = 150 mm，AB = 100 mm，要把它 加工成菱形零件，使菱形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上，加工 成的菱形零件的高 ED = 51 mm，求△ABC 的高 AD . A 探索与创新 D G E 6. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，BE 和 CD 相交于点 F，且 F S△EFC = 3S△EFD . 求 S△ADE ∶S△ABC 的值. B C H （第 6 题） 25第1章 图形的相似 1.4 图形的位似 实验与探究 如图 1-28，任意画一个△ABC . （1）在△ABC 外任取一点 O，分别连接 AO，BO，CO； （2）分别取线段 AO，BO，CO 的中点 A'，B'，C'，连接 A'B'，B'C'，C'A' . △A'B'C' 图 1-28 与△ABC 的对应边之间有怎样的数量关系和位置关系？ （3）△A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么？ （4）在图 1-28 中，如果点 A" 是 OA 上的任意一点，过 A" 作 A"B"∥AB 交 OB 于点 B"，作 A"C"∥AC 交 OC 于点 C"，连接 B"C"，△A"B"C" 与△ABC 相似 吗？为什么？ （5）△ABC 与△A'B'C' ，△A"B"C" 的每对对应点所在的直线有怎样的位置 关系？ 像这样，对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同 一点的两个相似多边形叫做位似图形（homothetic figures），这个点叫做位似 中心（homothetic center）. 在图 1-28 中，△ABC 与△A'B'C' ，△A"B"C" 都是位似图形，点 O 是位似中心. （6）在图 1-28 中，利用位似，由△ABC 得到与它相似的△A'B'C' ，你发现 △ABC 的边长缩小了几分之一？反过来，由△A'B'C' 也可以利用位似得到与它 相似的△ABC ，这时△A'B'C' 的边长扩大了多少倍？ 一般地，位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化，位似不改变图形 的形状，利用位似可以将一个图形放大或缩小. （7）如图 1-29 ① ② ③，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 都是位似图形，你 发现它们的位似中心的位置有什么不同？ 261.4 图形的位似 C C C D B' D O A' D D' C' O D' C' A D' C' A' B' A（A'）B' B B A B ① ② ③ 图 1-29 在图 1-29 ① 中，位似中心 O 在两个图形的外部；在图 1-29 ② 中，位似中 心 O 在两个图形的内部；在图 1-29 ③ 中，位似中心 A 在两个图形的公共顶点 A （A'）处. 你还能画出四边形 ABCD 与 A'B'C'D' 位似时，位似中心的其他可能位 置吗？与同学交流. 例1 如图 1-30，已知△ABC 与点 O . 以点 O 为位 似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC 是位似图形，并且 相似比为 3∶2 . 图 1-30 画法 1 （1）作射线 OA，OB，OC ； 3 3 （2）在射线 OA，OB，OC 上分别取点 A'，B'，C'，使 OA' = OA，OB' = OB， 2 2 3 OC' = OC ； 2 （3）连接A'B'，B'C'，C'A'（图 1-31 ①）. △A'B'C' 就是所要画的图形. A' C' A A B' O O B C B C B' C' A' ① ② 图 1-31 画法 2 （1）作射线 AO，BO，CO ； 3 3 （2）在射线 AO，BO，CO 上分别取点 A'，B'，C'，使 OA' = OA，OB' = OB， 2 2 3 OC' = OC； 2 27第1章 图形的相似 （3）连接 A'B'，B'C'，C'A'（图 1-31 ②）. △A'B'C' 就是所要画的图形. 你能说出上面两种画法的道理吗？ 练 习 1 1. 画一个正五角星形，利用位似将它：（1）放大 3 倍；（2）缩小到原来的 . 2 2. 下图中的两个三角形是位似图形吗？如果是，画出它的位似中心. （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，AB 与 CD 相交于点 E，AC∥DB . △ACE 与△BDE 是位似图形吗？为什么？ 实验与探究 （1）如图 1-32，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为（0，0）， （6，0），（6，4），（0，4）. 如果将点 O，A，B，C 的横、纵坐标都缩小一半， 得到点 O'，A'，B'，C'，顺次连接点 O'，A'，B'，C'，得到了一个怎样的图形？ （2）四边形 O'A'B'C' 与矩形 OABC 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪 个点？它们的相似比是多少？ 图 1-32 图 1-33 如图 1-33，点 O' 与点 O 重合，点 A'，B'，C' 的坐标分别为（3，0），（3， 2），（0，2）. 顺次连接点 O，A'，B'，C'，因为∠xOy 是直角，由 A'，B' 的横坐 281.4 图形的位似 标相等，可知 B'A'⊥x 轴，从而∠OA'B' 是直角. 类似地，∠OC'B' 也是直角，从 OA' A'B' C'B' OC' 1 而四边形 OA'B'C' 是矩形. 因为 = = = = ，且对应角都是直 OA AB CB OC 2 1 角. 所以矩形 OA'B'C' 与矩形 OABC 相似，相似比为 . 2 2 连接 OB，由 O，B 两点的坐标可知，经过点 O，B 的直线为 y = x . 由于点 3 B' 的坐标（3，2）适合上式，故点 B' 在直线 OB 上. 又由点 A 与 A' 在 x 轴上，点 C 与 C' 在 y 轴上，因此矩形 OA'B'C' 与矩形 OABC 的对应顶点所在的直线都经过同 一点 O，且对应边 A'B'∥AB，B'C'∥BC，OA' 与 OA，OC' 与OC 分别在 x 轴、y 轴 上，所以矩形 OA'B'C' 与矩形 OABC 是位似图形，点 O 是它们的位似中心. （3）如图 1-34，已知△OAB 的顶点 O 是坐标原 点，顶点 A，B 的坐标分别为（-1，2），（-3，0）. 把 △OAB 各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍， 得到点 O'，A'，B' . 连接 O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B' 与 △OAB 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？ 图 1-34 （4）由（1）（2）（3） 你能得出什么结论？ 如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在 x 轴上，那么将这个多 边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是 位似图形，坐标原点是它们的位似中心. 上面得到的结论还能推广吗？如果能，说出你推广后的结论，与同学交流. 例2 如图 1-35，四边形 OABC 的顶点坐标分 别为（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）. （1）如果四边形 O'A'B'C' 与四边形 OABC 位似， 位似中心是原点，它的面积等于四边形 OABC 面积的 9 图 1-35 倍，分别写出点 A'，B'，C' 的坐标. 4 （2）画出四边形 OA'B'C' . 9 解 （1） 由四边形 O'A'B'C' 与四边形 OABC 的面积比为 ，所以它们的 4 29第1章 图形的相似 3 相似比为 . 将点 A，B，C 的坐标分别扩大到原来的 2 3 ，得到 A'（3，0），B'（6，6），C'（-3，3）. 2 （2）顺次连接 O，A'，B'，C'，四边形 OA'B'C' 就 是所要画的四边形（图 1-36）. 图 1-36 练 习 1. 如图， OABC 的一个顶点是坐标原点，点 A 的坐标是（4，0），点 C 的坐标是 （2，-2）. （1）求点 B 的坐标； （2）画出以点 O 为位似中心，与 OABC 位似的图形，使它与 OABC 的相似比为 1∶2 . （第 1 题） （第 2 题） 2. 在直角坐标系中，已知点 E（-4，2），F（-1，-1）. 以 O 为位似中心，把△EFO 缩 1 小到原来的 ，求点 E，F 的对应点 E'，F' 的坐标. 2 习题1.4 复习与巩固 1. 判断满足下列条件的两个三角形是不是 A A C D 位似图形，如果是，指出位似中心. （1）如图 ① 所示，AB，CD 相交于点 O O O，且∠B =∠D，AD = CB； B D B C （2）如图 ② 所示，AB，CD 相交于点 ① ② O，且∠B =∠A . （第 1 题） 301.4 图形的位似 2. 如图，在△ABC 中，E，F 是 AB 的三等分点，FH∥EG∥AC . （1）四边形 EFHG 与四边形 FACH 是位似图形吗？为什么？ （2）指出图中所有的位似图形. （第 2 题） （第 3 题） 3. 在如图所示的方格纸上，以点 O 为位似中心，画出与五边形 ABCDE 位似的图形，使 1 它的周长等于五边形 ABCDE 周长的 . 3 4. 如图，△ABC 为正三角形，点 A 与 B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）. 以点 C 为位似 中心，在点 C 下方画出一个与△ABC 位似的图形，使它与△ABC 的相似比为 2∶1. A P O R B C （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图，点 O 是等边三角形 ABC 的中心，P， ，R 分别是 OA，OB，OC 的中点. 说明 △ABC 与△P R 是位似图形，并求出它们的相似比. 拓展与延伸 6. 如图，在 6×8 的网格图中，每个小正方形的边长均为 1. 点 O 和△ABC 的顶点均是格点. 以 O 为位似中心，在网格中画出 与△ABC 位似，且相似比为 1∶2 的顶点均是格点的三角形. 探索与创新 （第 6 题） 7. 如图，小亮要从三角形木板 ABC 上锯下一块正方形木板，使正方形的一边在△ABC 的边 AB 上，另外两个顶点分别在边 AC，BC 上. 他采用了以下的方法： （1）在 AC 边上取一点 G，作 GD⊥AB，垂足为 D，以 GD 为一边在△ABC 内作正方 31第1章 图形的相似 形 GDEF； （2）连接 AF 并延长交 AC 于点 F' ； （3）过点 F' 作 AB 的平行线交 AC 于点 G' ，分别过 G' ，F' 作 AB 的垂线，垂足分别为点 D' ，E' . 所得到的四边形 D'E'F'G' 就是满足条件的正方形. （第 7 题） 小亮的作法正确吗 ？为什么？ 回顾与总结 1. 本章主要学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 什么叫做相似形？什么叫做相似多边形 ？全等形与相似形有哪些联系与区别？ 3. 什么叫做两个相似多边形的相似比？ 4. 基本事实 9 及其推论是什么？ 5. 你学过哪几个相似三角形的判定定理？ 6. 你学过相似三角形的哪些性质？ 7. 全等三角形与相似三角形的性质与判定有哪些相同与不同？ 8. 什么叫做位似图形？怎样利用位似将图形放大或缩小？ 9. 你能举出现实生活中相似形和位似图形的应用实例吗？ 10. 在直角坐标系中，如果将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在 横轴上）分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形有什么关系？ 综合练习 复习与巩固 1. 所有正方形都相似吗？为什么？所有矩形都相似吗？为什么？ 2. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如果矩形 DMNC 与矩形 A M D ABCD 相似，且 AB = 4 . （1）求 AD 的长； （2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比. B N C （第 2 题） 32回顾与总结 3. 如图，在△OBE 中，D 是 OE 上的一点，连接 BD，作 E D AD∥BE 交 OB 于点 A，过 A 作 AC∥BD 交 OE 于点 C . 等 C 式 OD2 = OC·OE 成立吗？说明理由. 4. 如图，△ABC ∽△ACD . O A B （1）写出图中相等的角； （第 3 题） （2）已知 AD = 4 cm，AC = 6 cm，求 AB 的长. A P D C A D B B C （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图，在△PAD 中，∠APD = 120°，B，C 为 AD 上的点， A △PBC 为等边三角形. 找出图中的相似三角形，并说明理由. F 6. 如图，点 D 在 AB 上，点 E，F 在 AC 上，AF∶AE = AD∶AB = D E AE∶AC . 图中有哪些线段互相平行？请说明你的理由. B C 7. 选择题：在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，DE∥BC， （第 6 题） AD∶DB = 1∶2，下列结论中正确的是（ ）. DE 1 DE 1 （A） = （B） = BC 2 BC 3 △ADE的周长 1 △ADE的面积 1 （C） = （D） = △ABC的周长 2 △ABC的面积 3 AB AC BC 8. 如图，由 = = 能得出哪些角分别相等？说明你的理由. AE AD ED 45 cm A A D D O E B C B C 30 cm （第 8 题） （第 9 题） 9. 如图是小孔成像原理的示意图，如果物体 AB 的高度为 36 cm，根据图中标注的尺寸， 那么它在暗箱所成的像 CD 的高度是多少厘米？ 10. 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线，与另一个三角形的两边和其中一边上 的中线对应成比例. 这两个三角形相似吗？为什么？ 33第1章 图形的相似 11. 如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，△CBD ∽△ACD . A （1）求∠ADC 及∠ACB的度数； D （2）如果 AD = 4，BD = 9，求 CD 的长. C B 拓展与延伸 （第 11 题） 12. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，BF⊥AE，垂足为点 F . 设 AB = a，BC = b，求 BF 的长. y A D O x F E B C （第 12 题） （第 13 题） 13. 选择题：如图所示的直角坐标系中，y 轴右边的小“鱼”与 y 轴左边的大“鱼”是位似 图形. 如果小“鱼”上的一个“顶点”的坐标为（a，b）. 那么大“鱼”上对应“顶点”的 坐标是（ ）. （A）（-a，-2b） （B）（-2a，-b） （C）（-2a，-2b） （D）（-2b，-2a） 14. 大刚在晚上由灯柱 A 走向灯柱 B . 当他走到 P 点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触 到灯柱 A 的底部. 当他向前再走 20 m 到达 点时，发觉他身前影子的顶部刚好接触到 A P B 灯柱 B 的底部. 已知大刚的身高是 1.7 m， （第 14 题） 两支灯柱的高度都是 9.6 m，设 AP = x m . 求两支灯柱之间的距离. 探索与创新 15. 如图，在 Rt△BCA 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，过点 C 作 CA ⊥AB，垂足为 1 点 A 1 ，再过点 A 1 作 A 1 C 1 ⊥BC，垂足为点 C 1 ，⋯⋯按以上的方法继续作下去，得到 Rt△A 5 C 5 C 4 . 34回顾与总结 （1）图中与 Rt△A C C 相似的三角形共有多少个？ 5 5 4 （2）求线段 A C 的长. 5 5 A A D A 1 A 2 N O A A 3 A 4 M 5 B C B C CC C C C 5 4 3 2 1 （第 15 题） （第 16 题） 16. 如图，O 为矩形 ABCD 的中心，将三角尺的直角顶点与点 O 重合，直角边分别与矩 形的两边 AB，BC 分别相交于点 N 和 M，当三角尺绕点 O 旋转时始终与 AB，BC 相 交. 如果 AB = 4，AD = 6，OM = x，ON = y，试写出 y 与 x 的表达式. 17. 如图是由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图 形，在这些三角形中，以 O 为顶点的角都等于 30°. （1）图中与△ABO 相似的三角形有多少个？ （2）图中有没有与△ABO 位似的三角形？如果有，指 出它是哪一个. 18. 如图，图 ① 是第 17 题图形的缩小图，它是由一些相似 （第 17 题） 的直角三角形组成的“海螺”图案；图 ② 是由一些相似的正五边形组成的“玫瑰花” 图案；图 ③ 是由一些大小不等的圆（所有的圆也可看作是相似形）组成的“贝壳” 图案. 请你也利用一些相似形设计几个美丽的图案，并加以命名；同时搜集几个用相 似形构成的图案. 看谁设计得好，搜集得多. 海螺 玫瑰花 贝壳 ① ② ③ （第 18 题） 35第1章基本的几何图形 第2章 解直角三角形 36苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点.它始 建于宋代（961 年），共 7 层，高 47.5 m. 由于地 基的原因，塔身自 400 年前就开始向西北方向倾 斜. 据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线 已达 2.3 m，被称为“东方比萨斜塔”. （1）如今虎丘塔塔顶中心距地面多高？ （2）如今虎丘塔塔中心偏离底层中心铅垂线 多少度？ （3）如今虎丘塔与地平面的倾斜角是多少？ 37第2章 解直角三角形 2.1 锐角三角比 实验与探究 （1）有一块长 2.00 m 的平滑木板 AB，小亮将它的一端 B 架高 1 m，另一端 A 放在平地上（图 2-1），在木板上分别取点 B ，B ，B ，B ，分别量得它们到 1 2 3 4 A 点的距离 AB ，AB ，AB ，AB ，以及它们距地面的高度 B C ，B C ，B C ， 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 B C ，数据如下表所示： 4 4 到 A 点的距 距地面的高 木板上的点 离 / m 度 / m B B 1 B B 1.50 0.75 2 1 B 3 B 4 B 1.20 0.60 2 B 1.00 0.50 A C 3 C C C C 4 3 2 1 B 0.80 0.40 图 2-1 4 BC B C B C B C B C 利用上述数据，分别计算比值 ， 1 1， 2 2， 3 3， 4 4，你有什么 AB AB AB AB AB 1 2 3 4 发现？ （2）如图 2-2 ①，∠A 是锐 角，在∠A 的一边上任意取两个 因为∠A =∠A，∠BCA =∠B'C'A 点 B，B'，经过这两个点分别向 = 90°，所以 Rt△ABC ∽ Rt△AB'C'， BC B'C' ∠A 的另一边作垂线，垂足分别 因此 = . AB AB' 为点 C，C'，由（1）你猜测比值 BC B'C' 与 相等吗？能证明你的结论是正确的吗？ AB AB' B B B′ B′ B′′ A A C′ C C′C′′C ① ② 图 2-2 38B'C' （3）如果设比值 = k，由（2）你发现当锐角 A 的大小确定后，k 的大小 AB' 与点 B' 在 AB 边上的位置有关吗？ （4）如图 2-2 ②，以 A 为端点，在锐角 A 的内部（或外部）作一条射线， 在这条射线上取点 B''，使 AB'' = AB'，这样又得到了一个锐角∠B''AC . 过 B'' 作 B''C'' B''C''⊥AC，垂足为点 C'' . 比值 与 k 相等吗？为什么？由此你得到怎样的 AB'' 结论？ 由上面的探索，我们可以利用 Rt△ABC（图 2-3） ∠A 的对边 把比值 k 记作 ，当锐角 A 的大小确定后，不 斜 边 斜边 论以∠A 为锐角的直角三角形的大小如何，这个比值也 ∠A的邻边 就随之确定. 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 图 2-3 的正弦（sine），记作 sin A，即 ∠A的对边 sinA = . 斜边 ∠A 的邻边 1 ∠A 的对边 类似地，当锐角 A 的大小确定后，比值 和比值 斜边 ∠A 的邻边 也随之确定. 我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cos A，即 ∠A的邻边 cosA = . 斜边 39 边对的A∠ 2.1 锐角三角比 加油站 对于确定的锐 B''C'' B''C'' B'C' ≠ k，假设 = ， 角 A 来说，比值 k 与 AB'' AB'' AB' 由AB'' = AB'，可得B''C'' = B'C' . 因为 点 B' 在 AB 边上的位 ∠AC'B' =∠AC''B'' = 90°，于是 Rt△AB'C' 置无关，只与锐角 ≌ Rt△AB''C'' . 则∠B'AC' =∠B''AC'' . 但 A 的大小有关. 这与∠B'AC' ≠∠B''AC'' 矛盾. B A C 1 这里，∠A的邻边是指顶点 A 所在的直角边.第2章 解直角三角形 把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent），记作 tan A，即 ∠A的对边 tanA = . ∠A的邻边 锐角 A 的正弦、余弦、正切统称锐 小资料 角 A 的三角比（trigonometric ratio）. 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如果用 在图 2-3 中，把∠A 的对边记作 a，b 分别表示∠A 的对边和邻边，c 表示 a，∠B 的对边记作 b，∠C 的对边记作 a b a c，你能分别用 a，b，c 表示∠A 和∠B 斜边. 那么 sinA = c ，cosA = c ，tanA = b . sin A，cos A，tan A 分别是一个完整 的正弦、余弦和正切吗？ 的记号. 当角只用一个大写字母或小写字 例1 如图 2-4，在 Rt△ABC 中， 母表示时，习惯上在记号中省去角的符 ∠C = 90°，a = 2，b = 4. 求∠A 的正 号“∠”，不能理解成 sin·A，cos·A， tan·A. 弦、余弦、正切的值. 解 如图 2-4，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. B ∵ a = 2，b = 4，所以 c = a2+b2 = 22+42 = 2 5 . a 2 5 sinA = = = ， A c 5 C 2 5 图 2-4 b 4 2 5 cosA = = = ， c 2 5 5 a 2 1 tanA = = = ， b 4 2 练 习 1. 如果 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'，∠C =∠C' = 90°，sin A 等于 B sin A' 吗？为什么？cos A 与 cos A′呢？ 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 3，a = 2，求∠A 的 正弦、余弦、正切的值. C A （第 2 题） 1 锐角 A 的三角比也叫做锐角 A 的三角函数（trigonometric function）. 402.2 30°, 45°, 60°角的三角比 习题2.1 复习与巩固 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件求出∠A 和∠B 的正弦、余弦的值： （1）a = 1，b = 3； （2）b = 7，c = 4 2 . 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC，求 cosB 和 tanA 的值. 4 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 8，sinA = ，求 cosA 和 tanB 的值. 5 拓展与延伸 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4， A 点 D，E 在 BC 上，BD = 5，DE = 2 ，EC = 3. 设∠ABC = α，∠ADC = β，∠AEC = γ， 求 tanα，cosβ，sinγ 的值. α β γ B 1 D E C 5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，tan A = ， 2 （第 4 题） 求 AC∶BC∶AB 的值. 探索与创新 6. 已知等腰三角形中，两边的长分别为 10 cm 和 16 cm，求它的底角的正弦、余弦和正 切的值. 2.2 30°, 45°, 60°角的三角比 在一副三角尺中，除了直角以外，还含有 30°，45°，60°的锐角，怎样求 出这些锐角的三角比呢？ 实验与探究 （1）要想求出 45°角的正弦、余弦和正切的值，可以考察含 45°锐角的直 角三角形. 41第2章 解直角三角形 含 45°角的直角三角形是等腰直 角三角形，利用已有的知识，如果已 知它的一条直角边，另外两边都可求 出，进而可求出 45°角的三角比. 作 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°（图 2-5）. 设 a = 1，那么 b = 1. 由勾股定理，c = a2+b2 = 12+12 = 2 . B 于是 a 1 2 sin45°= = = ； c 2 2 b 1 2 cos45°= c = = 2 ； A 45° C 2 图 2-5 a 1 tan45°= = = 1. b 1 （2）怎样才能求出 30°角的各三角比的值呢？ 含 30°角的直角三角形中，目前 还不能直接找到三条边之间的关系， 能把问题转化为等边三角形吗？ 取两个含 30°角的大小相等的三角尺，按图 2-6 的方式 C 拼在一起，得到的△ABC 是怎样的三角形？为什么？ 30°30° 因为∠A =∠B = 60°，所以△ABC 是等边三角形，且 CD 是 AB 边上的高，AD = BD . A D B 在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，∠ACD = 30°. 图 2-6 设 AC = 1，那么 1 1 3 AD = AB = ，CD = AC2-AD2 = 12-（ 1 ）2 = . 2 2 2 2 于是 AD 1 1 sin30°= = ÷1 = ； AC 2 2 CD 3 3 cos30°= = ÷1 = ； 42 AC 2 22.2 30°, 45°, 60°角的三角比 AD 1 3 1 2 1 3 tan30°= = ÷ = × = = . CD 2 2 2 3 3 3 （3）利用图 2-6，你会求出 60°角的正弦、余弦和正切的值吗？与同学交流. 观察与思考 把 30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切的值填入下表： 角α 30° 45° 60° 三角比 sinα cosα tanα 从填写的表格中，你发现了哪些规律？与同学交流. 例1 求下列各式的值： 加油站 （1）sin 30°·cos 45°； 当 A，B 都是锐角 （2）tan 45°- cos 60°. 时，如果 sinA = sinB 或 解 （1）sin 30°·cos 45°= 1 × 2 = 2 ； cosA = cosB 或 tanA = 2 2 4 tanB，那么A = B. 利用 1 1 （2）tan 45°- cos 60°= 1 - = . 这个结论，知道一个锐 2 2 角的三角比，可以反过 3 例2 在 Rt△ABC 中，已知 sin A = ，求锐 2 来求这个锐角. 角 A 的度数. 3 3 解 因为 A 是锐角，并且 sin A = ，由于 sin 60°= ，所以∠A = 60°. 2 2 挑战自我 B 如图 2-7，作等腰直角三角形 ABC，∠C = 90°. 延长边 CA 到 D，使 AD = AB，连接 DB. 你能利用图 D A C 求出 22.5°角的正切的值吗？试一试. 图 2-7 43第2章 解直角三角形 练 习 1. 求下列各式的值： （1）sin 30°+ cos 60°； （2）tan 30°·tan 60°； （3）2sin 60°- tan 30°； （4）sin 45°·cos 45°+ tan 45°. 2. 已知 α 是锐角. 当 α = 时，tan α = 1，这时 cos α = . 习题2.2 复习与巩固 1. 求下列各式的值： （1）sin 60°- 3 tan 30°+ 2 cos 45°； 1 （2）tan 60°+ 9 tan 30°- tan 45°+ sin 30°； 2 2 （3）cos 60°+ sin 45°+ tan 30°·cos 30°； 2 （4）sin 60°·cos 60°+ sin 45°·cos 45°- sin 30°·cos 30°. 2. 求下列各式中锐角 A 的值： 1 2 1 （1）cos A = ； （2）cos A = ； （3）tan A = 3； （4）sin A = . 2 2 2 3 3. 已知 α 是锐角. 当 α = 时，cos α = ，这时 tan α = . 2 拓展与延伸 4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 5，b = 15，求∠A，∠B 的度数. 探索与创新 5. 利用类似于本节“挑战自我”中的方法，构造一个图形，然后利用这个图形求 15°及 75°角的正切的值. 442.3 用计算器求锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 实验与探究 根据锐角三角比的定义，可以求出 30°， 用科学计算器可以 45°，60°这些特殊角的正弦、余弦、正切的值. 解决这个问题. 怎样才能知道任意一个锐角的三角比呢？ 打开科学计算器，启动开机键后，使显示 器的上方显示 DEG（如果没有显示 DEG，可以 按 DR 1 键），表示计算器已经进入以“度” 为角的度量单位的运算状态. 这时，按相应的 三角比的名称键，再输入锐角的度数，按 ＝ 键后，显示器显示的数字即为该锐角相应的三角比的值（或精确到 10-9 的近似 值）. 因计算器的种类不同，键盘上各键的功能符号和按键顺序可能不同. 使用计 算器前，应先阅读使用说明书，以免使用中出现计算错误. 例1 用计算器求下列锐角三角比的值（精确到 0.000 1）：1 （1）sin 47°； （2）cos 56.3°； （3）sin 25°31'48''； （4）tan 35°10' 22'' . 解 在角的度量单位为“度”的状态下（显示器上方显示 DEG）， （1）按下列顺序依次按键： 2 sin 47 DMS ＝ ， 屏幕上显示 0.731 353 701，按精确到 0.000 1 取近似值，得 sin47°≈ 0.731 4； （2）按下列顺序依次按键： 2 cos 56 · 3 DMS ＝ ， 1 如无特殊说明，本教科书中锐角三角比的近似值都精确到 0.000 1. 2 以“ °”为单位的单名数，可以不按此键. 45第2章 解直角三角形 屏幕上显示 0.554 844 427，按精确到 0.000 1 取近似值，得 cos 56.3°≈ 0.554 8； （3）按下列顺序依次按键： sin 25 DMS 31 DMS 48 DMS ＝ ， 屏幕上显示 0.430 983 63，按精确到 0.000 1 取近似值，得 sin 25°31'48'' ≈ 0.431 0； （4）按下列顺序依次按键： tan 35 DMS 10 DMS 22 DMS ＝ ， 屏幕上显示 0.704 711 093，按精确到 0.000 1 取近似值，得 tan35°10' 22'' ≈ 0.704 7. 例2 用计算器求下列锐角三角比的值（精确到 0.000 1）： 80 （1）tan（ ）°； （2）sin 9' 3 解 在角的度量单位为“度”的状态下， （1）按下列顺序依次按键： tan （ 80 ÷ 3 ） DMS ＝ ， 80 屏幕上显示 0.502 218 876，按精确到 0.000 1 取近似值，得 tan（ ）° ≈ 0.502 2； 3 （2）按下列顺序依次按键： sin 0 DMS 9 DMS ＝ ， 屏幕上显示 2.617 990 887×10-3，按精确到 0.000 1 取近似值，得 sin 9' ≈ 0.002 6. 挑战自我 利用计算器求下列锐角三角比的值，填写下表： 角 α 1° 10° 20° 30° 40° 45° 50° 60° 70° 80° 89° 三角比 sin α cos α 观察上表，并回答下列问题： （1）当锐角 α 逐渐增大时，它的正弦和余弦的值分别发生怎样的变化？ （2）你能估计出锐角 α 的正弦值的范围吗？锐角 α 的余弦值的范围呢？ （3）你还能从表中发现什么规律？ 462.3 用计算器求锐角三角比 练 习 1. 用计算器求下列锐角三角比的值： 463 （1）sin 75°； （2）cos 35.7°； （3）tan（ ）°； （4）sin 75.61°. 8 2. 用计算器求下列锐角三角比的值： （1）sin 53°49' ； （2）sin 30°4' 56'' ； （3）cos 55'； （4）tan 72°8'' . 已知锐角 A 三角比的值，如何 利用计算器求出锐角 A 呢？ 启动开机键后，在角的度量单位为“度”的状态下，先按副功能键 2ndF 和相应三角比的名称键，再输入三角比的值，按 ＝ 键后，屏幕上就可以显示 以度为单位的锐角. 例3 根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角 A（精确到 1''）： （1）sinA = 0.618 5； （2）tanA = 3.207 8. 解 在角的度量单位为“度”的状态下， （1）按下列顺序依次按键： 2ndF sin 0 · 6185 ＝ ， 屏幕上显示 38.206 679 08°， 即锐角 A ≈ 38.206 679 08°. 再按 DMS 键，将它换算成“度、分、秒”的形式， 屏幕上显示 38°12' 24.04'' ， 所以锐角 A ≈ 38°12' 24'' ； （2）按下列顺序依次按键： 2ndF tan 3 · 2078 ＝ ， 屏幕上显示 72.685 647 68°， 即锐角 A ≈ 72.685 647 68°. 47第2章 解直角三角形 再按 DMS 键，将它换算成“度、分、秒”的形式， 屏幕上显示 72°41' 8.33''， 所以锐角 A ≈ 72°41' 8'' . 例4 利用计算器求下列各式的值： （1）sin 20°·tan 35°； 1 2 （2） sin 30°26' + cos 45°30' 8'' . 2 2 解 在角的度量单位为“度”的状态下， （1）按下列顺序依次按键： sin 20 DMS × tan 35 DMS ＝ ， 屏幕上显示 0.239 485 082， 所以 sin 20°·tan 35° ≈ 0.239 5； （2）按下列顺序依次按键： 1 ab/c 2 × sin 30 DMS 26 DMS + 2 ÷ 2 × cos 45 DMS 30 DMS 8 DMS ＝ ， 屏幕上显示 0.748 865 866， 1 2 所以 sin 30°26' + cos 45°30' 8'' ≈ 0.748 9. 2 2 练 习 1. 根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角 α，β： 1 （1）sin α = 0.297 4； （2）cos α = 0.785 7； （3）tan β = . 3 2. 利用计算器求下列各式的值： （1）tan 15°·cos 28°- tan 43°； （2）cos 32°+ tan 50°+ sin 40°. 482.4 解直角三角形 习题2.3 复习与巩固 1. 用计算器求下列锐角三角比的值： （1）sin 45°，cos 35°，tan 52°，sin 13.6°，cos 25.5°； （2）sin 3°12'，cos 80°25'，tan 75°36'，sin 56°12' 10''，tan 31°30' 21''，sin 50' 23'' . 2. 根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角 α： （1）sin α = 0.6； （2）sin α = 0.650 7； （3）cos α = 0.13； （4）cos α = 0.265 9； （5）tan α = 11.82； （6）tan α = 0.370 5 . 3. 利用计算器，求下列各式的值： 1 2 （1） cos 68°12' + sin 42°- tan 35°38' ； 2 2 10sin 35°36'·cos 24°52′ （2） . sin 35°36′- cos 24°52′ 拓展与延伸 4. 用计算器分别求出下列三组三角比的值： sin 13°，cos 77°； sin 62°18'，cos 27°42'； sin 83°21'，cos 6°39' . 由此你发现了什么规律？ 探索与创新 5. 利用本节“挑战自我”中的发现，不用计算器，比较下列三个数的大小： 3 sin 62°，cos 62°， . 2 2.4 解直角三角形 B 观察与思考 c a （1）在 Rt△ABC 中（图 2-8），∠C = 90°，∠A， A C b ∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c . 除直角 C 已知外，你会 图 2-8 49第2章 解直角三角形 用含有这些字母的等式把其他 5 个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流. ① 角之间的关系：∠A +∠B = 90°； ② 边之间的关系：a2 + b2 = c2； a b a ③ 角与边之间的关系： sin A = ，cos A = ，tan A = . c c b （2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知 道几个元素就可以求出其他的未知元素？ 除直角以外，如果再知道直 角三角形的两个元素（至少一个是 边），就可以求其他的元素了. 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例1 在 Rt△ABC 中，已知∠C = 90°，a = 17.5，c = 62.5 . 解这个直角三 角形. 这是已知直角三角形的斜边和一 条直角边解直角三角形的问题. 解 ∵ a2 + b2 = c2，∴ b = c2-a2 = 62.52-17.52 = 60 . a 17.5 由 sin A = = = 0.28，得 c 62.5 ∠A ≈ 16°15' 37'' . ∴∠B = 90°-∠A = 90°-16°15' 37'' = 73°44' 23'' . 想一想，例 1 还有其他解法吗？如果已知直角三角形的两条直角边，如何 解直角三角形呢？与同学交流. 例2 在 Rt△ABC 中，已知∠C = 90°，c = 128，∠B = 52° . 解这个直角 三角形（边长精确到 0.01）. 502.4 解直角三角形 解 在 Rt△ABC 中，由∠C = 90°，∠B = 52°，得 ∠A = 90°-∠B = 90°- 52°= 38°. 这是已知直角三角 b 由 sin B = ，得 c 形的斜边和一锐角解直 b = c·sin B = 128·sin 52°≈ 100.87； 角三角形的问题. a 由cos B = ，得 c a = c·cos B = 128·cos 52°≈ 78.80 . 想一想，如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐 角，如何解直角三角形呢？ 由例 1 和例 2，你能总结一下已知直角三角形的两边或 已知直角三角形的一边及一个锐角解直角三角形的思路吗？ 练 习 1. 在 Rt△ABC 中，已知∠C = 90°，a = 12，b = 24，解这个直角三角形. 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知 c = 15，∠B = 60°，求 a； （2）已知∠A = 35°，a = 24，求 b，c. 例3 如图 2-9，在△ABC 中，已知∠A = 60°，∠B C = 45°，AC = 20，求 AB 的长. A B 图 2-9 △ABC不是直角三角 形，怎么办？ 作 AB 边上的高，可把问题转 化为解直角三角形的问题. 解 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D（图 2-10）. 在 Rt△ACD 中，AC = 20，∠A = 60°. 51第2章 解直角三角形 由 sin A = CD ，得 C AC 3 CD = AC·sin A = 20·sin 60°= 20× = 10 3. 2 A B AD D 由 cos A = ，得 AC 图 2-10 1 AD = AC·cos A = 20·cos 60°= 20× = 10. 2 在 Rt△BCD 中，由∠B = 45°，CD = 10 3，得 BD = CD = 10 3 . 所以 AB = AD + DB = 10 + 10 3 . 挑战自我 在图 2-9 中，∠B = 45°，BC = 2，试用含∠A 的三角比的式子表示 AB 的长. 练 习 A 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为 点 D，∠B = 60°，AD = 3，求 BC 的长. 2. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，且一腰长与底边的比是 B D C 5 ：8，求 sin B，cos B 的值. （第 1 题） 习题2.4 复习与巩固 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件，解直角三角形： （1）AC = 2，BC = 6 ； （2）∠A = 22.5°，b = 12 . 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知 c = 39，b = 36，求 a 和∠B（精确到 1'）； （2）已知 a = 22.5，b = 12，求∠A 和∠B（精确到 1'）. 3. 在 Rt△ABC 中，斜边 AB 上的高 CD = 21 cm，AD = 18 cm，求∠B 的度数和 AB 的长 （边长精确到 1 cm，角度精确到 1'）. 522.5 解直角三角形的应用 4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 7，∠A = 2∠B，求 AB，BC 的长. 5. 等腰三角形的顶角为 120°，底边上的高为 30 cm，求这个三角形的周长. B 拓展与延伸 6. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 118°，BC = 4 . 求 AC 边上的高. 3 7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A = ，∠B 的平分线 BD 交 AC 2 A C 于点 D，BD = 16，求 AB 的长. （第 6 题） 探索与创新 A 8. 如图，在△ABC中，∠C 是锐角，BC = a，AC = b，面积为 S . 1 求证：S = absin C . B C 2 （第 8 题） 2.5 解直角三角形的应用 东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑. 为了测量东方明珠塔的高度，小亮 和同学们在距离东方明珠塔 200 m 处的地面上，安放高 1.20 m 的测角仪支架， 测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48' . 根据测量的结果，小亮画了一张示意图 （图 2-11），其中 AB 表示东方明珠塔，DC 为测角仪的支架，DC = 1.20 m，CB = 200 m，∠ADE = 60°48' . 利用上述数据，你能求出 AB 的长吗？与同学交流. A D E C B 东方明珠塔 图 2-11 53第2章 解直角三角形 小资料 在实际测量中，从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；从 高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角（图 2-12）. 为了测量仰角和俯角，如果没有专门的仪器，可以自制一个简易测倾器（图 2-13）. 简易测倾器由铅锤、度盘、支杆和螺栓组成，度盘可根据需要绕点 O 转动. 使用 时，将测倾器度盘的顶线 AB 对准被测目标，铅垂线与度盘上 0°刻度线之间的夹角便是 所要测定的仰角或俯角. 视线 A O B 铅 仰角 垂 水平线 线 俯角 视线 图 2-12 图 2-13 例1 如图 2-14，一架直升飞机执行海上搜 A α 救任务，在空中 A 处发现海面上有一目标 B，仪器 显示这时飞机的高度为 1.5 km，飞机距目标 4.5 km. B C 求飞机在 A 处观测目标 B 的俯角（精确到 1'）. 图 2-14 解 如图 2-14，AC 是飞机的高度，∠α 是飞机在 A 处观测目标 B 的俯 角. 连接 BC，则 AC⊥BC，垂足为点 C . 在 Rt△ABC 中，AC = 1.5 km，AB = 4.5 km. AC 1.5 1 由 sin B = = = ，得 AB 4.5 3 ∠B ≈ 19°28' ，即∠α = 19°28' . 所以，飞机在 A 处观测目标 B 的俯角为 19°28' . 例2 武汉长江二桥为斜拉索桥（图 A 2-15），AB 和 AC 分别是直立塔 AD 左右两边的 两根最长的钢索. 已知 AB = AC， BC = 100 m，AB B D C 与 BC 的夹角为 30°，求钢索 AB 的长及直立塔 AD 的高（精确到 0.1 m）. 图 2-15 解 由题意可知，△ABC 为等腰三角形，AD 为底边 BC 上的高. 542.5 解直角三角形的应用 1 BD = DC = BC = 50 m，∠ABC = 30°. 2 A BD 在 Rt△ABD 中，由 cos B = ，得 AB BD 50 AB = = ≈ 57.7（m）. B C cos B cos 30° D AD 图 2-16 由 tan B = ，得 BD AD = BD·tan B = 50 tan 30°≈ 28.9（m）. 所以，钢索 AB 的长约为 57.7 m，直立塔 AD 的高约为 28.9 m . 广角镜 用雷达测定目标的高度 雷达是利用发送和接收电磁波探测空间目标的位 置、运动速度、运动方向和其他特征的电子设备. 目标 与雷达的距离可通过测定电磁波从雷达到目标的往返时 间来确定. 利用雷达天线的定向辐射特性，可测定目标 的方位和仰角，根据目标的距离和仰角可以计算出目标 的高度. 假设大地是一个平面，如果目标的仰角为θ，根据 雷 达 电磁波的传播速度及其来回所用的时间，可以计算出目 标与雷达之间的直线距离 d（图 2-17）. 这时目标的高度 目标 为h = d sinθ. d 然而，大地并非平面，而是曲面，因此计算目标高 h 度的近似公式是 雷达 θ d2 图 2-17 h ≈ dsinθ+ ， 2R 其中，R 表示地球的半径（约等于 6 370 km）. 练 习 1. 如图是一个电动伸缩门关闭时的示意图. 电动门共由 8 个菱形组成，已知每个菱形的 边长都是 0.5 m，锐角是 50°，这个大门的宽是多少米（精确到 0.1 m）？ 55第2章 解直角三角形 8 个 （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的距离 BC = 3.2 m，底端到墙根的距离 AC = 2.4 m . （1）求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小（精确到 1'）； （2）如果把梯子的底端到墙根的距离减少 0.4 m，那么梯子与地面所成的角是多少？ 例3 住宅的采光是建楼和购房时人们所 南楼 北楼 关心的问题之一. 如图 2-18，住宅小区南、北两 栋楼房的高度均为 16.8 m. 已知当地冬至这天中 16.8 m 午 12 时太阳光线与地面所成的角是 35°. （1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙 脚，两楼间的距离应为多少米（精确到 0.1 m）？ 图 2-18 （2）如果两栋楼房之间的距离为 20 m，那么这时南楼的影子是否会影响北 楼一楼的采光？ 解 （1）如图 2-19，南楼的高为 AB，北楼的高 A C 为 CD，B，D 分别为南、北楼的墙脚，根据题意， AD 为冬至这天中午 12 时的太阳光线，BD 为南楼的影子. 则 35° B ？ D AB⊥BD，CD⊥BD，∠ADB = 35°. 图 2-19 在 Rt△ABD 中，已知 AB = 16.8 m . AB 由 tan∠ADB = ，得 BD AB 16.8 BD = = ≈ 24.0（m）. tan 35° tan 35° 所以，两楼间的距离应为 24.0 m. （2）如图 2-20，AE 为冬至这天中午 12 时的太阳光线，AE 交 CD 于点 E， 562.5 解直角三角形的应用 ED 为南楼落在北楼上的影子. 作 EF⊥AB，垂足为点 A C F，则∠AEF = 35°. 已知 AB = CD = 16.8 m，BD = 20 m . AF F E 由 tan∠AEF = ，EF = BD = 20 m，∠AEF = EF B D 35°，得 图 2-20 AF = EF·tan∠AEF = 20·tan 35°≈ 14.0（m）. ∴ ED = FB = AB - AF = 16.8 - 14.0 = 2.8（m）. 所以，这时南楼的影子落在北楼上的高度约 2.8 m，会影响到北楼一楼的采光. 直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工 具. 把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形. 这一解答过程的思路是： 转化 有关实际问题 解直角三角形问题 问题答案 求出有关的边或角 练 习 1. 如图，在宿舍楼的 C，D 两点观测对面的建筑物 AB，从点 D 观测建筑物的底部 A 的俯 角是 27°，从点 C 观测建筑物的顶端 B 的仰角是 50°，已知宿舍楼 CD 的高度是 20 m， 求建筑物 AB 的高（精确到 1 m）. 2. 如图，一艘游轮从 A 码头出发，沿北偏东 40°方向航行 12 海里到达 B 岛，然后又沿 南偏东 50°方向航行 16 海里到达 C 岛. 那么从 C 岛再航行多远才能直接返回出发地 A （精确到 0.1 海里）？ B D B 27° 50° 40° 50° A C A C （第 1 题） （第 2 题） 57第2章 解直角三角形 在修路、筑坝、开渠和挖河时，都会遇到修筑斜坡 B 的问题. 如图 2-21 是一段斜坡的横断面，建筑学中把斜 i = h∶l h 坡起止点 A，B 的高度差 h 与它们的水平距离 l 的比叫做 α A 坡度（或坡比），通常用字母 i 表示，即 C l i = h∶l . 图 2-21 表示坡度时，一般把比的前项取作 1，如 i = 1∶5 . 如果把图 2-21 中斜坡 AB 与水平线 AC 的夹角记作 α，那么 h i = = tan α. l 这就是说，坡度等于锐角 α 的正切. 例4 某地计划在河流的上游修建一条拦水 B C 大坝. 大坝的横断面 ABCD 是梯形（图 2-22），坝 A D E F 顶宽 BC = 6 m，坝高 25 m，迎水坡 AB 的坡度 i = 图 2-22 1∶3，背水坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5. （1）求斜坡 AB 和 CD 的长（精确到 0.01 m）； （2）求拦水大坝的底面 AD 的宽. 解 （1）作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E，F. 在 Rt△ABE 中， ∠AEB = 90°，BE = 25 m . BE 1 由 tan A = = ，得 AE 3 AE = 3BE = 3×25 = 75（m）， ∴ AB = AE2+BE2 = 752+252 ≈ 79.06（m）. 在 Rt△CDF 中，∠CFD = 90°，CF = 25（m）. CF 1 由 tan D = = ，得 DF 2.5 DF = 2.5CF = 2.5×25 = 62.5（m）， ∴ CD = DF2+CF2 = 62.52+252 ≈ 67.31（m）. （2）AD = AE + EF + FD = 75 + 6 + 62.5 = 143.5（m）. 所以，斜坡 AB 的长约为 79.06 m，CD 的长约为 67.31 m；水坝的底面宽 AD 为 143.5 m . 582.5 解直角三角形的应用 你还有其他解法吗？与同学交流. 例5 如图 2-23，要测量铁塔的高 AB，在地 B 面上选取一点 C，在 A，C 两点间选取一点 D，测 得 CD = 14 m，在 C，D 两点处分别用测角仪测得 铁塔顶端 B 的仰角为 α = 30°和 β = 45°. 测角仪支 A β D 1 α C1 1 架的高为 1.2 m，求铁塔的高（精确到 0.1 m）. A D C 图 2-23 αα，，ββ分分别别在在两两个个直直 角角三三角角形形中中，，怎怎么么办办？？ A B 是两个直角三角形公共的直角 1 边，C D 是直角边 A C 与 A D 的差. 可 1 1 1 1 1 1 以利用方程解决这个问题吗？ 解 由图 2-23 可知，A 1 A = C 1 C = D 1 D = 1.2 m，CD = C 1 D 1 = 14 m， ∠BC 1 A 1 =∠α = 30°，∠BD 1 A 1 =∠β = 45°. 在 Rt△A 1 C 1 B 中，∠BA 1 C 1 = 90°，设 A 1 B = x m， 由 tan α = A A 1 C B ，得 A 1 C 1 = t A an 1 B α = t a n x 30° . 1 1 在 Rt△A D B 中，由 tan β = A 1 B ，得 A D = A 1 B = x . 1 1 A D 1 1 tan β tan 45° 1 1 ∵ A 1 C 1 - A 1 D 1 = C 1 D 1 ， x x ∴ - = 14. tan 30° tan 45° 解关于 x 的方程，得 14·tan 30°·tan 45° x = . tan 45° - tan 30° 用计算器计算，得 x ≈ 19.1. 即 A B ≈ 19.1 m . 1 ∴ AB = AA + A B ≈ 1.2 + 19.1 = 20.3（m）. 1 1 即塔高约为20.3 m . 59第2章 解直角三角形 练 习 1. 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，根据图中数据，求： （1）角 α 和 β 的大小（精确到 1′）； （2）坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到 0.1 m）. B C 4 m C i = 1 : 2.5 10 m 5.6 m α β A E D A B （第 1 题） （第 2 题） 习题2.5 复习与巩固 1. 根据图中所标尺寸（单位：mm）求角 α 的度数（精确到 1′）. 140 （第 1 题） 60 421 38 051 2. 如图，从地面上相距 150 m 的 A，B 两点观察空中在 C 点处的热气球的吊舱，分别测 得仰角是 42°和 65°，试求 C 点距离地面的高度（精确到 0.1 m）. B α 35° A C （第 2 题） 2. 如图，某景区要修建一段上坡阶梯 AB，每个台阶的高度不能超过 20 cm . 已知 AB = 15 m，∠BAC = 35°，这段阶梯最少要修建多少个台阶？ 3. 如图，为了治理水土流失，计划在山坡上植树. 要求相邻两棵树间的水平距离是 4.5 m， 测得斜坡的倾斜角是 20°34′，求斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是多少（精确到 0.1 m）. A 52°24' （第 3 题） （第 4 题）2.5 解直角三角形的应用 4. 如图，一艘船在岛 A 的正南 20 海里处，向东航行 1.5 时后，测得小岛 A 在北偏西 52°24' 方向，求该船行驶的速度（精确到 0.1 海里/时）. 5. 在旧城改造中，要拆除一座烟囱 AB（如图），在地面上事先划定以 B 为圆心，半径 与 AB 等长的圆形为危险区. 从离 B 点 21 m 远的建筑物 CD 的顶端 C 点测得 A 点的仰角 为45°，B 点的俯角为 30°. 离 B 点 35 m 远的一处保护文物是否在危险区内？ A C' C C 45° A B' B 30° D B （第 5 题） （第 6 题） 6. 如图，钓鱼竿 AC 长 6 m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m. 钓鱼者想看看鱼钩上的情 况，把鱼竿 AC 转动到 AC' 的位置. 此时露出水面上的鱼线 B'C' 长为 3 3. 这时鱼竿转 过的角度是多少？ 7. 如图是一段泰山索道的示意图. 缆车从 A 点经过 B 点到达 C 点时，高度上升了 50 m， 已知缆绳 AB = 104 m，AB 的坡度 i = 1∶8. 求： （1）缆绳 AB 与水平线所成的角（精确到 1′）； （2）缆车从 B 点到 C 点上升的高度（精确到 0.1 m）. C B G A N E F 缆 车 （第 7 题） 8. 解决本章“情境导航”中提出的问题. 拓展与延伸 P 9. 如图所示，一块长 52 cm，宽 32 cm 的长方形木板 P RS 靠 52 cm 18° 在一面墙上，它的一边 PS 与墙所成的角为 18°. 求 P 点距 地面的高度（精确到 1 cm）. S 32 cm 10. 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度. 如图 ①， R 虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地面的夹角为倾角θ， （第 9 题） 61第2章 解直角三角形 一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的 地板 地板 安全程度愈高. 为了提高楼梯的安全 程度，设计者要把倾角由θ减小至 1 θ 地板 θ 2 θ 1 地板 θ，这样楼梯占用地面的长度由 d d 1 2 1 d 2 增加到 d ，如图 ②. 已知 d = 4 m， 2 1 ① ② ∠θ = 40°，∠θ = 36°，求楼梯占 （第 10 题） 1 2 用地面的长度增加多少（精确到 0.1 m）？ A 探索与创新 D 11. 阳光下，电线杆 AB 落在一段斜坡和水平地面上的影子 30° B C 分别是 CD 和 BC，小亮量得 CD = 8 m，BC = 20 m， （第 11 题） CD 与地面所成的角 30° . 小亮的身高 1.65 m，此时他 在水平地面上的影子长为 3.3 m，求电线杆的长度（精 C 确到 0.1 m）. 12. 如图，电力部门计划修建一条连接 B，C 两座山峰的电 B 60° 缆，测量人员在山脚 A 点测得B，C 两点的仰角分别为 30°，45°，在 B 点测得 C 点的仰角为 60°. 已知 C 点比 A 30° 45° A D 点高 200 m，电缆 BC 应至少长多少米（精确到 1 m）？ （第 12 题） 回顾与总结 1. 本章学习了哪些主要内容？总结一下，与同学交流. 2. 锐角三角比是通过直角三角形各边的比来定义的. 锐角 A 的三角比是： ∠A 的对边 sin A = ； cos A = 斜边 斜边 ∠A 的对边 tan A = 3. 回忆 2.2 节中的表格，记住 30°，45°，60°角的三角比. 4. 一般锐角的三角比的值可以用科学计算器求得. 已知锐角的一个三角比的值，也可以 用科学计算器求得这个锐角的大小. 5. 解直角三角形主要依据下列的关系： （1）角之间的关系： ； （2）边之间的关系： ； 62回顾与总结 （3）边与角之间的关系：sin A = ，cos A = ，tan A = . 6. 在 Rt△ABC 中，除∠C = 90°已知外，其余的五个元素中，如果已知其中的两个元素 （至少有一个元素是边），就可以求出其余三个未知元素. 解直角三角形的问题可归 结为两类：已知两边（两直角边或一直角边和斜边）解直角三角形；已知一边一锐 角（一直角边和对角，一直角边和邻角，斜边和一锐角）解直角三角形. 求解的方法可 以有多种，请按照下列步骤，完成已知锐角 B 和直角边 a 的一种求解过程： 用关系式 求出 第一步： 由条件：a，∠B 用关系式 求出 第二步： 由条件： 用关系式 求出 第三步： 由条件： 7. 利用解直角三角形解决一类实际问题的关键是抽象出实际问题中的直角三角形，或通 过添加辅助线构造直角三角形. 你能概括出解决这类实际问题的思路吗？与同学交流. 综合练习 复习与巩固 1. 填空： C （1）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为点 D，请将∠A 的三角比用线段 AB，BC， AC，CD，AD 和 DB 之间的比表示： A D B sin A = = = ； AB AC BC （第 1（1）题） CD BC CD cos A = = = ； tan A = = = ； AB 2 AC （2）在上图中，如果∠ACD 的正弦是 ，那么 = ； 3 AB （3）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如果 AC = 2，BC = 5，那么 sin A = ， cos A = ，tan A = ； 4 （4）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如果 cos A = ，AB = 10，那么 BC = ， 5 63第2章 解直角三角形 cos B = . 2. 如图，在直角坐标系中，点 P 的坐标为（3，4），求 OP 与 x 轴正半轴的夹角 α 的正弦和正切的值. 3. 求下列各式的值： 1 2 （1） cos 30°+ cos 45°+ sin 60°cos 60°； 2 2 α （2） 2sin 30°+ tan 60°- cos 45°+ tan 30°. 4. 利用计算器计算： （第 2 题） （1）sin 10°+ cos 10°； （2）tan 50°- tan 40°. 5. 已知下列锐角三角比，分别求出锐角 A： （1）sin A = 0.082 8； （2）cos A = 0.372 5； （3）tan A = 28.38 . 6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. A （1）已知 c = 8 3，∠A = 60°，求 a，b； （2）已知 c = 6，a = 4，求∠A，b . D 7. 如图，在△ABC 中，AB = AC = 9，BC = 6 . （1）求∠C 的正弦； B C （2）求 AC 边长的高 BD . （第 7 题） 8. 把两个大小相同的含 30°角的三角尺如图放置，若 AD = 6 6，求三角尺各边的长. 9. 如图，一段河堤的斜坡 BC = 12 m，为了加固河堤，需要将堤坝加厚. 竣工后，斜坡 的坡度由原来的 1∶2 变成 1∶3. 加固后斜坡 AD 的长是多少（精确到 0.1 m）？ A 北 C 东 E DC 45° 30° 45° D B C A B A B D （第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） 10. 如图，某轮船由西向正东方向航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，航行到点 B 处 望见灯塔 C 在北偏西 30°方向，又航行了半小时到达 D 处，望见灯塔 C 恰好在西北 方向，若轮船的速度为 40 海里/时，求 A，B 之间的距离（精确到 0.1 海里）. 拓展与延伸 11. 如图是一台起重机的示意图. 它的机身 AM 高为 20.5 m，吊杆 AB 的长是 36.7 m，吊杆 与水平方向的倾角可以从 30°转到 80°，求这台起重机工作时的最大高度和最远水 平距离（精确到 0.1 m）. 64回顾与总结 B D y B′ 3 m A 120° A C′ 轴 C C 30° B O x M D D′ （第 11 题） （第 12 题） （第 13 题） 12. 如图，市政部门要在一新修建的马路边安装路灯，路灯的灯臂长为 3 m，且与灯柱 所成的角是120°. 路灯的灯罩采用圆锥形的，灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴 线通过马路的路面中心线时，照明效果最佳. 已知路面宽度为 28 m，问设计多高的 灯柱，才能取得最佳的照明效果（精确到 0.1 m）？ 13. 如图，在直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上. 如果 AB = 2，∠CBO = 30°，试写出顶点 A，B 的坐标. 探索与创新 14. 如图，晚上小亮站在路灯 P 下，观察自己的影子，发现当他站在 F 点的位置时，在地 面上的影子为 BF . 向后退 2 m 到达 D 点时，在地面上的影子为 AD . 已知 AB = 4 m， ∠PBF = 60°，∠PAB = 30°. 求小亮的身高. 15. 研究发现，倾斜 12°~ 24°的课桌桌面有利于学生保持身体自然姿势. 根据这一要 求，课桌生产厂家将课桌的水平桌面设计成可调节角度的桌面，新课桌的设计如图 ① 所示. 课桌面可绕 AE 旋转，在点 C 处安装一根可旋转的支撑臂 CD . AC = 30 cm . （1）如图 ②，当∠BAC = 24°时，CD⊥AB . 求支撑臂 CD 的长； （2）如图 ③，当∠BAC = 12°时. 求 AD 的长. B P D C E B A D B D' E C D E A A C C A D B F 地面 ① ② ③ （第 14 题） （第 15 题） 16. 蔬菜大棚结构的上半部如图所示，向 A 阳坡 AD 的坡度 i = 1∶1.8，背阳坡 E 2 5 AC 的坡角满足 sinC = ，棚宽 CD 5 C B F D = 11.5 m，AB，EF 为铅直竖立的两根 蔬菜大棚 （第 16 题） 立柱，其中 AB = BF . 求 AB，EF 的长. 65第3章 对圆的进一步认识 6667第3章 对圆的进一步认识 3.1 圆的对称性 交流与发现 你还记得什么是圆吗？你学过哪些有关圆的知识？ B 思考下面的问题，并与同学交流： O （1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心 O， A 再任意作出一条直径 AB（图 3-1）. 将⊙O 沿直径 AB 折叠，你 图 3-1 发现了什么？ （2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？ 由此得到 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. （3）如图 3-2，CD 是⊙O 的弦，AB 是与 CD 垂直的直 B 径，垂足为点 E . 将⊙O 沿直径 AB 折叠，你发现线段 CE 与 DE 有什么关系？AC 与 AD 有什么关系？BC 与 BD 有什么关 O C D E 系？为什么？ A 连接 OC，OD（图 3-3）. 图 3-2 因为 OC = OD，OE⊥CD，所以 CE = DE . B 从而可知点 C 与点 D 关于直线 AB 对称. 因为⊙O 关于直线 AB 成轴对称，所以当⊙O 沿直线 AB O 折叠时，点 C 与点 D 重合，AC 与 AD 重合，BC 与 BD 重合， C E D 所以 AC = AD，BC = BD . A 图 3-3 于是，便得到 ＊ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 683.1 圆的对称性 例1 如图 3-4，以△OAB 的顶点 O 为圆心的⊙O 交 AB 于点 C，D，且 AC = BD . 求证：OA = OB . O O A C D B A C E D B 图 3-4 图 3-5 证明 作 OE⊥AB，垂足为点 E（图 3-5）. 由垂径定理，得 CE = DE . ∵ AC = BD， ∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE . ∴ OE 为线段 AB 的垂直平分线. ∴ OA = OB . 例2 1 400 多年前，我国隋朝时期建造的 赵州石拱桥（图 3-6）的桥拱近似于圆弧形，它 的跨度（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.23 m . 求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）. 图 3-6 赵州石拱桥 解 设桥拱所在圆的半径为 R（m）. 如图 3-7，用 AB 表示桥拱，AB 的 圆心为 O . 经过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为点 D，与 AB 交于点 C . ∵ OC⊥AB， ∴ D 是线段 AB 的中点，C 是 AB 的中点，CD 就是拱高. ∵ AB = 37.02，CD = 7.23， 37.02 m 1 1 ∴ AD = AB = × 37.02 = 18.51， 2 2 C OD = OC - CD = R - 7.23 . A D B 在 Rt△ODA 中，由勾股定理，得 R OA2 = AD2 + OD2， O 即 R2 = 18.512 +（R - 7.23）2 . 69 m 32.7 图 3-7第3章 对圆的进一步认识 解这个方程，得 R ≈ 27.3 . 所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为 27.3 m . 挑战自我 O 如图 3-8，P 为⊙O 内一点，你能用尺规作⊙O 的一条弦 P AB，使点 P 恰为 AB 的中点吗？说明你的理由. 图 3-8 练 习 A 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， 垂足为点 M，求证：∠ACD =∠ADC . O O 2. 如图，⊙O 是水平放置的输油管道的横 C D A B M 截面，其直径为 650 mm，油面的宽度 B 600 AB = 600 mm . 求油的最大深度. （第 1 题） （第 2 题） 观察与思考 任意画一个圆，思考下面的问题： （1）如图 3-1，以圆心 O 为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有 什么发现？特别地，如果将⊙O 绕圆心旋转 180°，直径 AB 的两个端点的位置会 发生什么变化？ （2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？ 圆绕着它的圆心旋转 180°，能与原来的图形重合. 所以， 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 如图 3-9，在⊙O 上任取两点 A 与 B，连接 OA，OB，得到 ∠AOB . 像∠AOB 这样，顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle）. 图 3-9 703.1 圆的对称性 实验与探究 （1）如图 3-10，任意画一个⊙O，在⊙O 内画圆心角 ∠AOB =∠A'OB' . 连接 AB，A'B' . （2）以点 O 为旋转中心，将圆心角∠AOB 连同 AB 按逆 图 3-10 时针方向旋转，旋转角为∠AOA'，则半径 OA 与 OA' 重合. 这时 OB 与 OB' 重 合吗？为什么？ （3）这时，AB 与 A'B' 重合吗？弦 AB 与 A'B' 重合吗？由此你能得到什么结 论？ 事实上，由于∠AOA' =∠AOB +∠BOA'，∠BOB' =∠A'OB' +∠BOA'， ∠AOB =∠A'OB'，所以∠AOA'=∠BOB' . 由于旋转后半径 OA 与 OA' 重合，于 是半径 OB 与 OB' 也重合，从而点 A 与 A' 重合，点 B 与 B' 重合. 所以 AB 与 A'B' 重合，弦 AB 与 A'B' 重合，即 AB = A'B'，AB = A'B' . 这就是说，在同圆中，如 果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. 利用旋转的基本性质还可以得出：在同圆中，如果 AB = A'B'，那么∠AOB =∠A'OB'，弦 AB = A'B'；反之，如果弦 AB = A'B'，那么∠AOB =∠A'OB'，AB = A'B' . 上面的结论在两个等圆中也成立. 这样，就得到下面的定理： 定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 例3 如图 3-11，AB 与 DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点， AC∥DE . 求证： （1）AD = CE； （2）BE = EC . 证明 （1）连接 OC . ∵ AC∥DE， 图 3-11 71第3章 对圆的进一步认识 ∴∠AOD =∠OAC， ∠COE =∠OCA . ∵ OA = OC ， ∴∠OAC =∠OCA . ∴∠AOD =∠COE . ∴ AD = CE . （2）∵∠AOD =∠BOE， ∴∠BOE =∠COE . ∴ BE = CE . B A 挑战自我 O C 如图 3-12，在⊙O 中， AB = 2CD，试判断 AB 与 2CD 的 D 大小关系，并说明理由. 图 3-12 练 习 1. 下面的说法正确吗？为什么？ 如图是两个同心圆，大圆的半径 OA，OB，分别交小圆于点 A'，B'. 因为∠AOB =∠A'OB'，所以 AB = A'B' . 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与 AD 是⊙O 的弦，AC = AD . 求证：BC = BD . C B D O A （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，AB = DC . AC 与 DB 相等吗？为什么？ 观察与思考 （1）把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份圆心角的度数是多少？ 723.1 圆的对称性 （2）把顶点在圆心的周角等分为 360 份时，整个圆被分成了多少份？每一 份的弧是否相等？为什么？ 1 整个圆的 叫做 1°的弧. 因此，1°的圆心角所 1°弧 360 1°圆心角 对的弧是 1°的弧；反之，1°的弧所对的圆心角是 1°的 A 角. 一般地，n°的圆心角所对的弧是 n°的弧；反之， O n°弧 n°的弧所对的圆心角是 n°的角（图 3-13）. 由此可 n°圆心角 B 见，圆心角与它所对的弧有以下关系： 图 3-13 圆心角的度数与它所对弧的度数相等. 例4 如图 3-14，OA，OC 是⊙O 中两条垂直的半径，D 是⊙O 上的一点. 连接 AD 并延长与 OC 的延长线相交于点 B，∠B = 25°. 求 AD，CD 的度数. 解 连接 OD . 由已知∠AOB = 90°，∠B = 25°， 则 ∠A = 65°. ∵ OA = OD， ∴ ∠ODA =∠A = 65°. 于是 ∠DOA = 180°-（∠ODA +∠A） = 180°-（65°+ 65°） = 50°. 图 3-14 ∴ AD 的度数为 50°. ∵ AC 的度数为 90°， ∴ CD 的度数 = AC 的度数 - AD 的度数 = 90°- 50°= 40°. 1 例5 如图 3-15，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为 3 2 cm，求 AB 的长. 解 连接 OA，OB . 由题意可知，AB 的度数为 1 ×360°= 120°， 3 ∴ ∠AOB = 120°. 图 3-15 73第3章 对圆的进一步认识 作 OC⊥AB，垂足为点 C，由OA = OB，所以∠AOC = 60°，AC = BC . 在 Rt△AOC 中， 3 AC = OA sin∠AOC = 2·sin60°= 2× = 3 . 2 ∴ AB = 2AC = 2 3（cm）. 练 习 1. 判断下列命题是真命题还是假命题： B （1）度数相等的弧所对的圆心角相等； （2）相等的圆心角所对弧的度数相等； （3）如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等； O A （4）长度相等的弧的度数相等. （第 2 题） 2. 如图，在⊙O 中，∠B = 37°，劣弧 AB 的度数是多少？ 3. 在⊙O 中，已知 AB 的度数为 120°，C 为 AB 的中点. 求证：四边形 OACB 是菱形. 习题3.1 复习与巩固 1. 如图，⊙O 的半径 OA 与弦 BC 垂直，AD = 2 cm，BC = 8 cm . 求⊙O 的半径. 2. 如图，P 是⊙O 的弦 BA 延长线上的一点，BA = AP = 2，OP = 5 . 求⊙O 的半径. 3. 如图，在⊙O 中，AC = BC，M 与 N 分别是 OA 与 OB 的中点. 求证：MC = NC . A A B C D M O C O N B （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 4. 如图，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为点 P . 已知 AB = CD = 8，求 OP 的长. 5. ⊙O 上的两点 A，B 将圆分成度数比为 1∶3 的两条弧，且点 O 到 AB 的距离等于 1. 求 ⊙O 的半径. 743.1 圆的对称性 6. 如图，已知 AB，CD 是⊙O 的两条直径，弦 CE∥AB，CE 的度数为 80°. 求 AD 的度数. C C E O A B O P A B D D （第 4 题） （第 6 题） 拓展与延伸 7. 如图，有一块半圆形木板，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心. 小亮要从这块木板上截出 一块三角形木板，使三角形的两个顶点分别为 A，B，另一个顶点在 AB 上. 怎样截才 能使三角形木板的面积最大？说明你的理由. 8. 如图，AB 为半圆的直径，点 O 是圆心，E 与 F 分别是 OA，OB 的中点. 过点 E，F 作 ME⊥AB，NF⊥AB，分别与半圆交于点 M，N，垂足为点 E，F . 求证：AM = MN = NB . C B E M N O A O B A E O F B A D （第 7 题） （第 8 题） （第 9 题） 9. 如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于 E 点，ACB 与 DBC 的度数相等. 线段 AE 与线 段 DE 相等吗？证明你的结论. 探索与创新 10. 如图，在⊙O 中，AB 与CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂 D F 足分别是点 E，F，OE，OF 分别叫做弦 AB，CD 的弦心距. C O （1）已知∠AOB =∠COD，求证：OE = OF； A （2）已知OE = OF，求证：AB = CD，AB = CD，∠AOB E B =∠COD； （第 10 题） （3）你能用文字语言把上述结论表述出来吗？ 75第3章 对圆的进一步认识 3.2 确定圆的条件 实验与探究 （1）已知点 A，经过点 A 作圆. 你能作出多少个圆？这些圆的圆心和半径能 确定吗？ （2）已知点 A，B，经过这两点作圆. 你能作出多少个圆？这些圆的圆心的 位置有什么特点？这些圆的半径能确定吗？ 经过一点作圆，可作无数个 圆（图 3-16）；经过两点作圆， 图 3-16 也可作无数个圆，这些圆的圆心 都在线段 AB 的垂直平分线上（图 3-17）. 在这两种情况下，所作 的圆的圆心和半径都不能确定. 图 3-17 （3）已知 A，B，C 是不在同一条直线上的三个点，经过这三点能作圆吗？ 如果能，怎样作出过这三点的圆？ 到点 A，B，C 距离相等的点既在 线段 AB 的垂直平分线上，也在线段 BC 的垂直平分线上，因此这个点是这 两条垂直平分线的交点. 已知：如图 3-18，A，B，C 是不在同一条直线上的三个点. 求作：⊙O，使 A，B，C 三点都在⊙O 上. 作法 （1）连接 AB，BC ； （2）分别作线段 AB 与 BC 的垂直平分线 l ，l ，l 与 l 相交于点 O； 1 2 1 2 763.2 确定圆的条件 （3）以点 O 为圆心，以 OA 为半径作⊙O . l 1 ⊙O 就是所求作的经过 A，B，C 三点的圆. l 2 在以上作图的过程中，因为 A，B，C 三点不在同一条直 线上，从而直线 l 与 l 有且只有一个交点 O，所以，圆心 O 1 2 的位置唯一确定. 由于点 O 到 A，B，C 三点的距离相等，于 图 3-18 是点 B，C 都在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上，这 小资料 就是说，⊙O 的半径也就确定了. 所以过 A，B，C 三个点能作且只能作一个圆. 这样，就得到 三角形的外心是三角 形三条边的垂直平分线的 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 交点，它到三角形三个顶 点的距离相等. 任何一个三 由此可知，三角形三个顶点确定一个圆. 经 角形都有且只有一个外心. 过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 （circumcircle of triangle），外接圆的圆心叫做三角形的外心（circumcenter），这 个三角形叫做这个圆的内接三角形（inscribed triangle）. 在图 3-18 中，如果连接 AC，那么⊙O 是△ABC 的外接圆，或者说△ABC 内接于圆 O . O 是△ABC 的外心. （4）分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再作出每个三角 形的外接圆. 它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系？ 锐角三角形的外心在三角形的内 部，直角三角形的外心是斜边的中点， 钝角三角形的外心在三角形的外部. 练 习 1. 如图，已知直线 a 和直线外的两点 A，B（直线 AB 与 a 不平行也不垂直）. 求作经过点 A，B 的圆，并使它的圆心在直线 a 上. 2. 如图，是一块出土的残破的古代铜镜片. 怎样测出它的半径呢？ B A a （第 1 题） （第 2 题） 77第3章 对圆的进一步认识 实验与探究 过同一条直线上 我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个 的三点不能作圆. 圆. 思考下面的问题： （1）如果 A，B，C 三点在同一条直线上，经过点 A， B，C 能作出一个圆吗？试一试. （2）为什么过同一条直线上的三点不能作圆？怎样证 明这个结论呢？与同学交流. 已知：A，B，C 是直线 l 上的三点. 求证：过 A，B，C 三点不能作圆. 证明 假设过 A，B，C 三点可以作圆，设这个圆 O 的圆心为 O . l l 因为 OA = OB = OC，所以点 O 既在线段 AB 的垂 1 2 直平分线 l 上，也在线段 BC 的垂直平分线 l 上，因此 A B C l 1 2 点 O 为 l 与 l 的交点（图 3-19）. 这与基本事实“过一 图 3-19 1 2 点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 这说明过同一条直线上的三点 A，B，C 可以作圆的假设是不对的，所以过 同一条直线上的三点 A，B，C 不能作圆. 当一个命题不易 这种证明方法与我们以前 用直接证法证明时， 可以考虑用反证法. 学过的证明方法不同，它不是 由已知条件出发直接证明命题 的结论，而是先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立. 这种证明的方法叫做反证法. 用反证法证明一个命题，一般有三个步骤： （1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个 与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果； 783.2 确定圆的条件 （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 例1 证明平行线的性质定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等. E A' 已知：如图 3-20，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB， 1 B CD 分别相交于点 G，H . A G B' 求证：∠1 =∠2 . 2 C H D 证明 假设∠1≠∠2. F 过点 G 作直线 A'B'，使∠EGB' =∠2. 根据基本事 图 3-20 实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”，可得 A'B'∥CD . 这样，过点 G 就有两条直线 AB 与 A'B' 与直线 CD 平行. 这与基本事 实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明∠1 ≠∠2 的假设是不对的，所以∠1 =∠2 . 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行. a P b 已知：如图 3-21，直线 a∥c，b∥c . c 求证：a∥b . 图 3-21 证明 假设直线 a，b 不平行，那么它们相交，设交点为 P . 由已知 a∥c，b∥c，这样过点 P 就有两条直线 a，b 与直线 c 平行. 这与基本 事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明 a，b 不平行的假设是不对的，所以 a∥b . 史海漫游 一个闪耀着智慧光辉的推理典范 关于不同重量的物体从同一高度下落的速度，古希腊学者亚里士多德（Aristotle， 公元前 384—公元前 322 年）曾断言：“快慢与其重量成正比”，这就是说，重的物体要 比轻的物体下落得快一些. 长期以来，这个论断一直统治着人们的头脑. 直到 1590 年， 意大利物理学家伽利略（Galileo 1564—1642）才给予推翻. 伽利略认为：在真空中，轻 重物体应同时落地. 他除了在比萨斜塔通过著名的实验来验证以外，还给出一个十分简 79第3章 对圆的进一步认识 单的推理证法，使反对者不得不接受事实：设物体 A 比 B 重， 按照亚里士多德的说法，A 应比 B 先落地. 现在把 A 与 B 捆在 一起成为物体 A + B . 一方面，因 A + B 比 A 重，它应比 A 先落 地；另一方面，由于 A 比 B 落得快，B 应减慢 A 的下落速度， 所以 A + B 又应比 A 后落地. 这样便得到了自相矛盾的结论：A + B 既应比 A 先落地，又应比 A 后落地. 这个矛盾来源于亚里 伽利略 士多德的错误论断. 因此，重的物体应当和轻的物体同时落地. 请看，1 800 多年的错误论断竟被如此简单的推理所揭露，人们不能不佩服伽利略 的思想是何等敏锐，推理的威力是多么强大啊！ 练 习 用反证法证明下列命题： 1. 一个三角形中不能有两个角是钝角. 2. 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等. 习题3.2 复习与巩固 1. 判断下列命题是真命题还是假命题： （1）经过任意两点可以作无数个圆； A （2）任意一个三角形都有且只有一个外接圆； （3）任意一个圆都有且只有一个内接三角形； （4）三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心； （5）三角形的外心到三角形各边的距离相等. B 2. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 AB，用尺规确定 AB 的圆心. （第 2 题） 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5 . 求△ABC 的外接圆的半径. 4. 用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角不小于 60°. 拓展与延伸 5. 已知线段 PP = 5 cm，以 3 cm 长的线段为半径画圆，使它经过点 P 和 . 这样的圆能 画几个？如果 PP = 6 cm 呢？ 803.3 圆周角 6. 用反证法证明：在△ABC 中，如果 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，那么 BE，CD 不 能互相平分. 探索与创新 7. 在直角坐标系中，已知点 A（0，4），B（4，4）和 C（6，2）. （1）点 A，B，C 能确定一个圆吗？说明理由； （2）如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的圆心 P； （3）写出圆心 P 的坐标，并求出⊙P 的半径. 8. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦相交，不能互相平分. 3.3 圆周角 观察与思考 A （1）如图 3-22，点 A，B，C 是⊙O 上的三个点. 以 A 为 O C 端点作射线 AB，AC，得到了一个怎样的角？ B （2）（1）中的∠BAC 有什么特征？ 图 3-22 ∠BAC 的顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这 样的角叫做圆周角（angle in a circular segment）. （3）圆周角与圆心角有什么不同？ （4）观察图 3-23 中的各角，其中哪些是圆周角？哪些是圆心角？ A A A A A B B A O O O C O O B O C C C B C C B B ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图 3-23 81第3章 对圆的进一步认识 实验与探究 任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点 A，B，C，连接 AB，AC . （1）圆心 O 与∠BAC 有几种可能的位置关系？与同学交流. 圆心与同圆上的圆周角的位置关系有三种情况：圆心在圆周角的一边上 （图 3-24 ①），圆心在圆周角的内部（图 3-24 ②），圆心在圆周角的外部（图 3-24 ③）. A A A O O O B B C C C B ① ② ③ 图 3-24 （2）在图 3-24 ① 中，AB 是⊙O 的直径，连接 OC，你发现∠BOC 与∠BAC 有什么位置关系和数量关系？ 在图 3-24 ① 中∠BAC 是 BC 所对的圆 周角，∠BOC 是 BC 所对的圆心角，同时 ∠BOC 又是等腰三角形 AOC 的外角. 因此 1 可以推出，此时∠BAC＝ ∠BOC . 2 （3）能将问题（2）中的结论推广到图 3-24 ② ③ 吗？由此你猜想圆周角与 它所对弧上的圆心角有怎样的数量关系？怎样证明你的结论？ 在图3-24②③中作出圆心角∠BOC 及过 A 点的直径，可利用图3-24① 中的 结论，发现∠BAC 与∠BOC之间有同样 的关系. 823.3 圆周角 已知：如图 3-25，A，B，C 是⊙O 上的任意三点. 1 求证：∠BAC = ∠BOC . 2 A A A O O O B B B C C D D C ① ② ③ 图 3-25 证明 （1）当圆心 O 在∠BAC 的一条边上时（图 3-25 ①）. 在△OAB 中， ∵OA = OB， ∴∠BAO =∠OBA . ∵∠BOC =∠BAO +∠OBA， ∴∠BOC = 2∠BAO . 1 加油站 ∴∠BAC = ∠BOC . 2 （2）当圆心 O 在∠BAC 的内部时，作直径 AD 对于 ② ③ 两种情况， （图 3-25 ②）. 通过作直径 AD，原来的圆 周角就转化为圆心 O 在其 由（1）的结论，得 一边上的两个圆周角的和 1 1 ∠BAD = ∠BOD，∠DAC = ∠DOC . 2 2 或差，利用（1）的结论， 1 1 就能推出（2）和（3）的 ∴∠BAD +∠DAC = ∠BOD + ∠DOC . 2 2 结论. ∵∠BAD +∠DAC =∠BAC， 1 1 1 1 ∠BOD + ∠DOC = （∠BOD +∠DOC）= ∠BOC， 2 2 2 2 1 ∴∠BAC = ∠BOC . 2 （3）当圆心 O 在∠BAC 的外部时（图 3-25 ③），你能给出证明吗？试一 试，与同学交流. 归纳以上三种情况的结论，就得到 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 83第3章 对圆的进一步认识 因为圆心角与它所对弧的度数相等，因而由圆周角定理可以直接得到 推论 1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 例1 如图 3-26，在⊙O 中，∠AOB = 110°，点 C 在 AB 上. 求∠ACB 的 度数. 解 点 C 在 AB 的位置有两种情况： m （1）当点 C 在劣弧 AB 上时（图 3-26 ①）， O ∵∠AOB = 110°， A ∴ ACB 的度数 = 110°. B C ∴ AmB 的度数 = 360°- 110°= 250°. ① 1 ∴∠ACB = ×250°= 125°. m 2 C （2）当点 C 在优弧 AmB 上时（图 3-26 ②）， O ∵∠AOB = 110°， B A 1 ∴∠ACB = ∠AOB 2 ② 1 = ×110°= 55°. 图 3-26 2 练 习 A 1. 如图，在⊙O 中，∠AOB = 70°，OB⊥AC，垂足为点 D，求 ∠OBC 的度数. O B D 2. 已知△ABC 内接于⊙O，AB = AC，且 AB 的度数为 130°，求∠A C 的度数. （第 1 题） 观察与思考 （1）如图 3-27 ①，在⊙O 中，∠C ，∠C ，∠C 都是 AB 所对的圆周角， 1 2 3 它们的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？ 843.3 圆周角 C 2 C 因为∠C ，∠C ，∠C 的 1 1 2 3 O C 度数都等于 AB 度数的一半， 3 所以∠C =∠C =∠C . 由此 1 2 3 A B 可得同弧上的圆周角相等. ① C F （2）如图 3-27 ②，在⊙O 中，如果 AB = DE，那 么它们所对的圆周角∠ACB 与∠DFE 相等吗？反之， O E A 如果∠ACB 与∠DFE 都是⊙O 的圆周角，并且∠ACB D B =∠DFE，那么 AB 与 DE 相等吗？由此你能得到什么结 ② 论？如果在等圆中呢？ 图 3-27 因为 AB＝DE，∠ACB，∠DFE 的度数分别与 AB，DE的度数的一半 相等，所以∠ACB＝∠DFE . 由此可 得等弧上的圆周角相等，反之亦然. 于是，便得到圆周角定理的另一个推论： 推论 2 同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等. （3）如图 3-28，在⊙O 中，AB 是圆的直径，C 是圆上异于 A，B 的一点. ∠ACB 的度数是多少？为什么？ C 反过来，如果∠ACB 是⊙O 的圆周角，∠ACB = 90°， A B 那么它所对的弦经过圆心吗？为什么？ O 于是，得到圆周角定理的第 3 个推论： 图 3-28 推论 3 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 85第3章 对圆的进一步认识 例2 如图 3-29，△ABC 内接于⊙O，A 为劣弧 BC 的中点，∠BAC = 120°. 过点 B 作⊙O 的直径 BD，连接 AD . 若 AD = 6，求 AC 的长. 解 ∵ A 是劣弧 BC 的中点， D ∴ AB = AC . O C ∴∠ABC = ∠ACB . B 在△BAC 中，∠BAC = 120°. A 图 3-29 1 ∴∠ACB = （180°- 120°）= 30°. 2 ∴∠D = 30°. ∵ BD 是⊙O 的直径， ∴∠DAB = 90°. 在 Rt△DAB 中，AD = 6， 3 ∴ AB = AD·tanD = 6× = 2 3 . 3 ∴ AC = AB = 2 3 . 例3 如图 3-30，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，点 O 为 圆心. △ADC 与△ABE 相似吗？说明理由. A 解 △ADC ∽△ABE . 理由如下： O ∵ AE 为⊙O 的直径， B C D ∴∠ABE = 90°. E ∵ AD⊥BC， 图 3-30 ∴∠ADC = 90°. ∠ADC = ∠ABE . ∵∠ACD =∠AEB， ∴△ADC ∽△ABE . 挑战自我 E C F 如图 3-31，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，C 是 A B D O AE 的中点. CD⊥AB，垂足为点 D . AE 交 CD 于点 F，连接 AC . 求证：AF = CF . 图 3-31 863.3 圆周角 练 习 B 7 8 C 6 1. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD . O 5 1 （1）AD 与 BC 相等吗？为什么？ 4 2 3 A （2）你能找出图中所有相等的圆周角吗？ D 2. 某种工件有一个凹面，凹面的横截面为半圆时为合格品. 利用一 （第 1 题） 个角尺可以检验制作的工件是否合格. 下列四种情况中，合格的工件是 ，为 什么？ （1） （2） （3） （4） （第 2 题） 观察与思考 （1）如图 3-32，四边形 ABCD 的顶点与⊙O 具有怎样 C D 的关系？ 像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接 O A B 多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 在图 3-32 中，四 边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形 ABCD 的外 图 3-32 接圆. （2）∠A 与∠C 是四边形 ABCD 的一组对角，也都是⊙O 的圆周角，它们在 ⊙O 中所对的分别是哪两条弧？这两条弧有什么关系？从而∠A 与∠C 具有怎样 的数量关系？∠B 与∠D 也具有这样的数量关系吗？ 因为 BCD 与 BAD 的度数之和为360°， 由圆周角定理可知，∠A +∠C = 180°. 同理，∠B +∠D = 180°. 87第3章 对圆的进一步认识 于是，得到圆周角定理的第 4 个推论： 推论 4 圆内接四边形的对角互补. 例4 如图 3-33，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知∠BOD = 140°，求∠C 的度数. A 解 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠A +∠C = 180°， O D B ∵∠BOD = 140°， C ∴∠A = 1 ∠BOD 图 3-33 2 1 = ×140°= 70°. 2 ∴∠C = 180°-∠A = 180°- 70°= 110°. 例5 如图 3-34，△ABC 内接于⊙O，D，F 分别是 AC 与 AB 上的点， BF = DA . 连接 AF 并延长交 CB 的延长线于点 E，连接 AD，CD . 求证：∠CAD =∠E . 证明 ∵ BF = DA， ∴∠BAE =∠ACD . ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC +∠D = 180°. 图 3-34 ∵∠ABC +∠ABE = 180°， ∴∠ABE =∠D . ∴△CDA ∽△ABE . ∴∠CAD =∠E . B 挑战自我 C 如图 3-35，在圆内接四边形 ABCD 中，∠A = 60°，∠B D A = 90°，AB = 2，CD = 1，求 BC 的长. 图 3-35 883.3 圆周角 练 习 1. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD = 98°. 求∠A 与∠C 的度数. A C B D O D O C B A （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，在圆内接四边形 ABCD 中，AC 平分 BD，并且 AC⊥BD，∠BAD = 70°，求四边 形 ABCD 其余各角的大小. 习题3.3 复习与巩固 1. 如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠ACB = 30°，求∠BAO 的度数. 2. 如图，AB，CD 是⊙O 的弦，延长 AB，CD 相交于点 P. 求证：∠P 的度数等于 AC 与 BD 度数的差的一半. A O B C P O D A C B （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，在方格纸上有一个圆. 你能用不带刻度的直尺确定它的圆心吗？说明确定圆心 的方法和理由. 4. 如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，AD 为⊙O 的直径. 求∠ADB 和∠CBD 的度数. 5. 如图，C 是⊙O 的直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD = CO . 若 AD 的度数为 40°，求 BE 的度数. 89第3章 对圆的进一步认识 C D D O O A B C A B E （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 6. 如图，D 是△ABC 的外接圆上的一点. AD 平分△ABC 的外角∠EAC，求证： BD = CD . 拓展与延伸 7. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 BC = 2，⊙O 的半径为 1，求∠A 的度数. 8. △ABC 中，已知∠B = 60°，AC = 3，求△ABC 的外接圆的半径. 9. 如图，在⊙O 中， AB 与 AC 的中点分别为点 E 与 F，弦 EF 与 AB，AC 分别相交于点 P， . 试试判判断断△△AAPP 的形状，并证明你的结论. G A F C E P F A B O O E B C D （第 9 题） （第 10 题） 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E . 点 F 是 AC 上的任意一点，延长 AF 交 DC 的延长线于点 G，连接 FC，FD . 求证：∠GFC =∠AFD . 探索与创新 11. 如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是 BC 的三等分点. BD，CE A 的延长线交于点 A . （1）判断△ADE 与△DOE 的形状； D E （2）如果∠A 的度数不变，D，E 在 BC 上移动，△ADE 与 B O C △DOE 的形状是否也随之改变？说明你的理由. （第 11 题） 903.4 直线与圆的位置关系 12. 正方形 ABCD 内接于⊙O . （1）如图，在 AB 上取一点 E，连接 DE，AE，BE . 在 DE 上截取 A D 点 F ，使 DF = BE . 在图中找出与△ADF 全等的三角形，并 F 证明你的结论. E O （2）在（1）的条件下，小莹还发现 DE，BE，AE 之间满足下列 B C 关系：DE - BE = 2AE . 请你说明理由. （第 12 题） 3.4 直线与圆的位置关系 实验与探究 （1）我们过去曾学习过点与圆的位置关系. 回忆一下，在平面内一个点 P 与 ⊙O 的位置关系有几种？如果已知⊙O 的半径为 r，通过怎样的数量关系可以确 定点 P 与⊙O 的位置关系？ （2）在纸上画直线 l 与 m，使 m⊥l，垂足为点 P . 取一张圆形的透明纸片， 记圆心为 O . 将⊙O 放在纸上，使点 O 落在直线 m 上，沿 m 平移⊙O（图 3-36）. 在平移过程中，观察直线 l 与⊙O 的公共点的个数，你有什么发现？ m m m O O O P l P l l P ① ② ③ 图 3-36 我发现，直线 l 与圆的公共点的个数与⊙O 与直线 l 的位置有关，可以有两个，可以只有 一个，也可以没有公共点. 91第3章 对圆的进一步认识 当直线 l 与⊙O 有两个公共点时（图 3-36 ①），叫做直线 l 与⊙O 相交. 直 线 l 叫做⊙O 的割线（secant line），两个公共点叫做交点. 当直线 l 与⊙O 有唯一的公共点时（图 3-36 ②），叫做直线 l 与⊙O 相 切. 直线 l 叫做⊙O 的切线（tangent line），唯一的公共点叫做切点（point of tangency）. 当直线 l 与⊙O 没有公共点时（ 图 3-36 ③），叫做直线 l 与⊙O 相离. （3）如图 3-36，设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离 OP 为 d，在平 移⊙O 的过程中，当直线 l 与⊙O 相交时，d 与 r 有怎样的大小关系？当直线 l 与 ⊙O 相切或相离时呢？反过来，你能根据 r 与 d 的大小关系，判定⊙O 与 l 的位 置关系吗？ 当直线 l 与⊙O 相交时，d < r ；反之，当 d < r 时，直线 l 与⊙O 相交. 当直线 l 与⊙O 相切时， ；反之，当 d = r 时，直线 l 与⊙O . 当直线 l 与⊙O 相离时， ；反之，当 d > r 时，直线l与⊙O . 例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm . 以点 C 为圆 心，r 为半径画圆. 当 r 分别取下列各值时，斜边 AB 所在的直线与⊙C 具有怎样 的位置关系？ （1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm . B 解 如图 3-37，经过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D . 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 D AB = AC2+BC2 = 32+42 = 5 . CD AC C A ∵ Rt△ADC ∽ Rt△ACB，∴ = . BC AB 图 3-37 AC·BC 3×4 ∴ CD = = = 2.4 . AB 5 即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm . （1）当 r = 2 cm 时，d > r，直线 AB 与⊙C 相离； （2）当 r = 2.4 cm 时，d = r，直线 AB 与⊙C 相切； （3）当 r = 3 cm 时，d < r，直线 AB 与⊙C 相交. 923.4 直线与圆的位置关系 练 习 1. 已知⊙O 的半径为 5 cm，点 P 在直线 l 上，若 OP = 5 cm，则直线 l 与⊙O 有怎样的位 置关系？画图说明. 2. 已知等腰直角三角形的直角边长为 2 cm，以直角顶点为圆心，以 r 为半径画圆. 当 r 在 什么范围内取值时，所画的圆与斜边相交？ 观察与思考 （1）过⊙O 的半径 OA 的外端点 A 作与半径 OA 垂直的直线 l（图 3-38），你 发现直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ 因为圆心 O 到直线 l 的 O 距离等于⊙O 的半径，所以 直线 l 与⊙O 相切. l A 图 3-38 切线的判定定理 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线. （2）利用上面的定理，过⊙O 上任意一点，你会用三角尺画⊙O 的切线 吗？试一试. 设 P 是⊙O 上的任意一点，将三角尺的直角顶点 与 P 点重合，一条直角边过圆心 O，再沿另外一条直 角边画直线，该直线便是⊙O 的经过点 P 的切线. C 例2 如图 3-39，以△ABC 的边 AB 为直径作⊙O，如 D 果⊙O 经过 AC 的中点 D，然后过 D 作 DE⊥BC，垂足为点 E . E DE 是⊙O 的切线吗？说明理由. A B O 解 DE 是⊙O 的切线. 理由如下： 图 3-39 93第3章 对圆的进一步认识 连接 OD . ∵ AB 是⊙O 的直径， 连接 OD 后，把证明 DE 与 ∴ AO = OB . ⊙O 相切转化为证明 DE⊥OD 了. 又∵ AD = DC， ∴ OD 是△ABC 的中位线， 从而 OD∥BC . ∵ DE⊥BC， ∴ DE⊥OD， ∴ DE 是⊙O 的切线. 在例 2 中，你还能由已知探索出哪些结论？说明你的理由，并与同学交流. 挑战自我 已知⊙O 和圆上一点 P，你会用尺规过点 P 作⊙O 的切线吗？说出你的作法 和作图的道理. 练 习 1. 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB . AB 是⊙O 的切线 O O B A 吗？为什么？ 2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB E A C B C 为⊙O 的直径，∠CAE =∠B . AE 与⊙O （第 1 题） （第 2 题） 相切吗？为什么？ 你能说出切线的判定定理的逆命题吗？这个逆命题是真命题还是假命题？ 如果是真命题，你能给出证明吗？ 逆命题是“圆 不好直接证 的切线垂直于经过 明，用反证法能 切点的半径”. 行吗？ 943.4 直线与圆的位置关系 已知：如图 3-40，直线l 与⊙O 相切于点 A . 求证：OA⊥l . 证明 如图 3-40，假设 l 与半径 OA 不垂直. 过点 O 作 OB⊥直线 l，垂足为点 B . 在 l 上取 BA' = BA，且使 B 点在 A 与 A' 之间，连接 OA'. 于是 OB 垂直平分 AA'，OA = OA'. A' ∵点 A 是切点，OA 是⊙O 的半径， 图 3-40 ∴OA' 也是⊙O 的半径. 这就是说，直线 l 与⊙O 有两个公共点，即 l 与⊙O 相交，这与已知条件 “直线 l 与⊙O 相切于点 A”矛盾，所以 OA⊥ l . 由此得到 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 例3 A，B，C 是⊙O 上的三点，经过点 A，点 B 分别作⊙O 的切线，两切 线相交于点 P，如果∠P = 42°，求∠ACB 的度数. 解 （1）如图 3-41，当点 C 在 AmB 上时，连接 OA，OB . ∵ PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点， ∴∠OAP =∠OBP = 90°. m 在四边形 OAPB 中， ∵∠P = 42°， ∴∠AOB = 360°-∠OAP -∠OBP -∠P 图 3-41 = 360°- 90°- 90°- 42°= 138°. 1 1 ∴∠ACB = ∠AOB = ×138°= 69°. 2 2 在解决有关圆的切线问题时，常常 需要作出过切点的半径. 因为切点 A，B 把⊙O 分成了一条优弧和一条劣弧，所以 本题应分两种情况讨论. 95第3章 对圆的进一步认识 （2）如图 3-42，当点 C 在劣弧 AB 上时，在优弧 AmB 上任取一点 C'，连 接 AC'，BC' . 由（1）知，∠AC'B = 69°， m 在圆内接四边形ACBC'中， C' ∵∠ACB +∠AC'B = 180°， ∴∠ACB = 180°-∠AC'B = 180°- 69°= 111°. 图 3-42 练 习 1. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直 径，直线 BE 切⊙O 于点 B . 求证： O O ∠A =∠CBE . A B A C 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线 C E B 交过点 B 的⊙O 的切线于 C，如果∠A （第 1 题） （第 2 题） = 20°，求∠C 的度数. 过圆上一点能画且只能画一条圆的切线，过圆外一点能画圆的几条切线？ 实验与探究 （1）在透明纸上画出⊙O ，在⊙O 上取一点 A， A 过点 A 画出⊙O 的切线，在过点 A 的切线上任取一点 P （图 3-43）. P O （2）把你画出的图形沿直线 PO 对折，你发现点 A 关于 PO 的对称点 B 在⊙O 上吗？由此你能发现哪些结 图 3-43 论？与同学交流. 点 A 关于 PO 的对称点 B 在⊙O 上. 连接 PB，则 PB 与⊙O 相切，点 B 是切点，由于 PA 与 PB 关于 PO 成轴对称，可以发现经过圆外一点可 以画圆的两条切线 PA，PB，并且 PA = PB . 963.4 直线与圆的位置关系 （3）能证明你的结论是正确的吗？ 如图 3-43，已知 P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线. 过切点 A 作 PO 的垂 线，垂足为点 C，交⊙O 于点B，连接 PB，OA，OB（图 3-44）. ∵ OA = OB，OP⊥AB， A ∴ ∠AOP =∠BOP . ∵ OP = OP， P O C ∴ △OPA ≌△OPB（SAS）. B ∵ ∠OAP = 90°， 图 3-44 ∴ ∠OBP =∠OAP = 90°. ∴ PB 是⊙O 的切线，且 PA = PB . 这就是说，经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长（length of tangent）. 这样，就得到了 ＊ 切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 例4 如图 3-45，P 为⊙O 外一点，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是 切点，BC 是⊙O 的直径. A C （1）求证：AC∥OP； （2）如果∠APB = 70°，求 AC 的度数. P D O 解 （1）证明：连接 OA，AB，AB 交 PO 于点 D . B 图 3-45 ∵ PA，PB 分别切⊙O 于 A，B 两点. ∴ OA = OB，PA = PB，OP = OP， △AOP ≌△BOP . ∴∠OPA =∠OPB，OP 平分∠APB . ∴ PD⊥AB，∠PDA = 90°. 又∵ BC 是⊙O 的直径， ∴∠CAB = 90°. ∴ AC ∥ OP . （2）∵ PA = PB， 97第3章 对圆的进一步认识 ∴∠PAB =∠PBA . ∵∠APB = 70°， 1 1 ∴∠PBA = （180°-∠APB）= （180°- 70°）= 55°. 2 2 ∵ BC 是⊙O 的直径， ∴∠CBP = 90°. ∴∠ABC =∠CBP -∠PBA = 90°- 55°= 35°. ∴ AC 的度数 = 2×∠ABC 的度数 = 2×35°= 70°. 挑战自我 如图 3-46 ①，是一个用来测量球形 物体直径的 V 型架，图 3-46 ② 是它抽象 O A B 出的几何图形，其中 PA 与 PB 是经过圆 外一点 P 的⊙O 的两条切线，切点分别是 P A，B . ∠P = 60°，如果一个乒乓球放入 V ① ② 型架上，量得 PA = 4.5 cm，怎样求出乒乓 图 3-46 球的直径（精确到 0.1 cm）？ 练 习 1. 如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，OP 交⊙O 于点 C，PA = 4 cm，PC = 2 cm . 求∠APB 的大小. 2. 如图，在直角坐标系中，⊙M 与 x 轴，y 轴分别相切于点 A，B，已知点 B 的坐标为 （0，3），求点 M 的坐标及点 M 到弦 AB 的距离. A P O C B （第 1 题） （第 2 题） 983.4 直线与圆的位置关系 习题3.4 复习与巩固 1. 如图，⊙A 的半径为 2，点 A （a，0）在 x 轴上移动. （1）当⊙A 与 y 轴相离时，a 的取值范围是 ； （2）当⊙A 与 y 轴相切时，a 的取值是 ； （3）当⊙A 与 y 轴相交时，a 的取值范围是 . （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 a，AC 与 BD 交于点 E，过点 E 作 FG∥AB，分别交 2 AD，BC 于点 F，G . 试判断以点 B 为圆心，以 a 为半径的圆与直线 AC，FG，DC 2 的位置关系. 3. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于点 D . ⊙O 与 AC 相切吗？说明理由. 4. 如图，在⊙O 中，C 是 AB 的中点，过点 C 作直线 CD∥AB . 判定 CD 与⊙O 的位置关 系，并说明理由. 5. 如图，⊙O 的半径 OC = 5 cm，直线 l⊥OC，垂足为点 H，且 l 交⊙O 于 A，B 两点， AB = 8 cm . 将直线 l 向下平移多少时，l 能与⊙O 相切？ A O C O E O A B l A H B B C D C （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 6. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥OA 交 AB于点 C，过点 B 的直线交 OC 的延长线于点 E . 当 CE = BE 时，直线 BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并说明你的理由. 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相交，∠BAD 的平分线交⊙O 于点 C，经过点 C 99第3章 对圆的进一步认识 的切线交 AD 于点 E . CE 与 AD 垂直吗？说明理由. D E A D C O C P A B O E B （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B . C 是 AB 上任一点，过 C 作⊙O 的切线分别交 PA，PB 于点 D，E . 若△PDE 的周长为 12，求 PA 的长. 拓展与延伸 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 P，点 是 AC 的中点. 求 证证：：PP 是⊙O 的切线. 10. 如图，可以用刻度尺和一个锐角为 30°的三角尺测量计算圆形工件的直径，你能说 明其中的道理吗？如果测得 AB = 5 cm，那么圆形工件的直径是多少？ 11. 如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A，过点 A 的切线交 PC 于点 D， CD∶DP = 1∶2，AD = 2 cm . 求⊙O 的半径. B C D O P O P A A B 0 5 10 15 20 25 30 35 A C （第 9 题） （第 10 题） （第 11 题） A 12. 如图，以 Rt△ABC 的直角边 AC 为直径作⊙O，交斜边 AB 于点 D，DE 切⊙O 于点 D，交 BC 于点 E . 已知 BC = 10， D O 求 DE 的长. B C E 探索与创新 （第 12 题） 13. 如图，CD 是⊙O 的直径，直线 AE 切⊙O 于点 B，DC 的 D 延长线交 AB 于点 A，∠A = 20°. 请根据题设，写出两个 O 你认为正确的结论，并加以证明. C 14. 如图，有一张紧靠墙角（成直角）放置的圆桌，有一把 A B E 长度略小于圆的直径的刻度尺，你能用这把刻度尺测量 （第 13 题） 1003.5 三角形的内切圆 计算这张圆桌的直径吗？请设计两种不同的方案，并说明 方案的可行性. 15. 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母 （不写作法，保留作图痕迹）： ① 作△ABC 的外接圆，圆心为 O； （第 14 题） ② 以线段 AC 为一边，在 AC 的右侧作等边三角形 ACD； A ③ 连接 BD，交⊙O 于点 E，连接 AE . （2）在你作的图中，若 AB = 4，BC = 2 . ① 判断 AD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ② 求线段 AE 的长. B C （第 15 题） 3.5 三角形的内切圆 实验与探究 A （1）任意作一个∠AOB（图 3-47），如果在∠AOB 内作圆，使其与两边 OA，OB 都相切，满足上述条件的 O 圆是否可以作出？如果可以作出，能作多少个？所作出 B 的圆的圆心的位置有什么特征？ 图 3-47 满足上述条件的圆可以作出，并且可 以作无数个. 其中每个圆的圆心到∠AOB 的两边的距离都分别相等，所以这些圆的 圆心都在∠AOB 的平分线上. （2）任意作一个△ABC，如果在△ABC 内作圆，使其与各边都相切，满足 上述条件的圆是否可以作出？如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心 的位置有什么特征？ 101第3章 对圆的进一步认识 只要能在△ABC 内找出一点，使它到 各边的距离都相等，问题就可以解决了. （3）怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC 的各边都相切呢？ A 已知：△ABC（图 3-48 ①）. 求作：⊙I，使它与△ABC 各边都相切. 作法 B C ① 1. 作∠B，∠C 的平分线 BD，CE，BD 与 CE 相交于 A 点 I（图 3-48 ②）； E D 2. 过点 I 作 IF⊥BC，垂足为点 F； I 3. 以 I 为圆心，IF 为半径作圆. B C F ⊙I 就是所求作的圆. ② 图 3-48 （4）你能说出上面作图的道理吗？与三角 小资料 形各边都相切的圆有几个？ 三角形的内心是三角形 的三条角平分线的交点，它 到三角形各边的距离相等. 由作法可知，与三 任何一个三角形都有且 角形的各边都相切的圆 只有一个内心，三角形的内 能作并且只能作出一个. 心在三角形的内部. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），内切圆的圆心叫做三角形的内心（incenter），这个三角形叫做圆 的外切三角形（circumscribed triangle）. 例1 如图 3-49，在△ABC 中，∠A = 68°，点 I 是内心. 求∠BIC 的度数. 解 ∵ 点 I 是△ABC 的内心， 1 1 ∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB . 2 2 1023.5 三角形的内切圆 1 A 因而 ∠1 +∠2 = （∠ABC +∠ACB） 2 1 = （180°-∠A） I 2 1 = （180°- 68°） 1 2 2 B C 图 3-49 = 56°. ∴ ∠BIC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- 56° = 124°. 挑战自我 （1）已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，它的内切圆半径为 r . 求△ABC 的面积. （2）已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 b，a . 求它的内切圆 半径. 练 习 1. 如图，分别作出 Rt△ABC 与钝角三角形 B F DEF 的内切圆. 2. 在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°， 点 I 是△ABC 的内心. 求∠AIB，∠BIC C A D E 和∠AIC 的度数. （第 1 题） 习题3.5 复习与巩固 1. 选择题：如图，△ABC 的内切圆 O 与各边分别相切于点 A D，E，F，则点 O 是△DEF 的（ ）. E （A）三条中线的交点 D （B）三条高的交点 O （C）三条角平分线的交点 B F C （D）三条边的垂直平分线的交点 （第 1 题） 103第3章 对圆的进一步认识 2. 求边长为 a 的等边三角形的内切圆的半径. 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，⊙O 是它的内切圆，⊙O 与边 BC，CA 分别切于 D，E 两 点. 求证：四边形 ODCE 是正方形. 拓展与延伸 4. 如图，在△ABC 中，内切圆 O 与边 BC，CA，AB 分别切于点 D，E，F . 1 求证： ∠A +∠FDE = 90°. 2 * 5. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点分别是 D，E，F，AB = 9，BC = 8，CA = 7 . 求 AD，BE，CF 的长. A D F O B E C （第 4 题） （第 5 题） 探索与创新 6. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 I 是△ABC 的内心，延长 AI 交 BC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 BD，DC，BI . 求证：DB = DC = DI . （第 6 题） 3.6 弧长及扇形面积的计算 在生产和生活实际中，有时需要求一段弧的长度或一个扇形的面积. 我们过去学习过圆的周长公式和面积公式，怎样利用这两个公式分别推导 出弧长及扇形的面积的计算公式呢？ 交流与发现 已知圆的半径为 r . 思考下面的问题： （1）圆周上 1°弧的长度是整个圆周长的多少？怎样用圆的半径 r 表示 1°弧 1043.6 弧长及扇形面积的计算 的长度呢？ （2）由（1），怎样用圆的半径 r 表示 n°弧的长度 l 呢？与同学交流. nπr l = . 180 （3）在⊙O 中，圆心角为 1°的扇形的面积是整个圆面积的多少？怎样用圆 的半径 r 表示圆心角为 1°的扇形的面积呢？ （4）由（3），怎样用圆的半径 r 表示圆心角为 n°的扇形面积 S 呢？ 扇形 nπr2 S = . 扇形 360 （5）如果已知⊙O 的半径 r 和扇形的弧长 l，怎样用 l 与 r 表示这段弧所在的 扇形的面积呢？ nπr nπr2 1 nπr 因为扇形的弧长 l = ，所以 = （ ）r，于是 180 360 2 180 1 S = lr . 扇形 2 例1 如图 3-50 所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB . 已知 AB 的圆心为 O，半径 OA = 60 cm，∠AOB = 108°，求这段弯管的长度（精确到 0.1 cm）. 解 由图 3-50 可知，n = 108°，r = 60 cm， A B 代入弧长公式，得 nπr 108×60π l = = ≈ 113.1（cm）. O 180 180 图 3-50 所以，这段弯管的长度约为 113.1 cm . 例2 如图 3-51，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 与 AC 的夹 角为 120°，AB 的长为 30 cm，竹条 AB 上贴纸部 分 BD 的宽为 20 cm . 求扇子的一面上贴纸部分的 面积（精确到 0.1 cm2）. B C 解 由图 3-51 可知，扇形的圆心为 A，圆 D E A 心角 n = 120°，AB = 30 cm，BD = 20 cm，图上 图 3-51 105第3章 对圆的进一步认识 贴纸部分的面积等于两个扇形面积的差. 由扇形的面积公式，贴纸部分的面积为 S - S 扇形 BAC 扇形 DAE nπ·AB2 nπ·AD2 = - 360 360 120π×302 120π×（30-20）2 = - 360 360 1 = π（302 - 102）≈ 837.8（cm2）. 3 所以，扇子的一面上贴纸部分的面积约为 837.8 cm2 . 挑战自我 A B 已知扇形 AOB 的半径为 r，∠AOB = 90°，以弦 AB 为直径作半圆，得到图 3-52 . 你会求图中“新月形” O （阴影部分）的面积吗？试一试. 图 3-52 智趣园 计算花瓶形的面积 4 个半径为 1 cm 的等圆的位置如图 3-53 所示，其中阴影部分酷似一个花瓶的纵断 面（不妨称其为花瓶形）. 你会计算这个花瓶形的面积吗？ 图 3-53 图 3-54 方法一：将图 3-54 左图的花瓶形沿图中的虚线剪成四块，可以拼成右图的正方形. 因此，所求的花瓶形的面积等于所拼成的正方形的面积. 因为正方形的边长等于等 圆的半径的 2 倍，即 2 cm，所以这个花瓶形的面积为 2×2 = 4（cm2）. 方法二：将图 3-55 左图中的花瓶形沿图中的虚线剪成 4 块，也可以拼成右图的正 1063.6 弧长及扇形面积的计算 方形，你能说出这时正方形的边长 2 是怎样求出的吗？ 图 3-55 图 3-56 方法三：将图 3-56 左图的花瓶形沿图中的虚线剪成 3 块，也能拼成右图的正方形，想一想，这时正方形的边长 是怎样算出的？ 图 3-57 是另外一种计算方法的示意图，请按照图示求 出花瓶形的面积. 除了上述四种方法外，你还能想出求花瓶形面积的其 他方法吗？ 图 3-57 练 习 1. 如图，桥拱的形状是一段圆弧，桥拱 AB 的度数是 90°，半径 OA 为 30 m . 求桥拱 AB 的长（精确到 0.1 m）. 2. 如图，水平放置的排水管的横截面为圆形，圆的半径为 10 cm，水面宽度 AB 为 10 cm . 求截面中有水部分的面积（精确到 0.1 cm2）. A B O A B O （第 1 题） （第 2 题） 习题3.6 复习与巩固 1. 如图，公路的拐弯处有一段弯道是圆弧形，道路长 12 m，弧所对的圆心角是 81°. 求 107第3章 对圆的进一步认识 这段弧的半径 r（精确到 0.1 m）. 2. 扇形的弧长为 3π cm，半径为 8 cm . 求该扇形的面积. A P D D A B M N r 81° O B E C M O C N （第 1 题） （第 3 题） （第 4 题） 3. 在矩形 ABCD 中，AB = 1，BC = 3 . 以 BC 的中点 E 为圆心画弧 MPN 与 AD 相切，切 点为 P，点 M，N 分别在 AB 与 CD 上. 求扇形 EMN 的面积. 4. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下了一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面 积，小亮在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径. 设这条切线交大圆 于点 A，B，量得 AB 的长是 a，便可求出剩余部分的面积. 请你说出小亮是如何算出 来的. 拓展与延伸 5. 如图，正方形的边长为 a，分别以各边为直径在正方形内画半圆. 求阴影部分的面积. 6. 如图，大圆⊙O 的半径 OA 是小圆⊙O 的直径，⊙O 的半径 OC 交⊙O 于点 B . 1 1 求证： AC 与 AB 的长相等. F B A E G C D （第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） 探索与创新 7. 如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，其中 DE，EF，FG 的圆心依次是 A，B，C . （1）求点 D 沿三条圆弧运动到点 G 所经过的路线长； （2）求图中阴影部分的面积. 1083.7 正多边形与圆 3.7 正多边形与圆 你还记得什么叫正多边形吗？说出你常见的几种正多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 图 3-58 观察与思考 观察图 3-58 中的正多边形，思考下面的问题： （1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴， 并说出这些对称轴是怎样的直线. （2）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你 能猜测正 n 边形有几条对称轴吗？ （3）通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推 出正多边形的什么性质？ （4）利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你 发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？ O （5）画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的 位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？ （6）由（4）（5）你猜测正多边形都有外接圆和内切圆 图 3-59 吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征（图 3-59）？ 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形有 n 条对称轴. 正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离 相等，到各边的距离也相等. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心 是各对称轴的交点. 109第3章 对圆的进一步认识 如图 3-60，正多边形的外接圆和 E C D 内切圆的公共圆心叫做正多边形的中 F D 心，外接圆的半径叫做正多边形的半 O O 径，内切圆的半径叫做正多边形的边 A C P 心距（apothem）. A P B B 图 3-60 可以看出，正多边形各边所对的 外接圆的圆心角都相等. 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边 360° 形的中心角，正 n 边形的每个中心角都等于 . n 你能分别说出图 3-60 中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角 的度数吗？ （7）正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成了 n 个怎样的图形？相应的边心距 把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？ 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成了 n 个 全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应 的边心距分成了两个全等的直角三角形. （8）如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆 根据勾股定理 的半径 r 和内切圆的半径 d 分别是多少？它们之间满 a 足什么关系？一般地，如果正 n 边形的边长为 a ，半 r n 2 = d n 2 +（ 2 n）2 . n 径为 r ，边心距为 d ，这三个量之间有什么关系？ n n （9）以正 n 边形的中心 O 为旋转中心，将正 n 边 360° 形旋转 ，你能得到什么结论？ n （10）正 n 边形是中心对称图形吗？ 当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称 图形，它的中心 O 是对称中心. 当 n 为奇 数时，正 n 边形不是中心对称图形. 1103.7 正多边形与圆 例1 一个正六边形花坛的半径为 R，求花坛的边长 a，周长 p 和面积 S . 解 如图 3-61，ABCDEF 为正六边形. 连接 E D OA，OB，作 OG⊥AB，垂足为点 G，则 OA = OB = R， O F C AB = a . R 在等腰三角形 AOB 中， A G B 1 1 360° ∵∠GOB = ∠AOB = × = 30°， 2 2 6 图 3-61 ∴ a = 2GB = 2Rsin30°= R . 加油站 ∴ p = 6R . 3 通过作出正多边形的半 ∵ OG = Rcos30°= R， 2 径和边心距，可以把正多边 1 3 ∴ S = 6S = 6× R× R 形的有关计算问题转化为解 △AOB 2 2 3 3 直角三角形的问题. = R2 . 2 史海漫游 圆面积的估算 早在几何学的萌芽时期，人类已经知道用正多边形的面积估算圆的面积. 在一部目 前发现的世界上最古老的数学著作之一《莱因德纸草书》（公元前 1650 年左右的埃及 1 人阿默斯所著）中，记载了求圆面积的一个近似方法：将圆的直径减去它的 后再平 9 方即得. 这种近似算法可以利用图 3-62 解释：作一个直径为9的 3 3 3 圆和圆的外切正方形. 将正方形的各边三等分，连接相应的分 3 点，正方形被分成 9 个边长为 3 的小正方形. 分别连接图 3-62 3 中四个角上小正方形的一条对角线，得到一个八边形. 注意这 个八边形的各内角都是 135°，但不是正八边形. 图中直径为 9 3 的圆的面积十分接近这个八边形的面积. 利用数方格的方法可 图 3-62 知图中八边形的面积等于 7 个小正方形的面积，即 7×32 = 63. 而 63 又接近 64，因此，这个圆的面积又很接近于一个边长为 8 的正方形的面积 111第3章 对圆的进一步认识 1 （图 3-63）. 从而，古埃及人认为可以用圆的直径 9 减去它的 的平方即（9-1）2 = 64 9 近似表示这个圆的面积. 现在，我们会用公式 S = πR2 计算出直径为 9 的圆的面积为 63.62（精确到 0.01）. 它 与边长为 8 的正方形的面积仅相差 0.38 . 相当于在利用圆面积公式时，π 取 3.160 49 . 从中你能感受到古埃及人的聪明才智吗？ 3 用八边形 2 3 面积估算 圆面积 约等于 9 9 9 8 图 3-63 练 习 1. 下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例. （1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线； （2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形； （3）既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形； （4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形. 2. 完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内： 边数 n 内角 α 中心角 α 半径 R 边长 a 边心距 r 周长 P 面积 S n n n n n n 3 2 3 4 2 6 12 B 交流与发现 C A 如图 3-64，A，B，C，D，E 都是⊙O 上的点，且 D O ∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE . E 思考下面的问题： （1）弦 AB，BC，CD，DE 的长相等吗？为什么？ 图 3-64 1123.7 正多边形与圆 （2）∠ABC，∠BCD，∠CDE 是否相等？为什么？ （3）由（1）与（2），你能将圆周 n 等分吗？你能设 A 2 A A 3 360° 1 计一种画正 n 边形的方法吗？与同学交流. n 如图 3-65 所示，画一个圆，记为⊙O . 用量角器画一 A 4 O 360° 个 的圆心角∠A OA ，再以点 A 为圆心，以弦 A A 为 A ⋯⋯ n 1 2 2 2 1 5 半径在⊙O 上截得点 A . 然后以点 A 为圆心，以弦 A A 为 图 3-65 3 3 2 1 半径在⊙O 上截得点 A ，⋯这样继续下去，就可以把⊙O 分成 n 等份. 顺次连接 4 这 n 个分点，就得到一个正 n 边形. 你能用上面的方法画一个正五边形吗？试一试. 例2 用直尺和圆规作圆的内接正方形. O 已知：⊙O（ 图 3-66）. 求作：⊙O 的内接正方形ABCD . 图 3-66 利用圆内接正方形的对角线是外接 圆的直径，并且对角线互相垂直平分的性 质，能用尺规作出⊙O 的内接正方形吗？ 作法 （1）过圆心 O 作⊙O 的任意一条直径 AC . D （2）过点 O 作 AC 的垂线，交⊙O 于 B，D 两点. （3）顺次连接点 A，B，C，D，A（图 3-67）. A C O 四边形 ABCD 就是所求作的⊙O 的内接正方形. 例3 用直尺和圆规作圆的内接正六边形. B 图 3-67 已知：⊙O（图 3-66）. B 求作：⊙O的内接正六边形. C A D O 利用圆内接正六边形的边 长等于圆的半径，可以作出圆 F 内接正六边形. E 图 3-68 113第3章 对圆的进一步认识 作法 （1）如图 3-68，在⊙O 上任取一点 A，自点 A 起依次截取长度等于 半径 OA 的弦，得到点 B，C，D，E，F . （2）顺次连接点 A，B，C，D，E，F，A . 六边形 ABCDEF 就是求作的⊙O 的内接正六边形. 挑战自我 解决了用尺规作圆内接正四边形、正六边形的问题后，你认为哪些边数的 圆内接正多边形的尺规作图问题都随之得到解决？ 史海漫游 高斯与正十七边形 1796 年的一个晚上，德国格丁根大学，一个 19 岁的大学二年 级学生照例开始做导师每天单独布置的数学题. 前两题顺利，第三 题写在一张小纸条上，要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出 正十七边形. 青年没在意，做着做着，却感到越来越吃力. 困难激 起了他的斗志，他拿着圆规和直尺，在纸上尝试着一些超常规的思 路. 直到窗外露出一丝曙光，青年才长舒一口气，终于找到了作法. 导师看到作业当即惊呆了，他声音颤抖地说：“知道吗，你 解开了一道有两千多年历史的数学悬案！欧几里得没有解出来， 高斯 阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！我最近正研究 这道难题，昨天给你布置习题时，不小心把那张小纸条夹在了给你的题目里. ” 这个大学生就是高斯（Gauss. 1777-1855）. 多年后他感慨地说：“当初若知道这是 两千年未解的难题，我不可能在一个晚上解决它. ” 后来高斯成为著名数学家、物理学家、天文学家，他是近代数学的奠基者之一，被 誉为“数学王子”. 《正十七边形尺规作图之理论与方法》是高斯在青年时期取得的一项 重要成果. 高斯生前曾交代去世后将这个图形刻在自己的墓碑上. 但后来他的墓碑上并没有 刻上正十七边形，而是一个正十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太 相近了，大家会分辨不出来. 高斯在童年时代就表现出非凡的数学天分：三岁学会算术，八岁因发现等差数列求 1143.7 正多边形与圆 和公式而深得老师和同学的钦佩. 1799 年高斯以 代数基本定理的第一个实质性证明获得博士学 位. 他的数学成就几乎遍及数学的各个领域，其 中许多都有着划时代的意义. 同时，高斯还把数 学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究， 也都有杰出的贡献. 高斯一生共发表155篇论 文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为 高斯纪念碑 是十分成熟的作品发表出来。 正十七边形的尺规作法 步骤一： 作⊙O，作两垂直的半径 OA、OB； P B 6 P 1 4 作点 C，使 OC = OB； 4 1 作点 D，使∠OCD = ∠OCA； 4 F C 在 AO 延长线上取点 E，使得∠DCE = 45°. G E M G 6 4 A 步骤二： OD 作 AE 中点 M，并以 M 为圆心，MA 为半径 作圆，此圆交 OB 于点 F； 再以 D 为圆心，DF 为半径作圆，此圆交直 线 OA 于 G 和 G 两点. 4 6 图 3-69 步骤三： 过 G 作 OA 的垂线，交⊙O 于 P ； 4 4 过 G 作 OA 的垂线，交⊙O 于 P ； 6 6 则以⊙O 为基准圆，A 为正十七边形之第一顶点，P 为第四顶点，P 为第六顶点. 4 6 1 连接 P P ，以 P P 为半径，在⊙O 上依次截取，即可在此圆上截出正十七边形 4 6 2 4 6 的所有顶点（图 3-69）. 练 习 1. 用直尺、圆规把一个已知圆三等分. 2. 用量角器画一个正五边形. 115第3章 对圆的进一步认识 习题3.7 复习与巩固 1. 如图，正六边形 ABCDEF 的顶点都在以原点为圆心、以 2 为半径的圆上，点 B 在 y 轴正半轴上. 求正六边形 ABCDEF 各顶点的坐标. 2. 如图，正六边形螺帽的边长 a = 12 mm，要使扳手夹紧螺 帽，扳手的开口 b 最小应是多少？ （第 1 题） 3. 在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，边长是 48 cm . 求它的半径 R 和边 5 心距 r（精确到 0.1 cm）. 5 （第 2 题） （第 3 题） 4. 用尺规作圆的内接正八边形. 5. 用等分圆周的方法画出下列图案. ① ② ③ （第 5 题） 拓展与延伸 S F E R 6. 如图，将边长为 20 cm 的正方形铁片剪成一个正八边形， G D 求正八边形的边长（精确到 0.1 cm）. O H C P A B （第 6 题） 116回顾与总结 7. 如图，DEFGHI 是正六边形，延长边 DE，FG，HI 分别相交 A 于点 A，B，C . 设△ABC 的周长为 P ，面积为 S ，六边形 3 3 D I DEFGHI 的周长为 P ，面积为 S . 求 P ∶P 及 S ∶S 的值. 6 6 6 3 6 3 E H 探索与创新 B F G C （第 7 题） 8. 如图，分别是正方形、正五边形和正六边形. （1）分别计算图中画出的这三个正多边形的“相邻”两条对角线的夹角的度数； （2）探究正 n 边形的“相邻”两条对角线的夹角的度数. D E D D C E C α 4 α 5 F α 6 C A B A B A B （第 8 题） 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，与同学交流. 2. 圆是轴对称图形吗？利用圆的轴对称性，你探索并证明了什么定理？说出它的条件和 结论. 3. 圆是中心对称图形吗？为什么？ 4. 圆心角与它所对的弧有什么关系？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦、弧之间 有什么关系？ 5. 确定一个圆的条件是什么？经过任意三点能作一个圆吗？ 6. 用反证法证明一个命题的一般步骤是什么？它与直接证明的方法有什么不同？ 7. 什么是圆周角？圆周角与它所对弧上的圆心角有什么关系？圆周角定理有哪些推论？ 8. 什么是三角形的外心？什么是三角形的内心？它们各有哪些性质？ 9. 试述直线与圆的位置关系. 圆的半径 r 与圆心到直线的距离 d 的数量关系与这条直线与 圆的位置关系之间有什么联系？ 10. 圆的切线有什么性质？怎样判定一条直线是圆的切线？ 117第3章 对圆的进一步认识 11. 经过圆上一点可以作圆的几条切线？经过圆外一点呢？从圆外一点所作圆的切线具 有什么性质？ 12. 写出弧长公式和扇形面积公式，说明公式中各个字母的含义，在 S，n，r，l 这四个 量中，已知其中的几个量，就可以求出其余的量？ 13. 正 n 边形的边长、半径与边心距之间具有怎样的关系？在研究它们之间的关系时， 是怎样转化为等腰三角形或直角三角形进行研究的？ 14. 怎样用尺规过不在同一条直线上的三点作圆？怎样用尺规作三角形的外接圆、内切 圆？怎样用尺规作圆的内接正方形和正六边形？ 15. 在本章中，你认为体现了哪些基本的数学思想？ 广角镜 分类思想 分类是自然科学和社会科学中广泛应用的重要思想和方法. 人们先对所研究的对象 进行分析，再按照某些特征把它们划分为许多门类，分别加以研究，这就是分类的思想 方法. 我国明代著名药学家李时珍在他的巨著《本草纲目》中，把收录的 1 892 种药物划 分为 16 部，部以下再分类，总计 60 类，成为国际上一致推崇和引用的药典. 门捷列夫将当时已经发现的化学元素按族进行分类，并编制出元素周期表. 利用元 素周期表，不仅可以按照元素的族研究该族元素的共同性质，而且能根据表中的空格预 测尚未发现的元素. 锗的发现就是一个著名的实例. 在数学中也经常运用分类的思想. 例如，将实数进行分类，将三角形进行分类等等. 在解决数学问题时，如果面临的数学问题不能以统一的形式进行解决，可以把问题涉及 的范围划分为若干种情况，在各种情况下分别研究问题的解，然后把各种情况加以归纳 得到原问题的解. 在本章第 3.3 节中，研究了圆周角与它所对弧上的圆心角的关系. 由于圆周角与圆 心的相对位置有着不同的情况，各种情况下处理问题的方式并不相同，因而我们按照圆 心在圆周角的一边上、在圆周角的内部、在圆周角的外部三种情况（图3-24）分别进 行研究，最后归纳出“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”的结论，这里就运用了 分类的方法. 118回顾与总结 在第 3.2 节研究“确定圆的条件”、第 3.4 节研究“直线与圆的位置关系”以及解 决一些具体问题的过程中，也都运用了分类思想. 运用分类思想时必须注意两个问题：其一，要用一个统一的标准把研究对象进行划 分；其二，划分时要做到既不重复，也不遗漏. 你能举出运用分类思想解决问题的实例吗？ 综合练习 复习与巩固 1. 选择题： （1）边长为 6 的正三角形的外接圆的周长为（ ）. （A） 3π （B）2 3π （C）3 3π （D）4 3π （2）在半径为 2 cm 的⊙O 内有长为 2 3 cm 的弦 AB，这条弦所对的圆心角∠AOB 的 度数是（ ）. （A）60° （B）90° （C）120° （D）150° 2. 填空题： （1）如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8 . 如果点P是弦AB上的一个动点，那么线 段 OP 的长度的取值范围是 . （2）如图，AB，AC 是⊙O 的弦. ∠ABO = α，∠ACO = β，∠BOC = θ . α，β，θ 三者 间的数量关系是 . A O α O β A B B θ C P （第 2（1）题） （第 2（2）题） （第 3 题） 3. 如图，在直角坐标系中，⊙M 的圆心在 x 轴上，⊙M 与 x 轴 A 的交点为 A（-2，0），B（6，0）. 求⊙M 与 y 轴的交点 C， D 的坐标. O 4. 如图，⊙O 内切于四边形 ABCD，AB = AD，分别连接 AC， B D BD . 如果不再标注其他字母，不再添加辅助线，你能推出 C 哪些结论（至少写出 5 个）？ （第 4 题） 119第3章 对圆的进一步认识 5. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BE 是角平分线，DE⊥BE 交 AB 于点 D，⊙O 是 △BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）△BCE 与△BED 相似吗？如果不相似，说明理由；如果相似，写出对应线段的 比例式. C C A E E B D A D O B （第 5 题） （第 6 题） 6. 如图，⊙O 内两条弦 AB，CD 相交于点 E，已知 AE = 3 cm，EB = 8 cm，CE = 4 cm， 求 CD 的长. 7. 证明：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 8. 要从一块形状为直角三角形的铁片上剪出面积尽量大的半圆形的铁片，需要先在这块 铁皮上作出半圆. （1）如果半圆的圆心在较长的直角边上，且与另两条边都相切. 用直尺和圆规作出这 个半圆； （2）如果圆心在较短的直角边上，或者在斜边上，你会作出这个半圆吗？ （3）已知直角三角形三边长的比是 3∶4∶5 . 在上面作出的三个半圆中，哪个半圆的 面积最大？ 9. 如图，两个同心圆的圆心为 O，正方形 ABCD 的顶点都在大圆 A B 上，四条边都与小圆相切，大圆的半径 OA 与 OB 分别与小圆交 E F 于点 E 与 F，正方形的边长为 a . 求 AB 与 EF 的弧长之差，并求 O 阴影部分的面积. D C 10. 两个圆的半径的比为 2∶1，求它们的外切正五边形的边心距的 （第 9 题） 比、周长的比和面积的比. 拓展与延伸 A 11. 如图，已知⊙O 的弦 CD 垂直于直径 AB，垂足是点 E . 连接 CO F O 并延长交 AD 于点 F . 若 AB = 2，求当 CF⊥AD 时，CD 的长. E C D B （第 11 题） 120回顾与总结 12. 如图，在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC，AP⊥BC， A 垂足为点 P . ⊙O 过 A，P 两点，并分别交 AB，AC 于点 E O E，F . 分别按以下要求尽可能多地找出图中的有关大 F 小、位置和形状之间的关系，并证明你的结论. B P C （1）相等的角； （2）相等的线段； （第 12 题） （3）相等的弧； （4）垂直的直线； （5）全等三角形； （6）相似三角形. 13. 如图所示的曲边三角形可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形 的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点. 然后擦去正三角 形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形. 已知正三角形的周长为 S，求曲边 三角形的周长. A A O P O B C C B （第 13 题） （第 14 题） 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥OA，OC 交 AB 于点 P，PC = BC . 求证：BC 是⊙O 的切 线. 探索与创新 15. 如图，扇形 OAB 的圆心角为 90°，点 C，D 是 AB 的三等分点，半径 OC，OD 分别与 弦 AB 交于点 E，F . 请找出图中除扇形半径以外的所有相等的线段，并加以证明. O B O O A B A E F A B C E C E C D ① ② （第 15 题） （第 16 题） 16. 如图 ①，AB 为⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE =∠B . （1）求证：AE 与⊙O 相切于点 A； （2）如图 ②，若 AB 是⊙O 的非直径的弦，且∠CAE =∠B . AE 与⊙O 还相切于点 A 吗? 为什么？ 121第4章 一元二次方程 122123第4章 一元二次方程 4.1 一元二次方程 交流与发现 （1）教室的面积为 54 m2，长比宽的 2 倍少 3 m，如果要求出教室的长和宽， 怎样根据问题中的数量关系列出方程？ 设这个教室的宽为 x m，则它的长为 m . 根据问题中的等量关系 长×宽 = 矩形的面积， 可以得到方程 . （2）直角三角形斜边的长为 11 cm，两条直角边的差为 7 cm . 如果要求出两 条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ 设较短直角边的长为 x cm，由两条直角边的差为 7 cm 可知，较长直角边的 长是 cm . 根据问题中的等量关系 两条直角边的平方和 = 斜边的平方， 可以得到方程 . AB AC AC （3）如图 4-1，点 C 是线段 AB 上的一点，且 = . 如果要求 的 AC CB AB 值，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ 设 AB = 1，AC = x，由 AC + CB = AB 可知，CB 的长为 . 根据问题中的等量关系 AB AC A C B = ，即 AC 2 = AB·CB， AC CB 图 4-1 可以得到方程 . （4）由上面的三个问题，分别得到了下面的方程： x（2x - 3）= 54， ① x2 +（x + 7）2 = 112， ② x2 = 1 - x . ③ 把它们分别进行整理，得 1244.1 一元二次方程 2x2 - 3x - 54 = 0， x2 + 7x - 36 = 0， x2 + x - 1 = 0 . 你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征？ 方程①②③的两边都是整式，它们都只含有一个未知数，并且整理后未 知数的最高次数都是 2，像这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）. 经过整理，一元二次方程都可以化为 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中 ax2，bx，c 分别叫做这个方程 的二次项、一次项和常数项，a，b 分别叫做二次项系数和一次项系数. （5）你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数 项，以及二次项系数和一次项系数吗？ 例1 把方程（2x + 1）（3x - 2）= x2 + 2 化为一元二次方程的一般形式， 写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 解 将原方程去括号，得 6x2 + 3x - 4x - 2 = x2 + 2 . 移项，合并同类项，得 5x2 - x - 4 = 0 . 方程的二次项为 5x2，一次项为 -x，常数项为 -4；二次项系数为 5，一次项 系数为 -1 . 挑战自我 a 为何值时，方程 ax2 - x = 2x2 - ax - 3 是一元二次方程？a 为何值时，是一 元一次方程？ 只有当二次项的系数 a≠0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 才是一元二次方程. 125第4章 一元二次方程 练 习 1. 下面方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？为什么？ （1）x2 - 9 = 0； （2）（x + 3）（x - 1）= x2； 1 （3）（2x + 1）（2x - 1）= 0； （4） - y2 = 0； 3x （5）x2 = 0； （6） x2-2x+1 = 1 . 2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x（x + 1）= 4（x - 2）； （2）（x + 3）2 =（x + 2）（4x - 1）； （3）2（y + 5）（y - 1）= y2 - 8； （4）2t =（t + 1）2 . 学习无理数时，我们曾利用有理数估计一个无理数的大致范围. 实际上，当 时我们已经解决了估计一个最简单的一元二次方程 x2 = m（m 是一个大于 0 的有 理数）的根的问题. 对于一般的一元二次方程，如何估计它的根呢？ 实验与探究 在对本节问题（2）的分析中，我们得到了一元二次方程 x2 +（x + 7）2 = 112 . ② 你能估计出这个方程的根吗？ （1）要估计出方程 ② 的根，可以先估计出方程根的一个大致范围. 结合方 程 ② 的实际意义，你能说出适合方程 ② 的 x 的一个大致范围吗？ 因为 x 是直角三角形中直角边的长， 它一定为正值，并且小于斜边的长，所以 可以估计 x 的范围是 0 < x < 11 . 因为较长直角边 x + 7 小于斜边的长， 因而 x + 7 < 11，解得 x < 4 ； 又因为两直角边的和大于斜边， 因而 x +（x + 7）> 11，解得 x > 2 . 所以可以估计 x 的范围是 2 < x < 4 . 1264.1 一元二次方程 （2）小亮与小莹的估计的范围正确吗？你认为谁估计的范围更合理？ 小亮与小莹估计的范围都是正确 的，但相比之下，小莹估计的范围小 一些，更便于进一步估计原方程的根. （3）怎样才能进一步缩小估计的范围呢？ 将方程 ② 化为 x2 + 7x = 36 . ④ 利用二分法，取 2 和 4 的中间值 3，分别计算当 x = 2，3，4 时，方程 ④ 左边 的代数式 x2 + 7x 的值，并比较它们的值与方程 ④ 右边的 36 的大小，填写下表： x 2 3 4 x2 + 7x 18 30 44 与 36 比较 小于 36 小于 36 大于 36 这说明，在 3 和 4 之间有方程 ④ 的根. 并由此可知，这个根的整数部分是 3. （4）取 3 和 4 的中间值 3.5，借助计算器计算当 x = 3.5 时 x2 + 7x 的值，并比 较它的值与 36 的大小，填写下表： x 3 3.5 4 x2 + 7x 30 36.75 44 与 36 比较 小于 36 大于 36 大于 36 这说明，在 3 和 3.5 之间有方程 ④ 的根. （5）取 3 和 3.5 的中间值 3.3，重复以上过程，填写下表： x 3 3.3 3.5 x2 + 7x 30 33.99 36.75 与 36 比较 小于 36 小于 36 大于 36 这说明，在 3.3 和 3.5 之间有方程 ④ 的根. 127第4章 一元二次方程 （6）同样地，再取 3.3 和 3.5 的中间值 3.4，填写下表： x 3.3 3.4 3.5 x2 + 7x 33.99 35.36 36.75 与 36 比较 小于 36 小于 36 大于 36 这说明，在 3.4 和 3.5 之间有方程 ④ 的根. 并由此可知这个根的十分位上的 数字是 4，即 x = 3.4 ⋯ 于是，便求出了方程 ④ 的根的精确到 0.1 的近似值为 x ≈ 3.4 或 x ≈ 3.5 . 借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程 ④ 的根的百分位、千分位上的 数字，⋯⋯由于方程 ④ 的根就是方程 ② 的根，这样就能用估计的方法求出方程 ② 的根的精确到 0.01，0.001，⋯ 的近似值. （7）如果不考虑方程 ④ 的根的实际意义，你会估计方程 ④ 还有其他的根 吗？与同学交流. 小莹是这样想的： 因为当 x 的值较大时，如 x ≥ 4 时，方程的左边 x2 + 7x > 36，所以原方程不 可能有大于或等于 4 的根. 当 0 ≤ x ≤ 3 时，0 ≤ x2 + 7x < 36，所以原方程在 0 和 3 范围内也不可能有 根. 这就是说，方程④有一个根在 3 和 4 之间，这个问题已在上面得到解决，并 且不可能有其他的正根. 当 x < 0 时，x2 是正数，7x 是负数. 当 x 的绝对值较大时，例如当 x= -12 时，x2 + 7x = 60 > 36 . 所以在 -12 和 0 的之间还有原方程的根，这个根是负根. 小莹的分析正确吗？你能求出原方程在 -12 和 0 之间的负根吗？试一试. 练 习 1. 估计方程 x2 + 5x = 7 的根. 2. 根据下表中的数据，估计方程 x2 + 2x - 10 = 0 在 -4.1 和 -4.6 之间的精确到 0.1 的根的 近似值是多少？ x ⋯ -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 ⋯ x2 + 2x - 10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 1284.1 一元二次方程 习题4.1 复习与巩固 1. 指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）7x2 + 1 = 0； （2）3x2 + 3x = 0； （3）2x2 + 7x - 9 = 0 . 2. 判断下列方程是不是一元二次方程. 如果是，分别指出它的二次项系数、一次项系数 和常数项. （1）x（x + 2）= 0； （2）x（4x + 3）=（2x - 1）2； 1 （3）x + = 3； （4）（x - 1）2 + 2x = 2x2 . x+1 3. 判断方程后面括号里的数是否为该方程的根： （1）x2 - 6x + 5 = 0 （5，-3）； 1 （2）2x2 - 3x + 1 = 0 （ ，1）； 2 （3）x2 - 2 3x + 3 = 0 （ 3，- 3）； 1+ 3 1- 3 （4）（2x - 1）2 = 3 （ ， ）. 2 2 4. 根据问题“甲、乙两数的和为 4，积为 1，求甲、乙两数”列出方程，并估计方程根 的近似值（精确到 0.1）. 5. 估计下列方程的根（精确到 0.1）： （1）x2 + 2x = 10； （2）2x2 + 5x - 10 = 0 . 拓展与延伸 6. 把关于 x 的一元二次方程 5x2 + a（1 - x）= 3x + 1 化成一般形式. 7. 如果一元二次方程 x2 - 3x + k + 1 = 0 有一个根是 -1，求 k 的值. 8. 估计本节中方程 ③ 的解（精确到 0.01）. 探索与创新 9. 当 m 为何值时，关于 x 的方程 x2 + 3mx = mx2 - 1 是一元一次方程？是一元二次方程？ 129第4章 一元二次方程 4.2 用配方法解一元二次方程 观察与思考 观察下面的三个一元二次方程： （x + 5）2 = 9， ① x2 + 10x + 25 = 9， ② x2 + 10x = -16 . ③ （1）根据平方根的意义，你会解方程 ① 吗？方程 ① 有几个根？ （2）比较方程 ② 与方程 ①，你发现它们有什么联系？根据这种联系，你会 解方程 ② 吗？ （3）比较方程 ② 与 ③，你发现它们有哪些相同和不同？对于解方程 ③， 由此能得到什么启示？ 方程 ③ 与方程 ② 的二次项和一次 项都相同，如果在方程 ③ 的两边都加上 25，便可把方程 ③ 转化成方程 ②. 对于方程 ③，小莹的解法是： 在方程 ③ 的两边都加上 25，得 加油站 x2 + 10x + 25 = 9 . 即 （x + 5）2 = 9 . 与一元一次方程不同，由于 由平方根的意义，得 正数开平方时，有两个互为相反 数的平方根，所以一元二次方程 x + 5 = ±3 . 可以有两个实数根. 通常用 x ，x 所以， x = -5 + 3 = -2， 1 2 1 分别表示未知数为 x 的一元二次 x = -5 - 3 = -8 . 2 方程的两个根. 你同意小莹的解法吗？ 1304.2 用配方法解一元二次方程 在小莹的解法中，有两步非常关键，第一 步是利用等式的基本性质两边同加 25，使方程 的左边成为一个完全平方式. 第二步是通过开 平方，将一元二次方程转化为一元一次方程. （4）想一想，为什么在方程 ③ 的两边都加上 25 之后，方程 ③ 的左边就成 为一个完全平方式？与同学交流. 因为二次项的系数为 1，且 25 等于 一次项系数 10 的一半的平方. 当二次项的系数为 1 时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的 两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方 式，从而可以由平方根的意义求解方程. 这种解一元二次方程的方法叫做配方 法（solving by completing the square）. 例1 解方程： （1）x2 + 4x = 12； （2）x2 - 3x + 2 = 0 . 解 （1）配方，方程两边都加 4，得 x2 + 4x + 4 = 16， 即 （x + 2）2 = 16 . 由平方根的意义，得 x + 2 = ±4， 所以 x = 2，x = -6 . 1 2 （2）移项，得 x2 - 3x = -2 . 3 配方，方程两边都加上（- ）2，得 2 131第4章 一元二次方程 3 3 x2 - 3x +（- ）2 = -2 +（- ）2 ， 2 2 3 1 即 （x - ）2 = . 2 4 由平方根的意义，得 3 1 x - = ± . 2 2 所以 x = 2， x = 1 . 1 2 挑战自我 你会用配方法解方程 （x + 1）2 + 2（x + 1）= 8 吗？你能找到几种解法？ 练 习 1. 在下面的横线上各填上一个数，使各式成为完全平方式： （1）x2 + 14x + =（x + ）2； （2）x2 - 20x + =（x + ）2； 3 （3）x2 + x + =（x + ）2； （4）x2 - 0.2x + =（x + ）2 . 2 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 + 4x = -3； （2）x2 - 6x - 7 = 0； （3）y2 = 8 - 2y； （4）t2 + 8 = 6t . 例2 解 4.1 节问题（3）中的方程 x2 + x - 1 = 0（精确到 0.001）. 解 移项，得 x2 + x = 1 . 1 两边都加上（ ）2，得 2 1 1 x2 + x +（ ）2 = 1+（ ）2 ， 2 2 1 5 （ x + ）2 = . 2 4 1324.2 用配方法解一元二次方程 由平方根的意义，得 1 5 x + = ± . 2 2 所以 5-1 5+1 x = ≈ 0.618， x = - ≈ -1.618 . 1 2 2 2 在 4.1 节问题（3）中，x 为线段 AC 与 AB 的比，必须满足 x > 0 . 所以 x 不合 2 AC 题意，应当舍去，问题（3）的答案是： 的值约为 0.618 . AB 例3 解方程 2x2 + 3x - 1 = 0 . 解 方程两边同除以 2，得 如果一元二次方程的二次项 3 1 x2 + x - = 0 . 系数不是1，为了便于配方，可 2 2 以利用等式的基本性质，先把方 移项，得 程的二次项系数化为 1 . 3 1 x2 + x = . 2 2 3 两边都加上（ ）2，得 4 3 3 1 3 x2 + x +（ ）2 = +（ ）2 . 2 4 2 4 3 17 即 （x + ）2 = . 4 16 由平方根的意义，得 3 17 x + = ± . 4 4 所以 -3+ 17 -3- 17 x = ， x = . 1 4 2 4 挑战自我 如果 p 与 q 都是常数，且 p2 ≥ 4q，你会用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2 + px + q = 0 吗？试一试. 133第4章 一元二次方程 练 习 1. 用配方法解下列方程： （1）3x2 - 6x = 0； （2）2x2 - 4x - 3 = 0； （3）2x2 - 7x + 3 = 0； （4）4x2 - 7x - 2 = 0 . 习题4.2 复习与巩固 1. 用配方法解下列方程： （1）x2 + 8x = 9； （2）x2 - 3x = 0 ； （3）x2 + 4x = -3； （4）x2 - 18x + 31 = 0 . 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 - 6x - 3 = 0； （2）-x2 + 4x = 3； （3）2x2 - 3x - 2 = 0； （4）3x2 - 6x - 1 = 0 . 3. 解答下列问题： （1）当 x 为何值时，代数式 x2 - 15x + 45 的值等于 -5 ？ （2）当 x 为何值时，代数式 x2 - 13x + 40 与 x - 5 的值相等？ 4.（中国古代数学问题）有一个矩形，面积为 864 小资料 平方步，它的宽比长少 12 步. 求这个矩形的长和 宽.1 步是我国古代的长度单 位，1 步约等于 1.67 米. 亩、 拓展与延伸 分、平方步都是面积单位， 它们的关系是： 5. 用配方法证明，无论 x 取何实数，代数式 2x2 - 8x 1 亩 = 10 分； + 18 的值不小于 10 . 1 分 = 24 平方步. 6. 用配方法解方程 x2 +（x + 7）2 = 112，然后借助 计算器求解的近似值（精确到 0.1），并将得出的近似值与 4.1 节“实验与探究”中的 估计值进行比较. 1 本题出自南宋数学家杨辉 1275 年所著《田亩比类乘除算法》一书. 原题是：直田积八百六十四步， 只云阔不及长一十二步. 问阔及长各几步？ 1344.3 用公式法解一元二次方程 7. 右图是一张月历表. 在此月历表上可以用一个矩形任 日 一 二 三 四 五 六 意圈出 2×2 个位置上相邻的数（如 2，3，9，10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如果圈出的 4 个数中最大数与最小数的积为 128，求 13 14 15 16 17 18 19 这 4 个数中最小的数. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 探索与创新 （第 7 题） 8. 关于 x 的二次方程 4x2 + 4kx + k2 = 1 的一个根是 -2，求 k 的值和另一个根. 4.3 用公式法解一元二次方程 实验与探究 运用配方法，我们已经会解 x2 + x - 1 = 0， 2x2 + 3x - 1 = 0 等一元二次方程. 你会运用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 吗？试一试. 因为 a≠0，方程两边都除以 a，得 b c x2 + x + = 0 . a a 移项，得 b c x2 + x = - . a a b 两边都加上（ ）2，得 2a b b b c x2 + 2·x· +（ ）2 = （ ）2 - ， 2a 2a 2a a b b2-4ac 即 （x + ）2 = . 2a 4a2 由于 4a2 > 0，所以当 b2 - 4ac ≥ 0 时，由平方根的意义，得 135第4章 一元二次方程 b b2-4ac x + = ± . 2a 2a 移项，得 b b2-4ac x = - ± ， 2a 2a -b± b2-4ac 即 x = . 2a 一般地，对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，当 b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是 -b±± bb22--44aacc x = . 2a 这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法（solving by formula）. 用公式法解一元二次方程，应将方程 化为一般形式，确定 a，b，c 的值（注意 符号），在 b2 - 4ac ≥ 0 的条件下，将 a， b，c 的值代入求根公式求解. 例1 用公式法解方程： （1）2x2 + 5x - 3 = 0； （2）4x2 = 9x . 解 （1）这里 a = 2，b = 5，c =－3 . ∵ b2 - 4ac = 52 - 4×2×（－3）= 49 > 0， -b± b2-4ac -5± 49 -5±7 ∴ x = = = . 2a 2×2 4 -5+7 1 -5-7 即 x = = ， x = =－3 . 1 4 2 2 4 （2）将方程化为一般形式，得 4x2 - 9x = 0 . 这里 a = 4，b =－9，c = 0 . ∵ b2 - 4ac =（－9）2 - 4×4×0 = 81 > 0， 1364.3 用公式法解一元二次方程 9± 81 9±9 ∴ x = = . 2×4 8 9+9 9 9-9 即 x = = ， x = = 0 . 1 8 4 2 8 练 习 1. 用公式法解下列一元二次方程： （1）x2 + 6x + 5 = 0； （2）6y2 - 13y - 5 = 0； 3 1 （3）2y2 - 1 = 4y； （4） x2 = 2x + . 4 2 例2 用公式法解方程 x2 + 3 = 2 3x . 解 将方程化为一般形式，得 x2 - 2 3x + 3 = 0， 这里 a = 1，b = -2 3，c = 3 . ∵ b2 - 4ac =（-2 3）2 - 4×1×3 = 0， 2 3±0 ∴ x = ， 2 即 x = x = 3 . 1 2 例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到 0.01）： （x + 1）（3x - 1）= 1 . 解 将方程化为一般形式，得 3x2 + 2x - 2 = 0， 这里 a = 3，b = 2，c = -2 . ∵ b2 - 4ac = 22 - 4×3×（-2）= 28 > 0， -2± 28 -1± 7 ∴ x = = . 2×3 3 -1+ 7 -1+2.646 即 x = ≈ ≈ 0.55， 1 3 3 -1- 7 -1-2.646 x = ≈ ≈ -1.22 . 2 3 3 137第4章 一元二次方程 练 习 1. 用公式法解下列方程： （1）x2 - 12x + 20 = 0； （2）2x2 + 11x + 5 = 0； （3）5x2 - 2 15x + 3 = 0； （4）5x2 + 10x - 6 = 0 . 2. 用公式法解方程 2x2 - 6x + 3 = 0，并求根的近似值（精确到 0.01）. 习题4.3 复习与巩固 1. 用公式法解下列方程： （1）x2 - 3x - 10 = 0； （2）3x2 + 4x - 7 = 0； （3）6x2 + 2 = 7x； （4）4x2 - 12x = 1 . 2. 用公式法解习题 4.1 第 5 题中的方程，并把求得的解与原来估计的解进行比较. 3. 用公式法解下列方程： （1）（x + 1）（x - 1）= 2 2x； （2）2x2 + 2 5x + 1 = 0 . 4. 用公式法解下列方程，并求根的近似值（精确到 0.1）： 3 （1）x2 - 3x + = 0； （2）3x2 + 5（2x + 1）= 0 . 2 拓展与延伸 5. 已知方程 x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 6. 你会解方程（x2 + 2x）2 - 7（x2 + 2x）- 8 = 0 吗？小莹通过设 y = x2 + 2x，把原方程 化为 y2 - 7y - 8 = 0，求出 y 值，再求 x . 你来试一试. 探索与创新 7. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 . AB 边的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的一个根，菱形 ABCD 的周长是多少？ 8. 三角形的两边长分别为 2 和 6，第三边的长是方程 x2 - 10x + 21 = 0 的解，第三边的长是多少？ 1384.4 用因式分解法解一元二次方程 4.4 用因式分解法解一元二次方程 观察与思考 对于一元二次方程 x2 + 7x = 0，用配方法和公式法都可以求出它的解. 还有 更简便的求解方法吗？ 思考下面的问题： 加油站 （1）这个方程的两边有什么特征？ 当一元二次方程的一 边是 0，另一边可以分解为 方程的右边为 0， 两个一次因式的积时，可 左边可以分解成两个一 分别令两个一次因式为 0， 次因式的积. 得到两个一元一次方程. 这 两个一元一次方程的根都 是原一元二次方程的根. （2）小莹的解法是： 把方程左边的多项式进行因式分解，得 x（x + 7）= 0 . 从而 x = 0，或 x + 7 = 0 . 所以 x = 0， x = -7 . 1 2 你同意小莹的解法吗？这种解法的根据是什么？分别用配方法和公式法解 原方程，验证用三种方法求得的根都是一致的. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法（solving by factorization）. 例1 用因式分解法解方程： （1）15x2 + 6x = 0； （2）4x2 - 9 = 0 . 解 （1）把方程的左边进行因式分解，得 3x（5x + 2）= 0 . 从而 x = 0，或 5x + 2 = 0 . 139第4章 一元二次方程 2 所以 x = 0， x = - . 1 2 5 （2）把方程的左边进行因式分解，得 运用因式分解法， （2x + 3）（2x - 3）= 0， 通过降低未知数的次 从而 2x + 3 = 0，或 2x - 3 = 0 . 数，便把解一元二次方 3 3 程的问题转化为解两个 所以 x = - ， x = . 1 2 2 2 一元一次方程的问题. 例2 用因式分解法解方程： （2x + 1）2 =（x - 3）2 . 解 移项，得 （2x + 1）2 -（x - 3）2 = 0 . 把方程的左边进行因式分解，得 （2x + 1 + x - 3）（2x + 1 - x + 3）= 0 . 即 （3x - 2）（x + 4）= 0 . 从而 3x - 2 = 0，或 x + 4 = 0 . 2 所以 x = ，x = -4 . 1 3 2 对于例 2，你还有其他的求解方法吗？ 挑战自我 （1）对于本节开始给出的方程 x2 + 7x = 0，小亮是这样解的： 把方程两边同除以 x，得 x + 7 = 0 . 所以 x = -7 . 怎么少了一个根？你知道小亮的解法错在什么地方吗？ （2）对于例 2，大刚想到的解法是： 把原方程两边开平方，得 2x + 1 = x - 3 . 所以 x = -4 . 怎么也少了一个根？你知道大刚的解法错在什么地方吗？ 1404.4 用因式分解法解一元二次方程 练 习 1. 用因式分解法解下列方程： （1）3x2 + x = 0； （2） 3y2 + 2 3y = 0 ； （3）4x2 - 81 = 0； （4）9（x + 5）2 = 1 . 2x 2. 当 x 为何值时，分式 没有意义？ x-x2 习题4.4 复习与巩固 1. 用因式分解法解下列方程： （1）9x2 - 25 = 0； （2）16x2 + 10x = 0； （3）2y2 - 4 2y = 0； （4）（x - 1）x = 2（x - 1）. 2. 用因式分解法解下列方程： （1）（2x + 1）2 - x2 = 0； （2）16（3x + 1）2 = 9（x + 2）2； （3）2（x + 2）2 = 3（x + 2）； （4）（x - 2）（2x + 1）= 1 + 2x . 3. 当 x 取何值时，代数式（3x - 2）2 与 2（2 - 3x）的值相等？ 拓展与延伸 4. 用因式分解法解下列方程： （1）5x（x - 2）- x + 2 = 0； （2）x2 -（x - 3）= 9 . 5. 填空： 关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x = 1，x = 2，则二次三项式 ax2 + 1 2 bx + c 可分解因式为 . 探索与创新 x - 1 6. x 为何值时，分式 有意义？ 2（x - 1）2 - x + 1 7. 对于一元二次方程（2x - 5）2 =（x - 2）2，你有几种不同的解法？你认为哪种方法最 简便？ 141第4章 一元二次方程 4.5 一元二次方程根的判别式 实验与探究 （1）你会解方程 x2 + 2x + 5 = 0 吗？试一试. 因为 22 - 4×1×5 < 0，所以 无法用公式法解这个方程. 配方，得（x+1）2 = -4 . 因为任何实数的平方都不可能是负 数，所以任何实数都不会是原方程的根. （2）由 4.3 节我们知道，当 b2 - 4ac ≥ 0 时，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ① 可以利用求根公式 -b± b2-4ac x = 2a 求出它的根. 你发现当 b2 - 4ac > 0 与 b2 - 4ac = 0 时，方程的两个根分别具有什么特 征？ 当 b2 - 4ac > 0 时，由于 b2-4ac 是正数，- b2-4ac 是负数，所以 -b± b2-4ac 是两个不相等的实数. 因此，方程 ① 有两个不相等的实根： 2a -b+ b2-4ac -b- b2-4ac x = ， x = . 1 2a 2 2a 如果 b2 - 4ac = 0， 那么 b2-4ac = 0，这时方程 ① 有两个相等的实根： b x = x = - . 1 2 2a 1424.5 一元二次方程根的判别式 如果 b2 - 4ac < 0 ，将方程 ① 配方后，得 b b2-4ac （x + ）2 = . 2a 4a2 b2-4ac b 方程的右边由于分母 4a2 > 0，所以 < 0，而（x + ）2 不可能是负 4a2 2a 数，这时方程 ① 没有实根. 由此可见，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 是 小资料 否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于 符号“Δ”是希腊字 一个含有该方程各项系数的代数式 b2 - 4ac 的值的 母，读作“delta”. 符号，因而把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的判别式（discriminant），通常用Δ表示，即Δ= b2 - 4ac . 把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 当Δ> 0 时有两个不相等的实根；当Δ= 0 时有两个相等的实根；当Δ< 0 时没 有实根. 上面结论的逆命题也是正确的. 你能说出它的逆命题吗？ 例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）2x2 + x - 4 = 0； 如果一元二次方程 ax2 （2）4y2 + 9 = 12y； + bx + c = 0 有两个不相等 的实根，那么Δ> 0；如果 （3）5（t2 + 1）- 6t = 0 . 有两个相等的实根，那么 解 （1）这里 a = 2，b = 1，c = -4 . Δ= 0；如果没有实根，那 么Δ< 0 . ∵Δ= b2 - 4ac = 12 - 4×2×（-4）= 33 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实根. （2）把原方程化为一般形式，得 4y2 - 12y + 9 = 0 . 这里 a = 4，b = -12，c = 9 . ∵Δ= b2 - 4ac =（-12）2 - 4×4×9 = 0， ∴ 原方程有两个相等的实根. 143第4章 一元二次方程 （3）把原方程化为一般形式，得 5t2 - 6t + 5 = 0 . 这里 a = 5， b = -6， c = 5 . ∵Δ= b2 - 4ac =（-6）2 - 4×5×5 = -64 < 0， ∴ 原方程没有实根. 例2 已知关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x + 1 = 0 有两个不相等的实根. （1）求 k 的取值范围； （2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根. 解 （1）∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x + 1 = 0 有两个不相等的实根， ∴ Δ=（-3）2 - 4k > 0， 即 9 - 4k > 0 . 解不等式，得 9 k < . 4 ∵ kx2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程， ∴ k≠0 . 9 故 k 的取值范围是 k < 且 k≠0 . 4 9 （2）取不等式 k < 的一个正整数解 k = 2，则方程为 4 2x2 - 3x + 1 = 0 . 解这个方程，得 1 x = 1，x = . 1 2 2 挑战自我 有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程 x2 - 12x + k = 0 1444.5 一元二次方程根的判别式 的两根. 求 k 的值. 练 习 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）3y2 - 5y - 2 = 0； （2）2x2 - 9x + 6 = 0； （3）5x2 + 10x + 6 = 0； （4）5t2 - 2 15t + 3 = 0 . 2. k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 3x2 - 4x +（k + 1）= 0 有两个相等的实根？ 习题4.5 复习与巩固 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： 1 （1）2x2 + x + = 0； （2）4t（t - 1）= 3； 4 （3）x2 + 2 = 2 2x； （4）3z2 - 2 6z = -2 . 2. 关于 x 的方程 x2 + ax - 1 = 0 有没有实根？如果有，两个实根是否相等？ 3. 已知关于 x 的方程 mx2 + mx + 5 = m 有两个相等的实根，求 m 的值. 拓展与延伸 4. 当 k 为何值时，关于 y 的方程（k - 1）y2 - 2ky + k = 3， （1）有两个不相等的实根； （2）有两个相等的实根； （3）没有实根. 5. 已知关于 x 的方程 kx2 - 4kx + k - 5 = 0 有两个相等的实根，解这个方程. 探索与创新 6. 已知 a，b，c 是△ABC 的三条边的长. 求证：关于 x 的方程 c cx2 -（a + b）x + = 0 4 有两个不相等的实根. 145第4章 一元二次方程 * 1 4.6 一元二次方程根与系数的关系 实验与探究 （1）解下面的一元二次方程： ① x2 + 3x + 2 = 0， ② x2 - 5x + 6 = 0， ③ 3x2 + x - 2 = 0， ④ 2x2 - 4x + 1 = 0 . （2）根据（1）中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积， 并把结果填入下表： 一元二次方程 x x x + x x x 1 2 1 2 1 2 ① x2 + 3x + 2 = 0 ② x2 - 5x + 6 = 0 ③ 3x2 + x - 2 = 0 ④ 2x2 - 4x + 1 = 0 （3）观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分 别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？ 我发现方程①②的 方程③④的二 二次项系数为 1 时，一元 次项系数不是 1 时， 二次方程的两根之和等于 化成二次项系数是 1 一次项系数的相反数，两 的情况后，可把小亮 根之积等于常数项. 的发现进一步推广. （4）由此你猜想一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根 x ，x 与方程的系 1 2 数 a，b，c 之间有什么关系？能证明你的猜想是正确的吗？与同学交流. 1 本节的内容与习题为选学内容，不作考试要求. 146*4.6 一元二次方程根与系数的关系 当 b2 - 4ac ≥ 0 时，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根是 -b+ b2-4ac -b- b2-4ac x = ， x = . 1 2a 2 2a 于是，两个根的和为 -b+ b2-4ac -b- b2-4ac x + x = + 1 2 2a 2a b = - ； a 两个根的积为 -b+ b2-4ac -b- b2-4ac x x = · 1 2 2a 2a （-b）2 -（ b2-4ac）2 = 4a2 c = . a 所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系： 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根是 x ，x ，那么 1 2 b c x + x = - ，x x = . 1 2 a 1 2 a 例1 关于 x 的方程 3x2 + mx - 4 = 0 有一个根是 2，求另一个根及 m 的值. 解 设方程的另一个根为 x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得 1 m { x + 2 = - ， ① 1 3 4 2x = - . ② 1 3 2 由 ②，得 x = - . 1 3 2 m 代入 ①，得 - + 2 = - ， 3 3 解得 m = -4 . 2 所以，方程的另一个根是 - ，m 的值是 -4 . 3 对于例 1，你还有其他的解法吗？ 例2 设 x ，x 是方程 2x2 + 5x + 1 = 0 的两个根，求下列各式的值： 1 2 147第4章 一元二次方程 1 1 （1）（x + 1）（x + 1）； （2） + . 1 2 x x 1 2 解 由一元二次方程根与系数的关系，得 5 1 x + x = - ， x x = . 1 2 2 1 2 2 （1）（x + 1）（x + 1）= x x +（x + x ）+ 1 1 2 1 2 1 2 1 5 = - + 1 = -1； 2 2 1 1 x +x 5 1 （2） + = 1 2 =（- ）÷（ ）= -5 . x 1 x 2 x 1 x 2 2 2 史海漫游 一元二次方程与韦达定理 人类对一元二次方程的认识和研究的历史可以追溯到四千年以前，早在公元前 18 世纪，巴比伦人就在泥板上记载了这样的问题：“已知正方形的面积与边长的差为 870， 求正方形的边长”. 这相当于求方程 x2 - px = q（此时 p = 1，q = 870）的正根. 巴比伦人 pppp p 是通过计算 （（ ））22++qq+ 求得该方程的解为 30 . 可以看出，该计算方法正是一元二 2222 2 次方程求根公式的特殊情况. 到了公元 820 年左右，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中，系统地讲 述了解一次、二次方程的一般原理，给出了一元二次方程的一般解法，强调了判别式非 负才有解. 该书在欧洲作为标准数学课本使用了几个世纪，至今被认为是近代意义下代 数学的真正创始之作. 法国数学家韦达致力于代数学的研究，写过许多代数学著作. 他在 1615 年出版的著 作《论方程的识别与订正》中改进了三次、四次方程的解法，建立了一元二次、三次方 程的根与系数的关系. 后人就把方程的根与系数的关系称之为韦达定理. 练 习 1. 不解方程，说出下列一元二次方程两个根的和与积： （1）x2 - 3x + 1 = 0； （2）2x2 + 3x = 0 . 2. 已知方程 5y2 + ky - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根和 k 的值. 3. 设 y 与 y 是方程 2y2 - 4y + 1 = 0 的两个实数根. 不解方程，求下列各式的值： 1 2 y y （1）y2 + y y + y2 ； （2） 2 + 1 . 1 1 2 2 y y 148 1 24.7 一元二次方程的应用 习题4.6 复习与巩固 1. 选择题：下列方程中两个实根的和等于 2 的方程是（ ）. （A）2y2 - 4y + 3 = 0 （B）2y2 - 2y - 3 = 0 （C）2x2 + 4x - 3 = 0 （D）2t2 - 4t - 3 = 0 2. 利用一元二次方程根与系数的关系，判断下列方程后面括号内的两个数是否同为该方 程的根： 5 （1）2x2 + 3x - 2 = 0，（-4， ）； 2 （2）x2 - 6x + 2 = 0，（3 + 7， 3 - 7）. 1 3. 已知方程 2x2 +（m + 1）x + m + 2 = 0 的一个根是 - ，求它的另一个根. 2 4. 已知关于 x 的方程 x2 - 3x + a = 0 的一个实根是另一个实根的 2 倍，求 a 的值. 拓展与延伸 5. 已知关于 x 的方程 2x2 -（4m - 3）x + m2 - 2 = 0，根据下列条件分别求出 m 的值： （1）方程的两根互为相反数； （2）方程的两根互为倒数. 6. 求一个一元二次方程，使它的两根是 4，-7 . 7. 方程 ax2 + bx + 10 = 0（a≠0）的两根之和与两根之积都等于 10，求 a，b 的值. 探索与创新 8. 已知方程 x2 - 2mx +（m2 + m）= 0 的两根的平方和为 4，求 m 的值. 4.7 一元二次方程的应用 交流与发现 与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样，一元二次 方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型. 149第4章 一元二次方程 例1 将一根长为 64 cm 的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（图 4-2），如果两个正方形的面积的和等于 160 cm2，求两个正方形的边长. 64 cm 首先要找出问题中 的已知量、未知量和等量 关系，把其中的一个未知 量用 x 表示，根据等量关 系，列出方程. 图 4-2 解 设其中一个正方形的边长为 x cm，那么该正方形的周长为 4x cm， 64-4x 另一个正方形的边长为 即（16 - x）cm . 4 根据题意，得 x2 +（16 - x）2 = 160 . 整理，得 x2 - 16x + 48 = 0 . 列一元二次方程解应用 题时，必须检验方程的根是 解这个方程，得 否符合题意，以决定取舍. x = 12，x = 4 . 1 2 当 x = 12 时，16 - x = 4； 当 x = 4 时，16 - x = 12 . 经检验，当两个正方形的边长分别是 12 cm 和 4 cm 时，两 个正方形的周长之和为 64 cm，面积之和为 160 cm2 . 这就是说， x = 12 cm 或 x = 4 cm 均符合题意. 所以，两个正方形的边长分别为 4 cm 和 12 cm . 例2 某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利 与该盆中花的棵数有关. 当每盆栽种 3 棵时，平均每棵盈利 3 元. 以同样的栽培条 件，每盆增加 1 棵，平均每棵盈利将减少 0.5 元. 要使每盆的盈利达到 10 元，每 盆应当种植该种花卉多少棵？ 1504.7 一元二次方程的应用 解 设每盆增加种植 x 棵，则每盆种花（3 + x）棵，平均每棵盈利为 （3 - 0.5x）元. 根据题意，得 （3 - 0.5x）（3 + x）= 10 . 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0 . 解这个方程，得 x = 1， x = 2 . 1 2 经检验，x = 1 或 x = 2 均符合题意. 所以，每盆应种植该种花卉 4 棵或 5 棵. 智趣园 圆中正方形 我国古代数学家经常用诗歌的形式编写数学题，称为诗题. 清代数学家梅 （jué） 成（1681-1763）对明代数学家程大位的《算法统宗》进行修改补充，编著了《增删算 法统宗》一书. 在该书第 11 卷的众多诗题中，有一首“圆中正方形”： 今有圆田一块，中间有个方池. 量田特待耕犁，恰好三分在记. 池面至周有数，每边三步无疑. 内方圆径若有知，堪作算中第一. 3 大意是：有一块圆形的田地，中间有一个正方形水池. 量得 水池外圆内田地的面积，恰好是 3 分. 从水池的每条边到圆周， 3 3 最远都是 3 步（图 4-3）. 如果你能求出正方形的边长和圆的直 径，那么你的运算能力就数第一了. 3 本题可以通过列一元二次方程解决. 设正方形的边长为 x 图 4-3 x 步，则圆的半径为（ + 3）步. 在古代，一般取 π ≈ 3 . 于是，水池外圆内田地的面积为 2 x 3（ + 3）2 - x2 = 3×24 . 2 整理，得 x2 - 36x + 180 = 0 . 151第4章 一元二次方程 解得 x = 6， x = 30 . 1 2 经检验，x = 6，x = 30 都符合题意. 1 2 x 当 x = 6 步时，圆的直径为 2（ + 3）= 12（步）； 2 x 当 x = 30 步时，圆的直径为 2（ + 3）= 36（步）. 2 所以正方形的边长为 6 步，圆的直径为 12 步；或者正方形的边长为 30 步，圆的直 径为 36 步. 练 习 1. 天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室. 要求长宽的比为 3∶1. 在温室内，沿前后 两侧内墙各留 3 m 宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留 1 m 宽的通道. 当矩形温室 的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是 300 m2 ？ B C 蔬菜种植区 O E P A D （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，矩形 ABCD 的边 AB = 200 cm，O 为 AB 的中点. OE⊥AB 交 CD 于点 E . 质点 P 从 点 A 出发，以 2 cm/s 的速度沿 AB 向点 B 运动；另一质点 同时从点 O 出发，以 3 cm/s 的速度沿 OE 向点 E 运动. 经过多少秒时，△PO 的面积为 1 800 cm2 ？ 例3 某养殖场 2010 年的产值为 500 万元，2012 年的产值为 605 万元. 求 2010〜2012 年该养殖场产值的年平均增长率. 解 设该场 2010〜2012 年产值的年平均增长率为 x，那么 2011 年的产 值为 500 + 500x = 500（1 + x），2012 年的产值为 500（1 + x）+ 500（1 + x）·x = 500（1 + x）2 . 根据题意，得 500（1 + x）2 = 605 . 1524.7 一元二次方程的应用 解这个方程，得 x = 0.1， x = -2.1 . 1 2 根据题意，605 万元 > 500 万元，故年增长率 x > 0，而 x = -2.1 < 0，因此 2 x = -2.1 不符合题意，应当舍去， x = 0.1 符合题意. 2 1 所以，该养殖场 2010〜2012 年产值的年平均增长率为 0.1，即 10% . 例4 某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平 均每次的降价率. 解 设该药品平均每次的降价率为 x，那么第 1 次降价后该药品每盒的 售价为原售价的（1 - x），第 2 次降价后该药品每盒的售价为原售价的（1 - x）2 . 根据问题中的等量关系，得 （1 - x）2 = 64% . 解这个方程，得 x = 0.2， x = 1.8 . 1 2 根据题意，降价率应满足 0 < x < 1，因而 x = 1.8 不符合题意，应当舍去， 2 而 x = 0.2 符合题意. 所以，该药品平均每次的降价率为 0.2，即 20% . 挑战自我 例 3 与例 4 都是增长率（包括负增长）问题，你能把这类问题中的基本数量 关系用公式表示出来吗？ 练 习 1. 某农机厂 1 月份生产联合收割机 300 台，为了满足夏收季节市场的需求，3 月份比 1 月 份多生产 132 台. 求 2 月、3 月两个月的平均月增长率. 2. 某玩具厂今年每个月的产量都比上个月环比增长同样的百分数，已知该厂今年 4 月份 的玩具产量为 5 万件，6 月份比 5 月份多生产了 12 000 件. 求今年产量的月增长率. 153第4章 一元二次方程 习题4.7 复习与巩固 1. 两个实数的和是 10，积是 -75 . 求这两个数. 2. 如图，在宽为 20 m、长为 36 m 的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路，剩 余草地的面积是 540 m2 . 求道路的宽（精确到 0.1 m）. 北 东 小亮 小莹 （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，AB 与 BC 分别是东西方向和南北方向的道路，AB = 1 000 m . 晨练时，小莹从 点 A 出发，以每分钟 150 m 的速度向东跑；小亮同时从点 B 出发，以每分钟 200 m 的 速度向北跑. 经过几分钟时，他们之间的直线距离仍然是 1 000 m？ 4. 一本书的长为 26 cm，宽为 18.5 cm，厚为 1 cm . 小莹准备用 一张面积为 1 260 cm2 的矩形纸包这本书的书皮（如图）. 若 封面 封底 书皮四周折进的宽度一样，折叠进去的宽度应为多少？ 5. 某种品牌汽车的售价为每辆 10 万元，使用两年后其价值为 7.225 万元. 求该汽车这两年的年平均折旧率. （第 4 题） 6. 解决本章“情境导航”中的问题（精确到 0.1%）. 7. 山青农场去年种了 10 亩地的南瓜，平均亩产量为 2 000 kg . 根据市场需要，今年该农 场扩大了种植面积，并且全部种了高产的新品种南瓜. 已知南瓜种植面积的增长率是 亩产量的增长率的 2 倍，今年南瓜的总产量为 60 000 kg . 求南瓜亩产量的增长率. 拓展与延伸 8. 一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，把十位数字与个位数字互换后得到的两 位数与原数的积为 736 . 求原两位数. 9. 某化肥厂 4 月份生产某种化肥 500 吨，5 月份因部分设备检修，产量比 4 月份减少了 10% . 从 6 月份起产量逐月上升，7 月份达到 648 吨. 该厂 6 ，7 两个月产量的平均月增 长率是多少？ 154回顾与总结 探索与创新 10. 一个容积为 1 000 ml 的容器里盛满浓度为 80％ 的酒精. 第一次倒出若干毫升后，用 水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满. 这时容器内的酒精的浓度为 20％. 求每次倒出溶液多少毫升. 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，与同学交流. 2. 什么是一元二次方程？你能说出它与一元一次方程、分式方程和二元一次方程的区别 吗？一元二次方程的一般形式是什么？ 3. 举例说明如何估计一元二次方程的解. 4. 解一元二次方程的基本思路是什么？有哪些常用的方法？对于方程 4x2 =（x + 1）2， 你有哪几种求解的方法？ 5. 用配方法解一元二次方程的要点是什么？ 6. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式是什么？你能用公式法写出方程 x2 + px + q = 0（p2 ≥ 4q）的解吗？ 7. 具备哪种形式的一元二次方程用因式分解法求解比较简便？ 8. 一元二次方程的解有几种情况？怎样根据方程的系数判别解的情况？ 9. 一元二次方程的根与系数有怎样的关系？ 10. 列一元二次方程解应用问题的主要步骤是什么？应当注意什么问题？ 综合练习 复习与巩固 1. 用配方法解下列方程： （1）x2 - 3x - 10 = 0； （2）4x2 - 12x = 1； 1 1 （3）3x2 - 6x + 1 = 0； （4）x2 + x - = 0 . 6 3 2. 用公式法解方程： （1）x2 + 8x - 20 = 0； （2）4x2 - 4x + 1 = 0； （3）x2 - 3x - 28 = 0； （4）6x2 + 2 = 7x . 155第4章 一元二次方程 3. 用适当的方法解方程： （1）（2y - 1）（y + 3）= 4； （2）2（x + 2）2 = 3（x + 2）； （3）25（x - 7）2 = 16（x + 4）2； （4）16（x + 5）2 - 8（x + 5）+ 1 = 0 . 4. 已知方程 2x2 + x + m = 0 的一个根是 1，求 m 的值和方程的另一个根. x-4 5. 当 x 取何值时，分式 没有意义？当 x 取何值时，分式的值为 0 ？ x2+2x 6. 已知一元二次方程 x2 - 2x + m - 1 = 0 . （1）当 m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？ （2）设 x ，x 是这个方程的两个实根，且 x2 + x x = 1，求 m 的值. 1 2 1 1 2 7. 已知关于 x 的方程 x2 - 2（m + 1）x + m2 = 0 . （1）当 m 取何值时，这个方程没有实根？ （2）选取 m 的一个非零整数值，使这个方程有两个实根，并求这两个根. 8. 小亮手中有长分别为 22 cm 和 24 cm 的两段铁丝，打算用其中的一段铁丝折成一个面 积为 32 cm2 的矩形. 他应当选择用哪段铁丝？为什么？ 9. 三个连续整数两两相乘后再求和得 362，求各数. 10. 机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因. 为解决这个问题，某市试验将 现有公共汽车改装成天然气燃料汽车（称为“环保汽车”）. 按照计划，该市今后两 年内将使全市的这种环保汽车由目前的 325 辆增加到 637 辆，求这种环保汽车平均每 年增加的百分率. 11. 已知关于 x 的方程 x2 - 3x + c = 0 的一个根的相反数是方程 x2 + 3x - c = 0 的一个根， 求方程 x2 + 3x - c = 0 的根及 c 的值. 拓展与延伸 12. 小亮、小莹与大刚一起讨论方程 0.25x2 - 2.76x + 0.23 = 0 的根的情况. 小亮说：“这个方程有两个不相等的实根.” 小莹说：“这个方程的两个根都是正数.” 大刚说：“这个方程有一个根大于 10，另一个根小于 1 .” 他们的判断都正确吗？为什么？ 13. 如图，把矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 C' 处（与点 A，B 不重合），点 D 落在 D' 处，C'D' 交 AD 于点 E，折痕为 MN . （第 13 题） （1）已知 AB = 7，BC = 9，当点 C' 在什么位置时，可以使△NBC' ≌△C'AE ？ （2）如果 AB = BC = 1，那么使△NBC' ≌ △C'AE 的点 C' 是否存在？如果存在，求 出点 C' 的位置；如果不存在，请说明理由. 156回顾与总结 14. 某养鱼户经营池塘养鱼已 3 年，第一年春季放养鱼苗 20 000 尾，成活率约为 70％， 秋季捕捞前随意捞出 10 尾鱼，称得质量如下（单位：kg）： 0.8 0.9 1.2 1.3 0.8 0.9 1.1 1.0 1.2 0.8 （1）根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是多少 kg； （2）第一年秋季把这池塘中的鱼全部捞出卖掉，售价为 4 元/kg，除去当年投资成本 16 000 元，求第一年的纯收入； （3）该养鱼户每年春季放养鱼苗，秋季捕捞后全部卖出. 已知这 3 年的纯收入为 132 400元，求第二年与第三年纯收入的平均年增长率. 探索与创新 15. 一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行. 途中接到台风警报，台风中心正以 40 海 里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区. 测得台风中心此时位于轮船正南方向 100 海里处，如果这艘轮船继续航行， 会不会遇到台风？如果会，求轮船最初遇到台风的时间；如果不会，请说明理由. 16. 已知关于 x 的一元二次方程 （1 - 2k）x2 - 2 k+1x - 1 = 0 有两个不相等的实根. （1）求实数 k 的取值范围； （2）如果方程两根的倒数的和比两根倒数的积小 1，求 k 的值. 157综合与实践 综合与实践 黄金分割与五角星 在本册第 4 章 4.1 与 4.2 节中，我们曾经探究过这样一个问题：点 C 是线段 AB 上的一点，它把线段 AB 分割为两部分，使 AC 是 AB 与 CB 的比例中项，即 AB AC AC = （图 1），求比 的值. AC CB AB A C B AC 5-1 图 1 这个问题通过列一元二次方程，解得 = . AB 2 5-1 这里 是个无理数，它精确到 0.001 的近似值是 0.618 . 我们把点 C 叫 2 做线段 AB 的黄金分割点. 该点所形成的分割称为黄金分割（golden section）. 0.618 被称为黄金比或黄金数. 为什么把线段 AB 上的点 C 称作黄金分割点？它具有哪些美妙的性质？让我 们走进黄金分割的世界，探索它的性质吧！ 交流与发现 5-1 1 1 （1）如果把 记作 φ，请计算代数式 与 - 1 的值，你有什么发 2 φ φ 现？如果把 φ 取近似值 0.618，你还有什么发现？ 1 1 （2）你能结合图 1 解释 与 - 1 的几何意义吗？ φ φ （3）如果已知线段 AB（图 2），如何用尺规作出它 A B 的黄金分割点呢？ 图 2 5-1 5 1 如果设AB = 1，根据AC = = - ， 2 2 2 5 可考虑先作一条长度为 的线段. 怎样才能作出 2 5 一条长为 的线段呢？ 2 158黄金分割与五角星 5 4+1 1 因为 = = 12+（ ）2 ，根据勾股 2 2 2 5 1 定理，长为 的线段是直角边分别为 1 和 的 2 2 直角三角形的斜边，可以用尺规作出来. 作法如下： ① 过点 B 作 l⊥AB； l D 1 ② 在直线 l 上截取 BD = AB，连接 AD； E 2 ③ 在 DA 上截取 DE = DB； A C B ④ 在 AB 上截取 AC = AE（图 3）. 图 3 点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点. （4）小亮受上面尺规作图的启发，提出了一个利用正方形纸片折出一条线 段的黄金分割点的设想. 折纸的步骤是： ① 取一张正方形的纸片 ABCD，设它的边长为 1（图 4）. 将纸片对折，得 折痕 EF . 将纸片打开后，再折出矩形 BCFE 的对角线 BF（图 5）； ② 将 AB 边折到 BF 上，因为 AB < BF，所以点 A 与 BF 上的点 A' 重合，得折 痕 BG（图 6）. 点 G 就是线段 AD 的黄金分割点. F F D C D C D C A' G A B A B A B E E 图 4 图 5 图 6 请你按小亮设想的步骤做一做，你能证明点 G 是 AD 的黄金分割点吗？与同 学交流. （5）过图 6 中点 G 作平行于 AB 的直线 GH，将正方形 ABCD 沿 GH 剪开，得 到矩形 ABHG（图 7）. 矩形 ABHG 的宽 AG 与 AB 的比是多少？ 159综合与实践 G H G H A B A B P 图 7 图 8 5-1 当一个矩形的宽与长的比为 时，古希腊人认为这样的矩形看起来最 2 匀称、最美观，所以后人称它为黄金矩形. 黄金矩形具有一个非常奇妙的性质：如图 8，在黄金矩形 ABHG 的较长一 边 AB 上取点 P，使 AP = AG，然后作经过 P 点且平行于 AG 的直线，交 GH 于点 ，得到矩形 PPBBHH . 矩形 PPBBHH 与矩形 ABHG 相似吗？如果相似，相似比是多 少？矩形 PPBBHH 较短边与较长边的比是多少？由此你能得到什么结论？ 在黄金矩形中，去掉一 个正方形后，余下的小矩形 还是黄金矩形. 图 9 继续这样作下去，可以得到无数多个越来越小的黄金矩形，它们都是相似 形，且相邻两个黄金矩形的相似比等于黄金数 0.618（图 9）. A （6）如图 10 是一个顶角是 36°的等腰三角形 ABC，∠B 的 平分线 BD 交 AC 于点 D . △BCD 与△DAB 是什么形状的三角 D 形？△BCD 与△ACB 相似吗？为什么？如果相似，它们的相似 比是多少？由此你能得到哪些结论？ B C 图 10 △BCD也是一个顶角是 36°的等腰三角形；△BCD ∽△ACB，其相似比是黄金数 0.618；D 是 AC 的黄金分 BC CD 割点，比 ， 都等于黄金数；如果再作∠C 的平 AB BC 分线与 BD 相交于点 E，则△CDE 是与△BDC 相似的三 角形，相似比为 0.618. 继续这样作下去，可以得到无 数多个相似的顶角为 36°的等腰三角形，且相邻两个等 腰三角形的相似比为黄金数 0.618. 160黄金分割与五角星 顶角为 36°的等腰三角形叫做黄金三角形. 由此可知， 圆内接正十边形的一边与过该边两个端点的半径围成一个 O 黄金三角形，这就是说，圆内接正十边形边长与半径的比 等于 0.618（图 11）. 你能试一试，借助作一条线段的黄金分割点的方法， A B 图 11 用尺规作一个圆内接正十边形吗？ 实验与探究 （1）如图 12，△ACD 是一个黄金三角形，∠CAD = 36°. 作△ACD 的外接 圆 O . 作∠C 的平分线交 AD 于点 F，延长交⊙O 于点 E；作∠D 的平分线分别交 AC，CE 于点 G，H，延长交⊙O 于点 B；连接 BE，分别交 AC，AD 于点 I，J . 依 次连接 AB，BC，DE，EA . 五边形 ABCDE 是正五边形吗？说明理由，并与同学 交流. （2）在图 12 中，△ABI 是什么形状的三角形？哪些 A 三角形与△ABI 全等？哪些三角形与△ABI 相似？为什 I J B E 么？ O G F （3）在图 12 中，有几个黄金三角形？G，H，F， H J，I 分别是哪条线段的黄金分割点？分别写出它们的比 C D 例式. 图 12 （4）在图 12 中，五边形 IGHFJ 是正五边形吗？为什么？ （5）在图 12 中，多边形 AIBGCHDFEJ 是正五角星形吗？说明理由，并与 同学交流. （6）阅读下方的小资料，利用小资料中给出的作图方法，作一个圆内接正 五边形，再在这个正五边形内，作一个正五角星. （7）根据图 12，提出一个你认为值得探索的问题，并说出你的探索过程和 结论，与同学交流. 161综合与实践 小资料 圆内接正五边形的作法 C 在欧几里得的几何原本中，给出了作圆内接正五边形的 方法如下： ① 作⊙O 的任一条直径 AB，再过圆心 O 作 AB 的垂线交 M P A B E O F ⊙O 于点 C，D； ② 作 OA 的垂直平分线，交 OA 于点 E； N H ③ 以点 E 为圆心，EC 为半径作弧，交 OB 于点 F； D ④ 以点 C 为圆心，CF 为半径作弧，交⊙O 于点 P，M ； 图 13 ⑤ 分别以点 P，M 为圆心，CF 为半径作弧，交⊙O 于点 H，N（图 13）； ⑥ 顺次连接 CM，MN，NH，HP，PC . 所得到的五边形 CMNHP 即为正五边形. 广角镜 黄金分割的由来和应用 人类对黄金分割的认识已有 2 500 多年的历史. 早在公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥 拉斯学派就研究过正五边形和正十边形的作图. 公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索 斯（Eudoxus，约前 400 — 约前 347）第一个系统地研究了这一个问题，并建立起比例 理论. 公元前 300 年前后，欧几里得撰写《原本》时，吸收了欧多克索斯的工作，系统 地论述了黄金分割，成为最早的有关论著. 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，德 国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割，直到 19 世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行. 黄金分割在建筑、艺术、美学和生产实际中有广泛地应用. 建筑师们发现，按黄金分割的比例来 设计殿堂，殿堂更加雄伟、气派，去设计 别墅，别墅将更加舒适、漂亮. 连一扇门 窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和 美观. 例如，古希腊巴特农神庙是举世闻名 的人类文化遗产（图 14）. 它的高与宽的比 是 0.618 . 古埃及人建造的金字塔现存 70 多 图 14 座，这些金字塔的大小虽有不同，但其高与底面边长的比也都接近 0.618 . 著名的法国 巴黎埃菲尔铁塔（图 15），其第二层顶部到地面的距离和它到塔顶的距离之比也约为 0.618 . 在现代建筑中，加拿大多伦多电视塔（图 16），塔高 553.33 米，其观景楼以上和 以下部分的长度之比也约为 0.618 . 162黄金分割与五角星 图 15 图 16 古希腊人认为，当人的眼眉到咽喉的距离与头顶到咽喉的距离之比接近 0.618 时， 人的头部最美. 因此，当时创作的人体绘画、雕塑等艺术品（如图 17 中的女神维纳斯的 塑像）多是按这个比例创作的. 对人 体解剖很有研究的意大利画家达·芬 奇发现，人的肚脐位于身长的 0.618 处；咽喉位于肚脐与头顶长度的 0.618 处；肘关节位于肩关节与指头 长度的 0.618 处；人体存在着肚脐、 咽喉、膝盖、肘关节四个黄金分割 点，它们也是人赖以生存的四处要 害. 达·芬奇创作的名画《蒙娜丽莎》 图 17 图 18 （图 18）也是按黄金分割构图的. 舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是站在舞台的一侧，这是因为站在舞 台长度的黄金分割点的位置观众的视觉和听觉效果最好. 人们的生活起居也与 0.618 有着密切的联系，用它可以解释为什么在环境温度 22℃ 至 24℃ 时人的感觉最舒适. 这是因为人的体温为 37℃，它与 0.618 的乘积为 22.9℃，在 这个温度下，人的肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态. 在科学实验、生产实践中，选用方案时常采用 0.618 法，即优选法，用这种方法可 以合理地安排用较少的试验次数找到合理的方案和合适的工艺条件. 即使在自然界，植物的生长中也充满了神奇的 0.618 . 练 习 1. 上网查询有关黄金分割的资料，并向同学介绍. 2. 写一篇五角星中蕴含的数学知识的小论文，在班级内交流. 163后 记 这套义务教育七〜九年级数学教科书是在原《义务教育课程标 准实验教科书 数学（七〜九年级）》（青岛出版社 2005年1月第 一版）的基础上，依据教育部2011年颁布的《义务教育课程标准》 修订完成的. 经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审查通 过，准许使用. 本套教科书由展涛担任主编，殷建中担任执行主编，参加本册 教材编写的有（按姓氏笔画为序）：牟光明、李师正、吴传统、张 汉玉、苗学良、曾美露、殷建中、谢廷桢等同志，由谢廷桢担任本 册主编. 在本套教科书的编写工作中，我们得到了关心我们教材建 设的许多专家、学者以及广大数学教育工作者的大力支持和热情帮 助. 在此，我们一并致谢. 欢迎教师和同学们在使用本书过程中，向我们提出改进的意见 和建议. 编 者