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重庆市 2020 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题（A 卷）
一、选择题
1.下列各数中，最小的数是（ ）
A. －3 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】∵ ，
∴最小的数是-3，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成．
2.下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表
示为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的
绝对值＜1时，n是负数．
【详解】 ，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑
色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数
为（ ）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得
第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．
5.如图，AB是 的切线，A切点，连接OA，OB，若 ，则 的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得 ，再根据三角形内角和求出 .
【详解】∵AB是 的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
6.下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C． ，此选项计算正确；
D．2 与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概
念．
7.解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
8.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以原点为位似中心，
在原点的同侧画 ，使 与 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为
2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝ = ，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
的
那么位似图形对应点 坐标的比等于k或−k．
9.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）
，山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为
28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 76.9m B. 82.1m C. 94.8m D. 112.6m
【答案】B
【解析】
【分析】
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而
求出AB．
【详解】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
10.若关于x的一元一次不等式结 的解集为 ；且关于 的分式方程 有
正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A. 7 B. －14 C. 28 D. －56
【答案】A
【解析】
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负
整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式 ，解得x≤7，
∴不等式组整理的 ，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，解得：y＝ ，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 沿着AD翻折，得到 ，DE
与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若 ， ， ， 的面积为2，则点F到
BC的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出 ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据 •BD•h＝
•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S ＝S ＝2，
△ADG △AEG
∴S ＝4，
△ADE
由翻折可知， ADB≌ ADE，BE⊥AD，
∴S ＝S ＝4，∠BFD＝90°，
△ABD △ADE
∴ •（AF+DF）•BF＝4，
∴ •（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，∴DB＝ ＝ ＝ ，
设点F到BD的距离为h，
则 •BD•h＝ •BF•DF，
∴h＝ ，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连
接AE．若AD平分 ，反比例函数 的图象经过AE上的两点A，F，且 ，
的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明OB∥AE，得出S =S =18，设A的坐标为（a， ），求出F点的坐标和E点的坐标，可得
△ABE △OAE
S = ×3a× =18，求解即可．
△OAE
【详解】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S =18，
△ABE
∴S =18，
△OAE
设A的坐标为（a， ），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为 ，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a， ），
∴E点的坐标为（3a，0），
S = ×3a× =18，
△OAE
解得k=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S =S =18是解题关
△ABE △OAE
键．
二、填空题13.计算： __________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据零指数幂及绝对值计算即可．
【详解】 ；
故答案为3．
【点睛】本题比较简单，考查含零指数幂的简单实数混合运算，熟记公式 是关键．
14.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.
【答案】六
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．
【详解】设这个多边形的边数为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：六．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式．
15.现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面
朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽
取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点 P（m，n）在第二象限的
结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半
径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】
根据图形可得 ，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的
面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知，
，
，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴ ，的
∵点O是AC 中点，
∴OA= ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出
．
17.A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的
同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发
时间x（h）之间的函数关系如图中的折线 所示．其中点C的坐标是 ，点D的坐标
是 ，则点E的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点 E表示的意义，由此即可得出答
案．
【详解】设乙货车的行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇点C的坐标是 ，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为 ，甲货车行驶的距离为 ，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．
18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）
三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的
出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊
的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需
增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
【详解】解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为 m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的 ，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列
出方程组是解决本题的关键．
三、解答题
19.计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可；（2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查整式的运算和分式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测
试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进
行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a 7 45%
八年级 7.5 8 b c
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出
一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是
多少？
【答案】（1） ， ， ；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数
据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）
估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人
【解析】
【分析】
（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年
级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c的值；
（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；
（3）用七八年级 的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以
1200即可得出答案．
【详解】解：（1）七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，
∴ ，
由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是： ，
∴ ，
八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%
∴ ，
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众
数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；
（3）七年级合格人数：18人，
八年级合格人数：18人，
人，
答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数
的概念是解决本题的关键．21.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作 ， ，
垂足分别为E，F．AC平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理求出 ，利用角平分线的定义求出 ，再利用平行线的性质解决
问题即可．
（2）证明 可得结论．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知
识点．
22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．
以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
… －3 0 3 …
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在
相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 时，函数取得最大值3；当 时，函数
取得最小值－3；( )
③当 或 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大；( )
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集
（保留1位小数，误差不超过0.2）．【答案】（1） ， ；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【解析】
【分析】
（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可；
（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求解即可．
【详解】解：（1）当x=-3时， ，
当x=3时， ，
函数图象如下：
（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：× ，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 时，函数取得最大值
3；当 时，函数取得最小值－3；
故答案为：√ ，
③观察函数图象可得：当 或 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3） ，
时，得 ， ， ，
故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，
利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用
整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如： ， ，所以14是“差一数”；
，但 ，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【解析】
【分析】
（1）直接根据“差一数”的定义计算即可；
（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余
2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”．
【详解】解：（1）∵ ； ，
∴49不是“差一数”，
∵ ； ，
∴74是“差一数”；
（2）∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、
359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数是解
决本题的关键．
24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个
品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入
为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平
均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的
基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加 ，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量 是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】
【分析】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列
出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得 ．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得： ．
令a%=m，则方程化为： ．
整理得10m2-m=0，
解得：m=0（不合题意，舍去），m=0.1
1 2
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方
法与步骤是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线AB相交于A，B两点，其中
， ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求 面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物
线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，
E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） 面 积 最 大 值 为 ； （ 3 ） 存 在 ，
【解析】
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设 ，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点 ，则
， ，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过 ，
∴
∴
∴
（2）设 ，将点 代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点 ，则
由铅垂定理可得
∴ 面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得： ，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E
（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4± ，故点E（-3，-4＋ ）或（-3，-4− ）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或 或 或（1，−3）．
∴存在，
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计
算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．26.如图，在 中， ， ，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A
逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证： ；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当 时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与
BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使 的值最小．当 的
值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形 的性质和等腰
直角三角形的性质可得结论；
（2）由（1）得 ， ， ，推出
，然后根据现有条件说明
在 中， ，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则
，在 中，推出 ，即可得出答案；（3）设点P存在，由费马定理可得 ，设PD为 ，
得出 ， ，得出 ，解出a，根据 即可得出答案．
【详解】解：（1）证明如下：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，F为DE中点（同时 ）， ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）由（1）得 ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵F为DE中点，
∴ ，在四边形ADCE中，有 ， ，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则 ，
在 中，
∵ ，
∴F为CG中点，即 ，
∴ ，
即 ；
（3）设点P存在，由费马定理可得 ，
∴ ，
设PD为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，又
∴ ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，
锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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