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届高三三月联合测评
2025
数学试卷参考答案与详解
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
A B D C D B B C ABC ACD BCD
1 答案
.【 】A
详解 因为A B xx 或x 所以A B 选
【 】 ={-2,-1,0,1}, ={| <-1, >2}, ∩ ={-2}, A.
2 答案
.【 】B
详解 方法一 将 代入x2 px q 并整理得p q p 所以p q
【 】( ) 1+i + + =0, (+ )+(+2)i=0, + =0.
方法二 因为 p q 所以p q .选
( ) - =1+i+1-i=2,=(1+i)(1-i)=2, + =0 B.
3 答案
.【 】D
详解p n Nn2 n 的否定是 n Nn2 n 选
【 】:∃ ∈ , >2 +5 ∀ ∈ , ≤2 +5, D.
4 答案
.【 】C
详解 因为 e e e e e e e e 7
【 】 |2 1+ 2|=|1-32|=7,(21+ 2)·(1-32)=- ,
2
所以 e ee e 1 所以 e e 与e e 的夹角为 选
cos<21+ 2,1-32>=- , 21+ 2 1-32 120°, C.
2
5 答案
.【 】D
详解 由fx f x 知 函数fx 的图象关于直线x 对称.当x 时fx 单调递增 所以
【 】 ()= (4- ) , () =2 ≤2 ,() ,
f f f 选
(-3)< (4)< (2), D.
6 答案
.【 】B
p
详解 因为Mx 在抛物线上 所以 MF 等于M到直线x 的距离.
【 】 (0,4) , | | =-
2
p p
所以x 即x .将 代入抛物线方程 得p 选
0+ =4+ , 0=4 4,4 , =2, B.
2 2
7 答案
.【 】B
详解 因为fx x 1 x是增函数 所以f x 1 1 x 恒成立.
【 】 ()= -x-log a , '()=1+x2-x a≥0(>0)
ln
当 a 即 a 时f x
ln <0, 0< <1 ,'()≥0;
当 a 1 2 解得a .所以a不可以取的一个值是 选
ln >0,(a)-4≤0, ≥e 2, B.
ln
8 答案
.【 】C
详解 方法一 因为AB CD 所以球心O到AB中点M的距离为 到CD中点N的距离为
【 】( ) =4, =2, 1,
从而AB中点M在以O为球心 以 为半径的球面上运动CD中点N在以O为球心 为半径的球
2, , 1 , 2
面上运动.
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1 ( 6 )当MON三点共线且O在线段MN上时 MN取最大值 S 1 AB MN .
, , , 3,△ ABN = × × =6
2
此时 若CD 平面ABN 则V 1 若CD不垂直于平面ABN 则CD到平面ABN的距
, ⊥ , = ×6×2=4; , ,
3
离和小于 从而四面体体积小于
2, 4;
当MON三点不共线时 由于N在以O为球心 为半径的球面上运动 所以N到直线AB的距离
, , , 2 ,
小于 从而S CD到平面ABN的距离和小于等于 从而V .
3, △ ABN <6,, 2, <4
所以四面体体积的最大值为 .选
4 C.
方法二 设球心为O ABC的外心为O 圆O 半径为rAB的中点为M.
( ) ,△ 1, 1 ,
r r2
设 DCO α OCO β 则 α 1 α 2 β β 5- .
∠ = ,∠ 1= , sin = ,cos= ,cos= ,sin=
5 5 5 5
r r2
所以 α β 2 + 5- 于是M到CD的距离d CM α β.
sin(+ )= , =| |sin(+ )
5
设AC与BD的距离为dr 则dr 1r r2 r r2 .
(), ()= (+ -4)(2 + 5- )
5
d 1
(2)= ×2×(4+1)=2,
5
d 1 ..
(5)= (5+1)×25≈29
5
设r 2θ 2θ 下证d .
= 5-cos = 4+sin , ≤3
即证 d θ 2θ θ 2θ
5 =(cos+2 5-cos )(sin+ 5-cos )≤15;
从而 θ θ 2θ θ θ 2θ
sincos+2(5-cos )+(2sin+cos)5-cos ≤15;
θ θ θ 2θ
于是cos(sin-2cos) θ θ 5-cos .
+(2sin+cos) ≤5
5 5
由柯西不等式
,
上式左 cos
θ
2 5-cos
2θ
2 θ θ2 θ θ2
≤ [( )+( )] [(sin-2cos)+(2sin+cos)]=5,
5 5
从而d 故 CDM面积最大值为 .
≤3, △ 3
从而四面体ABCD体积最大值为1 .选
×3×4=4 C.
3
9 答案
.【 】ABC
因为a c 所以e 2 正确
=2,=1, = ,A ;
2
t2 t2
设ACx ty 与椭圆方程联立 求得AC 22( +1).同理BD 22( +1).
:= -1, , | |= t2 | |= t2
+2 1+2
所以AC 的最小值为 最大值为 正确
| | 2, 22,B ;
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2 ( 6 )1 1 32为定值 正确
AC +BD = ,C ;
| | | | 4
x2 y2
变换后 曲线为 不是圆 错误 选
, + =1, ,D . ABC.
2 4
10 答案
.【 】ACD
详解 画出正弦函数y x及余弦函数y x的图象 可以判断 选
【 】 =sin =cos , . ACD.
11 答案
.【 】BCD
【 详解 】 a n2 +1- a n2 =- a n2 + a n +1=-( a n - 1-5 )( a n - 1+5 ) , 下证a n > 1+5.
2 2 2
当n a 1+5 假设当n kk 时a 1+5.
=1,1=2> , = ,≥1 ,k >
2 2
2
当n k 时a a 1+5 (1+5) 1+5.
= +1
,k
+1=
k
+1> +1= =
2 4 2
所以a n > 1+5 , 从而a n2 +1- a n2 =-( a n - 1-5 )( a n - 1+5 )<0 .
2 2 2
所以a a 数列 a 是递减数列 有 错误 正确 正确
n > n +1, n , A ,B ,C ;
当n 时a 1 当n 时a 1+5 1 1 正确 选
=1 ,1=2≥1+ 0=2, ≥2 ,n > >1+ ≥1+ n -1 ,D . BCD.
2 2 2 2
12 答案
.【 】72
详解 因为 所以上四分位数为89+55 填
【 】 12×0.75=9, =72, 72.
2
答案
13.【 】3;16
详解 b a a b a c .填 .
【 】8+ = +5,- =3,+ =16 :3;16
答对第一空给 分 答对第二空给 分 两空都答对给 分
( 2 , 3 , 5 )
14 答案
.【 】42+1
x n n xy
详解 令 = +2+ , 则 =2,
【 】
y n n x y n .
= +2- , + =2 +2
x y x yy y2 y y
所以a 22+ + (22+ + ) +22 +2 +2
n = x = xy = = ,
2 2 4 2
n n
所以a +2- +2.
n
=
2
所以S 2n 1 n n n n
n = + [( +2- )+( +1- -1)+…+(4-2)+(3-1)]
2 2
2n 1 n n .
= + ( +2+ +1-2-1)
2 2
所以S 72 1 .填 .
7= + (9+8-2-1)=42+1 42+1
2 2
15 详解 取AC中点为F 因为AB BC 所以BF AC. 分
.【 】(1) , = , ⊥ …………………………………… (2 )
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3 ( 6 )又PC 平面ABCBF 平面ABC 所以PC BF. 分
⊥ , ⊂ , ⊥ ………………………………………… (4 )
因为AC 平面PACPC 平面PACAC PC C
⊂ , ⊂ , ∩ = ,
所以BF 平面PAC.
⊥
因为BF 平面BEF 所以平面BEF 平面PAC.
⊂ , ⊥
此时AF 1AC . 分
| |= | |=3 ……………………………………… (6 )
2
取AC中点为O 连接OB 在平面PAC内过
(2) , ,
点O作PC的平行线为z轴 以OAOB所在直线分
, ,
别为xy轴 建立空间直角坐标系 则A
, , , (3,0,0),
B P D 3 E 3 分
(0,1,0), (-3,0,3), (-3,0, ), (- ,0,2),……………………………………… (8 )
2 3
所以AB→ AP→ DE→ 23 1 . 分
=(-3,1,0), =(-23,0,3), =( ,0, )……………………………… (9 )
3 2
设平面PAB的法向量n xyz
=(,,),
n AB→ x y
则 · =-3 + =0, 取x 得n . 分
=3, =(3,3,2)…………………………………… (11 )
n AP→ x z .
· =-23 +3 =0
所以DE与平面PAB成角的正弦值 θ nDE→ 3 57. 分
sin=|cos< , >|= ……………………… (13 )
38
16.详解 由题意 a a
a2
+
b2
b . 分
【 】(1) ,2 =4,=2,3= a ,=22 ……………………………………… (4 )
x2 y2
所以双曲线的方程为 . 分
- =1 ………………………………………………………………… (5 )
4 8
因为 AFB为锐角 所以FA→ FB→ .
(2) ∠ 1 , 1 · 1 >0
设直线l的方程为y kx k 与双曲线方程联立 得
= (-23)(≠0), ,
k2x2 k2x k2 . 分
(2- ) +43 -12 -8=0 ……………………………………………………………… (7 )
k2 k2
设Ax y Bx y 则x x 43 xx -12 -8. 分
(1,1), (2,2), 1+ 2=- k2 ,1 2= k2 ………………………… (9 )
2- 2-
k2
由FA→ FB→ x x yy 16-32 分
1 · 1 =(1+23)(2+23)+ 1 2= k2 >0,……………………………… (12 )
2-
解得k2 1或k2 . 分
< >2 …………………………………………………………………………… (13 )
2
所以k的取值范围为 ㄊ 2 2 ㄊ 分
(- ,-2)∪(- ,0)∪(0, )∪(2,+ ).……………………… (15 )
2 2
17.详解 ABC BCD BAC DBCAB CD AC .
【 】(1)△ ~△ ,∠ =∠ , =4, =1, =32
BC AC AB BC
当 ABC BCD BCA CDB时 即 32 4
∠ =∠ ,∠ =∠ ,CD=BD=BC, =BD=BC,
1
解得BD 32BC . 分
= , =2 …………………………………………………………………………… (4 )
2
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4 ( 6 )当 ABC CDB BCA BCD时ACD共线 不合题意. 分
∠ =∠ ,∠ =∠ , ,, , ………… (6 )
所以BC BD 32. 分
=2, = ………………………………………………………… (7 )
2
在 ABC中 由余弦定理求得 ABC 1 从而 ABC 37.
(2) △ , cos∠ = , sin∠ = ………
8 8
分
………………………………………………………………………………… (9 )
同理 DBC 52 从而 DBC 14. 分
,cos∠ = , sin∠ = ……………………………………………… (11 )
8 8
所以 ABD ABC DBC 132 从而 ABD 7 14. 分
cos∠ =cos(∠ -∠ )= , sin∠ = ……………… (13 )
32 32
所以 ABD的面积为1 32 7 14 217. 分
△ ×4× × = ………………………………………… (15 )
2 2 32 16
C2
18.详解 从 中摸出 个红球的概率P 3 3 此时 中有 个红球和 个白球 从 中摸出
【 】(1) A 2 1=C2= , B 4 3 , B 1
5 10
个红球的概率为4 分
;………………………………………………………………………………… (2 )
7
C2
从 中摸出 个白球的概率P 2 1 此时 中有个 红球和 个白球 从 摸出 个红球的概
A 2 2=C2= , B 2 5 , B 1
5 10
率为2. 分
……………………………………………………………………………………………… (4 )
7
由全概率公式 玩家在第一轮游戏中获得 分的概率为P 3 4 1 2 1. 分
, 10 = × + × = ………… (5 )
10 7 10 7 5
X的所有可能取值为 .
(2) 3,5,8,10
当从 中摸出 红 白 再从 中摸出白球的概率为
A 1 1 , A
PX
C1
3×
C1
2 2 6 分
( =3)= C2 × = ;…………………………………………………………………… (6 )
5 5 25
当从 中摸出 红或 白 再从 中摸出白球的概率为
A 2 2 , B
PX 3 3 1 5 1 分
( =5)= × + × = ; ……………………………………………………………… (7 )
10 7 10 7 5
当 中摸出 红 白 再从 中摸出红球的概率为
A 1 1 , A
C1 C1
PX 3× 2 3 9 分
( =8)= C2 × = ;…………………………………………………………………… (8 )
5 5 25
由 知PX 1.
(1) ( =10)=
5
所以EX 6 1 9 1 33. 分
( )=3× +5× +8× +10× = ………………………………………… (10 )
25 5 25 5 5
由 知 共有三种情况 从 中摸出 个红球 或 个白球 或 个红球 个白球
(3) (2) , , A 2 , 2 , 1 1 .
当从 中摸出 个红球时 中有 个红球和 个白球 中有 个红球和 个白球
A 2 ,B 4 3 ,A 1 2 ;
当从 中摸出 个白球时 中有 个红球和 个白球 中有 个红球
A 2 ,B 2 5 ,A 3 ;
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5 ( 6 )当从 中摸出 个红球 个白球时 中有 个红球和 个白球 中有 个红球和 个白球
A 1 1 ,B 2 3 ,A 3 2 ; …
分
………………………………………………………………………………………………… (15 )
则取出两个球都是红球的概率
C2 C2
P 3 1 4 1 1 2 1 6 1 3 1 1 113 分
= ×( ×C2+0)+ ×( ×C2+ ×1)+ ×( × + × )= …………… (17 )
10 2 7 10 2 7 2 10 2 10 2 10 525
19.详解 因为Px x3 x2 x x x x
【 】(1) ()= +6 +11 +6=(+1)(+2)(+3),
所以多项式Px x3 x2 x 是 整数分解多项式. 分
()= +6 +11 +6 3 ………………………………… (4 )
P a a a 4 1 1 1
(2)'(i)=i∏ ≠j (i - j),i∑ =1 P '( a i) = ( a 1- a 2)( a 1- a 3)( a 1- a 4) + ( a 2- a 1)( a 2- a 3)( a 2- a 4) +
1 1
a a a a a a +a a a a a a
(3- 1)(3- 2)(3- 4) (4- 1)(4- 2)(4- 3)
a a a a a a a a a a a a
(2- 1)(1+ 2- 3- 4) (4- 3)(3+ 4- 1- 2)
=a a a a a a a a a a +a a a a a a a a a a
(1- 2)(1- 3)(1- 4)(2- 3)(2- 4) (3- 4)(3- 1)(3- 2)(4- 1)(4- 2)
=0
由题意Px xx a x a x a x a
(3) ()= (- 1)(- 2)(- 3)(- 4),
于是PPx Px Px a Px a px a Px a .
( ())= ()( ()- 1)( ()- 2)(()- 3)( ()- 4)
因为PPx 所以Px 或Px ai .
( ())=0, ()=0 ()= i(=1,2,3,4)
从而 a a a a 仍为PPx 的根. 分
0,1,2,3,4 ( ())=0 ………………………………………………… (13 )
下面证明对 i Px a 无整数根.
∀ ∈{1,2,3,4}, ()= i
若不然 不妨设i Px a 有整数根 β
, =4, ()= 4 ,
则a ββ a β a β a β a
4= (- 1)(- 2)(- 3)(- 4),
β2β a β a β a
求出a (- 1)(- 2)(- 3).
4= ββ a β a β a
1+ (- 1)(- 2)(- 3)
因为 β 与 互质 所以 k Zβ 与 kβ 互质.
1 , ∀ 1∈ , 1+ 1
取k β a β a β a
1=(- 1)(- 2)(- 3),
则 β 与 ββ a β a β a 互质.
1+ (- 1)(- 2)(- 3)
再取k ββ a β a β a 即有 β 与 k互质.
= (- 1)(- 2)(- 3), 1+
对于任意绝对值大于 的整数k 有k与k 互质 所以 βk与 k互质.
1 , +1 , 1+
即 β2β a β a β a 与 ββ a β a β a 互质
(- 1)(- 2)(- 3) 1+ (- 1)(- 2)(- 3) ,
所以 ββ a β a β a .
1+ (- 1)(- 2)(- 3)=±1
由于 β ≠0, β ≠ a i, i =1,2,3,
则 ββ a β a β a
1+ (- 1)(- 2)(- 3)=-1,
即 ββ a β a β a
(- 1)(- 2)(- 3)=-2,
所以PPx 的根为 a a a a. 分
( ())=0 0,1,2,3,4 …………………………………………………… (17 )
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