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云南师范大学附属中学 2026 届高三上学期高考适应性月考卷（三）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z(1−i)=4−i，则z的虚部为( )
3 3 3 3
A. B. − C. i D. − i
2 2 2 2
2.设集合 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的值为( )
A={2,3,a2},B={1,a+2} x∈A x∈B a
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
3.在等差数列 中，已知 ，则该数列前 项和 的值为( )
{a } a +a =8 9 S
n 3 7 9
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
4.已知向量→
a=(4sinα,1−cosα),
→
b=(1,−2)
，若⃗
a⋅
⃗
b=−2
，则 tanα=( )
1 1
A. B. 2 C. −2 D. −
2 2
3x−3−x
5.函数f(x)= 的大致图象是( )
2|x|
A. B. C. D.
6.17世纪初，约翰·纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数N都可以表
示成 的形式，若两边取常用对数，则有 给出部分常用对数值
N=a×10n (1≤a<10,n∈Z) lgN=n+lga. (
如下表)，则可以估计51000的最高位的数值为( )
真数x 5 6 7 8 9
lgx
0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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1 17.已知 分别为椭圆 x2 y2 的左、右焦点，在椭圆 上存在点 ，满足
F ,F C： + =1(a>b>0) C P
1 2 a2 b2
，且点 到直线 的距离为 则该椭圆的离心率为( )
|PF |=|F F | F PF √3b.
1 1 2 1 2
2 1 5 3
A. B. C. D.
3 3 7 4
ex−lnx a
8.已知函数f(x)= 与函数g(x)= +ea−1的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
x x
A. (0,1) B. (1,+∞) C. (−∞,0) D. (1,e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近几年，人工智能(AI)逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用．为了解某大学大一学生对AI的使
用情况，随机抽取了该校100位大一学生，收集了该100位学生在上学期中向AI提问的次数，得到如图1所
示的频率分布直方图(60次及以上的称为经常向AI提问)，则下列结论正确的是( )
A. b=0.005
B. 这100位学生中经常向AI提问的人数为75
C. 估计大一学生向AI提问的次数的平均数为70
D. 按照“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”进行分层随机抽样，从这100人中抽取24人，则在经常
向AI提问的学生中应抽取16人
10.已知函数 ( 2π) 图象上两个最值点之间最短距离为π，则( )
f(x)=sin ωx+ (ω>0)
3 2
A. ω=2
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2 1B. 在区间( 5π)上单调递减
f(x) 0,
12
C. 在区间( 5π)有两个极值点
f(x) 0,
6
π
D. 将f(x)图象上各点向右平移 个单位长度之后得到的函数图象与y=x+log x的图象共有5个交点
3 a
11.数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数y=ex−e+1与y=ln(x+e−1)的
部分图象组合而成的封闭曲线Γ，则( )
A. Γ是轴对称图形
B. Γ的弦长的最大值为2√2
C. 直线x+ y=t被Γ截得弦长的最大值为√2(e−2)
D. Γ的面积为2e−4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式( 1 ) 6 展开式中的第 项为 ．
+x 4
x2
13.某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚
的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则
甲只加入其中一个社团的概率为
14.在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，▵ABC是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一
个大小为 ， [π 5π]的二面角 ，则四面体 的外接球半径的取值范围为 ．
θ θ∈ , D−AC−B ABCD
6 6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2csinC=(2sin A+sinB)a+(2sinB+sin A)b．
(1)求角C的大小；
(2)若a=4,b=8，∠ACB的角平分线交AB于点D，求CD的长度．
16.(本小题15分)
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3 1如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，▵PAD为等边三角形，平面PAD⊥平
面 点 是线段 的中点， ⃗ ⃗ ．
ABCD. E AD
CM=2MP
(1)证明：PE//平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知 为双曲线 x2 y2 的左、右焦点，点 在双曲线上，过 的直线
F ,F C： − =1(a>0,b>0) P(2√2,√5) F
1 2 a2 b2 2
交 的右支于 两点，且 ．
l C A,B |AF |−|AF |=4
1 2
(1)求C的方程；
(2)点A关于x轴对称点为D(异于点B)，直线BD交x轴于点E，记▵DF E，▵DF E的面积分别为
1 2
，求S 的值．
S ,S 1
1 2 S
2
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(a+1)x−(x+1)lnx．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： ．
(2) f(x) x ,x x 0 x x = >0 4k2−5>0
1 2 4k2−5 1 2 4k2−5
直线 方程为： y+ y x−x ，
BD 1 = 1
y + y x −x
2 1 2 1
令 y=0 得 x= y 1 (x 2 −x 1 ) +x = y 1 (x 2 −x 1 )+x 1 (y 1 + y 2 ) = x 1 y 2 +x 2 y 1
y + y 1 y + y y + y
1 2 1 2 1 2
36k2+20 24k2
2× −3×
=
kx
1
(x
2
−3)+kx
2
(x
1
−3)
=
2x
1
x
2
−3(x
1
+x
2
)
=
4k2−5 4k2−5
=
4．
k(x −3)+k(x −3) x +x −6 24k2 3
1 2 1 2 −6
4k2−5
所以 为定点，坐标为(4 )．
E ,0
3
|4 |
+3
所以 S 1= |EF 1 | = 3 = 13．
S |EF | |4 | 5
2 2 −3
3
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9 1x+1 1
18.【详解】(1)当a=0时，函数f(x)=x−(x+1)lnx，求导得f′ (x)=1−lnx− =−lnx− ，
x x
而 ，而 ，因此 ，即 ，
f′ (1)=−1 f(1)=1 y−1=−1⋅(x−1) x+ y−2=0
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x+ y−2=0．
(2)函数f(x)=(a+1)x−(x+1)lnx的定义域为(0,+∞)，
x+1 ax−xlnx−1
求导得f′ (x)=a+1−lnx− = ，令函数g(x)=ax−xlnx−1，
x x
求导得 ，由 ，得 ，令 ，
g′ (x)=a−1−lnx g′ (x)=0 x=ea−1 t=ea−1
当 时， ；当 时， ，
00 x>t g′ (x)<0
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
g(x) (0,t) (t,+∞) g(x) =g(t)=ea−1−1
max
当 从大于 的方向趋近于 时， 趋近于 ，而 ，
x 0 0 g(x) −1 g(ea )=a⋅ea−ealnea−1=−1
当且仅当ea−1−1>0，即a>1时，g(x)有两个零点x ,x (x x g(x)<0,f′ (x)<0 x 0,f′ (x)>0
1 2 1 2
因此 是函数 的两个极值点， 1 1 ，则 x −x ，
x ,x f(x) a= +lnx = +lnx x x = 2 1
1 2 x 1 x 2 1 2 lnx −lnx
1 2 2 1
不等式
x
2
−x
1 >√x x ⇔
x
2
−x
1>lnx −lnx ⇔
√x
2−
√x
1−ln
x
2>0 ，
lnx −lnx 1 2 √x x 2 1 x x x
2 1 1 2 1 2 1
令√x 2=s>1 ，函数 u(s)=s− 1 −2lns,s>1 ，求导得 u′ (s)=1+ 1 − 2 =(1− 1 ) 2 >0 ，
x s s2 s s
1
函数 在 上单调递增， ，则√x √x x ，
u(s) (1+∞) u(s)>u(1)=0 2− 1−ln 2>0
x x x
1 2 1
于是 x −x ，则 ，因此 ；
x x = 2 1 >√x x x x >1 x +x >2√x x >2
1 2 lnx −lnx 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1
显然 ，不等式lnt−lnx 2 2(t−x )
0 ⇔lnt−lnx > 1
1 2 t−x t+x 1 t+x
1 1 1
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10 1t t
−1 −1
t x t x t λ−1
⇔ln >2⋅ 1 ⇔ln −2⋅ 1 >0，令 =λ>1，函数φ(λ)=lnλ−2⋅ ，
x t x t x λ+1
1 +1 1 +1 1
x x
1 1
求导得 φ′ (λ)= 1 − 4 = (λ−1) 2 >0 ，函数 φ(λ) 在 (1,+∞) 上单调递增，
λ (λ+1) 2 λ(λ+1) 2
则 ，即 λ−1 ，因此lnt−lnx 2 ，
φ(λ)>φ(1)=0 lnλ−2⋅ >0 1>
λ+1 t−x t+x
1 1
整理得 2t−2x ，而 1 ，则 1 2t−2x ，
lnx 0 a=1+lnt
1 1
于是 ，同理 ，
x2−(3t−1)x +t>0 x2−(3t−1)x +t<0
1 1 2 2
则 ，整理得 ，
[x2−(3t−1)x +t]−[x2−(3t−1)x +t] <0 (x −x )[x +x −(3t−1)] <0
2 2 1 1 2 1 2 1
而 ，因此 ，即 ，则 ，
x
