文档内容
方法精讲-判断 2
（笔记）
主讲教师：王东岳
授课时间：2024.03.26
粉笔公考·官方微信方法精讲-判断 2（笔记）
【注意】课前答疑：
1.微博上的问题不属于讲义的内容，可以直接在微博私信老师。
2.75页例2：每幅图的构成都是黑“L”+白“L”。图1到图2，黑“L”动，
白“L”不动，图 2 到图 3，黑“L”不动，白“L”动，规律为交替性变化。可
以考虑翻转，但整体图形翻转规律不完全一致，图 1到图 2是黑“L”左右翻，
图2到图 3是白“L”左右翻，图3到图4是黑“L”上下翻；优先考虑旋转，图
1到图 2，黑“L”围绕内部白点顺时针旋转 90°，图2到图 3，白“L”逆时针
旋转90°，呈现周期性规律。
3.77 页例3：样式和位置规律的复合考法，确定先运算还是先位置，前提是
看前两幅图是否有相同线条，是否能直接运算，但本题前两幅图无法先运算，因
为第一行图 1内部是斜线，图2内部是横平竖直线，则先考虑位置规律，第一行
没看出来，但第二行很明显，图 1和图3都是倾斜摆放的，图2是竖直的，所以
图2特殊，先转图2，逆时针旋转 45°，把图2旋转后的图形画在图1中，结合
图3发现图 1和图2均有的短横线被去掉，即相同的被去掉，不同的被保留，所
以本题规律为图 2先逆时针旋转45°，再与图1求异。
4.79 页例3：不用当做黑白运算做，因为图形中不仅有黑白块，还有线条，
要根据加减同异解题，第二行比较特殊，优先看第一行找规律即可，图1有的横
线在图2没有，不同的线条被保留，规律为求异；第三行应用规律，如图1有球，
图2有空格，则图3保留球，如图1是空格，图2是空格，则图3是空格，如图
1是球，图2是球，则图3是空格，对比选项差异，运算时不一定一个个位置看，
可以挑大面积相同颜色的色块解题，第三行图1和图2右下角运算为空白+白球，
运算的结果一致，所以图3右下角要么都是白球，要么都是空格，只有C项满足。
5.81 页例 3：对称轴方向有规律，依次顺时针旋转 45°，故“？”处对称
轴方向是左下-右上，排除A、C项；根据图1、3、5对称轴与线条重合，图2、
4、6对称轴与线条不重合，D项对称轴与线条重合，排除；B项当选。
6.82页例4：面是本节课要讲解的“窟窿”，图③只经过一个面（中间的小
矩形）。
17.目前基本不考查遍历，讲义已经删除这个考点了。
8.73页例2：2号球可以顺时针走5格，同理，能用顺时针旋转90°解决，
就不用逆时针旋转270°，这样没有必要，因为“绕远了”。
9.“！、+”是全开放图形，因为没有封闭区域。
10.很多课前问题可以通过听回放解决，可能很多同学课下没有听回放，所
以会认为有些题目仍有问题，但其实讲解得比较清楚，答疑时间有限，有疑问的
可以听回放，如果听完还有疑问的同学可以在微博私信老师，24 小时内都会回
复。
【注意】本节课对应讲义第85-96页，讲解数量规律和空间重构，这两部分
是图形推理的重难点和高频考点，考试中大量题目都会涉及，需要好好听，跟上
老师思路，尽量不翻来覆去地讲。
第四节 数量规律
◆数量规律图形特征：
（1）元素组成不同，且属性没规律
（2）数量特征图明显
◆考点
面、线、点、素
【注意】数量规律：位置、样式、属性规律都已经学习了其对应的图形特征，
同样的逻辑，看数量规律的图形特征。
21.图形特征：元素组成不同。和属性规律对应的图形特征相同，拿到一道题，
没有好的思路，元素组成不同，优先考虑属性规律（对称、曲直、开闭性），属
性没规律，再考虑数量规律。元素组成不同题目的题量更多，先属性、再数量依
次试错效率会很低，做起来慢，所以更快的解题路径是熟记具体数量规律考点的
特征图，如图形出现什么特征，能直接想到数量规律中的面、线、点数量等。
2.考点：依次讲解面、线、点、素4个高频考点，了解各自的图形特征长什
么样。
3.学习内容：
（1）什么是：依次了解面、线、点、素的概念。
（2）怎么想到：面、线、点、素的图形特征。
（3）怎么考：简单、复杂考法有哪些。
◆考点一：面数量
1.什么是面？白色的封闭区域
图一
面是白的，黑的不是面！
2.什么时候数面？
（1）图形被分割、封闭面明显
图二
（2）生活化图形、粗线条图形中有留白区域
图三
3【注意】考点一：面数量。
1.什么是面：
（1）白色的：确定面时，看白色，不看黑色的线条、阴影、图案，哪里长
得白就看哪里。
（2）封闭区域：俗称白色“窟窿”。
（3）练习：
①如图一，图1中间有1个白色封闭区域，即1个面；图2虽然有白色，但
最终开口了，没有封闭，不满足面的定义，即没有面；图3中间白色的是1个面，
如果把图3的白色都涂成黑色，则没有面，因为面必须是白色的封闭区域、白“窟
窿”才行，实心的、全黑的不行。
②如“日”字，数面时以最小的封闭区域为单位，只有上面 1 个，下面 1
个面，不能重复数，所以“日”有2个面。
2.什么时候数面：
（1）图形被分割、封闭面明显。如图二，图 1为多边形，内部一些线条把
多边形分割出来很多白色封闭区域。
（2）结合生活化、粗线条图形考查，也可以考虑属性规律中的开闭性。生
活化图形中绝大部分图形有留白区域，封闭面较多，则优先考虑数面。如图三，
图1有1个面（中间“圆环”的部分），图2的“火车头”有5个面（上面的1
个大面积连通的+中间4个大小圆）。
3.答疑：本节课讲解的面、线、点和上节课是同一个东西。
【例1】（2021四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
4【解析】1.可能预习过程中不会优先考虑面，因为图形特征非常符合对称性，
如第一组图1、图2均出现等腰三角形，图3出现“等腰”元素，第一组图，对
称轴方向依次为竖直、倾斜、竖直，且每幅图均有1条对称轴，均为单纯的轴对
称图形；第二组图，图1有1条竖直的对称轴，图2有2条对称轴（水平、竖直），
图2为轴+中心对称图形，对称性规律不严谨，且根据对称轴数量依次递增也无
法选出答案，根据元素组成不同，即便优先考虑属性规律，对称性无规律，则考
虑数量规律。
题干图形的封闭面明显，每幅图都有“窟窿”，第一组图，题干面数量依次
为2、3、4，第二组图，题干面数量依次为3、4，故“？”处面数量为5。
A项：有5个面，当选。
B项：有4个面，排除。
C项：有4个面，排除。
D项：有1个面，排除。
答疑：本题的对称轴不是斜着的，如对于一个矩形而言，斜着的对角线不是
对称轴，两侧不重叠。【选A】
【注意】
1.图形特征：元素组成不同——优先属性。
2.图形特征：封闭面明显——面数量。
3.若能直接看出来考查面数量，图形封闭特征明显，则优先考虑数面；题目
迷惑性强，考试时换一道题非常符合属性规律，没有更好的思路，则优先考虑属
性规律，其次考虑数量规律，依次试错即可。
面的细化考法：
什么时候想细化？
出现数面特征图，整体数面选不出答案
1.所有面的形状
（三角形、四边形）
5图一
2.相同形状面的个数
（双胞胎、多胞胎）
图二
3.最大面/最小面的形状、属性（对称、曲直）、与外框的关系
图三
【注意】面的细化考法：考试基本不会考查得很简单，一般简单题只考查
1-2道题，所以会考查关于面的细化考法。
1.什么时候想细化：出现面的特征图（分割比较明显、封闭面明显/生活化
图形有留白区域），根据整体数面选不出答案（无规律/有规律但选项不唯一），
考虑面的细化考法。
2.面的细化：
（1）所有面的形状：整体看面的个数行不通，关注所有面形状，关于该细
化考点在真题中考查最多的是三角形和四边形面，尤其是三角形面。如图一，两
幅图均有3个面，图1都是三角形面，图2都是四边形面。
（2）相同形状面的个数：可以按照讲义中所表述的方式记，即长得一模一
样的面（“双胞胎”“三胞胎”），如图二，面的特征明显，所有面个数依次为
4、7、6，但有长得一模一样的、相同形状面，图1有3个一模一样面（“箭头”），
图2有4个一模一样面（梯形面），图3有5个一模一样面（三角形面）。
6（3）最大面/最小面的形状、属性、与外框的关系：整体上的图形分割不均
匀，一旦均匀，不好判断最大、最小面，容易有争议，所以图形会有非常明显、
不需要计算的最大、最小面，考虑形状、属性（对称、曲直性，特别是对称性）、
与外框的关系。
①如图三，图1的最大面很明显，最大面本身形状是三角形，属性（对称）
方面是轴对称图形（等腰三角形）。
②如图三，最小面、最大面只能是唯一的，不能认为图2的2个三角形面都
是最小面，最大面更明显，图2最大面是四边形（平行四边形），属性方面是中
心对称图形（平行四边形）。
③如图三，图3的最大面明显，中间是最大面，可以看最大面自身是圆；由
曲线构成，可以看曲直性；还可以看最大面与外框的关系，最大面和外框均是圆，
最大面和外框形状相似/相同。图 3类似“救生圈”“呼啦圈”，是大圈套小圈
图形，俗称“风火轮”，出现该图形则考虑最大、最小面与外框形状是否相似。
3.答疑：
（1）图二的图1下面的形状不是圆，圆内有线就不是圆形。
（2）最大面和最小面均是唯一的，一幅图中不能同时有2个最大/最小面的
情况。
（3）如 1 个大的等腰直角三角形和 1 个小的等腰直角三角形是相似，1 个
小圆和 1个大圆是相似，都是等比例缩放。
【例2】（2018四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】2.多边形被分割，考虑面的个数，题干图形面数量依次为8、7、6、
5、4，故“？”处面数量为3，排除C、D项。
7根据面的总数选不出唯一答案，考虑面的细化，所有面（三角形面个数）、
一模一样面、最大/最小面。只要背下来细化的知识点，这种题就能做。题干所
有面的形状是三角形面，题干三角形面个数依次为8、7、6、5、4，故“？”处
三角形面个数为3，且都是三角形面，对应A项。
B项：有2个面是四边形面，排除。【选A】
【注意】
1.图形被分割、封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有面、相同面、最大/最小面。
所有面——重点关注三角形、四边形
（2019北京）
（2019江苏）
【注意】
1.2019 年北京：多边形被分割，考虑面的个数，尽量不要跳步。第一组面
数量均为 4，第二组面数量均为 5，故“？”处面数量为 5，四个选项都是 5个
面，选不出答案，考虑面的细化，第一组图中所有面形状都是三角形面，第二组
8中所有面形状都是四边形面，A、B项均有三角形面，均排除；C项所有面形状都
是三角形面，排除；D项所有面形状是四边形面，当选。
2.2019 年江苏：本题比较难识别。能想到面的考点，但面的个数无规律，
题干图形面数量依次为3、2、4，考虑面的细化，看所有面形状，题干图形均出
现三角形面，尤其是图2，只有2个面，且这2个面都是三角形面，关注三角形
面个数，题干三角形面个数依次为1、2、3、4、5，故“？”三角形面个数为6。
A项有5个三角形面个数，排除；B项有6个三角形面个数，当选；C、D项均有
4个三角形面个数，均排除。
3.总结：关注所有面形状时，没有必要纠结是否会考查五边形、六边形、七
边形等，这脱离了真题的考情，重点关注三角形、四边形面，尤其是三角形面。
【例3】（2022北京）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】3.本题满足面的特征，图形被分割，考虑面数量，题干图形的面数
量均为4，选项的面数量均为4，选不出答案，考虑面的细化，看所有面的形状，
三角形面无规律（如图1和图3均没有三角形面），四边形面无规律；图1有2
个一模一样面，相同形状面个数为2，继续验证，题干图形均有2个相同形状面。
A、C、D项：面都长得不一样，均排除。
B项：有2个相同形状面（左上角 2个小梯形），当选。
背下来面的细化的三个考点，所有面、相同面、最大/最小面。
答疑：
（1）本题不涉及最大、最小面，因为图形分割不是很明显。
（2）B项不是相似面，是一模一样面。【选 B】
9【注意】
1.图形被分割、封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有面、相同面、最大/最小面。
【例4】（2022国考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】4.每幅图都是正方形，多边形被分割，考虑面数量，题干面数量依
次为4、4、4、5，面数量无规律，考虑面的细化，图4、图5分割不均匀，有明
显最大、最小面，优先考虑最大、最小面。
图2比较特别，其他图形都是直线，图2出现圆形，且有大圆和小圆，大圆
是最大面，小圆是最小面，最大面和最小面同时出现，且形状一模一样，形状相
似。验证规律，图1左侧是最大面，右侧是最小面，都是直角梯形；图3中间的
小“L”形是最小面，右上角大“L”形是最大面；图4左上角是最大面，中间是
最小面，都是三角形；图5右上角是最大面，中间是最小面，故“？”处同时有
最大、最小面，且形状相似。
C项：中间是最小面，上面是最大面，且二者形状相似，当选。
A项：左侧是最大面，右侧是最小面，但形状不一样，排除。
B项：最小面是正方形，但无法确定最大面，即便确定也不是正方形，排除。
D项：4个面形状都不相同，且无法找到最大、最小面，排除。
10答疑：相同面指一模一样的面，题干没有一模一样的面，题干的图2大圆、
小圆不是相同面，而是形状相似的面，是内外缩放的关系；C项最大面、最小面
的形状相似。【选C】
【注意】
1.图形被分割、封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有面、相同面、最大/最小面。
面数量——最大最小面（形状、属性、与外框关系）
【2017河南】
【2018山东】
【2019国考】
【注意】最大、最小面（形状、属性、与外框关系）：
1.2017 年河南：图形封闭面明显，白色“窟窿”很多，考虑面的数量，题
干图形面数量依次为 3、4、5、6、7，故“？”处面数量为 8。A 项有 9 个面，
11排除；B、C、D项均有 8个面，题干图形分割不均匀，最大面明显，且形状都是
三角形，B项当选。
2.2018年山东：满足面的特征，题干面数量均为5，根据整体个数选不出唯
一答案，分割不均匀，图 1、图2、图3均不均匀，“明显”指第一眼观察图形
能注意到的地方，最大面明显，最小面不好确定（如图1左下角和右上角、图4
左上角和右下角不好确定哪个面更小），最大面形状不规则、很复杂，考虑最大
面的属性，图1最大面是“N/Z”，图2最大面是平行四边形的变形，图3、图4
最大面是“Z”字，图5最大面是平行四边形的变形，最大面满足中心对称图形，
故“？”处最大面为中心对称图形。A项最大面是“Z/S”字变形，当选；B、C、
D项最大面均不规则，均排除。
3.2019 年国考：分组分类题，之前想不到没关系，但老师讲完后就知道图4
出现大圆套小圆，为“风火轮”图形，关注最大、最小面与外框关系，最大面明
显，图②④⑥为一组，最大面和外框形状相似；图①③⑤为一组，最小面和外框
形状相似。
4.答疑：
（1）这几道题的面特征太明显，优先考虑面。
（2）如2019年国考，有同学按照图②③⑥均有三角形分组，但分组分类题
不优先考虑一组有、一组无的规律，这样不严谨，且图④也有三角形，不能自创
考点。
（3）如2018年山东，最小面和外框不相似，若图1右上角是最小面，是梯
形，但外框是正方形；图2最小面是三角形，但外框是直角梯形。
（4）这几道题的曲直性没有规律，可以自己再试着数一下。
（5）出现“风火轮”，优先看最大、最小面与外框的关系。
12【注意】面数量总结：截图，方便课后复习。
1.什么时候数面（面的图形特征）：
（1）图形被分割、封闭面明显。
（2）生活化、粗线条图形中有留白区域。
2.先关注面的个数，整体数面无答案，考虑面的细化。
（1）看所有面形状：三角形、四边形面的个数。
（2）一模一样面：根据相同形状面的个数解题。
（3）特殊面：图形分割不均时，考虑特殊面的属性、形状、与外框的关系。
3.答疑：建议优先数面的数量，因为有些选项满足细化的特点，但面的总数
就不对，容易成为易错项、迷惑项，可以先根据基础考点排除一些选项。
◆考点二：线数量
什么时候数线？
直线特征图：多边形、单一直线
图一
曲线特征图：曲线图形（圆、弧、单一曲线）
13图二
【注意】考点二：线数量。
1.线有2种，直线和曲线，如水平的横线为直线，如圆、椭圆、波浪线为曲
线。
2.真题中很少把曲直线混合在一起数，单独考查直线/曲线数有多少，要分
开记住不同的图形特征。
（1）直线特征图：多边形（三角形、四边形本身由直线构成）、单一直线。
如图一，图2和图3均出现单一直线，明显在“凑”直线数。
（2）曲线特征图：圆、弧、单一曲线。出现圆、弧、单一曲线、笑脸、同
心圆，优先考虑曲直性，因为曲直性不需要数个数，简单判定即可，曲直性无规
律，再考虑数曲线。
◆考点二：线数量
怎么算一根线——平滑的、没有折点的叫一根线
注意：直线≠线段
【注意】平滑、无折点的为一根线。
1.图1：有4条直线，不要因为中间有交叉就人为地断开，即便有交叉，倾
斜线的角度没有变化，数的是直线数，而非线段数，只要线的方向没有改变，没
有拐弯，则为一条线。
2.图 2：“S”有 1 条曲线，因为是平滑的，没有折点（折点是突然拐弯，
摸起来“扎手”、有尖）。
3.图3：有1个折点，有2条曲线。
14【例1】（2022四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】1.可能会关注到多边形，如图1出现正方形、图2出现三角形，对
应直线数；关注到圆、弧线，如图1出现圆、图3出现弧线，对应曲线数和曲直
性，但曲直性选不了答案，优先数曲线，因为真题中考查曲线更多。题干图形曲
线数依次为1、2、3、4，故“？”处有5条曲线。
A项：有1条曲线，排除。
B项：没有曲线，排除。
C项：有5条曲线，当选。
D项：曲线过多，排除。
本题很严谨，直线数也有规律，题干图形直线数依次为12、11、10、9，故
“？”有8条直线，对应C项。不要一起数直线和曲线数，否则分开学习的直线、
曲线图形特征就白学了。
答疑：“S”是整体平滑的，没有明显折点，有1条曲线。【选C】
【注意】
1.图形特征：圆、弧、单一曲线——优先数曲线。
2.一道题同时满足直线和曲线的图形特征，优先看曲线，因为考查更多。
【例2】（2022联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
15【解析】2.本题难度大，正确率较低，2022 年联考考查后，2024 年国考中
有所涉及。图形分成黑白两部分，考虑分开看。第一组图，虽然黑色阴影图形不
常见，但白色图形均为多边形，对应直线数，分开数黑、白色图形的直线数。
第一组图，黑色图形直线数依次为6、4、3，白色图形直线数依次为5、4、
4，分开看无规律，考虑两部分数字之间加减乘除的运算，严谨一点可以都做减
法，第一组图，黑-白的差依次为1、0、-1，为递减的等差数列；第二组图，黑
色图形直线数依次为7、5，白色图形直线数依次为6、5，黑-白的差依次为1、
0，故“？”处黑-白=-1，即白色图形的边数比黑色图形边数多1条。
A 项：黑色图形边数为 6，白色图形边数为 7，白色图形的边数比黑色图形
边数多1条，当选。
B 项：黑色图形边数为 7，白色图形边数为 6，黑色图形的边数比白色图形
的边数多1，排除。
C项：黑、白色图形边数均为4，二者相等，排除。
D 项：黑色图形边数为 3，白色图形边数为 5，白色图形的边数比黑色图形
边数多2条，排除。
答疑：
（1）有同学考虑把黑色图形边数和白色图形边数分别相加后均为13，但不
建议这样做，能不相加就不相加，要考虑图形内部之间的运算。
（2）有很多同学问其他考点行不行，但这样就失去了学特征图考点的意义，
遇到多边形，优先考虑数直线数，即便是黑色图形，也看成多边形，看直线的边
数。【选A】
【注意】
161.出现黑白两部分——黑白分开看。
2.图形特征：多边形—优先数直线。
3.2023年北京考查了运算的题目，运算的结果是 1、0、-1，为递减的等差
数列，需要积累。
线的特殊考点：笔画数
1.什么是一笔画？在不能重复的情况下，能够一笔画成
下面这幅图由四个相互重叠的圆图构成，如果每条边都只能经过一次，你能
一笔把它面出来吗？快来动笔试试吧。
图一
现在揭晓答案：这幅图可以用一笔画出来，下面这条路径就是其中一种方法
图二
2.怎么判断一笔画？
（1）线条之间连通
（2）奇点数量为0或2
（奇点：以一个点为中心，发射出奇数条线）
端点也是奇点，不要忘记数！
17图三
图四
图五
3.多笔画
笔画数=奇点数/2（奇点总数一定是偶数个）
若图形存在多部分，则每个部分的笔画数单独算，再相加
图六
【注意】线的特殊考点：笔画数。
1.如图一，描线时不能来回重复，在不能重复的情况下，图一可以一笔画成，
具体的起点和路径如图二所示。简单图可以确定，但一旦复杂图形可能找不到起
点和路径就画不出来。不要尝试自己去画，因为画的不一定对，重点是根据技巧
做题。
2.笔画数分为两类：
（1）一笔画：在不能重复的情况下，能够一笔画成。
（2）多笔画：一笔不行，需要画2-3笔的图形。
3.怎么判断一笔画：
（1）线条之间连通（最基础条件），不能断开。
（2）奇点数量为 0 或 2。奇点本质是点，从该点出发，以该点为中心，想
象自己站在这个点上，360°观察，看该点最终发射的线数，如发射1、3、5、7、
189等奇数条线，则为奇点。
4.练习：
（1）图三：
①图1不是奇点，因为站在该点上发射出2条线，2是偶数，不是奇数。
②图2是奇点，因为从该点出发，360°观察，发射出3条线，3是奇数。
③奇点的定义没有要求发射的线是曲线还是直线，有同学认为图三的图 3
的点不是奇点是因为认为该点下面发射出1条线，而上面的2条线弧度一致，汇
合成为1条线，但不用思考最终线的倾斜角度是否是一致的、最终是否会合成1
条线，只需要简单无脑地站在这个点看有几条路可以走，有3条线，3是奇数，
所以图3的点是奇点。
（2）图四：所有图形包含众多的端点，因为线有到头的时候，端点只和 1
条线有关，端点只发射出1条线，1是奇数，所以端点也是奇点，数的过程中不
能落下。
①图 1有2个奇点，图2有4个奇点，图3有4个奇点。图 1是一笔画图形，
满足线条连通，且奇点数为2。
②奇点数为0的图形，如圆、三角形，三角形任一顶点发射出2条线，2是
偶数，不是奇数，所以不是奇点。
（3）图五：
①图1站在左侧的切点360°看有几条路能走，发射出4条线，不是奇点，
同理，右侧的切点发射出4条线，也不是奇点，图1有0个奇点，为一笔画图形。
②奇点的本质是点，刚开始数慢，一个个点看，找发射出 1、3、5、7条线
的点，图 2有2个奇点，右上角发射3条线，同理，右下角发射3条线；左上角
发射2条线，线条连通，为一笔画图形。
③图3有4个奇点，正中间的不是奇点，站在这个点有4条路能走，4是偶
数，不是奇数；奇点在正上方、正下方、左侧、右侧，各发射3条线，有4个奇
点。
5.多笔画：
（1）笔画数=奇点数/2。如“田”有4个奇点，4/2=2，为两笔画图形。
①如一幅图奇点的总数不可能是5个，因为5/2=2.5，不可能画着画着笔没
19油或没画完，所以奇点总数一定是偶数个（0、2、4、6、8等能被2整除的数）。
如果数出3、5、7个奇点，则一定数错了。
②如图六的图1，所有端点都是奇点，图1左上角、左下角都是端点，左侧
中间、右侧中间均发射3条线，有 4个奇点，4/2=2，为两笔画图形。
（2）不是连通图，而是断开的多部分图形，分别计算笔画数，最后再相加。
如图六的图2，外面的圆和内部的“十”字是断开的，圆可以一笔画成，为一笔
画图形；所有的端点都是奇点，“十”字有 4 个奇点，4/2=2，为两笔画图形，
所以图2为三笔画图形（外面一笔+内部两笔）。
6.答疑：
（1）若发射2条，则不是奇点，因为2是偶数。
（2）有偶点的概念，但与解题无关，记住发射出奇数条线的点是奇点即可。
◆笔画数常见特征图
1.五角星 2.“日”“田”及其变形 3.圆相切/相交 4.多端点图形
【注意】笔画数的特征图：
1.五角星：单纯的、加外框、加其他线条的五角星。五角星在轴对称中也有
所涉及，出现可以同时考虑对称性、笔画数，不需要只结合这一个图看，结合题
目中的其他图形，哪个考点更明显则优先考虑。
2.“日”“田”及其变形：
（1）“日”的本质是外框+内部1条线，可以变形为外框有曲有直、不规则，
内部线出头，如第一行图的图3-图5。
（2）“田”的本质是外框+内部2条线，可以变形为外框是五边形、圆形，
20如第二行图2-图3。“日”“田”的变形类似，均是外框+内部简单线条。
3.圆相切/相交：如第二行图4简单的两个圆相切、图5的“奥迪”标志（相
交），“奥迪”的线条连通，奇点数是 0，为一笔画图形。圆相切/相交不是非
要出现圆，把“奥迪”换成 4个正方形相交（“方迪”），没有奇点，圆相切/
相交的本质是满足多个封闭图形相切/相交即可，不一定是圆、椭圆。
4.多端点图形：所有端点都是奇点，如第三行，图形均出现出头端点，考虑
笔画数。
【例3】（2023四川）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自
的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥ B.①②⑤，③④⑥
C.①②⑥，③④⑤ D.①④⑥，②③⑤
【解析】3.图①⑤有端点，图⑥是外框+内部 1条线的“日”字变形图，图
③是外框+内部2条线的“田”字变形图，考虑笔画数。图①明显可以一笔画成，
若数奇点，先数端点，因为容易忘，图①有2个奇点，线条连通，为一笔画图形；
图②有4个奇点，均发射3条线，4/2=2，为两笔画图形；图③为“田”字，4/2=2，
为两笔画图形；图④有2个奇点，线条连通，为一笔画图形；图⑤先数端点，有
4 个奇点，4/2=2，为两笔画图形；图⑥是“日”字，有 2 个奇点，为一笔画图
形。
因此，图①④⑥为一组，均为一笔画图形；图②③⑤为一组，均为两笔画图
形，对应D项。
答疑：
（1）图②可以理解为“田”字变形图，本质是外框+内部简单线条。
21（2）一组是一笔画图形，一组是多笔画图形，这样的分组规律不严谨，不
优先考虑，但真题中出现过这种说法。【选D】
【注意】多端点、日、田字变形—笔画数。
【例4】（2023国考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自
的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③⑥，②④⑤ B.①④⑤，②③⑥
C.①②⑥，③④⑤ D.①③④，②⑤⑥
【解析】4.本题很难，是近三年笔画数特征的趋势、变化。看到图形优先考
虑面数量，因为封闭面、“窟窿”过多，但面数量没规律，题干图形面数量依次
为 7、5、5、4，面的细化也无规律（三角形面无规律、没有一模一样面、没有
最大/最小面），考虑笔画数。讲义中的前四道题都考查面，一般面的特征图都
会给到一个相对规则的外框，如三角形、四边形、五边形，内部分割很多面，而
本题的大部分图形没有相对简单、规整的外框，这就是面和笔画数的区别。
如“方迪”是圆相交、相切的本质，现在笔画数的变形为多个封闭面、“窟
窿”杂乱无章地罗列。本题难在考点的识别。图①有2个奇点，线条连通，为一
22笔画；图②有2个奇点，为一笔画；图③有4 个奇点，4/2=2，为两笔画图形；
图④有4个奇点，4/2=2，为两笔画图形；图⑤有4个奇点，4/2=2，为两笔画图
形；图⑥有2个奇点，线条连通，为一笔画图形。
因此，图①②⑥为一组，均为一笔画图形；图③④⑤为一组，均为两笔画图
形，对应C项。
答疑：直接比较奇点数也是可以的，但其原理仍是比较笔画数。只要把奇点
的概念弄清楚，最终判定的是数个数的问题。【选C】
【注意】
1.封闭面明显，但面数量没规律，图形凌乱—优先笔画数。
2.笔画数和面数量特征图区别：外框相对规整、简单，如三角形、四边形、
五边形、六边形等，内部被分割，优先考虑面；整体图形相对凌乱，甚至有些图
形没有外框，更多的是多个封闭区域、杂乱无章的“窟窿”堆叠在一起，考虑笔
画数。
线数量小结
1.线数量考点：
直线、曲线、笔画数
2.什么时候数线
（1）直线数特征图：多边形、单一直线
（2）曲线数特征图：曲线图形（单一曲线、圆、弧）
3.笔画数
（1）笔画数特征图：多端点、圆相切/相交、日、田、五角星
23（2）奇点：以一个点为中心，发射出奇数条线的点
（3）一笔画条件：连通图+奇点数为0或2
（4）多笔画公式：奇点数÷2
【注意】线数量小结：
1.线数量考点：相对简单的是直线和曲线，很少混在一起考查：特殊的考点
是笔画数。
2.什么时候数线：
（1）出现多边形，单一直线，考虑直线。
（2）出现圆、弧、单一曲线，考虑曲直性；曲直性选不出答案，则考虑曲
线数。
（3）同时满足曲直线特征图，优先考虑曲线，考查较多。
3.笔画数。
（1）笔画数特征图：记住图形特征，特别是多端点，圆相切/相交、“日”
“田”字考查较多，五角星偶尔出现。
（2）奇点：从一个点出发，360°观察，发射出奇数条线的点为奇点。
（3）一笔画条件：线条连通，奇点数为 0 或 2，为一笔画图形。连通是指
互相连通在一起，与之对应的是断开，如两个分开的圆中间加一条线，让这两个
圆连在一起，则为连通图。
（4）奇点的总数不会出现奇数，一定是 4、6、8等偶数，多笔画公式为总
数÷2=笔画数。
4.答疑：“方迪”没有奇点，有的点发射出2条线，有的点发射出4条线。
◆考点三：点数量
1.什么是点？线与线的交点（端点不是交点）
图一
注：切点也属于交点
24图二
【注意】考点三：点数量。
1.什么是点：线与线的交点，必须有相交关系才行，笔画数涉及的端点在数
点数量时不用数，如图一，每条线的端点都没有相交关系，端点不是交点。
2.切点是交点：如图二，该点是线与线相交形成的共同的部分，恰好过而不
穿，既属于圆也属于直线的点。
2.什么时候数点？
点数量特征图：
（1）线条交叉明显（俗称“大树杈”）
图一
（2）多边形或圆中叉出一些线条
图二
（3）圆相切或圆相交较多
图三
【注意】点数量特征图：
1.线条交叉明显：本身定义就是交叉，如图一，出现“大树杈”、乱糟糟的
一些线，可以数交点。
2.多边形或圆中叉出一些线条：如图二，出现三角形、圆叉出一些线条，可
25以数交点。
3.切点是特殊的交点，圆相切或圆相交较多，可以数交点。
4.“大树杈”、多边形或圆中叉出一些线条都是多端点图形，圆相切或圆相
交较多也是笔画数的特征图，所以点数量和笔画数的图形特征相似，不用区分，
当做是一组“CP”，捆绑在一起看，哪个明显优先看哪个，没规律再尝试第二个
考点即可。
【例1】（2020山东）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】1.题干很多图形满足笔画数要求，第一组图，图2、图3有多端点，
第二组图，图1有多端点，考虑笔画数。
第一组图笔画数均为一笔画，第二组图，图1有4个奇点（不要忘记数端点），
为两笔画图形，图2为一笔画图形，但笔画数无规律；从另外一个角度看，图形
满足线条交叉，第一组的图2、第二组的图 1均为多边形叉出一些线条，考虑交
点数，第一组图交点数依次为3、5、7，公差是2的等差数列；第二组图交点数
依次为3、5，故“？”处交点数为 7。
A项：有5个交点，排除。
B项：有10个交点，排除。
C项：有7个交点，当选。
D项：有6个交点，排除。【选C】
【注意】多边形中叉出一些线条—笔画数/交点。
26点的细化考法
大部分图都有圆或椭圆，可优先考虑点的细化
①切点：相切图形多，切点明显
图一
②框上/框内交点：所有图形都有外框，且内部线条与外框存在相交的情况
图二
【注意】点的细化考法：除了整体数交点之外，往难出题可能会根据交点的
不同性质设计一些细化考法，方法精讲阶段重点学习切点以及框上/框内交点。
1.切点：切点本身是特殊的交点，绝大部分甚至所有图均满足相切关系，说
明出题人在刻意构造切点，在这种情况下，不用像面数量一样，先整体数面，再
考虑面的细化考法，相切明显时，可以直接考虑细化考法，数切点的数量。如图
一，每幅图均有圆/椭圆与多边形或者曲线相切，在图形推理中，既可以是曲线
和曲线相切，也可以是直线和曲线相切，图①②④为一组，每幅图均有1个切点；
图③⑤⑥为一组，每幅图均有2 个切点。
2.框上/框内交点：
（1）顾名思义，按照不同位置/区域划分交点，每幅图均有外框，且线条之
间存在交叉的情况，优先考虑数框上/框内交点，框上、框内是不同的位置，所
以必须分开数，不能混为一谈，需利用分开看的思维。绝大部分真题均喜欢用圆
作为外框，因为用多边形作为外框有歧义，多边形外框自身的顶点是否算框上交
点不好界定，有的题算上才有答案，有的题不算才有答案，这种题目会更难，所
以绝大部分题目均会用圆作为外框。
（2）如图二，每幅图均有圆，圆可以理解为外框，因为圆的内部均包含了
一些线条，框上交点指在圆上产生的交点，图1有2个框上交点；图2有4个框
上交点。框内交点指在圆内产生的交点，图1内部的2根线条平行，不存在相交，
27所以有0个框内交点，每幅图的框内交点数量依次为0、1、2、3、4，则“？”
处应选有5个框内交点的选项。需记住特征，每幅图均有外框，以圆作为外框居
多，且存在相交关系，可以考虑数框上、框内交点，谁简单就先数谁。
3.上述两道题有一个共同特征，即大部分图均存在圆或者椭圆，所以出现圆、
椭圆时，可以优先考虑点的细化考法（切点、框上/框内交点），若相切明显（相
切关系多），则优先看切点；若不存在相切，圆/椭圆的内部均包含一些线条，
可以作为外框，则优先看框上/框内交点。
【例2】（2021国考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【解析】2.每幅图均有圆（大小不一），优先考虑数切点、框上/框内交点。
所有圆均与直线存在相切，相切明显，优先考虑数切点。每幅图均有1个切点，
则“？”处应选有1个切点的选项。
A项：圆和直线为普通的相交，排除。
B项：圆和直线为普通的相交，排除。
C项：存在相切，有1个切点，当选。
D项：存在相切，有2个切点，排除。
答疑：考查线数量没有必要每幅图均画圆/椭圆，给出弧线、波浪线也能考
查线数量，所以每幅图均有圆时，优先考虑数切点、框上/框内交点。【选C】
【注意】每幅图均有圆——切点、框上/框内交点。
【例3】（2023事业单位）根据所给图形的既有规律，选出一个最合理的答
28案。
【解析】3.每幅图均有圆，且不存在相切，可以将圆理解为外框，圆内存在
线条交叉，优先考虑分开数框上、框内交点。
第一组图，图1的框内很复杂，而图2只有1个框内交点，框内交点无规律，
可以数框上交点，圆上产生的交点即为框上交点，每幅图的框上交点数量依次为
2、3、4；第二组图的框上交点数量依次为5、6、？，则“？”处应选有7个框
上交点的选项。
A项：框上交点的数量太多了，远超过7个，排除。
B项：有4个框上交点，排除。
C项：有7个框上交点，保留。
D项：框上交点的数量太多了，远超过7个，排除。【选C】
【注意】每幅图均有圆——切点、框上/框内交点。
点数量小结
1.什么是点：
线与线的交点
2.点数量特征图：（一般有笔画特征）
线条交叉明显
多边形或圆中叉出一些线条
圆相切或圆相交较多
3.点数量细化考法：
切点：绝大部分图形均出现相切
29框上/框内交点：“圆”外框+线条交叉
【注意】点数量小结：
1.什么是点：线与线相交所产生的交点。
2.点数量特征图：点数量和笔画数的特征很相似，二者可以捆绑。
（1）线条交叉明显（俗称“大树杈”）。
（2）多边形或圆中叉出一些线条。
（3）存在一些相切、相交。
3.点的细化考法：与面的细化考法有区分，对于面数量来讲，先整体数面，
选不出答案，再考虑面的细化考法，但点数量不用先整体数交点，选不出答案，
再考虑细化考法，点数量的细化考法的特征、共性会更明显，一旦满足哪个细化
考法的特征就可以优先考虑细化考法，把握好切点、框上/框内交点的共同特征，
绝大部分图均有圆或者椭圆时，优先考虑数切点、框上/框内交点，若相切明显
则优先数切点，若不存在相切，圆/椭圆可以理解为外框，则优先分开数框上、
框内交点。
考点四：素数量
1.什么是素？ 独立小图形
图一
2.出现小元素，做题思路？
（1）优先考虑元素种类和个数
图二 图三
颜色不同，一般为两种
大小不同，一般为一种
（2）找相同元素
30【注意】素数量（比较简单）：
1.什么是素：独立的小图形，如“○、☾、♥ 、星星”等。
2.图形特征：根据含义来看，出现众多独立的小图形时，可以考虑素数量。
3.考法：
（1）基础考法：元素（小图形）的个数和种类。
①个数（比较好理解）：有几个算几个。
②种类：长得一样的算一种，不一样的算两种。
a.如图一，图1中2个四角星长得一样算一种元素；图2中2个“○”长得
一样算一种元素、“♥ ”为一种元素，共有两种元素；图3中2个“◆”长得一
样算一种元素、“☆”为一种元素、“☾”为一种元素，共有三种元素。
b.形状、大小相同但颜色不同算两种元素（如图二，2个菱形一黑一白为2
种不同的元素）；形状、颜色相同但大小不同一般算一种（如图三，2个圆一大
一小算一种元素）。
（2）找相同元素：根据元素的个数和种类选不出唯一答案，可以相邻比较，
找有没有相同元素（相邻的图之间有哪些元素在重复出现）。
【例1】（2023事业单位）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】1.出现多个独立的小图形，定位到素数量，优先考虑元素的个数和
种类，每幅图均有 4个、4 种元素（4 个元素长得各不相同），则“？”处应选
有4个、4种元素的选项。
C项：2个“♡ ”长得一样算一种元素，只有3种元素，排除。
31A、B、D项；有4个、4种元素，均保留。
根据元素的个数和种类选不出唯一答案，可以相邻比较，找相同元素。题干
中的每幅图均有1个相同元素“♡ ”，则“？”处应选有“♡ ”的选项，只有B
项符合，选择B项。【选B】
【注意】出现独立小元素——元素的种类和个数。
素的特殊考点：部分数
1.什么是部分数？ 连在一起就是一部分
2.什么时候考虑部分数？ 生活化、粗线条图形
【注意】素数量的特殊考法：部分数。
1.什么是部分数：几堆、几块的问题，线条连通即为一部分，分开的两堆即
为两部分，需关注黑色线条、黑色图案有没有连通。
2.面数量看的是白色的封闭区域，部分数看的是黑色线条、黑色图案，连通
的为一部分，不连通的要分开数。如上图，图1的黑色线条全部连通为一部分；
图2上方的“机翼”和“机身”是断开的，为两部分。
3.特征图：生活化、粗线条图形。后面会针对这种特征作区分。
【例2】（2022江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
32【解析】2.图1为“台式风扇/台式小太阳”，图2为“领结”，图3为“信
封”，C 项中有黑色粗线条，出现生活化、黑色粗线条图形时，可以考虑开闭性，
图1为全封闭（外轮廓可以将整个图包裹在内）；图2为半开半闭（既有封闭区
域又有插出来的线条）；图3为全封闭；图4为全封闭（外轮廓可以将整个图包
裹在内），开闭性无规律；也可以考虑数面，每幅图的面数量依次为2、5、3……，
面数量无规律。还可以考虑部分数，前四幅图明显均为两部分，图5左上角的“L”
为一部分，剩余的线条互相连通（类似于“迷宫”）为一部分，整体为两部分，
则“？”处应选为两部分的选项。
A项：上、中、下各为一部分，整体为三部分，排除。
B项：为两部分，当选。
C项：3根粗线条各为一部分，外框为一部分，整体为四部分，排除。
D项：线条之间互相连通为一部分，排除。
答疑：图2中的“领结”是独立的，与其他线条不连通，为一部分，剩余的
线条连通为一部分，整体为两部分。图1中间的“米”字为一部分，剩余的线条
连通为一部分，整体为两部分。【选B】
【注意】生活化、粗线条——部分数。
生活化、粗线条图形常见考法总结：
1.属性（对称、开闭）
图一
2.面（内部留白较多）
33图二
3.部分数（零散分布）
图三
【注意】生活化、粗线条图形常见考法总结：
1.属性：这种特征，除了开闭性之外，若图形规整，满足“等腰”或者中心
对称的特征，也可以看对称性，只不过相对来讲考得不多而已。如图一，图②③
⑥存在开口，图①④⑤为一组，每幅图均为全封闭；图②③⑥为一组，每幅图均
为全开放（没有封闭区域），根据开闭性分为两组。图①也可以考查对称性，因
为图①本身就是对称的。遇到这种特征，可以优先尝试属性规律（对称、开闭），
因为相对比较简单，不用数数，属性无规律时，可以重点关注面数量、部分数。
2.面数量：面的本质为白色的封闭区域，所以考查面数量得有“窟窿”才行，
内部留白比较多，可以优先考虑数面。如图二，图2为“闹钟”，图4为“羽毛
球”，“窟窿”比较多，数面的特征明显，可以优先考虑数面，每幅图的面数量
依次为3、4、5、6，则“？”处应选有 7个面的选项。
3.部分数：留白、“窟窿”不多，分堆明显，零散分布时，可以优先考虑数
部分数。如图三，分堆明显，图 1的三角和“U”分为两堆，图2上下分为两堆，
图3内外分为两堆，优先考虑数部分数，每幅图均为两部分，则“？”处应选为
两部分的选项。根据不同的特征决定是优先看部分数还是面数量。
4.梳理：出现这种特征，优先考虑数量规律（开闭、对称），无规律，若留
白多则先看面数量，若分堆更明显、更零散则先看部分数。
5.答疑：如图一，图③有小开口，并不是封闭的。
34【注意】数量规律特征图汇总：上述整理了面、线、点、素各自对应的不同
的特征图，必须将每种考点以及相应的特征图背熟，做题时快速识别考点不是靠
对哪个考点印象深刻就优先试错，而是要根据图形特征匹配考点，所以必须记住
每种考点的特征图，如分割明显、有留白时，可以考虑面数量；出现单一直线时，
可以考虑直线数量；相切比较多时，可以考虑数切点；出现多个独立的小图形时，
可以考虑数元素的个数和种类，课后需频繁记忆，将不同考点的图形特征区分开，
自然而然就可以提升做题速度。
第五节 空间重构
1.如果靠想象力：注意折叠方向
左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由它折叠而成？
2.如果靠技巧：所有的方法都是排除错误选项的
35【注意】空间重构（本节课的第二个重难点）：六面体问题，看起来比较难，
但技巧性很强，学过之后，这种题目考得越多越好，最起码可以知道做没做对。
1.若空间想象能力很好，可以保证百分之百的正确率，则可以用空间想象能
力解题，但需注意折叠方向，所有真题中给出的均是外表面展开图，所以需将图
案露在外面，如上图，左图的折叠方向是正确的（图案露在外面），右图中图案
折在里面看不到，已经变成了内表面。
2.所有的技巧均是用来排除错误选项的，将三个错误选项均排除掉，剩下的
选项即为正确答案，不用纠结正确选项是如何折叠的，只需知道错误选项为什么
错即可。
3.答疑：
（1）考场上不要损坏试卷和草稿纸，可能会按作弊处理。
（2）不建议画橡皮，因为有些题目画橡皮反而会浪费时间，且有些变形题
目可能需要四块橡皮，或者将橡皮分割成不规则的形状才能解决，所以不要依托
画橡皮，需根据技巧做题。
方法一：相对面
图一
图二
原理：两个相对面能且只能看到一个面
应用：一组相对面同时出现的选项——排除
展开图中如何判断相对面：
361.同行或同列相隔一个面
图三
2.Z字形两端——紧邻Z字中线的面
图四 图五
【注意】相对面：
1.六面体有六个面，顾名思义，两个面相对、不挨着即为相对面。
2.如图一，以左侧的透视图为例，一前一后的面A和面F为相对面，一左一
右的面B和面D为相对面；一上一下的面 E和面C为相对面，六面体的六个面中
共有三组相对面，但考试中不会给出透视图，给出立体图一般只能看到三个面（正
面、右侧面、顶面），能看到正面就看不到后面，能看到右侧面就看不到左侧面，
能看到顶面就看不到底面，所以一组相对面在立体图中能且只能看到其中一个
面，可以利用这个原理，排除明显错误的选项。如图二，已知面A和面F为一组
相对面，一组相对面在立体图中能且只能看到其中一个面，而图2中同时出现了
面A和面F，所以该立体图是错的。
3.应用：若一组相对面在选项的立体图中同时出现则可以直接排除。
4.展开图中判断相对面：
（1）同行或同列相隔一个面：同行/列间隔一个面的两个面为一组相对面。
如图三，两个红面同行间隔一个白面为一组相对面；两个白面同列间隔一个蓝面
为一组相对面；两个蓝面同列间隔一个白面为一组相对面，假设最上方的白面不
动，左右两侧的红面均往里折，即为一左一右相对的关系。
（2）“Z”字形两端（紧邻“Z”字中线）：如图四，图 1 中面1 和面3 同
37列间隔一个面为一组相对面；面2和面4同列间隔一个面为一组相对面，六面体
共有三组相对面，则剩下的面5和面6也为一组相对面，结合这两个面的位置关
系可以发现，这两个面可以用线条连接成“Z”字，图1、图2、图3中的两个蓝
面均位于“Z”字形两端为一组相对面，无论是正着的、倒着的、躺着的“Z”均
可。如图五，面 b到面 f构成“L”，而不是“Z”，面d 和面b 位于“Z”字形
两端且紧邻“Z”字中线为一组相对面，面b和面c虽然位于“Z”字形两端，但
面c没有紧邻“Z”字中线，所以面b和面c不是相对面，“Z”字由3根直线构
成，中间夹着的线条即为“Z”字中线，必须保证两个面处于“Z”字形两端且紧
邻“Z”字中线才是一组相对面，其中一端往外延长、不挨着“Z”字中线是不行
的。面c和面e同行间隔一个面为一组相对面，面a和面f同列间隔一个面为一
组相对面。
【例1】（2022天津）左边给定的是纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠
而成？
【解析】1.为了方便讲解将展开图中的六个面标号1-6，实际做题时标不标
号均可，只要能区分开就行。不用先将三组相对面找到，因为并不确定有没有在
相对面上设置考点，所以要以选项为主，先观察选项，选项中给出三个面，先在
展开图中定位到这些面，再在展开图中确定这些面之间的关系，若关系正确则先
保留，若关系错误则直接排除。这道题的展开图较难，因为存在“双胞胎”面，
图2和面6长得一样。
A项：正面和右侧面为面2、面6，先不用纠结谁是面2、谁是面6，顶面为
面4（独一无二的），展开图中面 2和面4同行间隔一个面为一组相对面，一组
相对面在立体图中能且只能看到其中一个面，而此项中同时出现一组相对面，排
除。
B项：正面为面 3，正面的黑色梯形与顶面的黑三角构成了大的黑三角，展
38开图中面2的黑三角和面3的黑梯形构成了大的黑三角，所以顶面应该为面2，
右侧面为面5，不存在相对面，保留。
C项：正面为面4，顶面为面5，右侧面为面2或者面6，展开图中面2和面
4 同行间隔一个面为一组相对面，所以右侧面不能是面 2；展开图中面 6 和面 5
位于“Z”字形两端且紧邻“Z”字中线为一组相对面，所以右侧面也不能是面6，
两种可能性均是错的，排除。
D项：与C项的构成一样，正面为面 5，顶面为面2或者面6，右侧面为面4，
展开图中面2和面4、面5和面 6各为一组相对面，所以顶面既不能是面2也不
能是面6，排除。
利用排除法，排除A、C、D 项，不用管B项是怎么折叠的，选择B项。
答疑：看到B项不能直接选择，利用排除思维解题，找到错误的选项排除掉，
而不是直接找正确选项。【选B】
【注意】
1.定位面→找关系→做排除。
2.应用：一组相对面同时出现的选项——排除。
3.仅靠相对面解题基本不太可能，一般的难题只能用相对面排除1-2个选项，
剩下的选项需通过其他技巧做排除。
方法二：相邻面——公共边
如何确定公共边：
1.平面图中直接相邻的两个面的公共边
2.平面图中构成直角的两个边是同一条边
39图一 图二
3.一行/列4个面，两头的两条边是同一条边
图三 图四
【注意】公共边：
1.在六面体中，除了相对面就是相邻面，两个面相邻就会存在共同使用的部
分，两个面共同使用/拥有的边为公共边。
2.展开图中判断公共边：
（1）展开图中两个相邻面直接挨着的边为公共边（最简单）。如图一，图
1中面A的下边和面B的上边直接挨着为公共边；面B的右边和面C的左边直接
挨着为公共边。
（2）展开图中构成直角的两条边为同一条边。如图一，图 1 中面 A 和面 C
并没有直接相邻，但面A的右边和面 C的上边构成直角为公共边，折叠之后会重
合，折叠过程如图2所示（两条边会逐渐靠拢）。如图二，两条蓝边构成直角为
公共边；两条红边构成直角为公共边；两条绿边构成直角为公共边，只需记住展
开图中构成直角的两条边为公共边，不考虑各自往外延伸。
（3）展开图中一行/列四个面，两头的两条边为同一条边。如图三，面 A、
面B、面 F、面 D在一行四个面上，两头的两条边为同一条边，即面 A 的左边和
面D的右边为同一条边，面B不动，将左侧的面A以及右侧的面F、面D均往里
折，这四个面会围成六面体侧面的一圈，面C为六面体的顶，面E为六面体的底，
所以面A的左边和面D的右边折叠之后会重合为同一条边。若认为不好观察，则
可以适当移面，可以将面 A 原封不动地平移到面 D 的右侧，因为平移之前面 A
的左边和面D的右边为同一条边，移面之后依旧如此，所以在这种情况下可以直
40接移面，距离越近越好观察面之间的相对关系。
（4）答疑：如图三，面 C 的上边和面 E 的下边不是同一条边，只有一排四
个面（可以是一行四个面，如图三；也可以是一列四个面，如图四），两头的两
条边才是同一条边，一排三个面、两个面均不行。
3.梳理：
（1）一组相对面在选项的立体图中同时出现可以直接排除。
（2）若两个面不是相对的关系，而是相邻的关系，则可以利用上述三种方
法找到两个面之间的公共边。
【例2】（2022国考）左图是给定纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠而
成？
【解析】2.为了方便讲解将展开图中的六个面标号1-6，先依次定位选项中
的面。
A项：正面为面3，顶面为面6，右侧面为面2，不存在相对面，两两看公共
边，面 2 和面 3、面 3 和面 6、面 2 和面 6（构成直角）的公共边均没有问题，
不能直接选择此项，利用排除思维解题，保留。
B项：正面为面1，顶面为面4，右侧面为面5，不存在相对面，展开图中面
4和面5 距离较近，可以先看这两个面的公共边，看不出问题，除此之外，还可
以看面 1和面4的公共边，展开图中一行四个面（面1、面2、面3、面4），两
头的两条边为公共边，所以面1的左边和面4的右边为同一条边，可能会认为这
两个面的公共边没有问题，题干和此项中均是面 4内部的黑块挨着公共边、面1
内部的白块不挨着公共边，但需仔细观察黑块和白块的相对位置，若不好观察则
可以移面，将面1直接平移到面4的右侧，面4的黑块与面1的白块处于公共边
的对角（错位），而此项中面4的黑块与面1的白块处于公共边的同侧，而不是
41对角位置，面1和面5距离过远，没学看这两个面的技巧，所以不看这两个面，
排除。
C项：正面为面1，顶面为面6，右侧面为面4。可以看面4和面6的公共边，
展开图中构成直角的两条边为公共边，但看不出问题，除此之外，还可以看面1
和面4的公共边，此项错得比B 项明显，展开图中面4内部的黑块挨着公共边、
面1内部的白块不挨着公共边，而此项中面1内部的白块挨着公共边、面4内部
的黑块不挨着公共边，对应不一致，排除。
D项：正面为面6，顶面为面2，右侧面为面3，不存在相对面，可以看公共
边，先看面2和面3的公共边，展开图中面3内部的白块挨着公共边、面2内部
的黑块不挨着公共边，而此项中面3内部的白块、面2内部的黑块均不挨着公共
边；还可以看面3和面6的公共边，展开图中面3内部的白块不挨着公共边，而
此项中面3内部的白块挨着公共边，对应不一致，排除。
利用排除思维，排除B、C、D项，选择A项，这种题目不用空间想象能力、
画橡皮，用技巧即可解决。
答疑：所有的技巧均是用来排除错误选项的，无法判断某个选项一定正确，
A项的公共边看不出问题不代表一定正确，利用排除法解题。【选A】
方法二：相邻面——公共点
如何确定公共点：
相邻三个面的公共点是唯一的
原理：折叠前后相邻关系（公共点引出的线/形状/颜色）保持不变
42【注意】公共点：
1.公共边是用来确定两个相邻面之间的关系的，同时看三个相邻面之间的关
系需用到公共点。
2.相邻三个面的公共点是唯一的，若换一种三个面的组合则公共点也会换。
3.如上图，先定位立体图中的面，正面为黑三角面、顶面为“T”字面、右
侧面为对角线面，这三个面在展开图中紧挨着构成小“L”型，尝试看这三个面
的公共点，公共点指这三个面共同拥有的顶点，“L”的直角处为这三个面共同
使用/拥有的顶点，选项中标红的点为这三个面的公共点，需注意所有的细节，
观察公共点在面的内部引出了几根线条、挨着什么形状以及颜色，一旦选项与题
干的公共点对应不一致就是错的，但与题干公共点对应一致的选项不代表一定对
/一定是答案，只能说明该项的公共点看不出问题，所有的技巧均是用来排除错
误选项的，不是用来选择正确选项的。展开图中这三个面的公共点挨着黑三角面
的黑色直角，而此项中这三个面的公共点挨着黑三角面的白色直角，公共点对应
不一致，立体图错误。
4.梳理：先定位选项中的三个面，若选项中同时出现一组相对则直接排除。
若选项中的三个面在展开图中紧挨着构成小“L”型，同时看三个面之间的关系
可以利用公共点，比对选项与展开图是否一致；若其中一个面在展开图中距离较
远，只能两两观察，看两个相邻面之间的关系可以利用公共边，比对选项与展开
图是否一致，若一致则保留，不能直接选择，若不一致则直接排除，将三个错误
选项排除掉，剩下谁就选择谁。
【例3】（2022江苏）左边给定的是多面体的外表面，右边哪一项能由它折
叠而成？请把它找出来。
【解析】3.为了方便讲解将展开图中的六个面标号1-6，先依次定位选项中
的面。
43A项：正面为面5，顶面为面 1，右侧面为面3（白圆大、黑圆小）。这三个
面在展开图中并没有紧挨着，可以两两看公共边，展开图中面 1 的下边和面 3
的左边构成直角为公共边，面3的下边和面5的左边构成直角为公共边，看不出
问题，但不能直接选择，保留。
B项：正面为面6（黑圆大、白圆小），右侧面为面2，顶面为面1。展开图
中面6距离较远，可以先看面1 和面2的公共边，看不出问题，无法看面1和面
6、面2和面6的公共边，但面6具有指向性/方向性，从黑圆向白圆画箭头，可
以理解为箭头朝上的指向，展开图中面 6的白圆指向面4（构成直角的两条边为
公共边），而此项中面6的白圆指向面2，对应不一致，相邻面存在问题，排除。
C项：右侧面为面6，与B项同理，依旧可以看面6的指向性，展开图中面
6的白圆指向面4，而此项中面6的白圆指向面2，对应不一致，排除。
D项：正面为面2，顶面为面 1，右侧面为面3（白圆大、黑圆小）。这三个
面在展开图中紧挨着，可以先看公共点，展开图中这三个面的公共点挨着面 1
的灰三角的锐角，而此项中这三个面的公共点没有挨着面1的灰三角，对应不一
致，排除。
利用排除法解题，排除B、C、D项，选择A项。
答疑：面 2 和面6不是相对面，面 2和面 5才是位于“Z”字形两端且紧邻
“Z”字中线的相对面。【选A】
考点二：相邻面——画边法
方法：
①结合选项，找一个特殊面的唯一点或唯一边作为起点
②顺/逆时针方向描边标号（描同一个面）
③题干与选项对应面不一致——排除
【注意】画边法：前面学习的技巧可以解决 80%的题目，剩下 20%的题目利
用相对面、公共点、公共边无法将三个错误选项均排除掉，可能会剩下两个选项，
44选不出唯一答案，可以用兜底的万能大法，即画边法，初学阶段可能会认为比较
麻烦、复杂，但这个方法很管用，尤其是解决难题时，画边法是最快速的方法。
方法：
①结合选项，找一个特殊面的唯一点
图一
图二
图三
②顺/逆时针方向描边标号（描同一个面）
③题干与选项对应面不一致——排除
45图四
速记口诀：三同，同一个面、同一起点、同一方向
【注意】用唯一点画边：
1.先结合选项，找一个特殊面的唯一点或者唯一边作为起点。“特殊面”指
唯一面，不存在与之长得一样的“双胞胎”面，需在这个面中找到唯一点或者唯
一边，先讲解唯一点。“唯一点”指面（正方形）的四个顶点中独一无二的顶点
（不管面内部的点），能与其他三个顶点区分开。如图一，“×”面上的四个顶
点长得一模一样，无法确定立体图中的点a对应点1、点2、点3、点4中的谁，
因为折叠之后有可能会旋转，这种面找不到唯一点，不适合画边。如图二，无法
确定立体图中的点a对应点1还是点2，因为对角线面上的点1和点2长得一样，
区分不开。如图三，可以确定立体图中的点a对应点1，因为只有这个顶点引出
了一条1/2的对角线，所以点1是区分于另外三个顶点的独一无二的顶点，这种
顶点即为唯一点，点4也是唯一点，因为只有该顶点没有在面内部引出线条，在
找唯一点的过程中，谁最明显、最不容易找错就以谁作为唯一点。
2.在题干和选项的同一个特殊面上从同一个唯一点出发按顺/逆时针方向画
边标号（顺时针、逆时针均可，但题干和选项的画边方向必须保持一致，要么均
顺时针，要么均逆时针，不能一个顺时针、一个逆时针）。如图四，立体图涉及
黑块面、对角线面、空白面，黑块面和对角线面均为特殊面（独一无二的），但
只有黑块面能找到唯一点，黑块挨着的顶点是与众不同的，以该顶点作为唯一点。
在题干和选项中均标记唯一点，以顺时针画边为例，因为大部分同学均习惯用顺
时针，题干和选项均在黑块面上从黑块挨着的顶点出发按照顺时针方向描边标号
1-4，区分好顺、逆时针。
3.既然题干和选项的画边标准一样（同一个面、同一个起点、同一个方向），
则题干和选项的四条标号边的相邻面应该对应一致，若题干和选项的标号边所对
46应的面不一致则该项是错的。如图四，立体图中边3、边4对应谁看不到，但可
以看到边1、边2的相邻面，边 1挨着空白面，而展开图中边1挨着“×”面，
相邻面对应不一致，立体图错误。
4.必须遵循三同原则，即同一个面、同一起点（找好唯一点，即最明显、独
一无二的顶点）、同一方向（题干和选项的画边方向必须保持一致，要么均顺时
针，要么均逆时针）。
5.答疑：不考内表面，真题中考的均是外表面。
方法：
①结合选项，找一个特殊面的唯一点或唯一边
②顺/逆时针方向描边标号（描同一个面）
③题干与选项对应面不一致——排除
速记口诀：三同，同一个面、同一个边、同一方向
【注意】用唯一边画边：不好找到唯一点（四个顶点中独一无二的），但容
易找到唯一边（四条边中独一无二的）时，可以从唯一边出发画边标号。
1.如上图，立体图涉及黑椭圆面、对角线面、空白面，空白面无论怎么转都
长一样，对角线面也区分不开左上角和右下角的顶点，只能在黑椭圆面上画边，
但左上角和右上角的顶点不好区分，容易区分错，不好找唯一点，但可以找到唯
一边，以黑椭圆宽的一侧挨着的边（比较特殊）作为唯一边，画边法的本质就是
为了描边，所以可以将唯一边标为边1，在题干和选项的黑椭圆面上均从黑椭圆
宽的一侧挨着的边出发按照顺时针方向描边标号2-4，比对题干和选项，能看到
谁就比对谁，立体图中边1挨着空白面，而展开图中边1挨着“×”面，相邻面
对应不一致，立体图错误。
472.用唯一点、唯一边画边的逻辑是一样的，只不过一个从点出发、一个从边
出发而已。
3.画边法确实管用，但会浪费时间，毕竟需要操作（描边标号），所以尽量
不要所有题均用画边法，建议先利用相对面、公共边、公共点解题，无法排除所
有错误选项时，再用画边法解决。
【例4】（2019江苏）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？请把它找出来。
【解析】4.为了方便讲解将展开图中的六个面标号a-f。
A项：正面为面a，顶面为面 e，右侧面为面b。在展开图中这三个面不存在
相对面，面a和面b挨着，可以先看面a和面b的公共边，但看不出问题，面e
距离较远，先保留。
B项：正面为面c，顶面为面 b，右侧面为面e，在展开图中这三个面不存在
相对面，且没有紧挨着，可以两两看公共边，先看面b和面c的公共边，展开图
中这两个面的公共边挨着面 b 的小三角，而此项中这两个面的公共边挨着面 b
的大三角，公共边对应不一致，排除。
C项：正面为面a，右侧面为面d，顶面为面e，在展开图中这三个面不存在
相对面，面d和面e挨着，可以先看这两个面的公共边，但看不出问题，除此之
外，还可以看面a和面d的公共边，展开图中，一排四个面，两头的两条边为公
共边，所以面a的左边和面d的右边为公共边，简单的不用移面，这两个面的公
共边挨着面a的半白半阴影，而此项中这两个面的公共边挨着面a的全白矩形，
公共边对应不一致，排除。
D项：正面为面c，顶面为面f，右侧面为面b，在展开图中这三个面不存在
相对面，可以两两看公共边，但面 b和面c、面b和面f的公共边均看不出问题，
48保留。
通过公共边只能排除B、C项，剩下A、D项，选不出唯一答案，走投无路可
以利用画边法。有的同学不用画边也能发现A项的问题，展开图中，一行四个面，
两头的两条边为公共边，所以面 a 的左边和面 d 的右边为公共边，可以将面 a
直接平移到面d的右侧，此时可以看面 e和面a的关系，面a的上边和面e的右
边构成直角为公共边，这两个面的公共边挨着面 e的短横线，而此项中这两个面
的公共边没有挨着面e的短横线，对应不一致，排除A项。两个面距离远不好观
察时可以移面。就算不移面，利用画边法也能解决，因为移面容易错、乱。
A项：以面e为例画边，面e 中不好找唯一点，四个顶点中没有独一无二的，
但可以找到唯一边，以短横线挨着的边（最特殊）作为唯一边，将这条边标为边
1，在题干和选项的面 e 上均从短横线挨着的边出发顺时针画边标号 2-4，此项
中可以看到边 2、边 3 的相邻面，边 2挨着面 b，而展开图中边 2 挨着面 d（空
白面），相邻面对应不一致，排除。
利用排除法，排除A、B、C项，选择D项，不用管D项为什么正确，所有技
巧均是用来排除错误选项的。根据相对面、公共边、公共点无法排除所有错误选
项时，可以利用画边法解决。
答疑：如何找面c和面f的公共边会在强化课程中讲解，精讲课程先学最普
适的解题技巧。【选D】
六面体小结
49【注意】六面体小结：
1.相对面：
（1）展开图中同行/同列间隔一个面的两个面为一组相对面。
（2）展开图中位于“Z”字形两端且紧邻“Z”字中线的两个面为一组相对
面，必须紧邻“Z”字中线才行，不能有一端延长。
2.相邻面：
（1）公共边：判定两个相邻面之间的关系，可以看公共边。
①展开图中构成直角的两条边为公共边。
②展开图中一行/列四个面，两头的两条边为公共边。
（2）公共点：判定三个相邻面之间的关系（三个面在展开图中紧挨着），
可以看公共点。
（3）画边法：根据相对面、公共边、公共点无法排除所有错误选项时，可
以利用画边法解决。唯一点明显就从唯一点出发，唯一边明显就从唯一边出发。
◆元素组成相同——位置（平移、旋转、翻转）
◆元素组成相似——样式（加减同异、黑白运算）
50◆元素组成不同——先属性（对称、曲直、开闭）
——后数量（面、线、点、素）
◆空间类——相对面、相邻面（公共边、公共点、画边法）
【注意】梳理：
1.元素组成不同，除了属性规律之外，还可以考虑数量规律，若没有好的思
路、特征不明显、找不规律，则按照先属性、后数量的顺序依次试错，但需记住
面、线、点、素不同的图形特征，这样才能更快地找到规律。
2.空间类：需尝试使用技巧，后期多刷题，将这四种技巧贯通、运用熟练，
可以在 1分钟以内解题。
测验 1.从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一
定的规律性。
【解析】测验1.课堂正确率为85%。图形明显被分割，不用看属性规律，直
接定位面数量。每幅图均有4个面，则“？”处应选有4个面的选项。
B项：有5个面，排除。
整体数面选不出唯一答案，考虑面的细化考法，即所有面的形状（三角形面
/四边形面）、相同面（长得一模一样的面）、最大/最小面。每幅图所有面的形
状均为三角形，则“？”处应选所有面的形状均为三角形的选项。
A项：存在不规则的面，排除。
C项：存在不规则的面，排除。
D项：所有面的形状均为三角形，当选。【选D】
51测验 2.把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或
规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥ B.①④⑥，②③⑤
C.①②⑤，③④⑥ D.①②⑥，③④⑤
【解析】测验2.课堂正确率为65%。图①、图③、图⑥均有端点，图②为五
角星变形图，笔画数的特征图更明显，优先考虑数笔画，通过奇点数量判断笔画
数，数奇点时不要忘记端点。
图①有4个奇点，为两笔画；图②有2个奇点，线条连通，且符合“奇点数
量为0或2”，为一笔画；图③有 2个奇点，为一笔画；图④为两部分，各为一
笔画，整体为两笔画；图⑤明显为一笔画；图⑥为两部分（中间是断开的），每
个部分均有2个奇点（端点），均为一笔画，整体为两笔画。
因此，图①④⑥为一组；图②③⑤为一组，对应B项。
答疑：根据部分数无法分组，只有图④、图⑥为两部分，其余几幅图均为一
部分（线条均是连通的）。【选B】
测验 3.左边给定的是正方体的外表面展开图，右边哪一项能由它折叠而
成？
52【解析】测验3.课堂正确率为52%。这道题比较难，面不容易区分。为了方
便讲解将展开图中的六个面分别标号a-f。
D项：正面为面f，顶面为面 b，右侧面为面d。展开图中面b和面d同行间
隔一个面为一组相对面，排除。
C项：正面为面c，顶面为面b，右侧面为面a。展开图中面a距离较远，只
能先看面b和面c的关系，但面b和面c的公共边看不出问题，保留。
A项：正面为面b，顶面为面d，右侧面为面 e。与D项同理，展开图中面b
和面d同行间隔一个面为一组相对面，排除。
B项：正面为面e，顶面为面a，右侧面为面b。可以先看面a和面e的关系，
因为这两个面距离比较近，除此之外，还可以看面b和面e的关系，展开图中，
一行四个面，两头的两条边为同一条边，所以面b的左边和面e的右边为公共边，
这两个面的公共边没有挨着面b的灰菱形，而此项中这两个面的公共边挨着面b
的灰菱形，面b中的灰菱形竖起来才行，对应不一致，排除。
利用排除法，排除A、B、D项，选择C项。【选C】
方法精讲阶段图形推理学习建议
1.听回放——夯实理论
2.做基础题目——巩固知识点
3.复盘——总结各考点特征图、细化考法
【注意】方法精讲阶段图形推理的学习建议：
1.建议听回放，如位置规律中的平移、属性规律中的对称性、样式规律中的
加减同异等均为难点，需重复听，夯实基础。
2.强化阶段还会补充一些知识点和技巧，现阶段不用大量刷题，但可以刷一
些正确率高于70%的题目，通过这些基础题目巩固知识点。
3.结合日常刷的题目进行复盘，分析错因，若没有识别出考点则需总结该考
点的特征图；若细化考法有所遗忘则需反复背记；总结易混淆的考点（特征图比
53较类似），将易混淆的考点的题目放到一起总结，不同的特征、不同的区别对应
不同的考法。
4.老师微博置顶的网盘链接中有练习题，“图推2”对应本节课的内容，有
需要的同学可以自行下载练习。
5.下节课提前10分钟进入教室答疑。
【答案汇总】
面数量1-4：AABC
线数量1-4：CADC
点数量1-3：CCC
素数量1-2：BB
空间重构1-4：BAAD
54遇见不一样的自己
Be your better self
