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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．直线 与直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设两直线的倾斜角分别为 ，由 ，则 ，
由 ，则 ，即 ，
则两直线夹角为 .
故选：B.
2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，所以 ．
故选：A．
3．若点 在圆 （ 为常数）外，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知 ，
故 ，
又由圆的一般方程 ，
可得 ，即 ，
即 或 ，
所以实数 的范围为 .
故选：C.
4．已知两点 ，若直线 与线段 有公共点，则直线 斜率
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由直线 ，
变形可得 ，由 ，解得 ，
可得直线 恒过定点 ，
则 ，
又直线 的斜率为 ，
学科网（北京）股份有限公司若直线 与线段 有公共点，则直线 斜率的取值范围为 .故选：D.
5．已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为向量 以 为基底时的坐标为 ，
所以 ，
设 ，
由空间向量基本定理得 ，解得 ，
所以 以 为基底时的坐标为 .
故选：B
6．直线 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】易知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，
检验4个选项，知只有B选项满足题意．
故选：B.
7．在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 .若 为该三棱锥外接球上的一点，
则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体体对角线
的交点，
，A(2,0,0)， ， ， ， ，
设三棱锥外接球的半径为 ， ，则 ，
，
，
， ， ，
， ，
，
所以 ，
当 时， 取得最大值 .
故选：C
8．已知圆C： 和两点 ， ，若圆C上存在点P，使得
，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为圆C上存在点P，使得 ，
所以，以 为直径的圆与圆 有交点，
又以 为直径的圆，圆心为O(0,0)，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为2，
所以 ，即 ，即 .
故选：A
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在四棱柱 中， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
，故A错误、B正确；
，故C错误、D正确．
故选：BD．
10．以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距是1
B．直线 和 的交点为 ，且 在直线 上，则 的值是
C．设点 是直线 上的动点， 为原点，则 的最小值是√2
D．直线 ，若 ，则 或2
学科网（北京）股份有限公司【答案】BC
【详解】对于A，直线 在 轴上的截距是 ，A错误；
对于B，由 解得 ，即 ，则 ，解得 ，B正确；
对于C，依题意， ，C正确；
对于D，当 时，直线 重合，D错误.
故选：BC
11．在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1
C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【详解】对于A，圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
当圆 和圆 存在公共点时， ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ，正确；
对于B， 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦 垂直x轴时， ，所以 ，
当弦 不垂直x轴时，设弦 所在直线为 ，
与圆 联立得， ，
设 ，
则 ， ，
综上 ，恒为定值，错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D，设P(x ,y )，OP中点 ，该点也是AB中点，且 ，
0 0
又 ，所以 ，
化简得 ，所以点 的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为 的圆，
其周长为 ，正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线 的倾斜角 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 ，故 .
故答案为： .
13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.
活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记
，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 .
【答案】
【详解】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， 最小，此时， 为中点，则 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 是平面 与平面 的夹角或其补角，
因为 ， ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值是 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值是 ．
14．过直线 上任意一点 作圆 ： 的两条切线，则切点分别是 ，则 面积的最大
值为 .
【答案】 /
学科网（北京）股份有限公司【详解】
如图，设点 ，因 ,故点 在以 为直径的圆 上，
因圆心 ，半径为 ，故圆 的方程为： ，
又圆 ： ，将两式左右分别相减，整理得直线 的方程为： ，
于是，点 到直线 的距离为： ， ，
故 的面积为： ，
不妨设 则 ，且 ，故 ，
因 在 上单调递增，故 ，此时 ，
即 时，点 时， 面积的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知平面内两点 ， ．
(1)求过点 且与直线 垂直的直线 的方程．
(2)若 是以 为顶点的等腰直角三角形，求直线 的方程．
【详解】（1）由题意得 ，则直线 的斜率为 ，
所以过点 且与直线 垂直的直线 的方程为： ，
即 ．····································5分
（2） 的中点坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司由（1）可知线段 垂线的斜率为 ，所以线段 垂直平分线的方程为 ，
即 ．
因为 是以 为顶点的等腰直角三角形，
所以点 在直线 上，
故设点 为 ，
由 可得： ，
解得 或 ，·······························10分
所以点 坐标为 或 ，
则直线 的方程为 或 ．····································13分
16．（15分）如图，正四棱锥 的底面边长和高均为2，E，F分别为 ， 的中点．
(1)证明： ；
(2)若点M是线段 上的点，且 ，判断点M是否在平面 内，并证明你的结论；
【详解】（1）连接 、 交于 ，连接 ，由正四棱锥的性质可得 平面 ，底面 为
正方形，则 ，
所以以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
则 ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .····································7分
（2）由（1）知 ， ，
， ，
又 ，得 ，
，所以 ，
所以 、 、 、 四点共面，即点 在平面 内．····································15分
17．（15分）已知直线l过点 ，圆C： （C为圆心）．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
(2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线 的交点为Q，判断
是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为 ，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ．
因为直线l与圆C相切，所以 ，解得 ．
故直线l的方程为 或 ．····································6分
（2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为 ．
联立 ，解得 ，即 ．················9分
因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直，
故直线CP方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司联立 ，解得 ，即 ．··············12分
则
．
故 为定值2． ····································15分
18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中
点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
(1)证明：MN∥平面A'BE；
(2)当三棱锥 的体积为 ，且二面角 为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角
的正切值．
【详解】（1）取 的中点 ， 的中点 ，由题意知， ，
直角梯形 中 ， 四边形 为正方形，
为 的中点，
，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 不在面 内，
平面 .····································6分
（2）连接 ，则 ，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
， 面 ，
平面 ，
学科网（北京）股份有限公司， ··············8分
， ，
，∵二面角 为锐二面角， 为等边三角形，
则 ，
设 为平面 的法向量，易知 为平面 的法向量，
，令 ··································12分
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
平面 与平面 的夹角的正切值为 .····································17分
19．（17分）
某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北
偏东为 的笔直公路，其中 .摩天轮近似为一个圆，其半径为 ，圆心 到地面的距离为 ，
其最高点为 点正下方的地面 点与公路的距离为 .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，
甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为 ，过 点作 的垂线，垂直为 ， m.
因为圆的半径为35m，圆心 到地面的距离为40m，所以 m.
从甲看乙的最大俯角与 相等，由题意得 ，则 .
····································7分
（2）如图所示，设甲位于圆 上的 点处，直线 垂直于 且交圆 于 点，射线 可以看成是射
线 绕着 点按逆时针方向旋转 角度得到.
过 点正下方的地面 点向 作垂线，垂足为 .
当 取得最大值时， 即为从乙看甲的最大仰角.
题意得： ,
其中， 表示点 和点 构成的直线 的斜率，
当直线 的斜率取得最小值时， 取最大值.································11分
因为点 在单位圆 上，
所以当直线 与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点 的直线方程为： ，
由相切可得 ，解得 ，····································15分
则直线 的斜率最小值为 ，代入可得 取最大值是 .····································17分
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