文档内容
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试
数学
注意事项：
1 .满分150分，考试时间120分钟。
2 .考生作答时，请将答案答在答题卡。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在卷尊卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3 .考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
1 .复数z满足z(l-i) = |l +百i|,则]=
A. 1-i B. 1 + i C. 2-2i D. 2 + 2i
2 .已知集合 4 = {x|x2-%-2 v0} , B = {x|x>l},贝 HCrZ) D5 =
A. (1,2) B.(1,2] C.(2,+oo) D. [2,+oo)
i
3 .已知a = log52, d = cos2,。= 8一工，则* b, c的大小关系正确的是
A. b0)上一点/到准线及对称轴的距离分别是5和3,则P的值为
A. 1 或8 B. 1 或9 C. 2 或8 D. 2 或9
6 .设函数/(乃二"+如2, g(x)= "e7,若曲线歹=，(%)与丁 = 8(%)恰有一个交点，则实
数〃=
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7 .过点4(1,1)的直线/与曲线y = ln(x-l) + 2相切于点B,则|48| 二
A. 1 B. y[2 C. 2 D. 2V2
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学第1页共4页8.如图，正方形48c。的边长为1,点P、。分别在边43、40上. D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. A4BC 的内角 4尻。的对边分别为a,b,c ,且2bcosZ = acosC+ccos4 , b = 4,边BC
的中线4。=不，则下列结论正确的有
A. A=j B. AB-AC = 8
C. AXBC的面积为2g D.A43C的外接圆的面积为4冗
10.在棱长为a的正方体 4SCD-43iCQi中，点后为BL的中点，点P满足
而=4鬲+"配,4w[0,l], 则下列说法正确的是
A.若a = 〃，则。尸〃平面
B.若；1 = 2",则 CEJ_平面4BP
C.若〃=白 则存在力,使4E〃Q】P
D.若〃 =g，则存在4,使4C-L平面。尸B
11. 已知直线]:y =丘依声0）与椭圆 「+/ = 1 交于 4、 8两点，耳、玛分别为椭圆的左、右焦点,
〃、N分别为椭圆的左、右顶点，用关于直线/的对称点。在椭圆上，则
A. / 〃耳0
B.若椭圆的离心率为3,则直线MA, MB的斜率之积为一5
C.若直线30平行于％轴，则左=±百
D.若k = 2,则椭圆的离心率为诬
3
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学第2页共4页三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12 .（2r）（x+l）4的展开式中一的系数为.
13 .已知圆柱M的底面半径为3,高为6,圆锥N的底面直径和母线长相等,若圆柱“和圆锥N
的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为.
14 .某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到4、5、C三个社区进行志愿者服务，要求每个社区
都要有志愿者去，且甲和乙都不能去4社区，则不同的安排方式有 种.（用数
字作答）
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15,（13分）
已知双曲线C的中心为坐标原点。，且焦点在工轴上，点尸（4,-3）在双曲线。上，其一条渐近
线方程为J?x+2y = 0.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点。（0,2）且倾斜角为45°的直线/与双曲线。交于N两点，求AOAW的面积.
16. （15 分）
己知正项数列｛凡｝的前"项和为S,,且4s八=a； + 2an 5 g N*）.
（1）求数列｛为｝的通项公式；
（2）对将数列｛%｝中不大于8%的项的个数记为4.若i+t-+-+t-<7-
01 。2 公"1
恒成立，求实数4的取值范围.
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学第3页共4页17. （15分）
等腰梯形4BS中，BC 〃㈤,3。= ^42，H=60°,点£为4。中点（如图1） ,将44班沿班
折起到的的的位置，点O,尸分别为8瓦。E的中点（如图2）.
（1）求证：平面BCDEL平面4。。；
（2）如果BC = 2,平面4班，平面5cDE,那么侧棱4c上是否存在点尸，使得在〃平
面4。尸？若存在，求平面PBE与平面4。尸夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
18. （17 分）
甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和
乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6,若守擂失
败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主（不包含初始擂主）时，比赛立
即结束，该选手获得胜利.
（1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
（2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
（3）求甲成为最终获胜者的概率.
19. （17 分）
对于正整数肛 定义函数凡（x） = £sin（丘），函数S〃（x）的导函数记为SJ（x）.
A=1
（1）求函数S3（x）在区间［0,加上的零点；
（2）证明：当"为奇数时，函数,（x）在区间［0,2利上至少存在2个极值点；
（3）证明：对于任意实数X,有|SJ（x）归吟并指出等号成立时x的取值.
4
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数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A D C C B D B B ACD ABD AC
1 + J3i o
1 .【答案】A【详解】因为z = _— = 2_ = l + i，故l - 故选：A.
1-i 1-i
2 .【答案】D.【详解】对于集合A,由一一工一2<0得一 l0, a = log5 2 < log5 V5 = ^ = c ,
所以b0)
所以9 = 2p(5 — 5).解得p = l或p = 9故选：B.
6 .【答案】D【详解】令力(％) = /(%) — 8(%)二产+依2-4 +,”,则A(x)为偶函数,依题意案x)
只有唯一零点，故有力(0) = 2-。= 0,故a = 2.故选：D.
7 .【答案】B解：依题意，设3(2,必)，由y = ln(x—l) + 2ny=一1，则一匕二照二竽工,
X —1 再一I mt
化简得In(再- 1) = 0,解得再=2,故5(2,2),故|4同=&.故选:B.
8 .【答案】B【详解】设NBCP=a,乙DCQ = B，因为根尸。的周长为2,
即 l — tana + 1 — tan力+ J(l — tana)2+(_tan/)2 =2化简 tana +七n/ = l — tanatan/,
。+ 夕
所以 tan(a + /?) = t：n =[,又 03 = 4,故B不正确;
对于 C, SMBC =-^bcsin A=-^x2x4x^ =2^~3,故 C 正确；
对于D,由正弦定理得a? =b2+c2-2bccos4 = 12na = 2jj,设A48C的外接圆的半径为R ,
则2R = —L = ¥ = 4=>R = 2,所以心8c的外接圆的面积为4兀，故D正确.故选：ACD.
sinA J3
~T
10 .【答案】ABD【详解】对于A,若九=〃，则丽=2瓯+ 4左=4属"£[0,1],
则点尸在线段'G上，如图.因平面44G4〃平面4BCQ,
且平面ABCD n平面BQ,DB = BD ,平面4月GA A平面BQ、DB = ,
故用'//BO,因42（z平面BCQ, 5。€=平面8。]。，
故用。"/平面BC、D同理可证/A / /平面BCQ,
因 ADX u 平面 AD{B{, ABX u 平面 ADXB}，且 ADX n ABl = A ,
故有平面44，//平面BCQ，
又因为。尸u平面BCQ,所以。尸〃平面Ng4,故A正确：
对于 B,若;l = 2〃，BP = 2^BB,+juBC = ju（2BB}+BC）= 2jliBN
则（N为4G的中点）如图.又因为4«0』,；1 = 2〃，所以2〃«0』.
CE A.BN 9 /. CE VAB ,「.CE，平面 Z8P,故 B 正确；
对于c,当〃=,时，贝ij丽=%函数二4函+丽7,即元乔=%函，
2 2
所以点尸在线段跖％上（如上图）分别为BC,B]G的中点，
则4E与功尸异面，故C错误；对于D,如上图，当〃二;时，
—► —. 1—• —.-- -, —.
则 BP = 4BBi+§BC = 2BBi+BM ,即 =
所以点尸在线段上（如上图）分别为BC,4G的对应三分点，又使4。，平面。5P
所以点尸在上，而6G与肋明有公共点，点P存在，故D正确.故选：ABD.
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第2页共12页所以“k _ % Y /_ 2，故b错误;
— —2 2 — 2 2 - 2 一 —
/ 。—/ + a x0 — a Xq ~ ci u 3
对于C,设点8（%,%）,则直线/" 二 %■',
xo
因为直线50平行于X轴，所以点。（-%,为"。的中点G归出吟
y° Jo.c-X。
2 x0 2
所以由点G在直线/上且左碍；勺=一1得,
一 %-C x0
,73
±——c
解得/=J_c，*=£即％=±@。，因此左=鱼
2 ±6,故C正确
2 4 2 1
—c
2
九=2,2 _3c
2 2 ~~5
对于D,若£ = 2,设。（司,必）， 所以
M _ 1 4c
---- ——
X] -c 2 乂二~5
所以短+券=1 44 /哈="5得，呼.故D错误：故选：AC.
二、填空题（每小题5分）
12. 2 13. 48乃 14. 62
12 .【答案】2【详解】（2t）（x+1）4的展开式中/的系数是2cl—C”2.
13 .【答案】48乃【详解】圆柱〃的体积为冗・ 32、6=9后，
设圆锥N的底面半径为小 则母线长为2~ 故圆锥的高为J（2r）2-产=技,
则!公尸石・=@•，故@兀/=9岛，解得，=3,所以圆锥N的高〃 =3百.
3 3 3
圆锥N的外接球半径为R,贝I」（〃一夫）2+r2=夫2,...（36—R）2+32 = r2,解得R = 2jL
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第3页共12页故圆锥N的外接球表面积为4兀炉二48兀.
14.【答案】62【详解】因为甲和乙都不能去A社区，对A社区去的志愿者人数进行分类讨论：
若去A社区只有1个人，有3种情况，然后将剩余4人分为两组，再将这两组分配给8、。两个
社区，此时有3 C； +^rJA； =42种不同的安排方式；若去A社区有2人，有C； =3种情况，然
后将剩余3人分为两组，再将这两组分配给B、。两个社区，此时有3C；A； =18种不同安排方式;
若去A社区有3人，只需将甲、乙两人分配给6、。社区即可，每个社区1个人，此时有A； =2种
不同的安排方式.由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为48 + 12 + 2 = 62种.
三、解答题
15・(本题满分13分)已知双曲线C的中心为坐标原点0,且焦点在x轴上，点P(4,-3)在双曲线C
上，其一条渐近线方程为若x + 2y = 0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点Q(0,2)且倾斜角为45°的直线L与双曲线C交于M,N两点，求△0MN的面积.
x2 y2
解：(1)解法一：由题设双曲线。标准方程为0―二=1(〃>0, 6>0)….1分
a b~
则 £ — W = l 且 2 = @......................................2 分(3 分)
a2 b2 a 2
【说明】见"、"2 =叵咯给1分
a2 b2 a 2
联立方程组解得a = 21 = 6...................................2分
【说明】写出“6 二月”各给1分
故双曲线C的标准方程为片一以=1........................... 2分(7分)
4 3
【说明】结果正确给2分
解法二：因为双曲线渐进线方程为由x + 2y = 0,
2 2
所以设双曲线。标准方程为 .................2分
2 2 2 2
【说明】见"设双曲线C标准方程为亍―或“亍―三-二4(几>0) ”
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第4页共12页r2 v2
或“二一匕二力”之一，给2分
4 3
16 9
将点P（4,-3）代入方程，得几二十一；=1......................... 3分（5分）
【说明】见结果“4 = 1”给3分；若结果错误，但见“将点P（4,-3）代入方程”，给1分
2 2
故双曲线C的标准方程为土 —匕=1...........................2分（7分）
4 3
⑵解法一：根据题意可知直线/的方程为y =1+ 2, ............... 1分（8分）
联立y = x + 2及二一二二1,消去y得，+16尤+ 28 = 0............1分（9分）
4 3
【说明】体现联立方程组思想过程可给1分
解得士=-2 ,々=T4 .从而-2,0）, N（—14,-12）............ 2 分⑴分）
【说明】见“再二—2”、"々二—14”各给1分;
若不写“再=-2, %=T4”，但写出“〃（一2,0）,义（一14,一12）”也各给1分
所以 AOM7V的面积为:•|OM| ・|加|二；x2xl2 = 12................2 分（13 分）
【说明】结果正确给2分；若结果不对但写出面积公式“，|。河|・|4|”可给方法分1分
解法二：根据题意可知直线/的方程为y = % +2................. 1分（8分）
y = x + 2
联立"2 （ 2 ―得，+16x + 28 = 0，.....................1 分（9 分）
3x -4y =12
【说明】体现联立方程组思想过程可给1分
解得$=-2, x2=-14 ....................................2 分（11 分）
【说明】见“玉=一2”、“工2 =-14”各给1分：或者见“再+”2 =-16 ,不乙二28 ”也各给1分:
2
所以原点O到直线/的距离d = = V2, \MN\=y/i+f -\x2-Xl\ = l2yl2
Vl2+1
所以 AOAW面积为:•|M7V「d = ；xl2&x& = 12...................2 分（13 分）
【说明】结果正确给2分：若结果不对，但见“d = 7^ = & "或的VtViTF.Iw-石| = 12夜”
71 +1
或“ | AW|= VI7F•）（芭+八（ 一4%丁 = 12五”或u-\MN\-d "之一，可给方法分1分
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第5页共12页16.（本题满分15分）已知正项数列｛恁｝的前n项和为Sn，且4s〃 =。；+2%但。*）.
（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；（2）对V左cN*,将数列｛如｝中不大于群的项的个数记为从.若
1 1 1 2
丁 + 丁 +…+丁<工恒成立，求实数4的取值范围.
bl b2 bk 4
解：⑴当〃 =1 时4S] =a；+2% ,得a；-2% =0 , > 0 ,所以q=2 ……2 分
【说明】见“％ =2”给2分
当〃 2 2 时 4sl =端一1 + 24T.................................. 1 分（3 分）
【说明】见"4S,i =。3+2%」或“4S〃” =编]+ 2a,川”之一，给1分
联立4S“ =〃； + 2%,两式相减可得：................................. 1分
【说明】正确体现“两式相减”思想过程，可给方法1分
= a：_。3+ 2a, 一 2% ,化简得（an - an_｝ - 2）（% + %） = 0 ,
因为%所以4〃 -a-i=2 ........................... 2 分（6 分）
【说明】见" an - an_｝ = 2 ”或“ an+x -an =2 ”给2分
故数列｛/｝是以多=2,公差d = 2的等差数列，所以。〃二2〃.........2分（8分）
【说明】结果正确，即见=2〃”或"勺=2 + 2（〃-1）”给2分.
（2）由得〃 <231,即 4=231 ...................... 2 分（10 分）
【说明】正确写出从表达式给2分，即见=2"一、或 飞=、”可给2分.
・・・怜=篇=23=8, 4=22=4 .............................. 2分（12分）
4 2
【说明】正确写出“% =8或工 = 8"、*=4”各给1分
a 弧
・・・｛4｝是以4为首项，8为公比的等比数列，
【说明】写是以J为首项，g为公比的等比数列，也可以对标给首项和公比，各给1分
4 8
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第6页共12页1 1 1 1 1
所以 ---…H----= - -- < ........ 1分（13分）
b2 bk 22 25
1 1 1 X 即即九＞&（1一二）所以；1之»
因为—+—+…+—< — ...... 2分（15分）
力瓦许
7、8〃 仇 7 / 7
O Q
【说明】结论正确，见“42二”给2分，若见不给分
7 7
17.（本题满分15分）等腰梯形ABCD中BC〃AD,BC=；AD, NA=60° ,点E为AD中点（如图1）.将
△ABE沿BE折起到aAiBE的位置，点O,F分别为BE,DE的中点（如图2）.
（1）求证：平面BCDEJ_平面AQC ：
（2）如果BC=2,平面AiBEL平面BCDE,那么侧棱AiC上是否存在点P,使得BP〃 〃平面AQF?
若存在，求平面PBE与平面AQF夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
解:（1）因为BC〃DE且AD=2BC,故四边形BCDE,BCEA是平行四边形，则BE=CD
又ABCD为等腰梯形且AB=BE,ZA=60°,可得aAiBE是等边三角形.
故四边形BCEA为菱形,ABCE是等边三角形 e
因为O为BE中点，所以AQLBE..................... 2分 V~ 一~7
【说明】见"AQLBE”给2分;若没写出“AQLBE”，但前面有一定的 \ \ /
推理过程可给1分 B------ C
同理可证CO_LBE ..................................2分
【说明】见"CO_LBE”给2分；
X Aionco=o,所以 BEJL平面 AQC................... 2 分（6 分）
【说明】见"BE,平面AQC”给2分
又BE在平面BCDE内，所以平面BCDE_L平面AiOC...... 1分（7分）
【说明】见“平面BCDE_L平面AQC”给1分
⑵解法一：存在点P,使得BP〃平面AQF
因为平面AiBE_L平面BCDE,平面AiBECl平面BCDE=BE,
AQ_LBE,AQ 在平面AiBE内，所以AQ_L平面BCDE
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第7页共12页又CO_LBE,建立以0为原点QBQCQ Ai所在直线为x,y,z轴
的空间直角坐标系O-xyz,如图所示..................... 2分（9分）
【说明】L建系正确且前面有一定的过程（不一定完全正确的过程）可给2分;
2.只见建系（画图标出x,y,z轴）正确但没有证明过程，只给1分
因为b（i,o,o）,c（o,VJ,o），4（o,o,6）,e（—i,o,o）,尸 一,,当,。],
则被二（0,百，一句，而二（0,0,-百），砺= o],
设丽=麻=（0,瓦-网,
1分（10分）
【说明】见"设乖二£配”给1分
蛆P（0,瓜，百一网,而= Q1,同，氏f,
. 、 in-OF = 0
设平面AQF的一个法向量所=（"/），贝叫 _
丽・ 4。=0
令）= 1,则尸 JJ,z = O,.•.比= （1,6,0）, .....................1 分⑴分）
【说明】法向量结果正确才给1分
—. 1
要使8P〃平面则•应=0，即- 1 + 3/ = 0,解得z = §
故在侧棱4。上存在点P,使得鳍〃平面48................. 1分（12分）
【说明】见" BP .和=0”或“1=之一，可给1分。
此时，P 0,餐当，面=（一2,0,0）,而=-1，*，苧，
-2a = 0
/ 、 [ii-BE = 0
设平面PBE的一个法向量万 = （a9b,c},则〈一，即 <
HBP = O -a + ——b+---c= 0
3 3
令c = l,则6 = -2,〃 = 0,即万=（0,—2,1）, .........................1分（13分）
【说明】法向量结果正确才给1分
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第8页共12页竺
二组二叵
设平面尸5£与平面4。下夹角为6,所以cos6 =
n tn 25/5 5
故平面PBE与平面AOF的夹角的余弦值为浮......................2分（15分）
【说明】1.见“平面产仍与平面4。9的夹角的余弦值为半”就可以给2分；
— n-m
2.若结果不对，但见“cos9 =尸百 ，，或"cos<〃M>=/扁，，原始公式（带数据过程不
算原始公式）正确也可以给1分
（2）解法二：存在点P,且不 =2定，使得BP〃平面AQF…2分（9分）
【说明】猜想正确给2分，若只说“存在”不给分
证明如下：连接BD,设BD与EC交于MQF与EC交于N,如图所示
由（1）可知四边形BCDE为菱形且NCDE=60° Q为DE的中点，
则OM〃BN,从而BN〃平面AQF........................ 1分
由 祚 =2而，CN=2MN,则AiM〃PN,从而PN〃平面AQC 1分
又BN与PN交于N,故平面BNP〃平面AQF.
又BP为平面BNP内直线，故BP〃平面AQF................. 1分（12分）
【说明】见"BN〃平面AQF”、“PN〃平面AQC”、“平面BNP〃平面AQF”各给1分
（以下见同解法一）
18.（本题满分17分）甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主
由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5 ；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6 ,
若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主（不包含初始擂主）时，比
赛立即结束，该选手获得胜利.
（1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
（2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率：
（3）求甲成为最终获胜者的概率.
解：（1）甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：
甲连胜两局，概率为0.6x0.6 = 0.36, ...........................1分
乙连胜两局，概率为0.4 x 0.6 = 0.24； ...........................1分
甲胜第一局乙连胜后两局，概率为0.6x0.4x0.6 = 0.144： ..............1分
乙胜第一局甲连胜后两局，概率为0.4x0.4x0.6 = 0.096； ..............1分（4分）
设事件A为比赛在前三局内结束，则P（4） = 0.36 + 0.24 + 0.144+ 0.096 = 0.84； ...1分（5分）
【说明】见" 0.6x0.6 ”或“0.36”之一得 1 分，见“ 0.4x0.6 ”或“0.24”之一得 1 分，见“ 0.6x0.4x0.6 ”
或 “0.144” 之一得 1 分，见"0.4x0.4x0.6"或 “0.096” 之一得 1 分。
（2）设事件5为比赛在第四局结束，设事件C为甲最终获胜，设事件。为乙最终获胜.
则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第9页共12页故 P（BC） = 0.6 x 0.4 x 0.4 x 0.6 = 0.0576.............................. 1 分
【说明】见"0.0576”给1分，否者给0分
比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，
则其概率为尸（8。）= 0.4x0.4x0.4x0.6 = 0.0384, ...................1 分（7 分）
故 P（B） =P（3C） + P（BD） = 0.0576 + 0.0384 = 0.096 ； .................1 分（8 分）
【说明】见"0.096”给1分，否者给0分
故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率尸（。忸）==之黑 = 0.6；.....2分（10分）
【说明】结果正确，即见“0.6”就可给2分;若结果不对但正确写出条件概率公式“ P（C|B） = 2^ ”
可给1分
⑶定义：状态与：当前擂主为甲，且未连胜.设此状态下甲最终获胜的概率为
状态S］：当前擂主为甲，且连胜一次.设此状态下甲最终获胜的概率为巴；
状态当前擂主为乙，且未连胜.设此状态下甲最终获胜的概率为名；
状态工：当前擂主为乙，且连胜一次.设此状态下甲最终获胜的概率为4.
当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6）,进入状态甲失败（概率为0.4）,进入状态及，
可得，P{ = 0.6x7^ +0.4x/^.................................. 1 分
当状态为¥时，甲守擂成功（概率为0.6）,比赛结束;甲失败（概率为0.4）,进入状态"，
可得，E=0.6xl + 0.4x鸟：....................................1 分
当状态为"时，乙守擂成功（概率为0.6）,进入状态工；乙失败（概率为0.4）,进入状态S。，
可得，A = 0.6x5+0.4x4； ................................ 1分
当状态为（时，乙守擂成功（概率为0.6）,比赛结束;乙失败（概率为0.4）,进入状态S。，
可得，乙=0.4x［； ........................................ 1分（14分）
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第10页共12页综合以上四个方程，可解得，《二走，月二,.....................2分(16分)
【说明】见"8=々"、"巴=学”各给1分
41 41
又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5,
故甲成为最终获胜者的概率P = +竺= L.................... 1分(17分)
41 2 41 2 2
19 .(本题满分17分)对于正整数〃，定义函数S〃(x) = *sin(丘)，函数S〃(x)的导函数记为S;(x).
a=i
⑴求函数邑。)在区间［0,句上的零点；
(2)证明：当〃为奇数时，函数S〃(x)在区间［0,2加上至少存在2个极值点；
(3)证明：对于任意实数x有因「(%)|＜当由，并指出等号成立时工的取值.
解:(1)依题意 53(x) = sinx + sin 2x + sin 3x = sin x + 2 sin xcosx + sinxcos 2x + cos xsin 2x
=sin x + 2 sin x cos x + sin x(cos2 x-sin2 x) + 2cos2 xsinx
= sin x(l + 2cosx + cos2 x-sin2 x + 2cos2 x)
=sin x(2 cos x + 4cos2 x) = 2sin xcos x(2 cosx + l) ................... 1 分
【说明】过程中至少能体现正确使用其中一个三角公式，共给1分
令邑(％) = 0,即 sinx = 0或 cosx = 0 或 2cosx + 1 = 0..................1 分
【说明】至少见“sinx = 0"、"cosx = 0"、“2cosx + l = 0”之一，共给1分。
7T ) TT
解得函数(X)在区间［0,%］的零点为o,y,y,^.......................4分(6分)
【说明】见“0”、“工”、“红”、一”各给1分
2 3
⑵方法一：依题意，对函数S“(x)求导，得:S〃'(x)=，>cos(丘).........1分
k=\
【说明】求导正确，见“SJ(x) = £acos(Ax)”给1分
k=\
当 x = 0 时 S/(0) = ^> = ^^>0 ............................1 分
2
k=\
当工="时，又〃为奇数故s〃'(4) = g；g(—1)A <0 ..................1分
k=\
由零点存在性定理，则存在％ = /£(0,万)使得5“'(%) = 0且％ = %为极大值点...1分(10分)
【说明】见"工二与为极大值点”给1分
南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学答案第11页共12页又 S〃（万 + x） + S〃（万 一 x） = Z sin（A（乃 + x）） + Z sin（%（乃-x）） = 0
A=1
k=\
函数3（x）在区间［0,24］连续且S〃 （x） 一个对称中心为（肛0）...............1分
【说明】至少见“S〃（乃+ x） + S〃（乃一x） = £sin（以乃+ x））+gsin（左（九一x）） = 0”或“函数S〃（x）
k=l k=\
的一个对称中心为（万,0）”共给1分
故存在X = 2兀-Xo为Sn（x）的极小值点，故S”（X）在［0,2万］至少存在2个极值点.……1分（12分）
【说明】见“存在］=2乃一%为函数S.（x）的极小值点”才给1分
方法二:（2） 5^（x） = cosx+2cos 2x + 3 cos 3x+ ••• + « cos nr.............. 1 分（7 分）
取 S；（0） = > 0, S；（2万）=> 0
S〃（"）二-1 + 2-3・・・ + （〃-1）一〃<0 , ...............................3 分（10 分）
由零点存在定理，£（0,4）,土2 £（肛2%）使得S,（不）二3；02）= 0,
且不,它均为变号零点................................................. 1分（11分）
【说明】所取8；（0）>0,5；（2万）>0, S；（4）<0见一个给1分。
S〃 （x）在［0,2句至少存在2个极值点 1分(12分)
(3)由⑵知 |S/(x)|= Z左cos(Ax)
