文档内容
1．D
【分析】解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求结果.
ì x-2 ü
【详解】由A=x|x(x-3)£0={x|0£x£3}，B=íx ³0ý={x|x<0或x³2}，
î x þ
所以A B={x|2£x£3}.
I
故选：D
2．A
【分析】应用复数除法的几何意义及模长的定义求复数的模长.
4i |4i| 4
【详解】由题设z = ，则 z = = =2 2.
1+i |1+i| 2
故选：A
3．C
【分析】由质量和密度求出此陀螺圆柱体积，通过圆锥、圆柱体体积公式求得此陀螺圆柱体积，然后建立
方程后解得底面面积.
81.6
【详解】此陀螺圆柱体积V = =102cm3，
0.8
1 æ 2ö 17
设此陀螺圆柱的底面半径为S，则V =Sh + Sh =ç5+ ÷S = S =102，
1 3 2 è 3ø 3
3
∴此陀螺圆柱的底面面积S =102´ =18cm2.
17
故选：C.
4．A
【分析】根据题意求出用水量的15.4%分位数，即可得.
【详解】由题意及0.077´3=0.231>0.154，则0.077´(x-1.2)=0.154，可得x=3.2吨.
故选：A
5．B
b 5
【分析】根据题意得不等式0< < ，利用双曲线的离心率计算公式和范围，求解不等式即得其范围.
a 5
b 5 c2 a2+b2 b 6
【详解】依题意，0< < ，而e2 = = =1+( )2 < ，
a 5 a2 a2 a 5
30
因e>1，故得10，
2 e
1
根据零点存在定理可知，lnx= 的根bÎ1,2 .
x
由hx=x3-1求导得h¢x=3x2，则hx=h¢x即x3-1=3x2，
设函数tx=x3-3x2-1，则t¢x=3x2-6x=3xx-2，
所以，当x<0或x>2时，t¢x>0，tx单调递增；当00，
根据零点存在定理，可知x3-1=3x2的根cÎ3,4.
综上，c>b>a.
故选：D.
9．AC
d
【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间t= （其中船垂
v
ur
直河岸方向的分速度v= v sinq）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可
1
uur
计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度 v ，可计算并判断D.
0
ur uur ur
【详解】对于A，将船的速度v 和水流速度v 进行合成，船垂直河岸方向的分速度v= v sinq，
1 2 1
d 0.5 1
河宽d =500m=0.5km，则渡河时间t = = = ，
v 10sinq 20sinq
π π
当sinq=1，即q= ，t取得最小值，所以当船的航行时间最短时，q= ，故A正确；
2 2
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，
uur
v
则cosπ-q=
ur
2 = 1 ，所以cosq=- 1 ，故B错误；
v 5 5
1
π ur 1
对于C，当q= 时，船垂直河岸方向的分速度v= v sinq=10´ =5km/h，
6 1 2
试卷第3页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}d 0.5 1
船的航行时间t = = = h，即6分钟，故C正确；
v 5 10
ur uur uur uur ur uur
对于D，将船的速度v 和水流速度v 进行合成v ，则v =v +v ，
1 2 0 0 1 2
2π ur uur ur uur 2π æ 1ö
当q= 时，v ×v = v v cos =10´2´ç- ÷=-10，
3 1 2 1 2 3 è 2ø
所以 v
uur
=
v
ur
+v
uur2
= v
ur2
+v
uur2
+2v
ur
×v
uur
= 100+4-20 =2 21，
0 1 2 1 2 1 2
ur 3
因为船垂直河岸方向的分速度v= v sinq=10´ =5 3km/h，
1 2
d 0.5 3
所以船的航行时间t = = = h，
v 5 3 30
uur 3 7
所以船的航行距离为 v ×t=2 21´ = km，故D错误.
0 30 5
故选：AC.
10．BCD
【分析】由题设可得C: y2 =8x，F(2,0)，设MN:x=ty+2，联立抛物线并应用韦达定理得y +y =8t，
1 2
y y =-16，应用弦长公式、抛物线的定义求弦长，确定MN的中点横坐标，即可得判断A、B、C；应用向
1 2
量数量积的坐标表示及韦达公式化简判断D.
【详解】由题设82 =2p´8Þ p=4，则C: y2 =8x，F(2,0)，
可设MN:x=ty+2，联立抛物线得y2-8ty-16=0，显然D>0，
所以y +y =8t，y y =-16，则 MN = 1+t2 × (y +y )2-4y y
1 2 1 2 1 2 1 2
=8(1+t2)³8，当且仅当t =0时等号成立，A错；
x +x
由抛物线的定义知 MN =x +x +4，而MN的中点横坐标为 1 2 ，
1 2 2
x +x
所以MN的中点与直线x=-2的距离为 1 2 +2，即为 MN 的一半，
2
所以以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切，B对；
uuuur uuur
若MF =2FN ，且y >0> y ，则y =2| y |，而y y =-16，
1 2 1 2 1 2
2
所以y =4 2,y =-2 2，则y +y =8t=2 2Þt = ，
1 2 1 2 4
2
所以x +x =t(y +y )+4= ´2 2+4=5，则 MN =x +x +4=9，C对；
1 2 1 2 4 1 2
试卷第4页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}uuuur uuur
由OM×ON =xx +y y =(t2+1)y y +2t(y +y )+4=-16t2-16+16t2+4=-12，D对.
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：BCD
11．ACD
【分析】构造g(x)=(cosx-2)f(x)，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到g(x)在R上单调递
g(x)
减，且x<0时g(x)>0，x>0时g(x)<0， f(x)= ，进而判断各项的正误.
cosx-2
【详解】令g(x)=(cosx-2)f(x)，而 f x是定义在R上的奇函数，则g(0)=-f(0)=0，
g(-x)=[cos(-x)-2]f(-x)=-(cosx-2)f(x)=-g(x)，即g(x)在R上也是奇函数，
而g¢(x)=(cosx-2)f¢(x)- f(x)sinx，当x<0时，g¢(x)<0，
所以g(x)在(-¥,0)上单调递减，结合奇函数性质知：g(x)在R上单调递减，
g(x)
综上，x<0时g(x)>0，x>0时g(x)<0，g(0)=0，故 f(x)= ，
cosx-2
显然xÎR时cosx-2<0，故x<0时 f(x)<0，x>0时 f(x)>0，
æ πö æπö
所以 f x在R上有且只有1个零点， f 2025>0， f ç- ÷<0< f ç ÷，A、C、D对；
è 4ø è4ø
-g(x)
由 f(x)= ，显然-g(x)在(0,+¥)上单调递增，且-g(x)>0，
2-cosx
1 1
y= 在(0,π)上单调递减，在(π,2π)上单调递增，且周期为2π，y= >0，
2-cosx 2-cosx
所以 f(x)在(0,+¥)上不一定单调，B错.
故选：ACD
12．0
【分析】根据分段函数的组成，代入求解即得.
ìlog x,x>0
【详解】由 f x=í 3 ，可得 f -5= f(-5+3)= f(-2)= f(-2+3)= f(1)=log 1=0.
f x+3,x£0 3
î
故答案为：0.
13．1280
试卷第5页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可得结果.
【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以
有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，
有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.
所以，总共有5´4´4´4´4=1280种不同的安排方法.
故答案为：1280.
p 1
14． ## p
4 4
b b b
【分析】根据题意，利用tan(a+ )和条件求出tana+tan = 3( 3-1)，将tana,tan 看成方程
2 2 2
b
t2- 3( 3-1)t+2- 3=0的两根，分解因式求得tana,tan ，根据角的范围确定tana的值，进而求出角
2
a.
b
tana+tan
2π b π b 2
【详解】由2a+b= ，可得a+ = ，故tan(a+ )= = 3，
3 2 3 2 b
1-tanatan
2
b b
因tana×tan =2- 3，代入解得tana+tan = 3( 3-1)，
2 2
b
可将tana,tan 看成方程t2- 3( 3-1)t+2- 3=0的两根，解得 t =2- 3或t =1，
2
ì π
015)»0.02275，
即可求人数；
1
（2）由题意平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从x B(3, )分布，应用二项分布的概率公式
:
2
求分布列，进而求均值.
3´1+4´3+8´5+11´7+41´9+20´11+8´13+5´15
【详解】（1）由题设m= =9，且d=3，
100
试卷第6页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}所以该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N
9,32
，
1-Pm-2d£ X £m+2d
由P(X >15)=P(X >m+2d)= »0.02275，
2
所以估计该校大约有0.02275´5000»114个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上；
1
（2）由（1）知P(X >9)=P(X >m)= ，
2
1
则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从x B(3, )分布，
:
2
1 1 1 1 1 3
所以P(x=0)=C0( )0(1- )3 = ，P(x=1)=C1( )1(1- )2 = ，
3 2 2 8 3 2 2 8
1 1 3 1 1 1
P(x=2)=C2( )2(1- )1 = ，P(x=3)=C3( )3(1- )0 = ，
3 2 2 8 3 2 2 8
所以分布列如下，
x 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
1 3 3 1 3
E(X)=0´ +1´ +2´ +3´ = .
8 8 8 8 2
x2
16．(1) +y2 =1
4
(2)1
【分析】（1）根据题设条件列出方程，化简即得曲线E的方程；
（2）依题设直线AB的方程为x=my+t，由圆心到直线的距离等于半径推出m2+1=t2，再由直线x=my+t
与椭圆方程x2+4y2 =4联立消元，写出韦达定理，计算弦长|AB|和点O(0,0)到直线x=my+t的距离，表示
出△OAB面积，利用换元和基本不等式即可求得面积最大值.
4 3
【详解】（1）设M 到定直线l:x= 的距离为d，
3
|MF | (x- 3)2+ y2 3
= =
依题意，可得
d 4 3 2
，化简得x2+4y2 =4，
|x- |
3
x2
即曲线E的方程为 +y2 =1.
4
（2）依题意，直线AB的斜率不可能是0，不妨设其方程为：x=my+t，
|t|
则圆x2+y2 =1的圆心到直线x=my+t的距离 =1，即m2+1=t2 ①
m2+1
ìx=my+t
由í 消去x，可得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0，
îx2+4y2 =4
试卷第7页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}由D=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)>0，可得m2-t2+4>0，
ì 2mt
y +y =-
ï ï 1 2 m2+4
设A(x,y ),B(x ,y )，则í ，
1 1 2 2 t2-4
ï
y ×y =
ïî 1 2 m2+4
则|AB|= 1+m2 × (y +y )2-4y ×y
1 2 1 2
2mt 4(t2-4)
= 1+m2 × (- )2-
m2+4 m2+4
4 1+m2
= × m2-t2+4，
m2+4
4 3× 1+m2
将①式代入，化简得：|AB|= ，
m2+4
|t|
因点O(0,0)到直线x=my+t的距离为d = ，
1 m2+1
1 2 3 t
则△OAB的面积为S = ´ AB ´d = ，
VOAB 2 1 m2+4
t2 m2+1
=2 3× =2 3×
m2+4 2 m2+4 2
l 1
S =2 3× =2 3×
设l=m2+1，则l³1， VOAB (l+3)2 9 ，
l+ +6
l
9 9
因l+ ³2 l× =6，当且仅当l=3时取等号，
l l
1
此时m=± 2， △OAB的面积的最大值为2 3× =1.
12
17．(1)证明见解析；
(2)0.
【分析】（1）根据平行四边形对边平行，结合边长关系，证得F 为AG中点，利用中位线性质证得
HF//BD，即可证得线面平行.
（2）证明PF ^平面ABCD，AC ^BC，建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面所成角即可.
【详解】（1）
试卷第8页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}如图，连接BD，交AC于点G，
Q
四边形ABCM 是平行四边形，D为CM 的中点，
1 1 CG CD 1
\CD//AB，CD= CM = AB，故 = = ，故G为AC的三等分点，
2 2 GA AB 2
1
Q
AF = FC，\F为AC的三等分点，即F为AG的中点，
2
又 H为AD的中点，\HF//DG，即HF//BD
Q
HF Ì平面PHF ，BDË平面PHF ，
Q
\BD//平面PHF .
π
（2）由题意，MA=MD=1，ÐMAD= ，则△MAD是等边三角形，
3
π π
所以，ÐAMD= ，ÐBAD=π-ÐAMD-ÐMAD= ，AD=1.
3 3
在△ABD中，AB=MC =2，
1
根据余弦定理，BD2 = AD2+AB2-2AD×ABcosÐBAD=1+4-2´1´2´ =3，
2
故AD2+BD2 = AB2，即AD^BD，
HF//BD，故AD^HF，
Q
又
Q
在等边△PAD中，H为AD的中点，\AD^PH ，
\AD^PH,AD^HF，PH I HF =H ，PH Ì平面PHF ，HF Ì平面PHF ,
\AD^平面PHF .
PFÌ平面PHF ，\AD^PF，
Q
又
Q
PF ^ AC，AC
I
AD= A，ACÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD，
\PF ^平面ABCD.
3 1 1 3
在Rt△PFH 中，PH = ,HF = DG= BD= ,
2 2 6 6
2 2
æ 3ö æ 3ö 6
\PF = PH2-HF2 = ç ÷ -ç ÷ = .
ç ÷ ç ÷
2 6 3
è ø è ø
由题意，AD=BC =1，所以梯形ABCD是等腰梯形，则AC =BD，所以△ABD@△BAC，
又 AD^BD，\AC ^BC.
Q
试卷第9页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}以点C为坐标原点，以C uu A ur ,C uu B ur 分别为x轴、y轴正方向，过点C作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示
坐标系.
则C0,0,0，B0,1,0，A 3,0,0 ，P æ ç 2 3 ,0, 6ö ÷，D æ ç 3 ,- 1 ,0 ö ÷，
ç ÷ ç ÷
3 3 2 2
è ø è ø
uuur æ2 3 6ö uuur
\CP=ç ,0, ÷，CB=0,1,0，
ç ÷
3 3
è ø
ì ï mr×C uu B ur = y =0
ï 1
ur
设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)，则í ，
1 1 1
ï mr×C uu P ur = 2 3 x + 6 z =0
ï î 3 1 3 1
ur
令x =1，则y =0，z =- 2，所以m= 1,0,- 2 ，
1 1 1
uuur æ 3 1 ö uuur æ 3 6ö
Q AD=ç ç - ,- ,0÷ ÷ ,AP=ç ç - ,0, ÷ ÷
2 2 3 3
è ø è ø
ì ï nr× u A u D ur =- 3 x - 1 y =0
r ï 2 2 2 2
设平面PAD的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则í ，
2 2 2
ï nr× u A u P ur =- 3 x + 6 z =0
ï î 3 2 3 2
r
令x = 2，则y =- 6,z =1，所以n= 2,- 6,1
2 2 2
设平面PBC和平面PAD的夹角为q,
ur r 2- 2
则cosq= cos m,n = =0，
3´3
所以平面PBC和平面PAD的夹角余弦值为0.
æ π ö
18．(1)函数 f x在区间ç- ,0÷上的单调递减；
è 2 ø
(2)aÎ(-3,0)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数研究函数的区间单调性即可；
试卷第10页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}3cosx æ πö
（2）问题化为a=- 在xÎç0, ÷上有解，导数研究右侧的单调性和区间值域，即可得参数范围；
ex è 2ø
（3）问题化为证 f x³2ex-2x-3cosx+1³0，构造k(x)=2ex-2x+1并应用导数研究其最小值，得到
2ex-2x-3cosx+1³3-3cosx，即可证.
【详解】（1）由题设 f x=2ex-2x-3cosx+1，则 f¢x=2ex-2+3sinx，
æ π ö
当xÎç- ,0÷，有2(ex-1)<0,3sinx<0，则 f¢x<0，
è 2 ø
æ π ö
所以 f x在区间ç- ,0÷上的单调递减；
è 2 ø
（2）由题设gx= f¢x=aex-2+3sinx，则g¢x=aex+3cosx，
æ πö 3cosx æ πö
所以$x Îç0, ÷上g¢x =0，即a=- 在xÎç0, ÷上有解，
0 è 2ø 0 ex è 2ø
π
3cosx æ πö 3 2sin(x+ )
令h(x)=- 且xÎç0, ÷，则 3(sinx+cosx) 4 ，
ex è 2ø h¢(x)= = >0
ex ex
æ πö
所以h(x)在xÎç0, ÷上单调递增，故-30时，k¢(x)>0，即k(x)在(0,+¥)上单调递增，
所以k(x)³k(0)=2-0+1=3，故2ex-2x-3cosx+1³3-3cosx³0，
所以a³2， fx³0恒成立.
19．(1)b =2，b =3，b =4；
1 2 3
(2)证明见解析；
(3)存在，最小k为7.
2 1
【分析】（1）根据定义有|n+ -b |< 且b ÎZ，将n=1,2,3代入依次求出b,b ,b ；
3 n 2 n 1 2 3
1 1
（2）根据已知有|a -b |< ，|a -b |< 得-1<(a -b )-(a -b )<1，进而有d -1log »6.25，可得n³7；
11 6 66 6 15 6 25 5 25
6
3 5 5 25 3n 5 5 25
当n=2k且kÎN*，则 n+ (- )n+1+ - = (- )n+1+ <0，
2 11 6 66 2 11 6 66
试卷第12页，共13页
{#{QQABDYcg5wiwkIYACQYaQUE4CQiQsJOSJWoOgRCWKE5LwYFABIA=}#}5 5 25 5
所以 ( )n+1 > ，则( )n >1，显然不成立；
11 6 66 6
综上，S
