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第十四讲 基础概率问题
符合题目要求的情况数
✎基础概率问题：P= （若有几个事件同时发生，将各自发生的概率相乘即可）
所有可能的情况数
例题1（2023黑龙江）
如果3个学生一起报名，且3个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1个学生的报名费。他们3
1 1 1
人不能通过科目一考试的概率分别为 、 、 ，则减免1个学生报名费资格的概率为多少？
2 3 4
3 2
A． B．
4 3
1 𝟏
C． D．
3 𝟒
【答案】D
【解析】相当于三个独立事件同时发生，将各自发生的概率相乘即可。根据“他们3人不能通过科目
一考试的概率分别为
1
、
1
、
1 ”，可得3人能通过科目一考试的概率分别为：1－1= 1 、1－1=2 、1－1
＝
2 3 4 2 2 3 3 4
3 1 2 3 1
。那3个人同时通过的概率为： × × ＝ ，答案为D选项。
4 2 3 4 4
例题2（2024联考）
某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45名老人提供居家养老服务。已知老人的年龄构成如下（设
老人的年龄为x）：60≤x＜70有17人，70≤x＜80有12人，80≤x＜90有11人，90岁及以上有5人。
现从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在80岁以上（含80岁）
的概率是？
𝟒 11
A． B．
𝟑𝟑 45
16 1
C． D．
45 3
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【答案】A
80岁以上（含80岁）老人中选两人的情况数（11+5=16人） C2
【 解 析 】 所 求 概 率 = = 16 =
45名老人中选两人的情况数 C2
45
16×15 4
= ，答案为A选项。
45×44 33
例题3（2023北京）
甲和乙两个办公室分别选出2人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则甲办公室员工小刘和小陈
同时被选中的概率正好为10%。乙办公室员工小吴被选中的概率为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A．11 B．15
C．16 D．20
【答案】B
C2 1
【解析】甲办公室员工小刘和小陈同时被选中的概率为 2 = ，乙办公室员工小吴被选中的概率
C2 10
甲
C1
乙−1 1
是 = ，解得甲=5，乙=10，则两个办公室共有15名员工，答案为B选项。
C2 5
乙
例题4（2020山东）
在ATM机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只
记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是多
少？
𝟑 1
A． B．
𝟐𝟎 5
1 2
C． D．
9 9
【答案】A
【解析】末两位的数字可能为 1、3、5、7、9，随机输入两个不同的奇数有A2 =5×4=20种可能，
5
1 1 3
每次输入密码正确的概率是 ，则输入三次的概率是 ×3= ，答案为 A 选项。（注：以抽奖为例：10
20 20 20
1 9 1 1 9 8 1 1
个人参与抽奖，1 号中奖概率为 ，2号中奖概率为 × = ，3号中奖概率为 × × = ……以此
10 10 9 10 10 9 8 10
类推可知，每个人中奖的概率都是相同的。）
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✎分情况讨论与全部减不符：
例题5（2022江苏C）
“双减”政策实施后，某小学下午5：30放学，小李5:00下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30之
前到校；当堵车时，5:30之前到校的概率为0.6。若5:00～5:30堵车的概率为0.3，则小李5:30之前到
校的概率是多少？
A．0.78 B．0.80
C．0.88 D．0.91
【答案】C
【解析】方法一：分两种情况讨论：①堵车情况下 5:30 到校的概率 0.3×0.6=0.18；②不堵车情况
下5:30到校的概率0.7×1=0.7，P=0.18+0.7=0.88（分步用乘法，分类用加法）；
方法二：全部减不符：1－5:30不能到校的概率=1－0.3×（1-0.6）=0.88，答案为C选项。
例题6（2023安徽）
某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都
通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复
审，若复审通过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为 0.4，复审的稿
件能通过的概率为0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为多少？
A．0.32 B．0.256
C．0.24 D．0.208
【答案】B
【解析】分两种情况讨论：①初审两位编辑都通过：0.4×0.4=0.16；②初审有且只有一位编辑通过
且复审主编通过 C1×0.4×0.6×0.2=0.096，则每篇征文被采用的概率为 0.16+0.096=0.256，答案为 B
2
选项。（分步用乘法，分类用加法）
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例题7（2022国考）
某企业将5台不同的笔记本电脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5台电
脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超过3台的概率为多少？
𝟓𝟎 125
A． B．
𝟔𝟑 126
25 125
C． D．
63 252
【答案】A
【解析】共有两种分法：①给甲学校3台平板电脑，2台笔记本电脑；剩下的电脑给乙 ②给甲学校2
3 2 2 3
C ×C +C ×C 200 50
台平板电脑，3台笔记本电脑；剩下的电脑给乙。则P= 5 5 5 5 = = ，
C 5 ×C 5（给甲选5台，剩下5台给乙） 252 63
10 5
答案为A选项。
例题8（2022天津）
某部门共7人，其中有2人博士毕业，5人硕士毕业。某日，该部门随机分成3个小组参加3项不同
的活动，3个小组人数各不相同。问其中2位博士毕业人员分在同一小组的概率在以下哪个范围内？
A．不到25% B．在25%到35%之间
C．在35%到45%之间 D．45%以上
【答案】B
【解析】7 个人分 3 个小组，人数各不相同，只有一种分法： 1 人组、2 人组、4 人组。
P=
C
5
1C
4
4+C
5
1C
4
2C
2
2（2博士去2人组，剩下5人各分为1人组和4人组+2博士去4人组）
=
1，答案为B选项。
C1C2C4（所有情况数） 3
7 6 4
例题9（2022广东）
某街道对辖内6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。
如果从6个社区中随机抽取3个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区
的概率为多少？
1 1
A． B．
5 2
2 𝟒
C． D．
3 𝟓
【答案】D
【解析】方法一：从正面考虑：①抽取的社区有1个考核通过和2个考核不通过；②有2个考核通过
𝐶1𝐶2+𝐶2𝐶1 4
和1个考核不通过，则P= 4 2 4 2 = 。
𝐶3 5
6
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𝐶3 1 4
方法二：全部减不符：1－抽取的都是通过的概率－抽取的都是不通过的概率=1－ 4－0= 1－ = ，
𝐶3 5 5
6
答案为D选项。
例题10（2022安徽）
为了加强环境治理和生态修复，某市派出4位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3个勘探点进行环
境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率是多少？
3 1
A． B．
4 6
𝟓 1
C． D．
𝟔 4
【答案】C
【解析】本题可以用全部减不符：甲、乙去不同勘探点的概率=1－甲、乙去相同勘探点的概率=1－
甲乙一组的情况 = 1－ C 2 2A 3 3 =1－ 1=5 ，答案为C选项。
所有情况 C2A3 6 6
4 3
例题11（2024山东）
山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。
因时间原因，一名参观者决定从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的
概率是多少？
5 15
A． B．
14 28
𝟗 19
C． D．
𝟏𝟒 28
【答案】C
【解析】本题可以用全部减不符：叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率=1－叶雕和皮影展厅都没
C3 6×5×4 9
被选中的概率=1－ 6 =1－ = ，答案为C选项。
C3 8×7×6 14
8
例题12（2024江苏）
小张所在单位共有4个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科室出2个节目。演出结束后，因
8 个节目都非常精彩，决定从中随机选 3 个节目参加上级组织的汇演。则小张所在科室出的节目至少有一
个被选送参加汇演的概率为？
7 11
A． B．
10 14
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11 𝟗
C． D．
20 𝟏𝟒
【答案】D
C3 6×5×4
【解析】本题可以用全部减不符：1－小张科室的节目都没被送选参演的概率=1－ 6 =1－ =
C3 8×7×6
8
9
，答案为D选项。
14
✎分子分母同时简化：
例题13（2024国考副省）
甲、乙等 36人分为 6个小组参加某项活动，要求任意 2 组人数不同，每个组都不少于 3 人，且任何
一组人数不得超过另一组的3倍。问甲和乙至少有1人分到人数第二多的小组的概率为？
A．35% B．40%
C．25% D．30%
【答案】B
【解析】每个组不少于3人，则人数最少的小组有3人；任何一组不得超过另一组的3倍，则人数最
多的小组有 9人。要求任意2组人数不同，则6个小组人数只能是 3、4、5、7、8、9。用全部减不符：
C2 28×27 2
P=1－甲乙都不在人数第二多的小组的概率=1－ 28 =1－ = ，答案为B选项。
C2 36×35 5
36
例题14（2024事业单位联考）
一次学术会议安排3名教授和2名副教授作报告，要求第一个和最后一个作报告的都是教授。如在满
足此要求的安排中随机选择一种，则2名副教授的发言次序相邻的概率为多少？
1 1
A． B．
4 3
𝟐 3
C． D．
𝟑 ４
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【答案】C
【解析】题目要求的顺序：教授○○○教授，则副教授可以在中间的3个发言次序中任选2个，且2
名副教授次序相邻，则副教授的次序要么是中间 3 个次序的前两个，要么是后两个，共有 2 种可能，
2 2
P= = ，答案为C选项。（不用考虑教授、副教授之间的次序，概率问题分子分母都能约分掉）
𝐶2 3
3
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