湖南省“长望浏宁”四县联考2025届高三下学期3月调研考试数学答案_2025年3月_250319湖南省“长望浏宁”四县联考2025届高三下学期3月调研考试试题（全科）

2025 年 3 月高三调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合M {x∣1 x1},N {x∣0 x2}，则M N 
A．{x∣0x1} B．{x∣0 x1}
C．{x∣1x1} D．{x∣1x2}
【答案】A
【详解】集合M {x∣1 x1},N {x∣0 x2}，所以M N {x∣0 x1}.
      
2．已知向量a1,2 ，bm,3，且a// a2b ，则 m
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【答案】C
       3
【详解】a2b1,22m,6 2m1,8 ，由于a// a2b ，所以1822m1,m .
2
3．已知zi1zi，则|z|
5 5
A．2 B．1 C． D．
3 4
【答案】B
1i 1i1i
【详解】由zi1zi，得 1iz1i，所以z  i，所以|z|1.
1i 1i1i
4．已知某圆台的上、下底面半径分别为r ，r ，且r 2r ，若半径为2的球与圆台的上、
1 2 2 1
下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为
28 40 56 112
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】C
【详解】根据题意，设r ＝a，则r 2r ＝2a，圆台的内切球的半径为R，则R＝2，
1 2 1
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相
切于点E，与上、下底分别切于点O ，O ，则有ED＝a，EA＝2a，
1 2
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE•EA，即2a2＝4，
解可得a ，半径为2的球与圆台的上、下底面均相切，
则圆台的=高为2h＝2R＝4，
56
故圆台的体积V （π π π π ）h （2π+8π π π）×4 ．
3
1 2 2 2 2 1
=3 r1+ r2+ r1 × r2 =3× +sin 2π×8  =
5．已知角 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点 P1,2 ，则 的值为
sincos
1 1 2 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】D
【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P1,2 ，∴tan2，
sinπ sin tan 2 2
则     .
sincos sincos tan1 21 3
6.设函数 f  x ex1 1，则使得 f  x1  f x  成立的x的取值范围是
 1 1   1  1 1
A．0， B． ， C．， D． ，
 2 2   2  2 2
【答案】B
1
【详解】因为 f  x  的图像关于直线x 1对称，所以 x2   x1 ，解得x  ，
2
7.已知 f  x  、g  x  分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若函数 f  x g  x  的值域是  2，4  ，
则函数 f

x
g 
x

的最大值是
A．2 B．1 C．2 D．4
【答案】C
            
【详解】因为2 f x  g x  4，且 f x  g x   f  x  g  x ，
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}           
所以4 f  x  g  x  2，故4 f x  g x  2,所以 f x  g x 的最大值
是2.
8.甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为 x,y ，A表示事件“x4”，
B表示事件“ y 为奇数”，C表示事件“x y8”，D表示事件“x y 7”，则相互独
立的事件是
A．A与C B．B与C C．C与D D．B与D
【答案】D
2 1
【详解】对于A, P(A)  .C事件x y8的情况有：当x3时，y 6；当x4
6 3
时，y 5、y 6；当x5时，y 4、y 5、y 6；当x6时，y 3、y 4、y 5、
10 5 7
y 6，共10种情况，所以P(C)  ，P(AC)  P(A)P(C)，所以A错误；
36 18 36
1 4 1
对于B， y 为奇数的概率P(B) ，P(BC)   P(B)P(C)，所以B错误；
2 36 9
对于C，C与D不能同时发生，P(CD) P(C)P(D)，所以C错误.
对于D, 事件D对应的x y 7，有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)这6种情况,
6 1 3 1
P(D)  ,P(BD)   P(B)P(D)，所以D正确；
36 6 36 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
π
9．已知函数 f xsinx0, )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
2
π
A．
6
B． f x 是奇函数
C．
2
 π 
D．使 f x 取得最小值的x的集合为 x|x 2kπ,kZ
 3 
【答案】AD
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}7π π
【详解】由图可得， f x 的最小正周期T 2  2π，又0，
 6 6
2π π  π  π π
所以 1，C错误.又 f  sin 0，由图可得 2kπkZ ，结合 ，
T 6 6  6 2
π  π π π
所以 ，A正确.所以 f xsinx ，由x  2kπ,kZ，解得
6  6 6 2
π  π 
x 2kπ,kZ，所以 f x 取得最小值的x的集合为x x 2kπ,kZ ，D正确.
3  3 
由函数图象可知， f x 既不是奇函数也不是偶函数，B错误.
10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是
A．数据 3，1,3,7,8,9,11,15的第25百分位数是1；
1
B．若一组样本数据 x,y  （i1，2，…，n）的对应样本点都在直线 y  x1上，
i i
3
1
则这组样本数据的相关系数为 ；
3
C．已知随机变量X Bn,p ，若EX36，DX9，则n48；
 
D．某班有 50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N 100,102 ,则理
论上说在 90~100 分的人数约为 17 人.（参考数据：p( X )0.6827,
p(2 X 2)0.9545, p(3 X 3)0.9973）
【答案】ACD
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于825%2，
-1+3
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数 =1，故A正确；
2
1
对于选项B，因为样本点都在直线 y  x1上，说明是负相关且线性相关性很强，
3
所以相关系数为1，故B错误.
对于选项C，因为X Bn,p ，E  X 36，D  X 9，
np 36 3
所以 ，解得 p  ,n48，故C正确；
np(1 p)9 4
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}1
对于选项D，由P  90 x100  P( x)0.34135，可得在90~100
2
分的人数是500.3413517，故D正确，故选：ACD.
11.环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响
xa
应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S  x   ，x  0，1  ,a 0.
xa   1 x a
其中x表示污染物浓度,a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高）.下列结论中正确的是：
1 1
A.S(x)过定点 , ； B.S(x)在污染物浓度区间 [0,1]上单调递增；
2 2
1 1
C.S(x)关于x 对称； D.取定x的值（0 x ），灵敏度越高，监测值越小．
2 2
【答案】ABD
a
1
 
1 1 2 1 1 1
【详解】对于A，在S(x)中，令x ，则S   ，过定点 , ，故A正确；
2 2 1 a 2 2 2
2 
2
对于B， Sx
a x1x

a1
，当x 0,1  ，Sx0，则Sx 为单调递增，故B正确；
2
 xa 1xa
 
对于C，由B选项知Sx
为单调递增，故不存在轴对称性，故C错误；
对于D，以a为自变量，设Sx 为Ta
，则
Ta
 x1x

a
ln x
，
 xa1xa 2 1x
 
a0，故
 x1x

a
2
0 ，Ta
的正负取决于ln
x
，
 xa1xa 1x
 
x 1
当0 1，即0 x 时，Ta0，随着a的增大，Sx 减小；
1x 2
x 1
当 1，即  x1时，Ta0，随着a的增大，Sx 增大，故D正确.
1x 2
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线 y2 4x上，点A(m,4)在此抛物线上，F 为抛物线的焦点， 则| AF|
。
【答案】5
【详解】点A(m,4)在此抛物线上，解得m4，所以| AF|
4+1=5.
13.甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一个人投篮，
共投3个球，投中次数多者为胜。每次投篮，甲投中的概率为0.9，乙投中的概率为0.8，
则甲获胜的概率为 。
【答案】0.441
【详解】甲获胜包括以下情况，甲先投时，甲以2：0、2：1、1：0获胜；乙先投时，甲
以1：0获胜，所以甲获胜的概率为：
p0.50.910.90.50.90.20.120.50.20.90.20.441.
14.若函数 f  x  lnxaex lna 有两个不同的零点，则a的取值范围是__________。
1
【答案】(0, )
e
【详解】由函数 f  x  lnxaex lna有两个不同的零点得lnxaex lna有两个不等实
根，整理得lnxexlna lna，则lnxxexlna (xlna)，即lnxelnx exlna (xlna)，
令函数h(x) xex，则lnxelnx exlna (xlna)即为h(lnx)h(xlna) ，函数h(x)在
R上单调递增，则lnx xlna，即lna lnxx，
     
令g x lnx x，x 0, ，易知g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，
g  x   g  1   1，因此g  x  在(0,1)的值域为(,1)；当x2时，令
max
1 1 1
(x)lnx x，(x)  0，函数(x)在(2,)上单调递减，
2 x 2
1 1 1
(x)(2)ln210，则lnx x，当x2时， f(x)lnxx xx x，
2 2 2
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}1
显然函数 y  x在(2,)取值集合为(,1)，因此函数 f(x)在(1,)的取值集合
2
1
为(,1)，则lna lnxx有两个根，必有lna1，解得0a ，所以a的取值范
e
1
围为(0, )
e
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C 的对边，且
2bcosC acosCccosA .
(1)求C；
(2)若c 13，且 ABC 的面积为3 3，求a,b的值.
解：（1）因为2bcosC acosCccosA ，由正弦定理可得
2sinBcosCsinAcosCsinCcosAsinACsinB，………………3分
1 π
又 π ，所以sinB0，所以cosC  ，因为C0,π ，所以C  ；…………5分
2 3
B∈ 0, π
（2）因为c 13，C  且ABC 的面积为3 3，
3
所以a2b22abcosC c2…………………………………………………………………7分
1
且S  absinC 3 3 ，…………………………………………………………………9分
ABC 2
a2b2ab13
即 ，…………………………………………………………………………11分
ab12
a4 a3
解得 或 .…………………………………………………………………………13分
b3 b4
第 7 页 共13 页
{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}16．（本小题满分 15 分）如图所示，在直四棱柱 ABCD ABC D 中， AB//CD ，
1 1 1 1
AB  AD，且AB  AD 1，CD 2，AA 2 2，M 是DD 的中点．
1 1
（Ⅰ）证明：BC  BM ；
1
（Ⅱ）求点B到平面MBC的距离．
1
解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则： ， ， ，
B(1 1 0)
， ， ， ， ， ， ， ， ，………………4分
C(0 2 0) B1(1 1 2 2) M(0 0 2)
则 ， ， ， ， ，…6分
→ →
BC⋅ B1M=(−1 1 0)⋅(−1 −1 − 2)=1−1+0= 0
故BC⊥B M；………………7分
1
（Ⅱ）解：由于 ， ， ， ， ， ，
B 1 1 0 C 0 2 0
， ， ， ， ， ，
B1 1 1 2 2 M(0 0 2)
设平面MBC的一个法向量为 ， ， ，……8分
1
→
m=(x y z)
则 → → ，据此可得 ， ， ，…………………10分
m⋅ MB1=x+y+ 2z= 0 →
→ → m=(3 −1 − 2)
m⋅ CB1=x−y+2 2z= 0
且 ， ， ，…………………12分
→
CB=(1 −1 0)
故点B到平面MB C的距离 ．…………………15分
1 → →
|m⋅CB| |3+1+0| 2 3
→
d= |m| = 12 = 3 3
17.（本小题满分15分）已知数列 a 的前n项和为S ，a  ，S 2a 3．
n n 1 2 n n1
 
（1）求数列 a 的通项公式；
n
（2）若b (n1)a ，求数列  b  的前 n 项和 T ；
n n n n
n2 n
（3）若c  ，求使c 取得最大值时的n的值。
n a n
n
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}解：（1）因为S ＝2a ﹣3，且 ，所以 ，………………………………1分
1 2
3 9
S1 =a1 =2 a2 =4
由S ＝2a ﹣3，可得：S ＝2a ﹣3（n≥2），………………………………2分
n n+1 n﹣1 n
两式相减得：a ＝S ﹣S ＝2a ﹣2a ，………………………………3分
n n n﹣1 n+1 n
因为a ≠0，所以当n≥2时， ，………………4分
n
an+1 3
an =2
又 ，综上，当n≥1时， ，
a2 3 an+1 3
a1 =2
 
an =2
所以数列 a 是首项和公比均为 的等比数列 ；………………5分
n
3 n−1 3 n
2 an =a1×q =(2)
（2）由题意， ，………………6分
3 n
bn =(n+1)(2)
所以 ，①
3 1 3 2 3 3 3 n
Tn =2×(2) +3×(2) +4×(2) +...+(n+1)×(2)
，②………………8分
3 3 2 3 3 3 4 3 n+1
2Tn =2×(2) +3×(2) +4×(2) +⋯+(n+1)×(2)
①﹣②得：
1 3 2 3 3 3 n 3 n+1
−2Tn =3+(2) +(2) +...+(2) −(n+1)×(2)
9 3 n−1
4×[1−(2) ] 3 n+1
3
=3+ 1−2 −(n+1)(2)
，
3 9 3 n−1 3 n+1 3 3 n+1
=−2+2×(2) −(n+1)(2) =−2+(1−n)(2)
所以 ；………………………………………………10分
3 n+1
Tn =3+2(n−1)(2)
（3）由（1）可得，所以 ，………………………………………11分
2 n 2
cn =(3) (n +n)
当n≥2时，由 ＞ ，可得n＜5；…………………12分
2
cn 2(n +n) 2(n+1)
2
当n＜5时，c ＜ cn− c 1 = ＜ 3 c (n ＜ −n c ) ， = 当 3(n− n 1 ＞ ) 5 1 时，c ＞c ＞c ＞⋯ ，…………………13分
1 2 3 4 5 6 7
当n＝4时， ，当n＝5时， ，
2 4 2 320 2 5 2 320
所以c ＝c ， c 所 4 = 以 ( c 3) ＜ ( c 4 ＜ + c 4 ＜ )= c ＝ 81 c ＞c ＞c ＞⋯ ， c5 … = … ( … 3) … (5 …… + … 5) 1 = 4分 81
4 5 1 2 3 4 5 6 7
综上，当n＝4或n＝5时，c 取得最大值 ．…………………15分
n
320
81
第 9 页 共13 页
{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}x2 y2
18.（本小题满分17分）已知双曲线C:  1  a0,b0  的左、右焦点为F、F ，
a2 b2 1 2
过F 作平行于 y 轴的直线交C于P、Q两点，若|FP|5，|PQ| 6，
2 1
(1)求双曲线C的方程；
(2) 设直线l 与双曲线C相切，切点为A，与渐近线相交于D,E两点.
（i）证明：ODOE为定值；
（ii）设直线l与圆O:x2 y2 r2相切于点B，若 AB 的长度为圆O的直径，求直线l的方
程.
解：（1）由题意得|PF |3，……………………………………………………1分
2
得||PF ||PF ||2a 2, ………………………………………………………………2分
1 2
又由勾股定理得|FF |4………………………………………………………………3分
1 2
解得a1,c2，所以b
3，……………………………………………………4分
y2
故双曲线C的标准方程为x2 1．………………………………………………5分
3
（2）（i）①当l与x轴垂直时，l:x1，解得D(1, 3),E(1, 3), ODOE 2
………………………………………………………………………7分
     
②当l与x轴不垂直时，设D x ,y ,E x ,y ,A x ,y ,设l:ykxm
1 1 2 2 3 3
与x2 y2 1联立可得：  3k2 x22kmxm230，………………8分
3
且有3k2 0, 4k2m2 4(3k2)(m2 3)12(m2 k2 3)0，
故m2 k23，…………………………………………………………9分
km k m2 k2 3
且x   ,y kx m  ．
3 3k2 m 3 3 m m
第 10 页 共13 页
{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}将l:ykxm与x2 y2 0联立可得：  3k2 x22kmxm2 0．
3
2km 2k m2
x x   ,x x  1，………………10分
1 2 3k2 m 1 2 3k2
ODOE  x x  y y  x x (kx m)(kx m)（1k2)x x km(x x )m2 1k2 km
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2k
 m21k2m22 ．综上所述，ODOE 2 ，所以得证.………………11分
 m 
m
（ii）由l与圆相切可知：r  ．………………………………………………13分
1k2
因为| AB|2r，所以|OA| 5r．………………………………………………14分
 k 3  k  2  3  2 m2
由（i）可知A , ，则|OA|2







5 ．而m2 k23．
 m m  m  m 1k2
消去k可得：m44m212  m22  m26  0,m2 6,k2 9，………15分
故l: y3x 6．……………………………………………………………17分
19.已知函数 f(x) xalnx1
(1).讨论函数 f(x)的单调性；
(2).若 f(x)0恒成立，求实数a的值；
(3).若a  0，1  ，证明： x1  lnx1a .
ea ex
解：（1） f(x)1 a  xa  x0  .---------------------------------1分
x x
(ⅰ) 当a0时， f(x)0恒成立，所以 f(x)在  0,  上单调递增；-----------2分
(ⅱ) 当a0时，由 f(x)0解得x a，所以 f(x)在  a, 上单调递增；
由 f(x)0解得0 xa，所以 f(x)在  0，a  上单调递减.
综上所述，当a0时， f(x)在  0,  上单调递增；当a0时， f(x)在  0，a  上单调递
减，在
 a,
上单调递增.-------------------------------------------------------4分
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}（2）由(1)知：(ⅰ) 当a0时， f(x)在  0,  上单调递增且 f(1)0，
所以x 0,1  时 f(x)0,不符合题意.----------------------------------5分
(ⅱ) 当a0时， f(x)在  0，a  上单调递减，在  a, 上单调递增.
故 f  x   f  a  aalna1.令(a)aalna1，依题意(a)0.--------------①
min
又(a)1lna1lna，由(a)0得0a1，由(a)0得a1.
所以(a)在  0，,1  上单调递增，在  1，  单调递减，------------7分
因此(a)在a 1处取得最大值，即  a (1)0，故(a)0.---------②
max
由①②得，(a)  0. ---------------------------------9分
又因为(a)在  0，1  上单调递增，在  1，  单调递减，且(1)  0.
所以(a)  0有且仅有一个解，即a 1.---------------------------10分
(3)要证
x1

lnx1a
，即证  x1  exa lnx1a0，
ea ex
令 x  x1  exa lnx1a  x 0  .
1
 x  xexa  .-------------------------------------------11分
x
1 1
令 x  xexa   x 0  ， x  x1  exa  0.
x x2
所以
x

在
 0，
上单调递增.------------12分
又a  0，1  ， 1    1 e 1 2 a 20, 1 e1a 10，----------------13分
2 2
所以x
0


1
2
,1
 
 ，使得 x
0
0，即x
0
ex0 a 
x
1 ，
0
1
所以ex0 a  ，x a 2lnx ，-------------------------14分
x2 0 0
0
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}所以当x 0,x  ， x 0， x  单调递减；当x  x , ， x 0， x  单调递增.
0 0
x 1
所以 x   x  x 1  ex0 a lnx 1a  0 3lnx x 1------------15分
min 0 0 0 x2 0 0
0
又（2）知当a 1时，xlnx10恒成立，lnx x1，lnx 1x ，
0 0
x 1  1x  2x 1  2x 1 
 x  0 +3  1x x 1 0 0 0 ---------16分
0 x2 0 0 x2
0 0
又x
0
  

1
2
,1 

，所以 x 
min
= x
0
  1x 0  2x 0
x

2
1  2x 0 1  0
0
故 x  x1  exa lnx1a0.
x1 lnx1a
即：  --------------------------------17分
ea ex
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{#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}