湖南省“长望浏宁”四县联考2025届高三下学期3月调研考试数学答案_2025年3月_250319湖南省“长望浏宁”四县联考2025届高三下学期3月调研考试试题（全科）

2025 年 3 月高三调研考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合M {x∣1 x1},N {x∣0 x2}，则M N  A．{x∣0x1} B．{x∣0 x1} C．{x∣1x1} D．{x∣1x2} 【答案】A 【详解】集合M {x∣1 x1},N {x∣0 x2}，所以M N {x∣0 x1}.        2．已知向量a1,2 ，bm,3，且a// a2b ，则 m 1 3 A． B．1 C． D．2 2 2 【答案】C        3 【详解】a2b1,22m,6 2m1,8 ，由于a// a2b ，所以1822m1,m . 2 3．已知zi1zi，则|z| 5 5 A．2 B．1 C． D． 3 4 【答案】B 1i 1i1i 【详解】由zi1zi，得 1iz1i，所以z  i，所以|z|1. 1i 1i1i 4．已知某圆台的上、下底面半径分别为r ，r ，且r 2r ，若半径为2的球与圆台的上、 1 2 2 1 下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为 28 40 56 112 A． B． C． D． 3 3 3 3 【答案】C 【详解】根据题意，设r ＝a，则r 2r ＝2a，圆台的内切球的半径为R，则R＝2， 1 2 1 第 1 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相 切于点E，与上、下底分别切于点O ，O ，则有ED＝a，EA＝2a， 1 2 注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°， Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE•EA，即2a2＝4， 解可得a ，半径为2的球与圆台的上、下底面均相切， 则圆台的=高为2h＝2R＝4， 56 故圆台的体积V （π π π π ）h （2π+8π π π）×4 ． 3 1 2 2 2 2 1 =3 r1+ r2+ r1 × r2 =3× +sin 2π×8  = 5．已知角 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点 P1,2 ，则 的值为 sincos 1 1 2 2 A． B． C． D． 3 3 3 3 【答案】D 【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P1,2 ，∴tan2， sinπ sin tan 2 2 则     . sincos sincos tan1 21 3 6.设函数 f  x ex1 1，则使得 f  x1  f x  成立的x的取值范围是  1 1   1  1 1 A．0， B． ， C．， D． ，  2 2   2  2 2 【答案】B 1 【详解】因为 f  x  的图像关于直线x 1对称，所以 x2   x1 ，解得x  ， 2 7.已知 f  x  、g  x  分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若函数 f  x g  x  的值域是  2，4  ， 则函数 f  x g  x  的最大值是 A．2 B．1 C．2 D．4 【答案】C              【详解】因为2 f x  g x  4，且 f x  g x   f  x  g  x ， 第 2 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}            所以4 f  x  g  x  2，故4 f x  g x  2,所以 f x  g x 的最大值 是2. 8.甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为 x,y ，A表示事件“x4”， B表示事件“ y 为奇数”，C表示事件“x y8”，D表示事件“x y 7”，则相互独 立的事件是 A．A与C B．B与C C．C与D D．B与D 【答案】D 2 1 【详解】对于A, P(A)  .C事件x y8的情况有：当x3时，y 6；当x4 6 3 时，y 5、y 6；当x5时，y 4、y 5、y 6；当x6时，y 3、y 4、y 5、 10 5 7 y 6，共10种情况，所以P(C)  ，P(AC)  P(A)P(C)，所以A错误； 36 18 36 1 4 1 对于B， y 为奇数的概率P(B) ，P(BC)   P(B)P(C)，所以B错误； 2 36 9 对于C，C与D不能同时发生，P(CD) P(C)P(D)，所以C错误. 对于D, 事件D对应的x y 7，有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)这6种情况, 6 1 3 1 P(D)  ,P(BD)   P(B)P(D)，所以D正确； 36 6 36 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 π 9．已知函数 f xsinx0, )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 2 π A． 6 B． f x 是奇函数 C． 2  π  D．使 f x 取得最小值的x的集合为 x|x 2kπ,kZ  3  【答案】AD 第 3 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}7π π 【详解】由图可得， f x 的最小正周期T 2  2π，又0，  6 6 2π π  π  π π 所以 1，C错误.又 f  sin 0，由图可得 2kπkZ ，结合 ， T 6 6  6 2 π  π π π 所以 ，A正确.所以 f xsinx ，由x  2kπ,kZ，解得 6  6 6 2 π  π  x 2kπ,kZ，所以 f x 取得最小值的x的集合为x x 2kπ,kZ ，D正确. 3  3  由函数图象可知， f x 既不是奇函数也不是偶函数，B错误. 10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是 A．数据 3，1,3,7,8,9,11,15的第25百分位数是1； 1 B．若一组样本数据 x,y  （i1，2，…，n）的对应样本点都在直线 y  x1上， i i 3 1 则这组样本数据的相关系数为 ； 3 C．已知随机变量X Bn,p ，若EX36，DX9，则n48；   D．某班有 50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N 100,102 ,则理 论上说在 90~100 分的人数约为 17 人.（参考数据：p( X )0.6827, p(2 X 2)0.9545, p(3 X 3)0.9973） 【答案】ACD 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于825%2， -1+3 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数 =1，故A正确； 2 1 对于选项B，因为样本点都在直线 y  x1上，说明是负相关且线性相关性很强， 3 所以相关系数为1，故B错误. 对于选项C，因为X Bn,p ，E  X 36，D  X 9， np 36 3 所以 ，解得 p  ,n48，故C正确； np(1 p)9 4 第 4 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}1 对于选项D，由P  90 x100  P( x)0.34135，可得在90~100 2 分的人数是500.3413517，故D正确，故选：ACD. 11.环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响 xa 应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S  x   ，x  0，1  ,a 0. xa   1 x a 其中x表示污染物浓度,a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高）.下列结论中正确的是： 1 1 A.S(x)过定点 , ； B.S(x)在污染物浓度区间 [0,1]上单调递增； 2 2 1 1 C.S(x)关于x 对称； D.取定x的值（0 x ），灵敏度越高，监测值越小． 2 2 【答案】ABD a 1   1 1 2 1 1 1 【详解】对于A，在S(x)中，令x ，则S   ，过定点 , ，故A正确； 2 2 1 a 2 2 2 2  2 对于B， Sx a x1x  a1 ，当x 0,1  ，Sx0，则Sx 为单调递增，故B正确； 2  xa 1xa   对于C，由B选项知Sx 为单调递增，故不存在轴对称性，故C错误； 对于D，以a为自变量，设Sx 为Ta ，则 Ta  x1x  a ln x ，  xa1xa 2 1x   a0，故  x1x  a 2 0 ，Ta 的正负取决于ln x ，  xa1xa 1x   x 1 当0 1，即0 x 时，Ta0，随着a的增大，Sx 减小； 1x 2 x 1 当 1，即  x1时，Ta0，随着a的增大，Sx 增大，故D正确. 1x 2 第 5 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线 y2 4x上，点A(m,4)在此抛物线上，F 为抛物线的焦点， 则| AF| 。 【答案】5 【详解】点A(m,4)在此抛物线上，解得m4，所以| AF| 4+1=5. 13.甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一个人投篮， 共投3个球，投中次数多者为胜。每次投篮，甲投中的概率为0.9，乙投中的概率为0.8， 则甲获胜的概率为 。 【答案】0.441 【详解】甲获胜包括以下情况，甲先投时，甲以2：0、2：1、1：0获胜；乙先投时，甲 以1：0获胜，所以甲获胜的概率为： p0.50.910.90.50.90.20.120.50.20.90.20.441. 14.若函数 f  x  lnxaex lna 有两个不同的零点，则a的取值范围是__________。 1 【答案】(0, ) e 【详解】由函数 f  x  lnxaex lna有两个不同的零点得lnxaex lna有两个不等实 根，整理得lnxexlna lna，则lnxxexlna (xlna)，即lnxelnx exlna (xlna)， 令函数h(x) xex，则lnxelnx exlna (xlna)即为h(lnx)h(xlna) ，函数h(x)在 R上单调递增，则lnx xlna，即lna lnxx，       令g x lnx x，x 0, ，易知g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， g  x   g  1   1，因此g  x  在(0,1)的值域为(,1)；当x2时，令 max 1 1 1 (x)lnx x，(x)  0，函数(x)在(2,)上单调递减， 2 x 2 1 1 1 (x)(2)ln210，则lnx x，当x2时， f(x)lnxx xx x， 2 2 2 第 6 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}1 显然函数 y  x在(2,)取值集合为(,1)，因此函数 f(x)在(1,)的取值集合 2 1 为(,1)，则lna lnxx有两个根，必有lna1，解得0a ，所以a的取值范 e 1 围为(0, ) e 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C 的对边，且 2bcosC acosCccosA . (1)求C； (2)若c 13，且 ABC 的面积为3 3，求a,b的值. 解：（1）因为2bcosC acosCccosA ，由正弦定理可得 2sinBcosCsinAcosCsinCcosAsinACsinB，………………3分 1 π 又 π ，所以sinB0，所以cosC  ，因为C0,π ，所以C  ；…………5分 2 3 B∈ 0, π （2）因为c 13，C  且ABC 的面积为3 3， 3 所以a2b22abcosC c2…………………………………………………………………7分 1 且S  absinC 3 3 ，…………………………………………………………………9分 ABC 2 a2b2ab13 即 ，…………………………………………………………………………11分 ab12 a4 a3 解得 或 .…………………………………………………………………………13分 b3 b4 第 7 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}16．（本小题满分 15 分）如图所示，在直四棱柱 ABCD ABC D 中， AB//CD ， 1 1 1 1 AB  AD，且AB  AD 1，CD 2，AA 2 2，M 是DD 的中点． 1 1 （Ⅰ）证明：BC  BM ； 1 （Ⅱ）求点B到平面MBC的距离． 1 解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则： ， ， ， B(1 1 0) ， ， ， ， ， ， ， ， ，………………4分 C(0 2 0) B1(1 1 2 2) M(0 0 2) 则 ， ， ， ， ，…6分 → → BC⋅ B1M=(−1 1 0)⋅(−1 −1 − 2)=1−1+0= 0 故BC⊥B M；………………7分 1 （Ⅱ）解：由于 ， ， ， ， ， ， B 1 1 0 C 0 2 0 ， ， ， ， ， ， B1 1 1 2 2 M(0 0 2) 设平面MBC的一个法向量为 ， ， ，……8分 1 → m=(x y z) 则 → → ，据此可得 ， ， ，…………………10分 m⋅ MB1=x+y+ 2z= 0 → → → m=(3 −1 − 2) m⋅ CB1=x−y+2 2z= 0 且 ， ， ，…………………12分 → CB=(1 −1 0) 故点B到平面MB C的距离 ．…………………15分 1 → → |m⋅CB| |3+1+0| 2 3 → d= |m| = 12 = 3 3 17.（本小题满分15分）已知数列 a 的前n项和为S ，a  ，S 2a 3． n n 1 2 n n1   （1）求数列 a 的通项公式； n （2）若b (n1)a ，求数列  b  的前 n 项和 T ； n n n n n2 n （3）若c  ，求使c 取得最大值时的n的值。 n a n n 第 8 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}解：（1）因为S ＝2a ﹣3，且 ，所以 ，………………………………1分 1 2 3 9 S1 =a1 =2 a2 =4 由S ＝2a ﹣3，可得：S ＝2a ﹣3（n≥2），………………………………2分 n n+1 n﹣1 n 两式相减得：a ＝S ﹣S ＝2a ﹣2a ，………………………………3分 n n n﹣1 n+1 n 因为a ≠0，所以当n≥2时， ，………………4分 n an+1 3 an =2 又 ，综上，当n≥1时， ， a2 3 an+1 3 a1 =2   an =2 所以数列 a 是首项和公比均为 的等比数列 ；………………5分 n 3 n−1 3 n 2 an =a1×q =(2) （2）由题意， ，………………6分 3 n bn =(n+1)(2) 所以 ，① 3 1 3 2 3 3 3 n Tn =2×(2) +3×(2) +4×(2) +...+(n+1)×(2) ，②………………8分 3 3 2 3 3 3 4 3 n+1 2Tn =2×(2) +3×(2) +4×(2) +⋯+(n+1)×(2) ①﹣②得： 1 3 2 3 3 3 n 3 n+1 −2Tn =3+(2) +(2) +...+(2) −(n+1)×(2) 9 3 n−1 4×[1−(2) ] 3 n+1 3 =3+ 1−2 −(n+1)(2) ， 3 9 3 n−1 3 n+1 3 3 n+1 =−2+2×(2) −(n+1)(2) =−2+(1−n)(2) 所以 ；………………………………………………10分 3 n+1 Tn =3+2(n−1)(2) （3）由（1）可得，所以 ，………………………………………11分 2 n 2 cn =(3) (n +n) 当n≥2时，由 ＞ ，可得n＜5；…………………12分 2 cn 2(n +n) 2(n+1) 2 当n＜5时，c ＜ cn− c 1 = ＜ 3 c (n ＜ −n c ) ， = 当 3(n− n 1 ＞ ) 5 1 时，c ＞c ＞c ＞⋯ ，…………………13分 1 2 3 4 5 6 7 当n＝4时， ，当n＝5时， ， 2 4 2 320 2 5 2 320 所以c ＝c ， c 所 4 = 以 ( c 3) ＜ ( c 4 ＜ + c 4 ＜ )= c ＝ 81 c ＞c ＞c ＞⋯ ， c5 … = … ( … 3) … (5 …… + … 5) 1 = 4分 81 4 5 1 2 3 4 5 6 7 综上，当n＝4或n＝5时，c 取得最大值 ．…………………15分 n 320 81 第 9 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}x2 y2 18.（本小题满分17分）已知双曲线C:  1  a0,b0  的左、右焦点为F、F ， a2 b2 1 2 过F 作平行于 y 轴的直线交C于P、Q两点，若|FP|5，|PQ| 6， 2 1 (1)求双曲线C的方程； (2) 设直线l 与双曲线C相切，切点为A，与渐近线相交于D,E两点. （i）证明：ODOE为定值； （ii）设直线l与圆O:x2 y2 r2相切于点B，若 AB 的长度为圆O的直径，求直线l的方 程. 解：（1）由题意得|PF |3，……………………………………………………1分 2 得||PF ||PF ||2a 2, ………………………………………………………………2分 1 2 又由勾股定理得|FF |4………………………………………………………………3分 1 2 解得a1,c2，所以b 3，……………………………………………………4分 y2 故双曲线C的标准方程为x2 1．………………………………………………5分 3 （2）（i）①当l与x轴垂直时，l:x1，解得D(1, 3),E(1, 3), ODOE 2 ………………………………………………………………………7分       ②当l与x轴不垂直时，设D x ,y ,E x ,y ,A x ,y ,设l:ykxm 1 1 2 2 3 3 与x2 y2 1联立可得：  3k2 x22kmxm230，………………8分 3 且有3k2 0, 4k2m2 4(3k2)(m2 3)12(m2 k2 3)0， 故m2 k23，…………………………………………………………9分 km k m2 k2 3 且x   ,y kx m  ． 3 3k2 m 3 3 m m 第 10 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}将l:ykxm与x2 y2 0联立可得：  3k2 x22kmxm2 0． 3 2km 2k m2 x x   ,x x  1，………………10分 1 2 3k2 m 1 2 3k2 ODOE  x x  y y  x x (kx m)(kx m)（1k2)x x km(x x )m2 1k2 km 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  2k  m21k2m22 ．综上所述，ODOE 2 ，所以得证.………………11分  m  m （ii）由l与圆相切可知：r  ．………………………………………………13分 1k2 因为| AB|2r，所以|OA| 5r．………………………………………………14分  k 3  k  2  3  2 m2 由（i）可知A , ，则|OA|2        5 ．而m2 k23．  m m  m  m 1k2 消去k可得：m44m212  m22  m26  0,m2 6,k2 9，………15分 故l: y3x 6．……………………………………………………………17分 19.已知函数 f(x) xalnx1 (1).讨论函数 f(x)的单调性； (2).若 f(x)0恒成立，求实数a的值； (3).若a  0，1  ，证明： x1  lnx1a . ea ex 解：（1） f(x)1 a  xa  x0  .---------------------------------1分 x x (ⅰ) 当a0时， f(x)0恒成立，所以 f(x)在  0,  上单调递增；-----------2分 (ⅱ) 当a0时，由 f(x)0解得x a，所以 f(x)在  a, 上单调递增； 由 f(x)0解得0 xa，所以 f(x)在  0，a  上单调递减. 综上所述，当a0时， f(x)在  0,  上单调递增；当a0时， f(x)在  0，a  上单调递 减，在  a, 上单调递增.-------------------------------------------------------4分 第 11 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}（2）由(1)知：(ⅰ) 当a0时， f(x)在  0,  上单调递增且 f(1)0， 所以x 0,1  时 f(x)0,不符合题意.----------------------------------5分 (ⅱ) 当a0时， f(x)在  0，a  上单调递减，在  a, 上单调递增. 故 f  x   f  a  aalna1.令(a)aalna1，依题意(a)0.--------------① min 又(a)1lna1lna，由(a)0得0a1，由(a)0得a1. 所以(a)在  0，,1  上单调递增，在  1，  单调递减，------------7分 因此(a)在a 1处取得最大值，即  a (1)0，故(a)0.---------② max 由①②得，(a)  0. ---------------------------------9分 又因为(a)在  0，1  上单调递增，在  1，  单调递减，且(1)  0. 所以(a)  0有且仅有一个解，即a 1.---------------------------10分 (3)要证 x1  lnx1a ，即证  x1  exa lnx1a0， ea ex 令 x  x1  exa lnx1a  x 0  . 1  x  xexa  .-------------------------------------------11分 x 1 1 令 x  xexa   x 0  ， x  x1  exa  0. x x2 所以 x  在  0， 上单调递增.------------12分 又a  0，1  ， 1    1 e 1 2 a 20, 1 e1a 10，----------------13分 2 2 所以x 0   1 2 ,1    ，使得 x 0 0，即x 0 ex0 a  x 1 ， 0 1 所以ex0 a  ，x a 2lnx ，-------------------------14分 x2 0 0 0 第 12 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}所以当x 0,x  ， x 0， x  单调递减；当x  x , ， x 0， x  单调递增. 0 0 x 1 所以 x   x  x 1  ex0 a lnx 1a  0 3lnx x 1------------15分 min 0 0 0 x2 0 0 0 又（2）知当a 1时，xlnx10恒成立，lnx x1，lnx 1x ， 0 0 x 1  1x  2x 1  2x 1   x  0 +3  1x x 1 0 0 0 ---------16分 0 x2 0 0 x2 0 0 又x 0     1 2 ,1   ，所以 x  min = x 0   1x 0  2x 0 x  2 1  2x 0 1  0 0 故 x  x1  exa lnx1a0. x1 lnx1a 即：  --------------------------------17分 ea ex 第 13 页 共13 页 {#{QQABAYAEoggAABIAAAgCAwHQCEKQkAGACYoOwFAYsAAAgBNABAA=}#}