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2024 年秋学期高三年级第四次阶段性考试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式求出集合A，再根据交集运算求出 .
【详解】由 ，解得 或 .
所以 或 ，
又 ，所以 .
故选：D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法法则得到 ，然后求模即可.
【详解】由题意得 ，所以 .
故选：A.
3. 已知角 终边上一点 ，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案.
【详解】由题意得 ， ，
所以 .
故选：D.
4. 已知函数 过定点M，点M在直线 上且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有 ，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小
值.
【详解】由题设， 恒过点 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以目标式最小值为 .
故选：A
5. 设 与 是两个向量，则 是 或 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】运用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算计算判定即可.
【详解】由 得 ，则 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 则 ，即 ，无法得出 或 ，
综上所述， 是 或 的必要不充分条件.
故选：B.
6. 首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求解即可
【详解】由等差数列的通项公式可得： ，∵从第10项开始为正数，∴
，解得 ，∴公差 的取值范围是 ，
故选：D.
7. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A. (1,+∞) B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出 的范围以及 之间的关系，再利用函数单调性求范围；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，所以 且 ，则
，
故 ，令 ，则 在(1,+∞)上恒成立，
所以 在(1,+∞)上单调递增，则 ，即 的取值范围是 .
故选：C
8. 如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 分别为线段 和 棱
上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先连接 ，过 作 ，连接 ，过 作 .根据面面垂直的性质得
到 平面 ，即 .再根据相似三角形得到 ， ，即
.再将 转化为 ，求其最小值即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】连接 ，过 作 ，连接 ，过 作 .
因为平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
所以 .
又因为 ，所以 .
即 .
因为 ，所以 .
在 中， .
因为 ，所以 .
即 ， .
所以 .
即 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题 ， 的否定是 ， .
B. P是 所在平面内一点，若 ，则P是 的垂心
C. 关于x的方程 有一正一负根，则
D. 若 ， ， ，则此三角形有两解
【答案】AB
【解析】
【分析】运用存在量词命题的否定判定A；运用垂心概念，结合向量垂直判定B；运用一元二次方程根的
判定和韦达定理判定C；运用正弦定理计算判定D.
【详解】A选项：命题 的否定是 ，A正确；
B选项：由 ，得 ，所以 ， ，
同理 ， ，故 是三角形 的垂心，所以B正确；
C选项：当方程 有一正一负根时， ，解得 ，C选项错误；
D选项：由正弦定理，得 ，即 ，
得 ，不符合题意，此时三角形无解，故D错误.
故选：AB.
10. 若把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单
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学科网（北京）股份有限公司位长度，得到曲线 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 图象关于 对称 D. 与 有2个交点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的变换得到 的解析式，利用诱导公式判断A，根据余弦函数的性质判断B、
C，画出y=f (x)与 的图象，即可判断D.
【详解】把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到 ，
再把 向左平移 个单位长度得到 ，
又 ，
所以 ，故A正确；
当 时， ，因为 在 上不单调，
所以 在 上不单调，故B错误；
因为 ，所以 图象关于 对称，故C正确；
令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，且 ，
因为函数 在定义域 上单调递增，当 时 ，令 ，解得 ，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：
由图可知 与 有且仅有一个交点，故D错误.
故选：AC
11. 如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， 分别是 ， 的中点，正方形 的边长
为2，则在三棱锥 中（ ）
A. 的面积为 B.
C. 平面 平面 D. 三棱锥 的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接求 的面积可判定A，连接 交 于G，根据条件证 平面 即可判定
B，判定 的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D.
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学科网（北京）股份有限公司详解】
【
对于A，易知 ，故A正确；
对于B，连接 交 于G，根据正方形的性质易知 ，
所以有 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，故B正确；
对于C，由上可知 为平面 与平面 的夹角，
易知 ，则 不垂直，故C错误；
对于D，由题意可知 两两垂直，
.
则 ，故D正确
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】代值计算即可.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：3.
13. 在四面体 中， ， ， ， ，则该四面体外接球的表
面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出 ，利用勾股定理逆定理得到 ，设 的中点为 ，根据直角三角形的性
质性质得到 ，即 为外接球的球心， 即为外接球的半径，从而求出球的表面积.
【详解】如图所示：
由 ， ，可知 .
因为 ， ，所以 ，即 .
设 的中点为 ，则 ，
所以 为四面体 外接球的球心，四面体 的外接球半径 ，
所以外接球表面积 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知函数 ，若 恒成立，则 最大值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简 ，再根据 得到 ，构造函数
， 再求导函数得出单调性进而得出最大值.
【详解】因为函数 ，
若 ，当 时， 恒成立，所以 ，
当 时， 恒成立，所以 ，所以 ；
设 ， ，
当 时， ， 是增函数
当 时， ， 是减函数
则
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由 ，分类 和 两种情况讨论
得出 ，再构造函数应用导函数即可求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17
分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知数列 的前 项和 ，其中 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对于任意正整数 ，都有 ，求实数 的最小值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）由当 时， ；当 时， ，计算即可得到所求通项公式；
（2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数 的最小
值．
【小问1详解】
当 时， ，
则 ，
当 时， ，满足上式，所以 .
【小问2详解】
由
.
所以 ，即 的最小值为 .
16. 如图，三棱柱 中，侧面 与侧面 均为边长为 的正方形， 、 分别是
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学科网（北京）股份有限公司、 的中点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 、 ，利用中位线的性质得出 ，再利用线面
平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出 ， 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
的
、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数 基本关系可求得二面角
的正切值．
【小问1详解】
证明：连接 交 于点 ，连接 、 ，
在三棱柱 中， 且 ，故四边形 为平行四边形，
因为 ，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：因为三棱柱 中，侧面 与侧面 均为边长为 的正方形，
则 ，又因为 ，所以， ，则 ，
因为 ， ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，则 ，
故 ，
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的正切值为 .
17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，角 的平分线交 于点 ，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得 ，由辅助角公式可得 ，结
合三角函数的性质即可求解
（2）根据余弦定理可得 ，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.
【小问1详解】
由 ，
由正弦定理可得 ,
又 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
【小问2详解】
在
中， ，
由余弦定理得 ，
解得 （舍），或 ，
由 ，得 ，
即 ，
故线段BD的长为 .
18. 已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值．
【答案】（1） 的增区间为 ，减区间为 （2）5
【解析】
【分析】
（1）先求导，将 代入，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先将 分离参数得 ，设 ， ，则所求问题
转化为求 ，求得 ，令 ，求得 ，结合
零点存在定理，求得 ， ，可判断导数 的零点位于 ，
可得 ，
，再由 即可求出 的最小整数；
【详解】（1）由题意可知， ， ，
当 时，令 ， 或 ；
时， ， 在 单调递增；
时， ， 在 单调递减；
综上所述， 的增区间为 ，减区间为
（2）原式等价于 ，
即存在 ，使 成立．
设 ， ，则 ，
设 ，则 ，∴ 在 上单调递增．
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司根据零点存在性定理，可知 在 上有唯一零点，
设该零点为 ，则 ，且 ，即 ，
∴ .
由题意可知 ，又 ， ，
∴a的最小值为5．
【点睛】本题考查利用导数研究函数增减性，分离参数法和构造函数法求解存在性问题，属于难题
19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该
数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩
充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，
所有项的和为 .
（1）若 ， ， ，求 ， ；
（2）若 ，求正整数n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列 为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1） ，
（2）10 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列 ，计算即可得解；
（2）由题意可得 ，计算出首项后，可得数列 为等比数列，即可计算出 ，在
解出不等式 即可得；
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学科网（北京）股份有限公司（3）计算出 、 、 后，可得 ， 计算即可得
，再借助等比数列的定义即可得 需满足的关系.
【小问1详解】
，第一次“和扩充”后得到数列 ，
第二次“和扩充”后得到数列 ，
， ；
【小问2详解】
数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列 经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，
则经第 次“和扩充”后增加的项数为 ，
所以 ，所以 ，
其中数列 经过1次“和扩充”后，得到 ，
故 ，故 是首项为4，公比为2的等比数列，
所以 ，故 ，
则 ，即 ，
又 ，解得 ，最小值为10；
【小问3详解】
因为 ，
，依次类推， ，
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学科网（北京）股份有限公司故
，
若使 为等比数列，则 或 .
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意可得 ，从而可结合等比
数列求和公式得到 .
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学科网（北京）股份有限公司
