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湘 豫 名 校 联 考
年 月高三一轮复习诊断考试
2025 11
数学参考答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
B A B C D D A B ABD AC BCD
一、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
8 5 40 . .
. 【试题立意】本题主要考查不等式的运算及集合的并集运算,体现数学运算的核心素养.
1B
【解析】由 x ,得 x ,所以集合A {x x }.又B {xx A} {x x },
0< +1<4 -1< <3 = |-1< <3 = | -1∈ = |0< <4
所以A B {x x }.故选 .
∪ = |-1< <4 B
. 【试题立意】本题主要考查复数的四则运算和概念,体现数学运算的核心素养.
2A
( )( )
【解析】3+i 3+i 1+i , 的共轭复数是 .故选 .
+1= +1=2+2i2+2i 2-2i A
1-i 2
. 【试题立意】本题主要考查指、对数的运算及性质,体现数学运算的核心素养.
3B
【解析】由题意,当f(x) . 时,有 . .x . . ,解得 .x 4.等式两边取对数,得x .
=025 095×09 +005=025 09 = lg09=
19
4
4,解得x
lg
19.计算分子: 4 . . . ;计算分母: .
lg = . lg =2lg2-lg19≈2×030-128=-068 lg09=2lg3-1≈
19 lg09 19
. . .所以x ,所以此时汽车大约行驶了 (公里).故选 .
2×048-1=-004 ≈17 30×17=510 B
. 【试题立意】本题主要考查充分、必要条件以及等比、等差数列的概念,体现数学抽象、逻辑推理的核心素养.
4C
an
【解析】若{ 2 an}为等比数列,则2 an +1 =2 an +1- an = q(q ≠1 )为常数,所以an +1- an 为非零常数,所以数列{an }
2
an
为等差数列,充分性成立;若{an }为等差数列,则a n +1- a n= d(d ≠0 )为常数,所以2 an +1 =2 an +1- an =2 d
2
(d )为常数,所以{an}为等比数列,必要性成立.故选 .
2 ≠1 2 C
. 【试题立意】本题主要考查导数的几何意义,体现数学运算、直观想象的核心素养.
5D
【解析】因为f'(x) 2
x(mx
+1
)
-
mx2 mx2
+2
x
,所以由题可得f'()
m
+2 4(m ),解得m
= (mx ) 2 =(mx ) 2 1=(m ) 2= >0 =
+1 +1 +1 9
或m 7(舍去),所以m .故选 .
2 =- =2 D
4
. 【试题立意】本题主要考查函数的奇偶性,体现数学运算、逻辑推理的核心素养.
6D
x ( )
【解析】容易判断,y 2- 为奇函数,则y x φ π 为偶函数,所以 φ π k π,k Z,解得
=ln x =sin2 + + + = π+ ∈
2+ 3 3 2
φ k π,k Z.当k 时,正数 φ 可以取到最小值π.故选 .
= π+ ∈ =0 D
6 6
. 【试题立意】本题主要考查指、对数比较大小,体现数学运算的核心素养.
7A
【解析】方法一:由题a 4 1,b 3 1.令f(x) x x (x ),则f'(x) x .当x 时,
= =1+ =e=e3 =e- -1 >0 =e-1 >0
3 3
f'(x) ,所以f(x)在(, )上单调递增,所以f(x)f() ,即 1 1 .所以 1 4,即b
>0 0+∞ > 0=0 e3- -1>0 e3> >
3 3
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1 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}( )
a.由题c 4e 1 ,令g(x) (x )x,x ,则g'(x) 1 .当x 时,g'(x) ,
=ln =1+ln1+ =ln +1- >0 =x -1 >0 <0
3 3 +1
( )
所以g(x)在(, )上单调递减.所以g(x) g() ,即 (x ) x.所以 1 1,
0+∞ < 0 =0 ln +1 < 1+ln1+ <1+
3 3
即c a.故选 .
< A
( )
方法二:因为a3 4 3 64 . ,b3 ( 3 ) 3 ,所以a3 b3 ,即a b.所以 4 1.因为c 4e
= = ≈237 = e =e < < ln < =ln =
3 27 3 3 3
4 4 1 a,所以c a b.故选 .
lne+ln =1+ln <1+ = < < A
3 3 3
. 【试题立意】本题主要考查三角函数的图象与性质、极值点的概念,体现直观想象、数学运算的核心素养.
8B
( ) ( )
【解析】由题意可得f'(x) πx π πx πx π .因为x (, ),当f'(x) 时,显然
=cos - - sin - ∈ 02026 =0
8 4 8 8 4
( ) ( )
πx π ,所以 πx π 8.易知符合条件的解即为f'(x)的变号零点,即f(x)的极值点,
cos - ≠0 tan - = x
8 4 8 4 π
( )
所以f(x)的极值点均可视作y πx π 的图象与曲线y 8交点的横坐标.由x 可知,交点必
=tan - = x >0
8 4 π
( )
在第一象限.如下图,当x 时,可知 πx π 的解集为(k ,k ),k N,所以y
>0 tan - >0 8 +28 +6 ∈ =
8 4
( )
πx π 的图象与曲线y 8在每一个区间(k ,k ),k N上有且仅有一个交点.由(k ,
tan - = x 8 +28 +6 ∈ 8 +2
8 4 π
( )
k ) (, ),可得k ,,…, ,所以满足条件的区间共 个.所以y πx π 的图象与
8 +6⊆ 02026 =01 252 253 =tan -
8 4
曲线y 8在区间(, )上共有 个交点,即f(x)在区间(, )上共有 个极值点.故选 .
= x 02026 253 02026 253 B
π
二、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对
3 6 18
的得 分,部分选对的得部分分,有选错的得 分.
6 0
. 【试题立意】本题考查平面向量数量积,考查数学运算的核心素养.
9ABD
【解析】因为a b2 a2 a·b b2 ,所以a·b b2 ,可得 ,所以为 .
| +2|= +4 +4 =1 =-||=-1 cos =-1 π
所以a b 0,所以b a b.所以 ,, 正确, 错误 故选
+ = ∥ + ABD C . ABD.
. 【试题立意】本题主要考查不等式的性质、基本不等式,体现数学运算的核心素养.
10AC
【解析】对于 ,由题可知f(a) (a )f(b) (b )( b a),所以 (a ) (b )
A =ln -1= =-ln -1 1< <2< ln -1 +ln -1 =
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2 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}0,即(a )(b ) ,所以ab a b,即1 1 , 正确;对于 ,因为a b,所以ab a b ab,
-1 -1=1 = + a+b=1A B > = + >2
即ab , 错误;对于 ,6 1 6 1 ,当且仅当a ,b 6时,等号成
>4B Ca +b ≥2 a ×b =26 =1+ 6 =1+
-1 -1 -1 -1 6
( ) b a b a
立,且满足a b, 正确;对于 ,由a b (a b)1 1 2 2
> C D +2 = +2 a+b =1+2+a+b≥3+2 a×b =3+
,当且仅当a ,b 2时,等号成立, 错误 故选
22 = 2+1 =1+ D . AC.
2
. 【试题立意】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象,体现数学运算的核心素养.
11BCD
π 2
( ) sin ( )
【解析】对于 ,S π 4 2 1,C() cosπ ,所以S π
A = = = π= =-1 +
4 π π 2 2 2 |cosπ|+|sinπ| 4
cos + sin +
4 4 2 2
( ) ( )
C() 1, 错误;对于 ,因为当θ ,π 时, θ θ θ θ θ π
π=- A B ∈ 0 |cos |+|sin |=sin +cos = 2sin + ∈
2 2 4
θ ( )
( , ],所以 θ θ ,所以C(θ) cos 2 θ, 正确;对于 ,Cθ π
1 2 10 =2 △ =
3 3
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3 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}4x2 x x2 x ,在 ABD中,AB2 x2 x x2 x ,
+4-2×2 ×2×cos60°=4 -4 +4 △ = +4-2× ×2×cos120°= +2 +4
所以
AC2
4
x2
-4
x
+4 4
(x2
+2
x
+4
)
-12
x
-12
x
+1
x
+1
AB2=x2 x = x2 x =4-12×x2 x =4-12×(x ) 2 =4-
+2 +4 +2 +4 +2 +4 +1 +3
12 .因为x 3 ,所以
AC2
,当且仅当(x ) 2 时,即x 或
+1+x ≥23 AB2≥4-23 +1 =3 = 3-1
x 3 +1
+1+x
+1
x (舍去),即x 时,等号成立.所以
AC2的最小值为
.
=- 3-1 = 3-1 AB2 4-23
四、解答题:本题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5 77
.【试题立意】本题主要考查三次函数的极值与最值,体现数学运算的核心素养.
15
【解析】()因为f'(x) x2 x [(x ) 2 ], ………………………………………………… 分
1 =3 -6 -9=3 -1 -4 2
所以当x 时,切线斜率可取到最小值为 .
=1 -12
因为f() ,所以点P的坐标为(, ).…………………………………………………………… 分
1=-10 1-10 4
()f'(x) x2 x (x )(x ),
2 =3 -6 -9=3 -3 +1
令f'(x) ,得x 或x .
=0 =-1 =3
当x ( , )时,f'(x) ,所以f(x)在( , )上单调递增;………………………………… 分
∈ -∞ -1 >0 -∞ -1 5
当x ( ,)时,f'(x) ,所以f(x)在( ,)上单调递减;
∈ -13 <0 -13
当x (, )时,f'(x) ,所以f(x)在(, )上单调递增.……………………………………… 分
∈ 3+∞ >0 3+∞ 7
所以当x 时,f(x)取得极大值,为f( ) ;
=-1 -1=6
当x 时,f(x)取得极小值,为f() .…………………………………………………………… 分
=3 3=-26 9
又因为f() ,………………………………………………………………………………………… 分
4=-19 10
所以f(x)在[ ,]上的有最小值为 ,最大值为 .………………………………………………… 分
-14 -26 6 11
所以n m .
- ≤-26-6=-32
故n m的最大值为 .………………………………………………………………………………… 分
- -32 13
.【试题立意】本题主要考查数列的通项公式、最值和数列求和,体现数学运算的核心素养.
16
【解析】(
1
)设等差数列{an }的公差为d,
则数列{an ·
cos
n
π
}的前
2
n项的和为
- a 1+ a 2- a 3+ a 4- … + a 2 n -2- a 2 n -1+ a 2 n
= (a 2- a 1 ) + (a 4- a 3 ) + … + (a 2 n- a 2 n -1 ) = nd =2 n.…………………………………………………… 2 分
所以d .…………………………………………………………………………………………………… 分
=2 3
所以an=1+2 (n
-1
)
=2
n
-1
,即an=2 n
-1
. ……………………………………………………………
4
分
因为
2
Sn=3 bn-2① ,
令n ,则 S b b ,解得b .………………………………………………………………… 分
=1 2 1=21=31-2 1=2 5
又
2
Sn
+1=3
bn
+1-2②
,
②-①
得
2
bn
+1=3
(bn
+1-
bn ),所以bn
+1=3
bn ,……………………………………………………………
7
分
所以数列{bn }是首项为
2
,公比为
3
的等比数列.……………………………………………………………
8
分
所以bn=2×3 n -1.……………………………………………………………………………………………
9
分
(
2
)由(
1
)可得cn= 2
(
13
b
-
n
an )
=
14
n
-
-
2
1
n
,…………………………………………………………………
10
分
3
n n n
则cn
+1-
cn= 12-
n
2
-
14
n
-
-
2
1 =
-30
n
+4 .………………………………………………………………
11
分
3 3 3
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4 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}因为 n ,当n 时, n ;
3>0 ≤7 -30+4 <0
当n 时, n , ………………………………………………………………………………… 分
≥8 -30+4 >0 12
所以c
1>
c
2>
c
3>
…
>
c
7>
c
8<
c
9<
…
<
cn.
所以当n
=8
时,cn 取得最小值,为c
8=-
2
7
.……………………………………………………………
15
分
3
.【试题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,体现数学运算、直观想象的核心素养.
17
A
【解析】()因为 1 2-cos ,
1 C= A
tan sin
C A
所以cos 2-cos ,所以 A C C( A).……………………………………………… 分
C= A sin cos =sin 2-cos 2
sin sin
所以 A C A C C,所以 (A C) C.……………………………………… 分
sin cos +cos sin =2sin sin + =2sin 3
因为A B C ,
+ + =π
所以 B C,从而由正弦定理可得b c.………………………………………………………… 分
sin =2sin =2 5
b CD c BD
()由正弦定理,得 , ,……………………………………………… 分
2 ADC= A ADB= A 6
sin∠ sin∠
sin sin
2 2
CD b
可得 .
BD=c=2
因为a ,所以CD 2a 43.……………………………………………………………………… 分
=23 = = 8
3 3
()由余弦定理,得a2 b2 c2 bc A,
3 = + -2 cos
即a2 c2 c2 c2 A,解得c2
a2
.………………………………………………………… 分
=4 + -4 cos = A 11
5-4cos
所以
a2
A A A.…………………………………………………………………… 分
c2+3sin =5-4cos +3sin 12
又 A A (A φ),其中 φ 4,A (,),
5-4cos +3sin =5+5sin - tan = ∈ 0π
3
所以当 (A φ)取得最大值时,A φ k π,k Z.
5+5sin - - =2π+ ∈
2
( )
所以 tan A =tan ( 2 k π+ π + φ ) =tan ( π + φ ) = sin ( 2 π + φ )=- cos φ φ =- 1 φ=- 3.………… 15 分
2 2 π φ sin tan 4
cos +
2
.【试题立意】本题主要考查利用导数求最值、判断零点个数、不等式恒成立问题,体现数学运算、直观想象的
18
核心素养.
【解析】()当a 时,f(x)x (x ),x ,
1 =0 = ln +1 >-1
x (x ) (x )x
f'(x) (x ) +1ln +1+ ,………………………………………………………… 分
=ln +1+x = x 2
+1 +1
当x ( ,)时,f'(x) ,f(x)单调递减;
∈ -10 <0
当x (, )时,f'(x) ,f(x)单调递增,…………………………………………………………… 分
∈ 0+∞ >0 4
所以f(x)在( ,)上单调递减,在(, )上单调递增.……………………………………………… 分
-10 0+∞ 5
()当a 时,y f(x) x (x ) (x ) x,x
2 =1 = -sin = +1ln +1-sin ≥0
所以y' (x ) x.……………………………………………………………………………… 分
=ln +1+1-cos 7
数学参考答案 第 页 共 页
5 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}当x 时, (x ) , x ,所以y' (x ) x ,
≥0 ln +1≥01-cos ≥0 =ln +1+1-cos ≥0
所以y f(x) x在区间[, )上单调递增.……………………………………………………… 分
= -sin 0+∞ 9
又f() ,
0-sin0=0
所以函数y f(x) x在区间[, )上只有一个零点.…………………………………………… 分
= -sin 0+∞ 10
()令F(x) x m( x) (x ),x (,],则F(x) 对x (,]恒成立.……………… 分
3 =sin - 2- ln +1 ∈ 0π >0 ∈ 0π 11
当m 时,F() m( ) ( ) ,与F(x) 矛盾,不成立.…………………………… 分
① ≤0 π=- 2-πlnπ+1≤0 >0 12
当 m 1时,若x (,),
② 0< ≤ ∈ 02
2
m
令h(x)x m (x ),则h'(x) 2 ,
= -2 ln +1 =1-x >0
+1
所以h(x)在(,)上单调递增.
02
x
又h() ,所以h(x) ,即 m (x ),
0=0 >0 > ln +1
2
x( x)
所以 2- m( x) (x ). ……………………………………………………………………… 分
> 2- ln +1 13
2
令g(x) x
x2
x,则g'(x) x x .
=sin + - =cos + -1
2
令τ(x)g'(x),则τ'(x) x ,所以τ(x)即g'(x)在(,)上单调递增.
= =1-sin ≥0 02
又g'() ,当x (,)时,g'(x) ,
0=0 ∈ 02 >0
所以g(x)在(,)上单调递增,
02
所以g(x)g() ,所以 x x
x2
.
> 0=0 sin > -
2
所以 x x
x2 x(
2-
x)
m( x) (x ).
sin > - = > 2- ln +1
2 2
若x [,], x ,而m( x) (x ) ,等号不同时成立,
∈ 2π sin ≥0 2- ln +1≤0
所以 x m( x) (x )恒成立.…………………………………………………………………… 分
sin > 2- ln +1 15
( m )
当m 1时,若x ,2 -1 ,则m( x)x ,即m( x) (x ) (x ) (x ).
③ > ∈ 0 m 2- > +1 2- ln +1> +1ln +1
2 +1
由()可得m( x) (x ) (x ) (x ) x,
2 2- ln +1> +1ln +1>sin
所以m 1时,存在x (,],使得F(x) ,故不成立.……………………………………………… 分
> ∈ 0π <0 16
2
( ]
综上所述,实数m的取值范围为 ,1 .………………………………………………………………… 分
0 17
2
.【试题立意】本题主要考查利用导数求最值、证明不等式、导数的几何意义,体现数学运算、直观想象的核心
19
素养.
【解析】()将函数y f(x) x的图象向右平移 个单位长度得到y x
-1
的图象.………………… 分
1 = =e 1 =e 1
因为点(x,y)关于直线y x的对称点为(y,x),所以x y-1 ,从而y x ,
= =e =ln +1
故g(x) x (x ).…………………………………………………………………………………… 分
=ln +1 >0 3
()由()可得f'(x) x,g'(x) 1.
2 1 =e =x
设直线l
1
与曲线y
=e
x
+
m相切于点(x
1
,
e
x
1+
m),
则直线l
1
:y
-e
x 1+ m
=e
x 1+ m(x
-
x
1
).
数学参考答案 第 页 共 页
6 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}设直线l 与曲线y (x ) 相切于点(x, (x ) ),
2 =ln +1+1 2ln 2+1+1
则直线l:y (x ) 1 (x x).…………………………………………………………… 分
2 -ln 2+1-1=x - 2 5
2+1
因为曲线y x
+
m与y (x ) 有公共的切线,此时l,l 重合,
=e =ln +1+1 1 2
所以两条切线方程的斜率、截距相同(此处只考虑纵截距即可),
ì
ï ïe x 1+ m =x 1 ,
所以í 2+1
ï x
î ï( 1- x 1 ) e x 1+ m =ln (x 2+1 ) +1-x 2 ,
2+1
则m (x ) (x ) (x ).
= 2+1ln 2+1-ln 2+1
令t x ,则 ξ(t)t t t (t )t(t ),…………………………………………………… 分
= 2+1 =ln -ln = -1ln >0 7
易得 ξ'(t) t 1 在(, )上单调递增,且 ξ'() ,………………………………………… 分
=ln -t+1 0+∞ 1=0 8
所以当t (,)时,ξ'(t) ,所以 ξ(t)在(,)上单调递减;
∈ 01 <0 01
当t (, )时,ξ'(t) ,所以 ξ(t)在(, )上单调递增.
∈ 1+∞ >0 1+∞
所以 ξ(t) ξ() .
min= 1=0
所以m ,即m的最小值为 .…………………………………………………………………………… 分
≥0 0 10
()由题意得AB AD.
3 ⊥
不妨设A(x, x),B(x, x),C(x,x ),D(x,x ),其中 x x,x x.
1ln 1 2ln 2 3e3 4e4 0< 1< 2 4< 3
因为y f(x)和y g(x) 的图象关于直线y x对称,
= = -1 =
所以x
4=ln
x
1
,x
3=ln
x
2
,x
2=e
x
3
,x
1=e
x
4
,kAB= kDC=1 ,kAD= kBC=-1 ,
所以 AB (x x) ( x x),BC (x x).
| |= 2 2- 1 = 2ln 2-ln 1 | |= 2 2- 3
由 AB BC ,得x x x,所以x x x .……………… 分
| |=| | 1= 3=ln 2 2=e3=e1 12
由 x x x x,得x x x x,即 x x x .
ln 2-ln 1= 2- 3 1-ln 1=e1- 1 e1-2 1+ln 1=0
………………………………………………………………………… 分
13
令h(x) x x x,x ,则h'(x) x 1 .
=e-2 +ln >0 =e+x-2
令t(x) x x ,x ,则t'(x) x ,
=e- -1 >0 =e-1>0
所以函数t(x)在(, )上单调递增,所以t(x)t() ,即 x x .
0+∞ > 0=0 e> +1
所以h'(x)x 1 x·1 ,当且仅当x 时等号成立.
> +1+x-2≥2 x+1-2>0 =1
所以h(x)在(, )上单调递增.
0+∞
( )
又h 1 ,所以x 1.
=e-1-ln2<0 1>
2 2
所以 AC AB (x x) (x x).………………………………………………………… 分
| |= 2| |=2 2- 1 =2e1- 1 15
令 φ(x) x x,x ,则 φ'(x) x ,
=e- >0 =e-1
当x (, )时,φ'(x) ,所以 φ(x)在(, )上单调递增,
∈ 0+∞ >0 0+∞
( )
所以 φ(x 1 ) =e x 1- x 1> φ 1 =e- 1 >0 ,
2 2
故 AC (x x) .…………………………………………………………………………… 分
| |=2e1- 1 >2e-1 17
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7 ( 7 )
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}2025.11 湘豫联考高三数学评分细则（补充部分）
说明：如无补充的题目按参考答案给分
第15 题：
第（2）问补充其他解法：
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{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}第16 题：
第（1）问1-3分处补充其他解法：
第（2）问补充其他解法（共3种）：
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{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}第17 题：
第（3）问补充其他解法：
第 3 页 共 6 页
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}第18 题：
第（3）问补充其他解法：
第 4 页 共 6 页
{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}第19 题：
第（2）问补充其他解法：
4分
5分
7分
8分
9分
10分
第（2）问原解析7分处及以下 补充其他解法：
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{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}第（3）问补充其他解法：
下同解析
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{#{QQABLYCEggigAIAAAAgCQwUQCgMYkAAACKgGABAcoAIAwBNABAA=}#}
