石家庄市第一中学2026届高三年级统一摸底考试数学答案_2025年9月_250927石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期9月摸底考试（全科）

石家庄市第一中学 2026 届高三年级统一摸底考试 数学答案 1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.BC 10.ABD 11.ABD 12．3 13． 14． ； . 15．(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0), n 由2a =λa+4(n∈N*),① n+1 n 得2a=λa +4(n∈N*,n≥2),② n n-1 ①-②得,2d=λd. 又因为d≠0,所以λ=2. 将λ=2代入①, 可得a -a=2,即d=2. n+1 n 又因为a=1,所以a=1+(n-1)×2=2n-1. 1 n (2)由(1)可得a =2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1), 2n−n 4(1− 2n) n(3+2n+1) 所以S=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]= - =2n+2-n2-2n-4. n 1−2 2 16．(1)由正弦定理得√3sin∠BACtan∠BAC＝sin Bcos∠ACB＋sin∠ACBcos B＝sin(B＋∠ACB)， 因为B＋∠ACB＝π－∠BAC， 所以sin(B＋∠ACB)＝sin(π－∠BAC)＝sin∠BAC，且sin∠BAC≠0， √3 所以tan∠BAC＝ . 3 π 因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝ . 6 BC AB AB AM 3 在△ABC中， π ＝ ＝AM ，化简可得 ＝ . sin sin∠ACB AB 2 6 6 (2)设AB＝2x，则AM＝3x.在△ABM中，由余弦定理得AB2＋AM2－2AB·AMcos∠BAM＝BM2，即4x2＋9x2－ 1 64 ( ) 12x2· − ＝64，解得x2＝ ， 2 19 1 √3 3√3 64 96√3 所以S ＝ ·2x·3x· ＝ × ＝ . △ABM 2 2 2 19 19 17．（1） 在题图①中，BC=2，∠BAC=30∘ ，所以AB=4，AC=2√3， 3 因为E为AC的中点，EF⊥AB，所以AE=√3， AF= . 2 1 因为FG= ，所以点G在题图①中AB的中点位置，所以EG//BC， 2 在题图②中，因为EG⊂ 平面PEG，BC⊄ 平面PEG， 所以BC//平面PEG， 因为BC⊂ 平面PBC，平面PEG∩ 平面PBC=l，所以BC//l.（2） 在题图②中，因为EF⊥PF，EF⊥BF，PF∩BF=F，PF，BF⊂ 平面PBF， 所以EF⊥ 平面PBF， 又EF⊂ 平面EFBC，所以平面PFB⊥ 平面EFBC， 因为平面PFB∩ 平面EFBC=FB，PG⊥FB，PG⊂ 平面PFB,所以PG⊥ 平面EFBC. 3 3 1 √ 3 2 1 2 由（1）知AF= ，即PF= ，又GF= ，所以PG= ( ) − ( ) =√2， 2 2 2 2 2 过点G在平面GECB内作Gy⊥EG， 以G为坐标原点，GE,Gy,GP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,√2)，E(1,0,0)，C(1,√3,0)，B(−1,√3,0)， 所以⃗PC=(1,√3,− √2)，⃗EC=(0,√3,0)，⃗BP=(1,− √3,√2). → { n ⋅PC=x+√3y−√2z=0, 设平面PEC的法向量为n =(x,y,z)，则 1 1 → n ⋅EC=√3y=0, 1 令x=2，解得z=√2， 所以n =(2,0,√2). 1 → { n ⋅PC=m+√3n−√2a=0, 设平面PBC的法向量为n =(m,n,a)，则 2 2 → n ⋅BP=m−√3n+√2a=0, 2 令n=√2，解得a=√3，所以n =(0 ,√2,√3)， 2 所以cos⟨ n 1 , n 2 ⟩= | n n 1 ⋅ |⋅ n | 2 n | = √6 √ ⋅ 6 √5 = 1 √5 ，所以sin⟨ n 1 ,n 2 ⟩= 2 5 √5 ， 1 2 2√5 所以二面角E−PC−B的正弦值为 . 5 18．（1）由题得， ， 令 ， 则函数 有两个极值点，即方程 有两个正实数根. 因为 ， 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以， ， 且当 时， ， 时， . 所以方程 有两个正实数根，只需 ，解得 ， 即函数 有两个极值点时， 的范围为 . （2）由 且 ，令 ，则 ， 由（1）知， ， 即 ， 则 ， 即 ，解得 ， 所以 . 则 ， 令 ， 则 ， 令 ， 则 所以函数 在 上单调递增， 又 ，所以 ， 则 . 当t(1,3]时， ， 所以(t)在 上单调递增， 则当t 3时， . 即lnx lnx 2a的最大值为 . 1 2 c 1 19．（1）设 F(c,0)， ，e  ，故 ， a 2 1 点 在椭圆 上，则 ， C  24 1  1 ，故得 ，即9a2 1  2 a2 a b2 a2c2 2  解得 ，故椭圆 的方程为 ． C （2）由（1）知，A(2,0)， ，若直线l的斜率不存在， 1 y2 则 ，代入椭圆方程可得  1，故 ， 4 3 1 1 18 2 此时S  2y AF  33 ,故直线有斜率， ADE 2 2 2 7 直线 的斜率为k，则 的方程为yk(x1)， 由 ,消去 得 ，① y 显然 ，设 , ， , ，则 ， 0 y) y ) 1 2 1 1 3 3 于是，S  y y AF  3kx x   k2x x 2  k2x x 2 4x x  ADE 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2  2 1 2 1 , 化简可得17k4k2180，即 ，解得k1， 所以直线的方程为 . x2 y2 （3）由于椭圆C:  1,(mn0)上一点 ， 的切线方程为 ． m2 n2 y ) 0 x x y y 依题意，设椭圆上的点 , ，则过点 , 的切线方程为 0  0 1， Q(x Q(x 4 3 0 0 12 12 12 d    即 ，原点到切线的距离为 ． 9x216y2 9x24(123x2) 483x2 0 0 0 0 0 由两点间距离公式可得 ， 1 同理,|QF | |x 4|，则 ， 2 2 0144 1 故d2|QF 1 ||QF 2 | 483x2  4 (16x 0 2)12为定值． 0