第3讲等式性质与不等式性质---2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）_2025年8月_2508062026年高考数学一轮复习基础梳理：课件+学案（原卷版+解析版）

第 3 讲 等式性质与不等式性质 一．选择题（共10小题） 1．（2025•孝感模拟）已知 ，则下列不等式中一定成立的是 A． B． C． D． 2．（2025春•浙江期中）设 ， ，若 ，则下列不等式中不正确 的是 A． B． C． D． 3．（2024秋•安徽期末）已知 ， ，则 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 4．（2025•海淀区模拟）设 ， ，若 ，则 A． B． C． D． 5．（2025•河北模拟）已知 ， ， ，则 的最小值为 A．2 B． C．4 D．9 6．（2025•湖南模拟）下列命题为真命题的是 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 7．（2025•广西模拟） ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D．8．（2025春•渭滨区月考）设 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 9．（2025春•皇姑区期中）已知 ， ， ，则下列不等式中一定成立的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．（2024秋•龙岗区期末）下列命题是假命题的为 A．若 ，则 B．若 ， ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 二．多选题（共4小题） （多选）11．（2025•临沂二模）已知 ，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． （多选）12．（2025•聊城二模）已知实数 ， 满足 ，则 A． B． C．若 ，则 D．若 ， ，则 （多选）13．（2025•凉州区模拟）已知 ，则下列不等式正确的是A． B． C． D． （多选）14．（2024秋•雨山区期末）下列命题为真命题的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 三．填空题（共4小题） 15．（2024秋•邵阳期末）已知 ，则 的取值范围为 ． 16．（2025•深圳开学）已知 ， ， ，则 的取值 范围是 ． 17 ． （ 2024 秋 • 信 阳 期 末 ） 若 实 数 ， ， 满 足 ， ，试确定 ， ， 的大小关系是 ． 18．（2024春•崂山区期中）已知 ， ，则 的取值范围是 ． 四．解答题（共6小题） 19．（2024秋•通辽期中）（1）若 ，试比较 与 的大小； （2）已知 ， ．求 的取值范围． 20．（2024秋•拱墅区期末）已知 ， ． （1）分别求 与 的取值范围； （2）求 的取值范围． 21．（2024秋•单县期中）已知 ， ．试求： （1） 的取值范围． （2） 的取值范围．22．（2023秋•长安区月考）已知 ， ，分别求： （1） 的取值范围； （2） 的取值范围； （3） 的取值范围． 23．（2024秋•府谷县月考）已知实数 ， 满足 ， ． （1）求实数 ， 的取值范围； （2）求 的取值范围． 24．（2024秋•禅城区月考）（1）已知 ， ．求 和 的取 值范围． （2）已知 ， ，求 的取值范围．一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B C B B D B A 二．多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 AD BC AD BC 一．选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】举例说明 错误；直接证明 正确． 【解答】解：对于 ，当 ， 时， ，故 错误； 对于 ，当 ， 时， ，故 错误； 对于 ，当 ， 时， 不成立，故 错误； 对于 ，由 ，得 ，则 ，故 正确． 故选： ． 2．【答案】 【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解． 【解答】解： ， 则 ，即 ，故 正确； ，即 故 正确；，故 正确； 令 ， ，满足 ，但 ，故 错误． 故选： ． 3．【答案】 【分析】根据不等式的性质求解． 【解答】解：因为 ， 又 ， ， 所以 ， 即 ， 所以 的取值范围是 ， ． 故选： ． 4．【答案】 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：若 ，则 ， 错误； 所以 ， 正确； 由 可得 ， ， 故 ， 错误； 由 可得， ， 错误． 故选： ． 5．【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值． 【解答】解：由 ， ， ，得 ，当且仅当 且 ，即 时取等号． 故选： ． 6．【答案】 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：当 ， ， ， 时， 显然错误； 因为 ， ，由不等式性质可得 ， 正确； 当 ， 时， 显然错误； 当 时， 显然错误． 故选： ． 7．【答案】 【分析】结合对数恒等式化简 ，结合对数函数单调性确定 的范围，即可比较 ， ， 的大小． 【解答】解： ， ， ， 故 ． 故选： ． 8．【答案】 【分析】 选项，可举出反例； 选项，利用基本不等式进行求解． 【解答】解： 选项，当 ， 时， ，故 ， 错误； 选项，当 ， 时， ， ， ， 错误； 选项，当 ， 时， ， ， 错误； 选项，当 时， ，由基本不等式可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，但 ，故等号取不到， 故 ， 正确． 故选： ．9．【答案】 【分析】利用特殊值法可判断 错误，利用作差法计算可得 正确，再由不等 式性质可得 错误． 【解答】解：对于 ，当 时，可知 不成立，故 错误； 对 于 ， 因 为 ， 可 得 ； 所以 ，故 正确； 对于 ，由 ，可得 ，故 错误； 对于 ， ，当 时， ，故 错误． 故选： ． 10．【答案】 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：当 时， 显然为假命题； 若 ， ，则 ， 为真命题； 若 且 ，则 ， ， 为真命题； 若 ，则 ， 所以 ， 为真命题． 故选： ． 二．多选题（共4小题） 11．【答案】 【分析】对于 ，可以用作差法判断，对于 ，举反例判断即可，对于 ，分 ， ， 三种情况讨论即可判断． 【解答】对于 ， ，因为 ，所以 ， ， ，即 ，所以 ，故 正 确； 对于 ，当 时， ，故 错误； 对于 ，取 ，则 ，故 错误， 对于 ，若 ，则 成立， 若 ，则 显然成立， 若 ，则 成立， 综上所述，只要 ，就一定有 ，故 正确． 故选： ． 12．【答案】 【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断． 【解答】解：因为实数 ， 满足 ， 当 ， 时， 显然错误； ，当且仅当 时取等号， 正确； 当 ， 时， ，即 ， 正确； 若 ， ， 时，满足 ， ，但 ， ， 显然错误． 故选： ． 13．【答案】 【分析】由 ，可得 ．再利用不等式的基本性质逐一判断即可． 【解答】解：由 ，可得 ．所以 ，故 正确； 因为 ， 所以 ，即 ，故 错误； 由 ，可得 ，所以 ，故 错误； 由 ，可得 ，又 ， 所以 ，故 正确． 故选： ． 14．【答案】 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得． 【解答】解：对于 ，取 ， 显然错误； 对于 ，若 ，则 ，即 ， 正确； 对于 ，若 ，则 ， ， ， 所以 ，则 ， 正确； 对于 ，若 ，则 ，则 ， 错误． 故选： ． 三．填空题（共4小题） 15．【答案】 ， ． 【分析】由已知结合不等式的性质即可求解． 【解答】解：因为 ，即 ， 所以 ．故答案为： ， ． 16．【答案】 ． 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案． 【解答】解：令 ，则 ， 即 ， 由 ，即 ，可得 ，则 ． 故答案为： ． 17．【答案】 ． 【分析】通过配方得 ，所以 ．将条件中的两个式子相减，整 理得 ，由 得 ．所以 ． 【解答】解：因为 ，所以 ． 由条件有 ，即 ， 所以 ，所以 ． 故答案为： ． 18．【答案】 ． 【分析】首先变形 ，再转化为求 的范围． 【解答】解：由题意可知， ，， ，则 ，所以 ． 故答案为： ． 四．解答题（共6小题） 19．【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）作差后再配方即可； （2）根据 的范围可求出 的范围，进而可得出 的范围． 【解答】解：（1） ， ； （2）由题设， ，而 ， ． 20．【答案】（1）实数 的范围为 ， ， 的范围为 ；（2） ． 【分析】（1）不等式 ①， ②，然后利用① ②，② ① 分别求出 ， 的范围；（2）利用）① ② 即可求解． 【解答】解：（1）不等式 ①， ②， ① ②可得： ，解得 ， ② ① 可得： ，解得 ， 所以实数 的范围为 ， ， 的范围为 ； （2）① ② 可得： ，即 的范围为 ． 21．【答案】（1） ； （2） ． 【分析】（1）利用不等式的性质计算即可； （2）利用不等式性质计算即可． 【解答】解：（1）由 ， 可知 ， ， 所以 ， 故 的范围为 ； （2）由 ， 可知 ， 所以 ， 故 的范围为 ． 22．【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围． 【解答】解：（1）由题可知， ， ，所以 ， 则 的取值范围为 ； （2）由题可知， ， ，所以 ， 则 的取值范围为 ； （3）由题可知， ， ，所以 ， 则 的取值范围为 ， ． 23．【答案】（1） ， ， ；（2） ． 【分析】（1）用已知式子 ， 表示 ， ，利用不等式的性质求解范围 即可； （2）用已知式子 ， 表示 ，利用不等式的性质求解范围即可． 【解答】解：（1）因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 即实数 的取值范围为 ， ． 因为 ， 由 ，所以 ，又 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 即实数 的取值范围为 ． （2）设 ， 则 ，解得 ， 则 ， ， ．， ， ， 即 的取值范围为 ． 24．【答案】（1） ， ； （2） ， ． 【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解． （2）先求出 ，再结合不等式的可加性，即可求解． 【解答】解：（1）依题意， ， ， 由 得 ． 由 得 ， 即 的取值范围是 ， 的取值范围是 ， ． （2）由 ， 得 ，解得 ， ， ， ， ， ， ， 两式相加得 ， 即 的取值范围是 ， ．