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10 月 月考测试
一、单选题
1. 复数z满足 ，（i为虚数单位），则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算求出复数 ，再求模长即可求解.
【详解】由已知得： ，
所以， .
故选：C．
2. 设全集 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案．
【详解】 全集 ， ，
，又 ，
则 ．
故选：B．
3. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. 24 D. 48
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用二项式定理的通项公式得 ，最后求 中 的系数即可
求解.
【详解】由题意有 ，
当 时，有 ， 中 的系数为 ，
所以 的系数为 ，
故选：A.
4. 函数 （ ， ）的图象过定点 ，则 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标.
【详解】令 ，则 ，此时 ，故定点 的坐标为 .
故选：C
5. 已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即 ，
②
联立①②可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
故选：B.
6. 若函数 ，在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】根据分段函数的单调性，每段递增且保证分界点处满足递增函数的要求即可得解.
【详解】当 时， 单调递增且值域为 ，
而 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，且 ，
当 时， 在 上单调递增，满足题设；
当 时， 在 上单调递增，此时只需 ，即 ；
综上， .
故选：A
7. 已知函数 ，若 满足 ，则实数 的取值范围
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得 是定义在 上的偶函数，然后求导得 ，即可判断
在 上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果.
【详解】因为函数 定义域为 关于原点对称，
且 ，
所以 是定义在 上的偶函数，
又 ，
当 时， ，则 ，所以 在 单调递增，
又 ，则 ，
且 ，则不等式 可化为
，即 ，
且 是定义在 上的偶函数， 在 单调递增，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A
8. 已知函数 满足 ，当 时， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 为奇函数 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据赋值法可得 ， ，进而可得 ，即可判断A，根据函数单调
性的定义可判断 在 上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD.
【详解】令 ， ， ，所以 ；
令 ， ， 则 ．
令 ，得 ，故 为偶函数．A错误，
任取 ， ， ，则 ，
则 ，故 在 上为减函数．
由已知 ，可得 ，故 ，解得 ，且 ．B错误，
若 ，则 ，C正确，
若 ，则 ， ，
，所以 ，故D错误，
故选：C．
二、多选题
9. 下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据特征数的特点选择.
【详解】可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为平均数、中位数、众数；
方差反映的是总体数据的离散程度.
故选：BCD.
10. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新
实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙
两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度
满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中
， ， ，则（ ）
A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B. 甲村的平均分低于乙村的平均分
C. 甲村的高度满意率与不满意率相等
D. 乙村的高度满意率比不满意率大
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD
选项，由正态分布曲线的对称性判断.
【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，
因为 ，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误；
B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确；
C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知 ，C正确；
D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知 ，D正确.
故选：BCD.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 经过 且与 交于 两
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学科网（北京）股份有限公司点，其中点A在第一象限，线段 的中点 在 轴上的射影为点 .若 ，则（ ）
A. 的斜率为
B. 是锐角三角形
C. 四边形 的面积是
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意分析可知 为等边三角形，即可得直线 的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线
的方程，联立方程求点 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为 ，准线为 ，即 ，
设 ，
则 ，可得 ∥x轴，
因为 ，即 ，
可知 为等边三角形，即 ，
的
且 ∥x轴，可知直线 倾斜角为 ，斜率为 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司则直线 ，
联立方程 ，解得 或 ，
即 ， ，则 ，
可得 ，
在 中， ，且 ，
可知 为最大角，且为锐角，所以 是锐角三角形，故B正确；
四边形 的面积为 ，故C错误；
因 为 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利
用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用 底 高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，
选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面
积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思
想的应用．
三、填空题
12. 的二项展开式中含 的项的系数为______（用数字作答）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利用展开式的 通项公式来求指定项系数即可.
【详解】 展开式中的第二项为 ，
所以含 的项的系数为 ，
故答案为：
13. 已知抛物线 的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF
交抛物线于点B.若PB平行于 轴，则AF的长度为____________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意分别设出点 的坐标，根据 可建立变量之间的等式，再根据A、B、F在
一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得结果.
【详解】解：因为抛物线 ，所以 ，
根据题意不妨设 ， ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，即 ①，
因为A、B、F三点共线，所以 ，
即 ，即 ，即 ②，
①除以②可得， ，即 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入①中可得 ,即 ，
解得 （舍）或 ，所以 ，
代入 中可得 ，所以 .
故答案为：3
14. 等比数列 的首项为 ，公比 .设 表示这个数列的前n项的积，则当
______时， 有最大值.
【答案】12
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求出 ，再与 作商化简后，判断出 与1的关系，
可得到 单调性和 取最大值时 的值．
【详解】由题意， ，
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
，
所以 ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以当 时， 有最大值.
故答案为：12.
四、解答题
15. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求实数 的值；
（2）求函数 的单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求函数 的导函数，若曲线 在点 处的切线平行于 轴，只需保证
，求实数 的值即可；
（2）求得 有两个根“ 和 ”，再分 、 和 三种情况分析函数
的单调性即可.
【小问1详解】
由题可得 ，
因为 在点 处的切线平行于 轴，所以 ，
即 ，解得 ，经检验 符合题意．
【小问2详解】
因为 ，
令 ，得 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司当 时，随 的变化， ， 的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
当 时，因为 ，当且仅当 时， ，
所以 在区间 上单调递增．
当 时，随 的变化， ， 的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
综上所述，
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
16. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， 于 ，
沿 将 折起，使得点 到点 的位置，使 ， ， 分别是棱 ， 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线线垂直证明 平面 ，再由线面垂直得 ，证明 ，即得
；
（2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【
小问1详解】
根据题意，沿 将 折起后， ， 平面 ，则
平面 ，
因 平面 ，则 ，由左图易得矩形 ，故 ，故 ，得证.
【小问2详解】
由（1） 平面 ， 平面 ，则 ，
故可分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 (如图).
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因 ， 分别是棱 ， 的中点，则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ；
因 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 .
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 .
即平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
17. 在周长为 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度做匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时
针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向做匀速圆周运
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学科网（北京）股份有限公司动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于 D点．
已知 厘米， 厘米，求 的长度．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，甲球第一次运动速度为 ，乙球第一次运动速度 ，从而得甲球第二次运动速度
为 ，乙球第二次运动速度为 ，由题意计算出 的长，根据两次相遇的时间相等，构造两
次相遇时的方程，求解方程组即可得 ，从而可得 .
【详解】如图，设 ，甲球第一次运动速度为 ，
乙球第一次运动速度 ，则甲球第二次运动速度为 ，
乙球第二次运动速度为 ，
由题意， ， ，圆的周长为 ，
所以 ， ，
由两次运动相遇时间相同可得 ，
化简得 ，即 ，
解得 或 ，因为甲、乙两球速度不相等，
所以 不符合条件，可得
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， 的长度为 .
18. 如图，在四棱锥 中，侧棱 矩形 ，且 ，过棱 的中点 ，作
交 于点 ，连接
（1）证明： ；
（2）若 ，平面 与平面 所成二面角的大小为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证 平面 ，得 ，再证 平面 ，得 ，然后证明
平面 ，得证 ；公众号：高中试卷君
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学科网（北京）股份有限公司（2）以 为原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法
求二面角得 的长，然后利用棱锥体积公式计算．
【小问1详解】
证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由底面 为矩形，有 ，而 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
又因为 ，点 是 的中点，所以 ．
而 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 得证．
【小问2详解】
如图，以 为原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
因为 ，设 ，（ ），
则 ， ，点 是 的中点，所以 ，
由 ，所以 是平面 的一个法向量；
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知， ，所以 是平面 的一个法向量．
因为平面 与平面 所成二面角的大小为 ，
则 ，解得 （负值舍去）．
所以 ，
．
19. 已知 是 个正整数组成的 行 列的数表，当
时，记 ．设 ，若 满足如下两个
性质：
① ；
②对任意 ，存在 ，使得 ，则称 为 数表．
（1）判断 是否为 数表，并求 的值；
（2）若 数表 满足 ，求 中各数之和的最小值；
（3）证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
【答案】（1）是；
（2）
（3）证明见详解
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
（2）根据条件讨论 的值，根据 ，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
（3）当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，得到横向
有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
【小问1详解】
是 数表，
【小问2详解】
由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
各数之和取得最小值 .
【小问3详解】
由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 列中 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，公众号：高中试卷君
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，
即存在
使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
.
则命题得证
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学科网（北京）股份有限公司
