文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时
长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和
答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1） 集合P={xÎZ 0£ x<3},M ={xÎZ x2 £9}，则 PI M =
（A）1,2 （B）0,1,2 （C）x|0£ x <3 （D） x|0£ x £3
（2）在等比数列a 中，a =1，公比 q ¹1.若a =aa a a a ，则m=
n 1 m 1 2 3 4 5
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
[来源:Z|xx|k.Com]
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（
左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A）A8A2 （B）A8C2 （C） A8A2 （D）A8C2
8 9 8 9 8 7 8 7
（5）极坐标方程(r-1)(q-p) =0(r³0)表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
第1页 | 共8页（6）a、b为非零向量.“a^b”是“函数 f(x) =(xa+b) (xb-a)为一次函数”的
g
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
ìx+ y-11³0
ï
（7）设不等式组í3x- y+3³0
ï
5x-3y+9£0
î
表示的平面区域为D，若指数函数y = ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +¥]
(8)如图，正方体ABCD- ABC D 的棱长为2，动点E、F在棱AB 上，动
1 1 1 1 1 1
点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，AE=x，DQ=y，DＰ＝z（
1
x、y、z大于零），则四面体PEFQ的体积
（Ａ）与x、y、z都有关
（Ｂ）与x有关，与y、z无关
（Ｃ）与y有关，与x，z无关
（Ｄ）与z有关，与x，y无关
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2i
（9）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 。
1-i
2p
（10）在△ABC中，若b = 1，c = 3，ÐC = ，则a = 。
3
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直
方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 ,
150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140
第2页 | 共8页，150]内的学生中选取的人数应为 。
[来源:学科网]
（12）如图， O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD^AE，AB＝4, BC＝2,
e
AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
c2 g2 c2 g2
（13）已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆 + =1的焦点相同，那么
a2 b2 25 9
双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是
y = f(x)，则函数 f(x)的最小正周期为
；y = f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚
动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针
旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程。
（15）（本小题共13分）
第3页 | 共8页已知函数 f(x) = 2cos2x+sin2 x-4cosx.
p
（Ⅰ）求 f( )的值；
3 [来源:学科网ZXXK]
（Ⅱ）求 f(x)的最大值和最小值。
（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥A
C,EF∥AC,AB= 2 ，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
第4页 | 共8页(17)(本小题共13分)
4
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ，第二、
5
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p，q( p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相
互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
[来源:学科网ZXXK]
6 24
p a d
125 [来源:学科网] 125
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 p，q的值；
(Ⅲ)求数学期望Eξ。
第5页 | 共8页(18)(本小题共13分)
k
已知函数 f(x) =ln(1+ x)-x+ x2(k ³0)
2
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y= f (x)在点(1， f (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f (x)的单调区间。
第6页 | 共8页（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-
1
1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- .
3
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的
面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
第7页 | 共8页（20）（本小题共13分）
已知集合S ={X | X =(x ,x ,… ，x ),x Î{0,1},i =1,2,… ,n}(n³2)
n 1 2 n 1
对于A=(a ,a ,… a ,)，B=(b,b ,… b ,)ÎS ，定义A与B的差为
1 2 n 1 2 n n
A-B=(|a -b |,|a -b |,… |a -b |);
1 1 2 2 n n
n
A与B之间的距离为d(A,B) = S a -b
1 1
i=1
（Ⅰ）证明："A,B,CÎS ,有A-BÎS ，且d(A-C,B-C)=d(A,B);
n n
（Ⅱ）证明："A,B,CÎS ,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数
n
-
(Ⅲ) 设PÍ S ，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).
n
- mn
证明：d(P)£
2(m-1)
第8页 | 共8页
