邕衡教育·广西2025年5月高三模拟考数学答案_2025年5月_2505132025届广西邕衡教育名校联盟高三下学期新高考5月全真模拟联合测试（全科）

2025 届新高考春季学期五月仿真联合测试
数学试卷参考答案及评分参考
1.【答案】B【详解】依题意，z42i6，所以z22i对应点(2,2)位于第二象限.故选：B
2.【答案】B【详解】注意到当x1时，x2 2x10，则 p是假命题，p是真命题；
又注意到x1时，x2 3x 11，则q为真命题，q是假命题；所以p和q都是真命题.故选：B
0 0
3.【答案】C【详解】7包不同的薯片任取2包有C2 21种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法，现从这些货
7
品中任取2包薯片和1瓶饮料，根据分步乘法计数原理得到不同的取法有216126种.故选：C.
4.【答案】C【详解】已知cba则bac，两边平方可得b2 (ac)2.所以b2 a2 2acc2. 因为a,b,c均为
1 ac 1 2
单位向量，所以 a  b  c 1.则ac ，则cosa,c  ，a,c 故选：C.
2 a  c 2 3
1 xa1 xa1
5.【答案】C【详解】 f(x)lg(1 )lg ，由 0,得xa或xa1，所以函数的定义域为
xa xa xa
1 2x1
(,a)(a1,)，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以aa10，则a ，此时 f(x)lg ，
2 2x1
2x1 2x1 2x1 2x1
f x f xlg lg lg lg ln10 ，即 f xf x，函数 f x为奇函数，所以
2x1 2x1 2x1 2x1
1
a .故选：C.
2
  2 3  
6.【答案】B【详解】cos2cos2 1，得cos2  ,因为(0,)，所以 (0, )，
2 2 8 2 2
 2 3 42 3 (1 3)2 1 3
cos     ，故选：B.
2 8 16 16 4
1
7.【答案】C【详解】由题可得正四棱台的高为2，所以体积为 2[(2 3)2(4 3)2 (2 3)2(4 3)2]56 ，故
3
选：C.
8【. 答案】A【详解】因为x0，f(x)ex x21，x0时，f(x)0，所以 f x在0,上单调递增，且 f x0
恒成立，又 f x是定义在R上的奇函数， f(0)0，所以 f x是R上的增函数，不等式
f   b2 3ab  f  9a2 2b2 0，对任意的ba0恒成立，即 f   b2 3ab f  9a2 2b2  f  2b2 9a2  ，
   
  b2 3ab  2b2 9a2，又b2 3ab0， 2b2 9a2 ，令m a 0,1，
b2 3ab b
29m2 3m1223m11 1 1
y  (3m1)  2 ，令3m1t1,4，Q yt 2在1,4上单调
13m 13m 3m1 t
递减2，所以实数的取值范围为 2，.故选：A.
1
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}p
9.【答案】ACD【详解】A选项，直线l:yk(x2)与x轴的交点为(2,0)，所以焦点F 为(2,0)，所以 2,p4，
2
所以A选项正确；
 y2 8x
B选项，当k 2 2 时，联立 得x2 5x40，x x 5，|AB|x x  p549，所以B选
1 2 1 2
y2 2(x2)
项错误；C选项，|PF|3,过点A作准线的垂线，垂足为A， 三角形APF 周长为
|AP||AF||PF||AP||AF|3|AP||AA|3|PA|3538 ，所以C选项正确；
D选项，设直线l与抛物线的准线交于点D，过点B作准线的垂线，垂足为B，设|BF|t ，则|AF|3t,|BB|t,
|AA|3t，根据三角形相似得|DB|2t，所以DBB60，所以直线l的倾斜角为60°，则k  3.
10.【答案】BCD【详解】由1P(M N)P(M)P(N)P(MN)0.60.8P(MN),得P(MN)0.40，则A错；易得
P(MK) P(NK) P(MK)P(NK) P(K)
B选项正确；由P(M|K)P(N|K)    1,得C正确； 由
P(K) P(K) P(K) P(K)
P(NM) P(M)P(NM) 0.60.4 1
P(N |M)    ，则D正确. 故选：BCD
P(M) P(M) 0.6 3
11.【答案】ABC【详解】由题可知，x0,y0,yx为曲线C的对称轴，所以A，B正确.
2
因为x2  y2 2xy x0,y0，所以xy x2  y2 ，所以  x2  y23 16x2y2 16   x2  y2   4  x2  y2 2 ，所以
 
2  2 
x2  y2 4，C正确；对于D：将x2  y2 4和(x2  y2)3 16x2y2联立，解得x2  y2 2，所以可得圆x2  y2 4与
曲线C相切于点( 2, 2)，( 2, 2)，( 2, 2)，( 2, 2)，由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象
限内经过的整点即可，把1,1，1,2和2,1代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内
不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点0,0，所以D错误.故选：ABC
12.【答案】y1
6  6
13.【答案】 【详解】由tan 2,(0, ),sin
3 2 3
14.【答案】第一空答案为n，第二个空答案为675
【详解】易得a n，由A{1,2,3,,2023},将A中的元素分为3部分，
n
（1）被3除余1的：1,4,7,,2023，共675个数
（2）被3除余2的： ，共674个数
2,5,8,L,2021
（3）被3除整除的：3,6,9,,2022，共674个数
故元素个数的最大值为675个，第一空答案为n，第二个空答案为675.
15.【详解】（1）由已知和正弦定理得： 3sinBsinCsinCcosB 3sinC，.............1分
2
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}因为sinC 0，所以 3sinBcosB 3，.........................................................................2分
    3
由辅助角公式得：2sinB  3，即sinB  ， ...........................................4分
 6  6 2
  7    2
因为0B，所以 B  ，所以B  或B  ，..............................6分
6 6 6 6 3 6 3
   
故B 或B ，因为B ，所以B . ......................................................................8分
6 2 2 6
（以上的解答过程中，“sinC 0以及角B的范围”，两个都没有写就扣1分，有其中一个不扣分）
1 1 1
（2）△ABC的面积S  acsinB 2c  3. ..................................................9分（写出面积公式即可得1分）
2 2 2
所以c2 3，................................................................................................................................10分
3
由余弦定理得：b2 a2 c2 2accosB412222 3 4，................................11分（若结果算错，写出
2
余弦定理正确即给分）
所以b2， ...............................................................................................................................12分
所以△ABC的周长为abc42 3. .................................................................................13分
2
3 9
16.【详解】（1）PA   ，.........................................................................................1分
4 16
2
3 1 3 27
PBC1      ；..................................................................................................4分
2 4 4 4 128
2
3 1 3 81
（PB结果对得3分，算式对而结果不对得2分，写成PBC1     的也给1分）；
3 4 4 4 256
（2） X 可能的取值为2，4，6.....................................................................................….........5分
3 3 1 1 5
P(X 2)     ； …………………………………....................................………7分（算式、结果各1分）
4 4 4 4 8
2 2
3 1 3 1 3 1 60 15
P(X 4)C1    C1      ；......................................................9分（算式、结果各1分）
2 4 4 4 2 4 4 4 256 64
9
P(X 6)1P(X 2)P(X 4) ；..........................................................................................11分（结果对得2分）
64
（直接写出表格没有计算过程，X 的取值全写对得1分，P(X 2)，P(X 4)，P(X 6)的结果分值都是2分）
X 2 4 6
5 15 9
P
8 64 64
（3）方法一：
比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果：
甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态，根据递推关系得：
3
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}3 3 1 1 1 3
PC  1  0C1  PC,........................................................................14分（写对递推关系得3分，
4 4 4 4 2 4 4
有递推思路但算式不对得1分）
9
所以PC . .........................................................................................................................15分
10
方法二：将甲2局获胜，4局获胜，6局获胜，……，2n2局获胜，……的所有情况进行累加：
n
3 3 1 3 3 3  1 3 3 3
PC  C1    C1      … .........................13分
4 4 2 4 4 4 4  2 4 4 4 4
9
即P(C)是一个无穷等比数列a 的所有项之和，其中a  9 ,q 3 ,P(C) 16  9 ......15分
n 1 16 8 3 10
1
8
1
17.【详解】（1）当a2时， f(x) e2x 4x，
2
所以 fxe2x 4．..........................................................................................................................2分
令 fx0，得xln2；令 fx0，得xln2．......................................................................3分
所以函数 f x的单调递减区间是,ln2，单调递增区间是ln2,. ...................................4分
1
（2）当a0时， f x e2x 2ex．
2
5 1 5
要证 f(x)4ex 2x2 ，即证 e2x 2ex 2x2  0.
2 2 2
1 5
设hx e2x 2ex 2x2  (x0)，则hxe2x 2ex 4x．.................................................5分
2 2
设mxe2x 2ex 4x(x0)，
则mx2e2x 2ex 42  ex 1  ex 2  0 ．................................................................................7分
（注：不因式分解：mx2e2x 2ex 4，所以mx4e2x 2ex ，在0,上mx0，mx2e2x 2ex 4
在0,上单调递增，故mxm00.........................................................................................7分）
所以函数mx在0,上单调递增，则mxm030，....................................................8分
所以hx0，故函数hx在0,上单调递增，则hxh00. .......................................9分
1 5
即 e2x 2ex 2x2  0．.................................................................................................................10分.
2 2
（3）因为 fxe2x a2ex 2a  ex a  ex 2  ．.................................................................11分
当a0时，令 fx0，得xln2；令 fx0，得xln2．..................................................12分
所以 f x在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增，此时 f x只有极小值，不符合题意．.......13分
当a<0时，令 fx0，得x ln2，x lna．........................................................................14分
1 2
因为 f x的极大值为 f ln2，所以ln2lna，解得a2．
4
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}综上，a的取值范围为,2．.......................................................................................................15分
18.【详解】（1）因为PA平面ABC，且BC 面ABC，所以PABC ，
又BC CA,PACA A，所以BC 平面PAC ，........................................................................1分
而AN 平面PAC ，所以BC  AN ....................................................................................................2分
又因为AN PC,BCPC C ，所以AN ⊥平面PBC ，..............................................................3分
又MN 平面PBC ，因此AN NM ，故△ANM 为直角三角形....................................................4分
（2）由PA AB2，以及AM PB知M 为PB中点，则AM  2................................5分
由（1）知AN MN ，则在直角三角形ANM 中，有AN2 NM2 AM2  2，................6分
1
所以S  ANNM ........................................................................................................................7分
△AMN
2
AN2 NM2 AM2 2 1
    ，..........................................................................................................8分
4 4 4 2
当且仅当AN NM 1时，取等，.......................................................................................................9分
1
故△AMN 面积的最大值为 ................................................................................................................10分
2
（3）解法一：以C为原点，以CB,CA所在直线分别为x轴，y轴，以过点C垂直于平面ACB的直线为z轴，建立
如图空间直角坐标系.
设CBa,CAb,a0,b0，
Q AC BC，AC2 BC2  4.
即a2 b2 4，由b2 4a2 0知，0a2 4.
于是C0,0,0,A0,b,0,Ba,0,0,P0,b,2，
则
uuur uur uuur uur uur
CM CBBM CBBP a,0,0a,b,2 aa,b,2,01.
uuur uuur
ABa,b,0,AP0,0,2,..............................................................................................................11分
uuur r
r  ABn 0, axby0,
设平面PAB的一个法向量为n x,y,z，于是uuur
r
 令 xb，得 y a,z 0,
APn 0, 2z0,
r
平面PAB的一个法向量为n b,a,0，........................................................................................13分
uuur r
CM n
 ab 2
sin  uuur r   ，.........................................................................14分
4 CM n 2 82 2a2a2 2
结合a2 b2 4，化简得162 4a2a4 2a2 0，................................................................15分
5
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}(4a2)2416(a42a2)16(3a48a2) 设 f 162 4a2a4 2a2,01，要存在，使CM 与平面
 a2 1
所成角为 ，则 f 在（0,1）上有零点.而函数 f 图象的对称轴0  ，又 f 1a4 6a2 160，只需
4 8 2
满足0，..............................................................................................................................16分
2 6 2 6
即3a4 8a2 0，解得0a . 即BC的取值范围是(0, ].................................17分
3 3
解法二：过C作CH⊥AB于H，连结MH，因为PA平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥CH，而PA∩AB=A，
所以CH⊥平面PAB，则∠CMH即为直线CM 与平面PAB所成的角.........................................11分
因为 PA=AB，所以三角形PAB是等腰直角三角形，∠PAB=45 设CBa,CAb,a0,b0，
°.
Q AC BC，AC2 BC2  4，即a2 b2 4，
ab a2
由b2 4a2 0知，0a2 4.易得CH  ，BH  ，.................................................12分
2 2
uuur uuur uuur uuur uur
因为MH BH BM BH BP ，
所以
uuur uur a2 a2 2 a4
MH2 （BH BP）2 BH2 2BP2  2BH BPcos45 ( )2 82 2 2 2  82 2a2 ,........13分
2 2 2 4
CH
因为tanCMH  tan451 ，所以CH2 MH2，
MH
a2b2 a4
即  822a2，结合a2 b2 4，化简得162 4a2a4 2a2 0，........15分
4 4
(4a2)2416(a42a2)16(3a48a2) 设 f 162 4a2a4 2a2,01，
.

要存在，使CM 与平面所成角为 ，则 f 在（0,1）上有零点.
4
a2 1
而函数 f 图象的对称轴0  ，又 f 1a4 6a2 160，只需满足0，........16分
8 2
2 6 2 6
即3a4 8a2 0，解得0a . 即BC的取值范围是(0, ].........................................17分
3 3
19.【详解】（1）由于P点在左支，则有PF 1，PF 12a，.................................................2分
1 2
c 1
由FPF 90o，有1(12a)2 4c2，又  5 ，联立解得a （舍负），.....................3分
1 2 a 2
则b2a1，曲线C的方程为4x2 y2 1......................................................................................4分
（2）（i）首先4x xy y1是表示经过点P的直线，下面证明其恰是以点P为切点曲线C的切线l. 联立4x xy y1
0 0 0 0
与4x2 y2 1可得4x2 8x x4x 2 0，所以有0，这说明4x xy y1是以点P为切点曲线C的切线l....5分
0 0 0 0
5 5 2 5x 0 1 2 5x 1
其次，由于F( ,0)，F ( ,0)，则有H F   0 ，同理有
1 2 2 2 1 1 16x 2  y 2 20x 2 1
0 0 0
6
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}2 5x 0 1 2 5x 1
H F   0 ............................................................................................7分
2 2 ，
16x 2  y 2 20x 2 1
0 0 0
5 5 1 1
注意到PF  (x  )2 y 2  x 2 5x  4x 21 5x  ，且PF PF 2a 5x  .............9分
1 0 2 0 0 0 4 0 0 2 2 1 0 2 ,
H F 2 5x 1 2
sinH PF  1 1  0 
则有 1 1 PF 1 20x 0 2 1( 5x 0  1 2 ) 20x 0 2 1 ，
H F 2 5x 1 2
sinH PF  2 2  0 
同理有 2 2 PF 2 20x 0 2 1( 5x 0  1 2 ) 20x 0 2 1 .......................................10分
................11分
所以sinH PF =sinH PF ，这说明H PF 与H PF 相等或互补（舍去）.
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
所以有H PF H PF ，记H PF H PF .则有S  PF H Psin PF PF cossin，
2 2 1 1 2 2 1 1 △H PF 1 2 1 2
2 1 2 2
1 1
S
△H 1 PF 2

2
PF
2
H
1
Psin
2
PF
2
PF
1
cossin，因此有S
△H 2 PF 1
S
△H 1 PF 2
...............12分
（ii）延长PF 与F H 交于点G，由三线合一可知三角形PGF 为等腰三角形.
1 2 2 2
GF PGPF PF PF 1
连接OH ，由于O，H 分别是FF ，GF 的中点，则有OH  1  1  2 1  ，
2 2 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1
所以点H 的轨迹为以O圆心，以 为半径的圆，其轨迹方程为x2  y2  ，..................14分
2
2 4
2 5x 1 (2 5x 1)2 (2 5x 1) 2
注意到H F  0  0  0  1 ，
2 2
20x 2 1 (2 5x 1)(2 5x 1) (2 5x 1) 2 5x 1
0 0 0 0 0
1 1 5 5 1 5
其中 x (, ] ，所以有 H F (1, ]，设 H (x ,y ) ，则有1H F  (x  )2 y 2  ，联立
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 5
x 2  y 2  ，解得x [ , )，....................................................................................16分
2 2 4 2 2 10
1 1 5
所以点H 的轨迹方程为x2  y2  , x[ , )..................................................................17分
2
4 2 10
7
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}