高三数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B A D B
二、选择题：
9.答案：ABD 10.答案：BD 11.答案：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
6
12.答案：27 13.答案：1 14.答案：
7
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
a+b sin C+sin B a+b b+c
解：(1)因为 = ,所以由正弦定理得 = ,化简得a2+b2-c2=-ab,
c−b sin A c−b a
a2+b2−c2 −ab 1 2π
所以cos C= = =− 。因为C∈(0,π),所以C= 。
2ab 2ab 2 3
(2)因为(❑√3+1)a+2b=❑√6c,所以由正弦定理,得(❑√3+1)sin A+2sin B=❑√6sin C,
又C=2π,A+B+C=π,所以( +1)sin A+2sin(π ) 3❑√2,即sin( π) ❑√3。
❑√3 −A = A+ =
3 3 2 4 2
π π π 7π π π π π π
因为0<A< ,所以 <A+ < ,所以A+ = ,即A= − = 。
3 4 4 12 4 3 3 4 12
16.（本小题满分15分）
解:(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,
1
所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C= 。
2
π
又因为C∈(0,π),故C= 。
3
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为
·( )=18,所以 · =18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-
⃗CA ⃗AB−⃗AC ⃗CA ⃗CB
2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
17.（本小题满分15分）
解：(1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l
学科网（北京）股份有限公司x y
的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为 + =1,代入P(1,2),解得a=-1,故直
a −a
线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2) 设 A(x,y), 满 足 x2+y2-6y=0, 设 s= · =x+2y 。 由 {x2+ y2−6 y=0,得 5y2-
⃗OA ⃗OP
s=x+2y,
2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3❑√5≤s≤6+3❑√5。
所以⃗OA·⃗OP的取值范围为[6-3❑√5,6+3❑√5]。
18.（本小题满分16分）
解 (1)f'(x)=1- a x2−a。当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当
=
x2 x2
a>0时,f'(x)=(x+❑√a)(x−❑√a),令f'(x)=0,解得x=± ,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
❑√a
x2
(-∞, (-❑√a, (0, (❑√a,
x -❑√a ❑√a
-❑√a) 0) ❑√a) +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
单调 单调 单调 单调
f(x) b-2❑√a 2❑√a+b
递增 递减 递减 递增
所以f(x)在(-∞,-❑√a)和(❑√a,+∞)上单调递增,在(-❑√a,0)和(0,❑√a)上单调递减。
(2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成
立,所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0在
x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值
范围为(-∞,1]∪[4,+∞)。
19.（本小题满分16分）
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),
1 ❑ 7 ❑ 7
则w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x −x) 2 =28,结合题表中数据,
7 i i
i=1 i=1
❑ 7
∑❑(x −x)(w −w)
i i
可得ln c=
i=1 =
−2.24=-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,
❑ 7 28
∑❑(x −x) 2
i
i=1
由ln d=w−x·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x
的经验回归方程为^y=60×0.92x+25。
学科网（北京）股份有限公司(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,
60−25 7 7
得0.92x= = ,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,
60 12 12
−0.6 −0.6
则x≈ = =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达
ln e−0.08 −0.08
到最佳饮用口感。
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