文档内容
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.复数z =i 1+ii为虚数单位 在复平面上对应的点位于( )
g
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，
拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3.在锐角中DABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB= 3b,则角A等于( )
p p p p
A． B． C． D．
12 6 4 3
ìy£2x
ï
4.若变量x,y满足约束条件íx+ y£1，则x+2y的最大值是( )
ï
y³-1
î
5 5 5
A．- B．0 C． D．
2 3 2
5.函数 f x=2lnx的图像与函数gx= x2 -4x+5的图像的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
6. 已知a,b是单位向量，a b=0.若向量c满足 c-a-b =1,则c的取值范围是( )
g
A．é 2-1，, 2+1ù B．é 2-1，, 2+2ù
ë û ë û
C．é1，, 2+1ù D．é1，, 2+2ù
ë û ë û
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能
等于( )
2-1 2+1
A．1 B． 2 C． D．
2 2
第1页 | 共6页8.在等腰三角形ABC中，AB=AC =4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经
BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过DABC的中心，则AP等于( )
A．2 B．1
8 4
C． D．
3 3
二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
ìx=t, ìx=3cosj,
l:í (t为参数)过椭圆C:í
9.在平面直角坐标系xoy中，若 îy =t-a îy =2sinj
(j为参数)的右顶点，则常数a的值为 .
10.已知a,b,cÎ,a+2b+3c=6,则a2 +4b2 +9c2的最小值为 .
11.如图2，在半径为 7 的 O中,弦
e
AB,CD相交于点P,PA= PB=2,
PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 .
（一） 必做题（12-16题）
T
12.若ò x2dx=9,则常数T的值为 .
0
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为 .
第2页 | 共6页x2 y2
14．设F,F 是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若 PF + PF =6a,
1 2 a2 b2 1 2
且DPFF 的最小内角为30o，则C的离心率为___。
1 2
1
15．设S 为数列a 的前n项和，S =(-1)na - ,nÎN*,则
n n n n 2n
（1）a =_____；
3
（2）S +S +×××+S =___________。
1 2 100
16．设函数 f(x)=ax +bx -cx,其中c>a >0,c>b>0.
（1）记集合M =(a,b,c) a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则(a,b,c)ÎM 所
对应的 f(x)的零点的取值集合为____。
（2）若a,b,c是DABC的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论
的序号）
①"xÎ-¥,1, f x>0;
②$xÎR,使xax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若DABC为钝角三角形，则$xÎ1,2,使f x=0.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
p p x
已知函数 f(x)=sin(x- )+cos(x- ).g(x)=2sin2 。
6 3 2
第3页 | 共6页3 3
（I）若a是第一象限角，且 f(a)= 。求g(a)的值；
5
（II）求使 f(x)³ g(x)成立的x的取值集合。
18．（本小题满分12分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形
的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：
kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图5，在直棱柱ABCD-ABC D中，AD//BC，
1 1 1
1
ÐBAD=90o,AC ^ BD,BC =1,AD= AA =3.
1
（I）证明：AC ^ BD；
1
（II）求直线BC与平面ACD 所成角的正弦值。
1 1 1
第4页 | 共6页20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条
“L路径”。如图6所示的路径MM M M N与路径MN N 都是M到N的“L路径”。某地有三个
1 2 3 1
新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处。现计划在x轴上方区域
（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确
定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。
21．（本小题满分13分）
过抛物线 E:x2 =2py(p >0)的焦点 F 作斜率分别为 k ,k 的两条不同的直线l ,l ，且
1 2 1 2
k +k =2，l与E相交于点A，B，l 与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为
1 2 1 2
圆心）的公共弦所在的直线记为l 。
uuuur uuur
（I）若k >0,k >0，证明；FM FN <2P2；
1 2 g
7 5
（II）若点M到直线l 的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程。
5
22．（本小题满分13分）
x - a
已知a > 0 ，函数 f (x) = 。
x + 2a
（I）；记 f (x)在 区 间 0,4上 的 最 大 值 为 g( a) , 求g(a)的表达式；
第5页 | 共6页（II）是否存在a，使函数y = f(x)在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线
相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
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