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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
1 n 1 n
样本数据x ,x , ,x 的方差s2 = å(x -x)2 ，其中x = åx 。
1 2 L n n i n i
i=1 i=1
1
棱锥的体积公式：V = Sh，其中S是锥体的底面积，h为高。
3
棱柱的体积公式：V =Sh，其中S是柱体的底面积，h为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位
置上。
p
1、函数y =3sin(2x+ )的最小正周期为 ▲ 。
4
2、设z =(2-i)2 (i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ 。
x2 y2
3、双曲线 - =1的两条渐近线的方程为 ▲ 。
16 9
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结
果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为X Y ，其中正整数m,n(m£7,n£9)可以任意选
m n
取，则m,n都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A B C -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A
1 1 1
A 的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V ，三棱柱A B C -
1 1 1 1 1
ABC的体积为V ，则V ：V = ▲ 。
2 1 2
9、抛物线y = x2在x=1处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角
第1页 | 共6页形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是 ▲ 。
1 2
10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且AD= AB,BE = BC。若
2 3
uuur uuur uuur
DE =lAB+lAC (l、l均为实数)，则l+l的值为 ▲ 。
1 2 1 2 1 2
11、已知 f(x)是定义在R上的奇函数。当x>0时， f(x)= x2 -4x，则不等式 f(x)> x
的解集用区间表示为 ▲ 。
x2 y2
12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F，右准
a2 b2
线为l，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为d ，F到l的距离为d 。若
1 2
d = 6d ，则椭圆C的离心率为 ▲ 。
2 1
1
13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数y = (x>0)图象上的一动点。若点
x
P、A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列a 中，
n
1
a
5
=
2
,a
6
+a
7
=3，则满足a
1
+a
2
+
L
+a
n
>a
1
a
2L
a
n
的最大正整数n的值为 ▲
。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
r r
已知向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),0<b<a<p。
r r r r
（1）若|a-b|= 2，求证：a^b；
r r r r
（2）设c=(0,1)，若a+b=c，求a,b的值。
16、（本小题满分14分）
第2页 | 共6页如图，在三棱锥S-
ABC中，平面SAB^平面SBC,AB^ BC，AS=AB。过A作AF ^SB，
垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2）BC ^SA。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l: y =2x-4，设圆C的半径为1，圆心在
直线l 上。
（1）若圆心C也在直线y = x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另
第3页 | 共6页一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后
，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分
12 3
钟，山路AC的长为1260米，经测量，cosA= ,cosC = 。
13 5
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步
行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16分）
设{a }是首项为a、公差为d 的等差数列(d 0)，S 为其前n项和。记
n n
nS
b = n ,nÎN*，其中c为实数。
n n2 +c
（1）若c=0，且b ,b ,b 成等比数列，证明：S =n2S (n,kÎN*)
1 2 4 nk k
（2）若{ b }为等差数列，证明：c=0。
n
20、（本小题满分16分）
设函数 f(x)=lnx-ax,g(x)=ex -ax，其中a为实数。
第4页 | 共6页（1）若 f(x)在(1,+)上是单调减函数，且g(x)在(1,+)上有最小值，求a的取值范围
；
（2）若g(x)在(-1,+)上是单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论。
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
é-1 0ù é1 2ù
已知矩阵A= ,B= ，求矩阵A-1B．
ê ú ê ú
ë 0 2û ë0 6û
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
ìx=t+1
在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为í （t为参数），曲线C的参数方程为
îy =2t
ìx=2tan2q
í （q为参数）。试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
îy =2tanq
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a≥b＞0，求证：2a3-b3≥2ab2 -a2b。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第5页 | 共6页22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC -ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA=4，点D是BC的中点。
1 1 1 1
（1）求异面直线AB与C D所成角的余弦值；
1 1
（2）求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值。
1 1
23．（本小题满分10分）
k个
644474448
设数列a
n
：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，(-1)k-1k,
L
(-1)k-1k ，…
（k-1）k （k+1）k
即当 <n£ (kÎN*)时，a =(-1)k-1k。记S =a +a + +a
2 2 n n 1 2 L n
(nÎN*)。
对于lÎN*，定义集合P=﹛n|S 为a 的整数倍，nÎN*,且1≤n≤l}
l n n
(1)求P 中元素个数；
11
(2)求集合P 中元素个数。
2000
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