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哈尔滨市第六中学 2023 级上学期期末考试
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次不等式和绝对值不等式求解，再结合集合交集运算即可求解.
【详解】由 得：
由 ，得 或 ，
即 ， 或 ，
所以 ，
故选：B
2. 已知复数 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
故选：C.
3. 平面向量 满足 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】 结合向量的模长公式和运算法则即可求解.
【详解】由 可得 ，
又 ，所以 ，所以
所以 .
故选：D.
4. 设 为正项递增等比数列 的前 项和， ，且 成等差数列，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式和前 项和公式求解计算即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 为正项递增等比数列 的前 项和，设数列 的公比为 ，
由 ，且 成等差数列，
得 ，化简得 .
因为 ，所以解得 .
所以 .
故选：A.
5. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
【详解】由题意有：
，
故选：B.
6. 哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、
“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必
须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先安排1班和2班去同一个馆，再随意安排剩下3个班，有8种情况，最后去掉所有班都去同一
个馆的情况，据此可得答案.
【详解】先安排1班和2班去同一个馆，有2种情况，
再随意安排剩下3个班所去的场馆，有 种情况，
最后去掉所有班都去同一个馆的情况，有2种情况，
则满足题意的情况数为： .
故选：D
7. 已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线 一条渐近线的垂线，
垂足为点 且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过双曲线焦点得 ，联立渐近线与垂线方程得 坐标，利用向量关系得
，联立方程求解得 的值，即得双曲线方程.
【详解】双曲线 的右焦点 ，则 ， .
双曲线渐近线方程为 ，过 作渐近线 的垂线 ，其斜率为 ，
垂线 的方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司由 ，解得 ，即 ；
由 ，解得 ，即 .
， ，
因 ，对应坐标相等，由纵坐标得： ，
化简得 ，又 ，解得 ， ，
故双曲线方程为 .
故选：C
8. 已知函数 ，则函数 的图象与函数 的图象的所有交点
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学科网（北京）股份有限公司的横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解.
【详解】函数 与函数 的图象都关于 对称.
作出两函数的图象如图，
由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点 对称），
所以所有交点的横坐标之和等于 .
故选：C
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取 天
的数据，将样本数据分为 ， ， ， ， ， ， 七组，
整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第 百分位数为
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学科网（北京）股份有限公司B. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为
C. 根据频率分布直方图估计， 天中某骑手的业务量在 单及以上的天数为 天
D. 根据频率分布直方图估计， 天中骑手的业务量的极差为 单
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图、平均数的定义和公式、百分位数的定义和公式以及极差的定义和公式进行
逐项计算即可.
【详解】对于A：
前四组频率和为： ，
前五组频率和为： ，所以第70百分位数位于 组.
设第70百分位数为 ，则 ，解得 ，
所以每天骑手 的人均业务量的第 百分位数为70， 正确；
对于B：
每天骑手的人均业务量的平均数为：
，B错误；
对于C：
天中某骑手的业务量在 单及以上的天数为
，C正确；
对于D：
天中骑手的业务量的最大值为95，最小值为25，所以极差为 ，D正确.
故选：ACD.
10. 已知 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 两点，交抛物线的准线于点 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切
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学科网（北京）股份有限公司B. 若抛物线上的点 到点 的距离为 ，则抛物线的方程为
C. 若 ，且 在 之间，则抛物线的方程为
D. 若线段 的中点到抛物线准线的距离为 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可知 ，设 ，由抛物线的焦半径公式即可判断ABD；由已知结
合相似三角形的性质得出 ，由 列出方程即可判断C．
【详解】由题可知 ，设 ，
对于A， ，以线段 为直径的圆的半径为 ，
线段 中点即为圆心 ，到准线 的距离为 ，故A错误；
对于B， ，则抛物线的方程为 ，故B正确；
对于C，过点 作抛物线准线的垂线段，垂足为 ，设准线与 轴交点为 ，
则 ， ， ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，则抛物线的方程为 ，故C正确；
对于D，线段 的中点坐标为 ，到准线的距离为 ，
则 ，故D正确；
故选：BCD．
11. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ，过点 且与 平行的平面 分别与棱 、
交于 两点，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 为 的中点，则 为 的中点
B. 若 ，则四棱锥 的体积为
C. 平面 平面
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学科网（北京）股份有限公司D. 三棱锥 的外接球的体积为
【答案】AD
【解析】
【 分 析 】 对 于 A ， 由 线 面 平 行 的 性 质 可 得 ， 即 可 判 断 A ； 对 于 B ， 先 根 据
得到四边形 的面积，再由锥体体积公式求四棱锥 的体积即可
判断B；对于C，由题意可知，若平面 平面 ，则 平面 ，得到 ，即可推
出与题意矛盾；对于D，根据题意可得 的中点为外接球球心，半径 ，再由体积公式计算即可．
【详解】对于A，根据题意， 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
若 为 的中点，则 为 的中点，故A正确；
对于B，因为 ， ，所以 ，则 ，
又因为 ， ，所以 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司易知 ， ，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，且相似比为 ，
， ，
，故B错误；
对于C， 平面 ，平面 是变动的，
若平面 平面 ，则 平面 ，
平面 ， ，
又 ，所以 不成立，故C错误；
对于D， ， ， 为公共斜边，
则 为三棱锥 外接球的球心，外接球半径 ，
所以外接球体积 ，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
12. 已知函数 的最小正周期为 ，若函数 图象关于直线
对称，则 __________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据最小正周期，可得 的值，根据对称轴方程及 的范围，可得 值，即可得 解析式，
代入 即可得答案.
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
因为 图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以令 ，则 ，
所以 ，则 .
故答案为：
13. 某工厂为研究某种产品的产量 （吨）与所需某种原材料的质量 （吨）的相关性，在生产过程中收
集 组对应数据 ，如下表所示．（残差 观测值 预测值）
3 4 5 6
2.5 4 4.5
根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，据此计算出在样本 处的残差为
，则表中 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据残差求得 时的预测值，从而求得 ，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 时的预测值为 ，
所以 ，解得 ，即经验回归方程为 ，
又因为 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
14. 设函数 在 上存在导函数 ，对 ，都有 ，当 时， 成
立，若 ，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先通过构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合函数奇偶性，将不等式转化为关于自变量的
不等式，进而求解实数m的取值范围即可.
【详解】设 ，对 求导得 ，
因 为当 时， ，所以当 时， ，
则 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
即 是偶函数，那么 在 上单调递增，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司将其变形为： ，即 ，
由于 是偶函数，所以 等价于 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
则 ，展开得 ，
化简得 ，整理得 ，
解得 或 ，
因此，实数 的取值范围是 .
第Ⅱ卷（非选择题 共77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直三棱柱 中， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定
理证明即可；
（2）取 中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 为 轴的正方向建立空间直角坐
标系，求出直线 的方向向量与平面 的法向量，利用坐标公式法求解即可.
【小问1详解】
因为 是正三角形， 是 中点，所以 ，
因为直三棱柱 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
由题意可知 ，因为 平面 ，所以 ， ，
取 中点 ，连接 ，
以 为坐标原点， 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量 ，
则 ，解得平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16. 已知 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）若 ，求 的面积 的值；
（2）若 边上的高为 ，求角 的大小及 的值.
【答案】（1） ；
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）由正余弦定理建立关于 的等式，求出 ，即可求解；
（2）由面积公式，余弦定理建立等式，即可得 ，即 ，因为 ，
所以 ，再结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由 得 ，因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，由余弦定理可知， ，
即 ，即 ，所以 ；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
综上， ，即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，所以 .
17. 已知数列 为正项数列， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由递推式可得 ，结合 ，即可得到 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意作差得 ，解得 ，再检验 时， 即可；
（3）根据题意 ，再由裂项相消法即可求解．
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，
作差得， ，所以 ，
令 ，所以 ，检验成立，所以 ；
【小问3详解】
因为 ，
所以 ．
.
18 已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间和极值；
（2）当 时，证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ，极大值 ，极小值 ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，然后解不等式 ， 可得
单调性，据此可得答案；
（2）当 时，设 ，由导数知识可得其单调性，据此可完成证明；
（3）由题可得 ，在 时恒成立，
等价于 ，其中 .然后分 ， ，
三种情况，结合多次求导可得答案.
【小问1详解】
当 时， ，
所以 ，
令 ，所以 或 ， ， ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ，
极大值 ，极小值 .
【小问2详解】
当 时，设
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 在 上时增函数，
所以 ，所以 ；
【小问3详解】
当 时， 恒成立，
即 恒成立，
设 .
所以 ，令 ，
所以 .
当 时， ，所以 在 上是增函数，
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 成立；
当 时，令 ，
则 ，所以 在 上是增函数，
所以 .
当 时，即 ，此时 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 成立；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 ，注意到 时， .
则 ，使 ，则 ， .
所以 在 上是减函数，在 上是增函数.
注意到 ， 时， ，
又由以上分析可得 ，则 ，使 .
则 ， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 不满足题意，舍去.
综上所述， .
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且过点 的直线 与
椭圆 交于 两点， 的周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 上存在点 ，使原点 为 的重心，求直线 的方程；
（3）设椭圆 的上、下顶点分别为 ，若直线 与y轴交于点 ，直线 与 交于点Q，求证：
为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，2
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由椭圆定义及离心率公式建立等式即可求解；
（2）当直线 的斜率为 时，点 不可能为 的重心，舍去
当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为 ，与椭圆联立，由韦达定理
及 为 的重心，得 ，代入椭圆方程，即可求解；
（3）由题意可知， ， ，表示出直线 ， 的方程，联立求出
，即点 ，所以 （定值）
【小问1详解】
由椭圆的定义知 的周长为 ， ，又 ，
， 椭圆方程为
【小问2详解】
当直线 的斜率为 时，点 不可能为 的重心，舍去
当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为
，联立得 ，
由韦达定理得 ，因为 为 的重心，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 ，又 ，
即
代入椭圆方程得 解得 ，
所以直线 的方程为
【小问3详解】
由题意可知， ， ，
所以直线 的方程为 ，即
直线 方程为 ，即
的
所以
由韦达定理可知 ，由 ，
代入上式得
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，即点 ，
所以 ， ，
所以 （定值）
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学科网（北京）股份有限公司
