重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月月考数学试卷（原卷版）(1)_2026年1月_260111重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月定时检测（一诊）（全科）

重庆市西南大学附属中学校 2026 届高三上学期
1 月月考数学试卷
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
2
z =
1. 复数
i2026 -i
的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. -1 D. -i
r r r  r r r
2. 已知向量a =m,2，b=1,1，c=1,3，且 2a-b ^c，则实数m为（ ）
A. -4 B. -3 C. 4 D. 3
3. 函数y = 2cos2 x+sin2x 的最大值为（ ）
A. 1- 2 B. 2+1 C. 2 D. 3
4. 如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E为棱PC中点，则异面直线BE 与PD所成角的
余弦值为（ ）
3 3
A. B.
3 6
1 1
C. D.
6 3
学科网（北京）股份有限公司5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配
1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种
S
6. 记等比数列 a  的前n项和为S ，数列 b  的前n项和为T ，且满足 b =a ， 若 2026 =2026，则
n n n n n 2n-1 T
1013
a 
公比q=（ ）
n
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
7. 已知a >0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
1 1
A. ab£ B. a2 +b2 ³
4 2
1 1
C. + >2 D. a + b £1
a b+1
8. 已知函数 gx=ex +e-x，若 f¢x+1= xg¢x+gx,xÎR，且 f 1=1，若
f  a2 -1  + f  b2 +3  =2，则满足条件的点 a,b 在平面直角坐标系中构成的图象为（ ）
A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
若事件A与事件B相互独立，PA=0.4,PB=0.3， 则PAÈB=0.7
B. 若样本数据x ,x ,×××,x 的方差为10， 则数据3x -1,3x -1,×××,3x -1的方差为90
1 2 6 1 2 6
C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个
红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D. 1,2,3,×××,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507
10. 如图，在正四棱柱ABCD- ABC D 中，AA =2 2,AB=2，点P为线段AD 上一动点，则下列说
1 1 1 1 1 1
法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 直线PB //平面BCD
1 1
B. 三棱锥P-BCC 的体积为定值4 2
1
C. 若Q为线段BB 中点，则C P与CQ垂直
1 1
D. 三棱锥C -ABD外接球的体积为16π
1
11. 已知抛物线C：y2 =4x的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的
有（ ）
A. 点F 的坐标为(1,0)
B. 若点A在第一象限， 且 AF =2 BF ， 则直线AB 的斜率为 2 2
uuur uuur
C. OA×OB=0
D. 过点H(-2,1)作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段MON 上任意一点，则
27
△TMN 面积的最大值为
4
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
4
æ 1 ö
12. ç 2x- ÷ 的展开式中x的系数为_________(用数字作答).
è 5x2 ø
13. 已知圆C:x2 + y2 =2，点P 为直线x- y+3=0上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB，点
A、B为切点，则直线AB经过定点_________.
1
14. 在正项数列{a }中， a =1,a2 -a2 =1，记 b = .整数m满足
n 1 n+1 n n a +1a +1a +a 
n n+1 n n+1
lg  102023 +1  <m<lg  102024 +1 ，则数列 b  的前m项和为_________.
n
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图是函数 f x= Asinwx+j ，(A>0，w>0,0<j<p)一个周期内的图象，把 f x 的图象上
5p
所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移
个单位长度，得到函数gx
12
的图象.
（1）求函数gx
的解析式;
（2）在△ABC中， 若gB= 3， AB=2， BC=3， 求AC.
学科网（北京）股份有限公司16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵
抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团
成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六
的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下：
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六
昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12
新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆
参考数据： å 6 t =54,å 6  t -t 2 =64， å 6 y2 =3463,å 6  y - y 2 =289
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
（1）已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中
11
男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 ，求X的分布列和数学期望；
12
16
（2）已知两个变量t与y之间的样本相关系数 r = ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程
17
yˆ =b ˆ t+aˆ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数.
å n  t -t  y - y  å n  t -t  y - y 
i i i i
参考公式：r = i=1 ， $b= i=1
å n  t -t 2 å n  y - y 2 å n  t -t 2
i i i
i=1 i=1 i=1
17. 在平面直角坐标系
Oxy中，已知动点Ex,y 到点F1,0
的距离和E到直线x-4=0 的距离之比是
学科网（北京）股份有限公司1
常数 .
2
（1）求动点E的轨迹C的方程；
（2）过点Nn,0的动直线(斜率k存在)与曲线C交于P，Q两点，在x轴上存在点 M t,0 ，使得
S |PM |
VPNM = ,试问 nt是否为定值，若是，求出nt的值；若不是，请说明理由.
S |QM |
VQNM
18. 如图， 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB = 2,BC = 4，侧面PBC 为正三角形，且平面
学科网（北京）股份有限公司uuur uuur
PBC ^平面ABCD，E为棱PA上一点，PE =lPA(0<l<1)，平面BCE交棱PD于点F.
（1）求证：BC//EF ；
1
（2）当l= 时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离.
2
（3）求直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值.
19. 已知函数 f(x)=tanx-kx.
学科网（北京）股份有限公司æ π πö
（1）若k =2，求函数 f (x)在区间ç - , ÷上的单调区间；
è 2 2ø
（2）若k =1，函数 f (x)在区间 0,+¥ 的零点从小到大依次构成数列 a  ；
n
（i）证明: 函数 f (x)在区间
æ
ç nπ,nπ+
πö
÷
 nÎN*
有唯一零点，且a +π<a ；
è 2ø n n+1
（ii）令b =a -a ，判断并证明数列 b  的单调性.
n n+1 n n
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