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2023—2024 学年高三质量检测（一）
数学参考答案
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A C B B
二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AB AC ACD ACD
三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3√5 14．160 15． 5 16．[ 4 , 2]
5 3 3
四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）设该等差数列{𝑎 }的公差为𝑑，等比数列{𝑏 }的公比为𝑞，
𝑛 𝑛
𝑎 +𝑑 =𝑎 𝑞
由已知得{ 1 1 ， ............................................................................................................... 2分
𝑎 +3𝑑 =𝑎 𝑞2
1 1
因为数列{𝑎 }为正项数列，{𝑏 }为正项递增数列，
𝑛 𝑛
所以𝑞 =2，𝑑 =1， ........................................................................................................................... 4分
所以𝑎 =1+(𝑛−1)×1=𝑛，𝑏 =1×2𝑛−1 =2𝑛−1． .............................................................. 6分
𝑛 𝑛
𝑛 , 𝑛为奇数
（2）由已知得𝑐 ={ ， ............................................................................................ 7分
𝑛
2𝑛−1 , 𝑛为偶数
所以数列{𝑐 }的前2𝑛项和为
𝑛
𝑇 =(𝑎 +𝑎 +⋯+𝑎 )+(𝑏 +𝑏 +⋯+𝑏 )
2𝑛 1 3 2𝑛−1 2 4 2𝑛
=(1+3+⋯+2𝑛−1)+(21+23+⋯+22𝑛−1) ........................................................................... 8分
(1+2𝑛−1)𝑛 21×(1−4𝑛)
= +
2 1−4
=
3𝑛2+22𝑛+1−2．
.................................................................................................................................. 10分
3
18．（12分）
证：（1）∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，
∴𝐴𝐵 ⊥𝐴𝐷， ....................................................................................................................................... 1分
又∵𝐴𝐵 ⊥𝑃𝐷，𝐴𝐷∩𝑃𝐷 =𝐷,𝐴𝐷 , 𝑃𝐷 ⊂平面𝑃𝐴𝐷， ................................................................... 3分
∴𝐴𝐵 ⊥平面𝑃𝐴𝐷， .............................................................................................................................. 4分
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{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∵𝐴𝐵 ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷， ........................................................................................................................... 5分
∴平面𝑃𝐴𝐷 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷． ................................................................................................................. 6分
解：（法一）（2）取𝐴𝐷中点为𝑂，连结𝑃𝑂，
∵在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，∠𝑃𝐷𝐴=60°，
∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷,△𝑃𝐴𝐷为等边三角形．
∵平面𝑃𝐴𝐷 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝐴𝐷，𝑃𝑂 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，
∴𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷， ........................................................................................................................... 7分
以𝑂为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，
∴𝑃(0,0,√3)，𝐴(1,0,0)，𝐵(1 , 2 , 0)，𝐶(−1 , 2 , 0)，𝐷(−1 , 0 , 0)，
∴𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(1 , 2 , −√3)，𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(−1 , 2 , −√3)， ............................................................................ 9分
设平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量𝒎=(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)，
𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝒎=0 𝑥+2𝑦−√3𝑧=0
则{ ，即{ ，
𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ⋅𝒎=0 −𝑥+2𝑦−√3𝑧=0
令𝑦=3，则𝑥 =0，𝑧 =2√3，
∴𝒎=(0 , 3 , 2√3)， ..................................................................................................................... 10分
由（1）可知平面𝑃𝐴𝐷的一个法向量𝒏=(0 , 1 , 0)， .................................................................. 11分
设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角为𝜃，
则𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|𝒎⋅𝒏|
=
3
=
√21
，
|𝒎||𝒏| √21×1 7
∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√21． ................................................................................ 12分
7
z
P
D C
O
y
（法二）（2）设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的交线为𝑙，
A B
∵𝐵𝐶 𝐴𝐷，𝐴𝐷 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，𝐵𝐶 ⊄平面𝑃𝐴𝐷，
x //
(第18题图1)
∴𝐵𝐶 平面𝑃𝐴𝐷，
//
又∵𝐵𝐶 ⊂平面𝑃𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶 𝑙，𝐴𝐷 𝑙，
// //
∵平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶有一个交点𝑃，
∴𝑙为过点𝑃且与𝐵𝐶平行的一条直线，如下图， .............................................................................. 7分
取𝐴𝐷中点为𝑂，取𝐵𝐶中点为𝑀，连结𝑃𝑂，𝑃𝑀，𝑂𝑀，
∵底面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑂 , 𝑀分别为𝐴𝐷 , 𝐵𝐶的中点，
∴𝑂𝑀 𝐴𝐵，
//
又∵𝐴𝐵 ⊥平面𝑃𝐴𝐷，
∴𝑂𝑀 ⊥平面𝑃𝐴𝐷， ............................................................................................................................. 8分
∵𝑙 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，
第2页 共5页
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∴𝑂𝑀 ⊥𝑙，
∵在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑂为𝐴𝐷的中点，
∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，𝑃𝑂 ⊥𝑙，
又𝑃𝑂∩𝑂𝑀 =𝑂，𝑃𝑂 , 𝑂𝑀 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，
∴𝑙 ⊥平面𝑃𝑂𝑀，
∴𝑙 ⊥𝑃𝑀，
又∵∠𝑂𝑃𝑀为锐角，
∴∠𝑂𝑃𝑀为平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角， ..................................................................................... 10分
设底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，
在△𝑃𝑂𝑀中，𝑃𝑀 =√𝑃𝑂2+𝑂𝑀2 =√7，𝑐𝑜𝑠∠𝑃𝑂𝑀 = 𝑃𝑂 = √3 = √21，
𝑃𝑀 √7 7
∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√21． ................................................................................ 12分
7
l
P
D C
O
M
A B
(第18题图2)
19．（12分）
解：（1）由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵， ......................................... 2分
因为𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝑠𝑖𝑛[𝜋−(𝐵+𝐶)]=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)，
所以𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)−𝑠𝑖𝑛𝐵， ................................................................ 3分
即𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐵，
2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 =−𝑠𝑖𝑛𝐵，
而𝑠𝑖𝑛𝐵 ≠0，
1
所以𝑐𝑜𝑠𝐶 =− ， ............................................................................................................................... 5分
2
又因为𝐶 ∈(0 , 𝜋)，
所以𝐶 =2π． ........................................................................................................................................ 6分
3
13
（2）因为𝑐𝑜𝑠𝐵 = ，𝐵 ∈(0 , 𝜋)，
14
所以𝑠𝑖𝑛𝐵 =√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵 = 3√3， ...................................................................................................... 7分
14
𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠 2𝜋 +𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛 2𝜋 = 5√3， .............................................................. 8分
3 3 14
5 𝑏 𝑐
由正弦定理 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ，得 = = ，
5√3 3√3 √3
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
14 14 2
第3页 共5页
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}解得𝑏 =3，𝑐 =7， .......................................................................................................................... 10分
则𝐴𝐷 =𝑐−𝐵𝐷 =2，
所以𝑆 = 1 ×𝐴𝐷×𝑏×𝑠𝑖𝑛𝐴 = 1 ×2×3× 5√3 = 15√3． ....................................................... 12分
△𝐴𝐶𝐷
2 2 14 14
20．（12分）
解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件𝐴，“该箱产品不含次品”为事件𝐵，
𝐶3 𝐶3 11
则𝑃(𝐴)=0.8×1+0.1× 9 +0.1× 8 = ， ............................................................................... 3分
𝐶3 𝐶3 12
10 10
4
𝑃(𝐴𝐵)=0.8= ， .............................................................................................................................. 4分
5
4
𝑃(𝐴𝐵) 48
由条件概率公式得𝑃(𝐵|𝐴)= = 5 = ，
𝑃(𝐴) 11 55
12
48
所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为 ． ........................ 6分
55
（2）由题意可得𝑋可以取0，1，2， ................................................................................................ 7分
11
则𝑃(𝑋 =0)=𝑃(𝐴)= ， ................................................................................................................. 8分
12
𝐶1⋅𝐶2 𝐶1⋅𝐶2 23
𝑃(𝑋 =1)=0.1× 1 9 +0.1× 2 8 = ， .................................................................................... 9分
𝐶3 𝐶3 300
10 10
𝐶2𝐶1 1
𝑃(𝑋 =2)=0.1× 2 8 = ， ......................................................................................................... 10分
𝐶3 150
10
所以随机变量𝑋的分布列为
𝑋 0 1 2
11 23 1
𝑃
12 300 150
.............................................................................................................................................................. 11分
3 23 1 9
所以𝐸(𝑋)=0× +1× +2× = ． .............................................................................. 12分
25 300 150 100
21．（12分）
解：（1）𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚，............................................................................................................... 1分
当𝑚 ⩽ 0时，由𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增， ....................................................................... 2分
当𝑚 >0时，由𝑓′(𝑥)=0，可得𝑥 =𝑙𝑛𝑚，
∴𝑥 ∈(−∞ , 𝑙𝑛𝑚)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减； ....................................................................... 3分
𝑥 ∈(𝑙𝑛𝑚 , +∞)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增． .................................................................... 4分
∴当𝑚 ⩽ 0时，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增；
当𝑚 >0时，𝑓(𝑥)在区间(−∞,𝑙𝑛𝑚)上单调递减，在区间(𝑙𝑛𝑚,+∞)上单调递增．
（2）设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚𝑥+𝑙𝑛(𝑥+1)−1(𝑥 ⩾ 0)，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+ 1 −𝑚， ......................... 5分
𝑥+1
（i）当𝑚 ⩽ 1时，𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+ 1 −𝑚 ⩾ 1−𝑚 ⩾ 0， ................................................. 6分
𝑥+1
∴𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则𝑔(𝑥) ⩾ 𝑔(0)=0恒成立， ............................................. 7分
（ii）当𝑚 >1时，令ℎ(𝑥)=𝑒𝑥+ 1 −𝑚，则ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥− 1 ， ........................................... 8分
𝑥+1 (𝑥+1)2
第4页 共5页
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}令𝑘(𝑥)=𝑒𝑥− 1 ，则𝑘′(𝑥)=𝑒𝑥+ 2 >0，
(𝑥+1)2 (𝑥+1)3
∴𝑘(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则𝑘(𝑥)⩾𝑘(0)=0，
∴ℎ(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则ℎ(𝑥)⩾ℎ (0)=2−𝑚， .................................................... 9分
①若1<𝑚 ⩽ 2，则𝑔′(𝑥) ⩾ 0恒成立，则𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，
∴𝑔(𝑥)⩾𝑔(0)=0， ........................................................................................................................ 10分
②若𝑚 > 2，则𝑔′(0)<0，𝑔′(𝑙𝑛𝑚+1)=(𝑒−1)𝑚+ 1 >0，
2+𝑙𝑛𝑚
∴∃𝑥 ∈(0,𝑙𝑛𝑚+1)，使得𝑔′(𝑥 )=0，
0 0
∴𝑔(𝑥)在区间[0 , 𝑥 )上单调递减，则𝑔(𝑥 )<𝑔(0)=0，与条件矛盾， ................................. 11分
0 0
综上所述，实数𝑚的取值范围为(−∞ , 2]． ............................................................................... 12分
22．（12分）
解：（1）由双曲线定义可知||𝑀𝐹 |−|𝑀𝐹 ||=2𝑎 =2，∴𝑎 =1， ........................................... 1分
1 2
又由|𝐹 𝐹 |=4，∴𝑐 =2， ....................................................... 2分
1 2
∵𝑎2+𝑏2 =𝑐2，∴𝑏 =√3， ...................................................... 3分
∴双曲线𝐶的方程为𝑥2−
𝑦2
=1． .................................................. 4分
3
（2）（i）设𝑀(𝑥 ,𝑦 )，𝑃(𝑥 ,𝑦 )，𝑄(𝑥 ,𝑦 )，则𝑦 =√3𝑥 ①，𝑦 =−√3𝑥 ②，
0 0 1 1 2 2 1 1 2 2
将①+②可得𝑦 +𝑦 =√3(𝑥 −𝑥 )，将①−②可得𝑦 −𝑦 =√3(𝑥 +𝑥 )， ............................ 5分
1 2 1 2 1 2 1 2
∴
𝑦1+𝑦2
=
√3(𝑥1−𝑥2)
，即
𝑦1+𝑦2
=
3(𝑥1−𝑥2)
， ................................................................................... 6分
√3(𝑥1+𝑥2) 𝑦1−𝑦2 𝑥1+𝑥2 𝑦1−𝑦2
由题可知|𝑀𝑃|=|𝑀𝑄|，∴𝑥 +𝑥 =2𝑥 ，𝑦 +𝑦 =2𝑦 ，
1 2 0 1 2 0
∴
𝑦0
=
3(𝑥1−𝑥2)
，即𝑘 =
3𝑥0，
.......................................................................................................... 7分
𝑃𝑄
𝑥0 𝑦1−𝑦2 𝑦0
∴直线𝑃𝑄的方程为𝑦−𝑦 =
3𝑥0(𝑥−𝑥
)，即3𝑥 𝑥−𝑦 𝑦 =3𝑥2−𝑦2，
0 𝑦0 0 0 0 0 0
又∵点𝑀在𝐶上，∴3𝑥2−𝑦2 =3，则3𝑥 𝑥−𝑦 𝑦 =3， ................................................................ 8分
0 0 0 0
𝑥2−
𝑦2
=1，
将方程联立{ 3 得(𝑦2−3𝑥2)𝑥2+6𝑥 𝑥−3−𝑦2 =0，
0 0 0 0
3𝑥 𝑥−𝑦 𝑦=3，
0 0
∴−3𝑥2+6𝑥 𝑥−3𝑥2 =0，由𝛥 =0可知方程有且仅有一个解，
0 0
∴𝑙与𝐶有且仅有一个交点． ....................................................... 9分
𝑦=√3𝑥，
（ii）由（2）（i）联立{ 可得𝑥 =
√3
，同理可得𝑥 =
√3
， ......... 10分
1 2
3𝑥 𝑥−𝑦 𝑦 =3， √3𝑥0−𝑦0 √3𝑥0+𝑦0
0 0
∴|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|=√𝑥2+𝑦2⋅√𝑥2+𝑦2 =4|𝑥 𝑥 |=4× 3 =4， ............................................ 11分
1 1 2 2 1 2 3𝑥2−𝑦2
0 0
∴ 1 + 2 = 1 + |𝑂𝑃| ⩾ 2√ 1 × |𝑂𝑃| =√2，当且仅当 1 = |𝑂𝑃| 即|𝑂𝑃|=√2时取等号．
|𝑂𝑃| |𝑂𝑄| |𝑂𝑃| 2 |𝑂𝑃| 2 |𝑂𝑃| 2
又∵|𝑂𝑃| ∈ (0 , +∞)，
1 2
∴ + 的取值范围为[√2 , +∞)． ............................................. 12分
|𝑂𝑃| |𝑂𝑄|
第5页 共5页
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}
