2024.4.24武汉四调数学答案_2024年4月_01按日期_29号_2024届湖北省武汉市高三四月调研考试_湖北省武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷

武汉市 2024 届高中毕业生四月调研考试 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C A D B C B BD ACD BCD 填空题： 12. 1 2 13. 1 3 14. − 1 21 50 8 3 解答题： 15.（13分）解： （1）由题意， cs oi sn CC = 3 s i n c oB s− As i n A ，得：3sinBcosC−sinAcosC=cosAsinC. 所以 3 s i n B c o s C = s i n A c o s C + c o s A s i n C = s i n ( A + C ) . 又 s i n ( A C ) s i n ( B ) s i n B  + = − = ，且 s i n B  0 1 ，所以cosC = . 3 由 s i n C  0 2 2 ，故sinC = 1−cos2C = . …………6分 3 1 （2）S = absinC =5 2，所以 2 a b = 1 5 . 由余弦定理， c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C = a 2 + b 2 − 1 0 . 又 c 2 = 6 ( a − b ) 2 = 6 ( a 2 + b 2 ) − 1 8 0 . 联立得： a 2 + b 2 = 3 4 ， c = 2 6 . a + b = a 2 + b 2 + 2 a b = 8 . 所以  A B C 的周长为a+b+c=8+2 6. …………13分 16.（15分）解： （1） a = − 1 时， f(x)=lnx+x+x2， f '( x ) = 1x + 1 + 2 x . f '( 1 ) = 4 ， f ( 1 ) = 2 . 所求切线方程为y=4(x−1)+2，整理得：y=4x−2. …………5分 （2） f '( x ) = 1x − a + 2 x = 2 x 2 − x a x + 1 . 因为 x  0 ，故 a  0 时， f '( x )  0 ， f(x)在 ( 0 , +  ) 上递增. 当 a  0 时，对于 y = 2 x 2 − a x + 1 ，  = a 2 − 8 . 若 0  a  2 2 ，则   0 ，此时 f '(x)0， f ( x ) 在(0,+)上递增. 若 a  2 2 ，令 2 x 2 − a x + 1 = 0 a a2 −8 ，得x= 0. 4 a− a2 −8 0 x 时， 4 f '( x )  0 ， f(x)递增； x  a + a4 2 − 8 时， f '( x )  0 ， f(x)递增； a− a2 −8 a+ a2 −8  x 时， f '(x)0， 4 4 f ( x ) 递减； 综上所述：a2 2时， f(x)在(0,+)上递增； a− a2 −8 a− a2 −8 a+ a2 −8 a2 2时， f(x)在(0, )上递增，在( , )上递减， 4 4 4 a+ a2 −8 在( ,+)上递增， …………15分 4 {#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}17.（15分）解： （1）连接 D A , E A ， D A 1 = 1 ， A A 1 = 2 ，  D A 1 A = 6 0  ， D E = 1 2 + 2 2 − 2  1  2  c o s 6 0  = 3 . 满足 D A 2 + D A 1 2 = A A 1 2 ，所以 D A ⊥ D A 1 ，即 D A ⊥ A B . 平面 A B B 1 A 1 ⊥ 平面ABC，且交线为 A B ，由 D A ⊥ A B ，得DA⊥平面 A B C . 由 B C  平面 A B C ，得 D A ⊥ B C ，又 D E ⊥ B C ，且 D A D E = D ，所以 B C ⊥ 平面 D A E . 由AE平面DAE，得BC⊥ AE. 设 B E = t , C E = 3 t ，有 B A 2 − t 2 = A C 2 − ( 3 t ) 2 ，解得：t =1. 所以BC =4，满足BA2+AC2 =BC2，即AC⊥ AB，所以AC ⊥平面ABB A . 1 1 由 B B 1  平面 A B B 1 A 1 ，得 A C ⊥ B B 1 . …………8分 （2）以 A 为坐标原点， A B , A C , A D 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系. D ( 0 , 0 , 3 ) ， E ( 32 , 2 3 , 0 ) ， A 1 ( − 1 , 0 , 3 ) ， D A 1 = ( − 1 , 0 , 0 ) ， E A 1 = ( − 52 , − 2 3 , 3 ) . 设平面 D E A 1 的法向量 n = ( x , y , z ) ， 由  n n   D E A A 1 1 = = 0 0 −x=0  ，即 ， 5 3 − x− y+ 3z =0  2 2 取 z = 1 ，得到平面 P B D 的一个法向量 n = ( 0 , 2 , 1 ) . 又BB = AA =(−1,0, 3)， 1 1 设直线BB 与平面DEA 所成角的大小为， 1 1 则 s i n | c o s n , B B 1 | | | n n | B | B B 1 B | 1 | 5 3 4 1 10 5  =   =   =  = . 所以直线 B B 1 与平面 D E A 1 15 所成角的正弦值为 . …………15分 10 18.（17分）解： （1）设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x P , y P ) . 由 y = x 2 ，得 y ' = 2 x ，所以l 方程为：y=2x (x−x )+y ，整理得：y =2x x−x2. 1 1 1 1 1 1 同理， l 2 方程为： y = 2 x 2 x − x 2 2 . x +x 联立得：x = 1 2 ， P 2 y P = x 1 x 2 . 设直线AB的方程为y=k(x−1)+2，与抛物线方程联立得：x2−kx+k−2=0 k 故x +x =k ，xx =k−2，所以x = ，y =k−2，有y =2x −2. 1 2 1 2 P 2 P P P 所以点P在定直线y=2x−2上. …………6分 {#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}（2）在l ,l 的方程中，令 1 2 y = 0 ，得 M ( x 2 1 , 0 ) , N ( x 2 2 , 0 ) ， 所以  P M N 面积 S = 12 | M N |  | y P |= 14 | ( x 1 − x 2 ) x 1 x 2 |= 2 . 故 ( x 1 − x 2 ) 2 ( x 1 x 2 ) 2 = 3 2 ，带入可得： ( k 2 − 4 k + 8 ) ( k 2 − 4 k + 4 ) = 3 2 . [ ( k − 2 ) 2 + 8 ] [ ( k − 2 ) 2 − 4 ] = 0 ，解得：k =0或k =4. 所以点 P 的坐标为 ( 0 , − 2 ) 或 ( 2 , 2 ) . …………11分 （3）抛物线焦点 F ( 0 , 14 ) ，由 M ( x 2 1 , 0 ) 得直线 M F 斜率 k M F = − 2 1x 1 = − k 1 M P ， 所以 M F ⊥ M P ，同理 N F ⊥ N P ，所以 P F 是  P M N 外接圆的直径. 若点 T 也在该圆上，则 T F ⊥ T P . 由 k T F = 74 ，得直线 T P 的方程为： y = − 47 ( x − 1 ) + 2 . 又点 P 在定直线y=2x−2上， 联立两直线方程，解得点 P 的坐标为 ( 1 69 , 1 49 ) . …………17分 19.（17分）解： （1） P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ， k n = 1 k ( 1 − p ) k − 1 p = p [ 1 + 2 ( 1 − p ) + 3 ( 1 − p ) 2 + . . . + n ( 1 − p ) n − 1 ] ， 记 S n = 1 + 2 ( 1 − p ) + 3 ( 1 − p ) 2 + .. . + n ( 1 − p ) n − 1 ， 则 (1 − p ) S n = (1 − p ) + 2 ( 1 − p ) 2 + ... + ( n − 1 ) (1 − p ) n − 1 + n (1 − p ) n ， 相减得： p S n = 1 + (1 − p ) + (1 − p ) 2 + ... + (1 − p ) n − 1 − n (1 − p ) n 1−(1− p)n 1−(1− p)n = −n(1− p)n = −n(1− p)n 1−(1− p) p 由题意： E ( X ) = ln i m→  ( p S n ) = ln i m→  [ 1 − (1 −p p ) n − n (1 − p ) n ] = 1p . …………5分 （2）（i） E 2 = (1 − p )  ( E 2 + 1 ) + p 2  2 + p (1 − p )  ( E 2 + 2 ) . 解得： E 2 = 1 + p 2 p . …………8分 （ii）期待在 E n − 1 次试验后，首次出现连续 ( n − 1 ) 次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试 验次数为 ( E n − 1 + 1 ) ；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是 E n ，此时总的试验次数为 ( E n − 1 + 1 + E n ) . 即E = p(E +1)+(1− p)(E +1+E ). n n−1 n−1 n 整理得： E n = 1p ( E n − 1 + 1 ) ，即 E n + 1 1− p = 1p ( E n − 1 + 1 1− p ) . 1 1 1 所以E + = (E + ). n 1− p pn−1 1 1− p 1 由（1）知E = ， 1 p 1− pn 代入得：E = . …………17分 n (1− p)pn {#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}