文档内容
文科数学参考解答及评分参考
一!选择题
!!#答案$#
#解析$由!!$%&"!!$&"’(!$)&%对应的点位于第二象限%选择#*
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计复数运算问题%主要考查复数的乘法运算%复
数的几何意义等基础知识&数形结合思想%考查数学运算等数学核心素养’
%!#答案$+
#解析$由""#’((%%(!%"%!%))%所以# !""#"’(()%%)%所以选项+正确!
$
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计集合运算问题%主要考查集合的并集%补集运
算等基础知识&考查运算求解能力%数学运算等数学核心素养’
)!#答案$#
#解析$根据图表可知%各月,-.的中位数小于/)0%1错误&%"%)年各月%%"%)年我国综合
,-.产出指数均大于/"0%表明我国企业生产经营活动总体持续扩张%2错误%#正确&%"%)
年上半年各月,-.比下半年各月,-.的波动大%则方差也大%故+错误!
#考查意图$本小题设置数学应用情境%主要考查统计图表的应用等基础知识%考查概率统计等
思想方法%考查数据分析等数学核心素养’
3!#答案$1
#解析$由!("’!%%""(!()%(槡)"’!/%槡)"%#("’!!%槡)"(!()%(槡)"’!3%%槡)"%所以
!!("",!#("" !/%槡)"!3%%槡)" !)
456*!("%#("+’ ’ ’ !
$!("$$#("$ 槡%7,槡%7 !3
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计平面向量运算问题%主要考查向量的坐标运算%数
量积%夹角公式等基础知识&考查运算求解能力%数形结合思想%考查数学运算-直观想象等数
学核心素养’
/!#答案$#
%槡/
#解析$6&8!’%456!%即9:8!’%%而!%!!%%!"%从而6&8!’( !
/
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计三角恒等变换求值问题%主要考查诱导公式%同角
三角函数关系等基础知识&考查化归与转化思想%数学运算-逻辑推理等数学核心素养’
数学!文科"试题答案 第!!!!!页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
书书书;!#答案$2
#解析$%’!%%!’%’!’$>(’
#命题意图$本小题主要考查函数的图象和性质等基础知识%考查化归与转化等数学思想%考查
数学抽象-逻辑推理-直观想象等数学核心素养’
7!#答案$1
#解析$设)!’%("%*!’%("%直线)*的方程为.’’+($%%联立方程(%’3’得%(%(
! ! % %
!(("% ))( ))(
3+((7’"%故((’(7%’’’ ! % ’3%从而,),,*’’’$((’(3%故选1*
! % ! % !; ! % ! %
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计直线与抛物线相交问题%主要考查抛物线的弦
与向量运算%抛物线方程等基础知识&考查运算求解能力%化归与转化思想%方程思想%应用意
识%考查数学抽象-逻辑推理-数学运算等数学核心素养’
?!#答案$2
#解析$如图%因为-" ’-.’%%".’%槡%%,.’..’槡%%
! ! ! ! !
!
在平面"..-" 中有*-". ’*".,’*.,.’ %所
! ! ! ! ! ! ! 3
以-"+,.%-" +平面#/.%-" 不平行于平面"#./&
! ! ! ! ! ! !
同理-#+,/%-# 不平行于平面"#./&易得-,’%槡%%
! ! ! ! !
-.’.,’%%所以-.,.,%又-.,#/%#/-.,’,%所
! ! ! ! ! !
以-.,平面#/.!
! !
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题%主要考查
空间线线平行%线面垂直的判定等基础知识&考查运算求解能力%空间想象能力%推理论证能
力%化归与转化思想&考查直观想象-逻辑推理等数学核心素养’
数学!文科"试题答案 第!!!!%页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}!"!#答案$#
#解析$对于"由&!’"’456$’$’456’%最小正周期为%!%结论"不正确&对于#%由’%
!! !" !! " !! !"
% %有%’% %! %456%’&"%此时&!’"’$456%’$’(456%’在区间 % 单调递
3 % % 3 %
!$456%’ ! !
增%结论#正确&对于$%&!’"’456%’’ ’ 456%’$ %对称轴由%’’0!%0%!确
% % %
!
定%当0’!时%’’ %结论$正确!
%
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计三角函数图象性质问题%主要考查含绝对值的余
弦函数图象%降幂公式%余弦函数的最小正周期%单调区间%图象的轴对称等基础知识&考查逻
辑推理能力%数形结合思想%化归与转化思想&考查数学运算-逻辑推理等数学核心素养’
!!!#答案$+
#解析$设$"1$’%+%则$"#$’)+%$#1$’/+%由于1%1 关于(轴对称%故$#1$’
% % ! % !
))( ))(
$#1$’/+%又因为1","#%所以$"1$’3+%$11$’%槡/+%所以%2’%+%%3’%槡/+%
% ! ! ! %
所以4’槡/%故选+*
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计双曲线问题%主要考查双曲线的方程与性质%
焦点弦的性质%向量%双曲线的离心率等基础知识&考查运算求解能力%数形结合思想%应用意
识%考查数学运算-直观想象等数学核心素养’
!%!#答案$2
@8’$! ! 5" @8’$!
#解析$依题意%2."%’’"%不等式化为 /2’( !设&!’"’ %则&6!’"’
’% 2 ’%
!
,’%(%’!@8’$!"
’ ’ (!(%@8’ %当’%!"%>(! %"时%&6!’"’"%&!’"单调递增&当’%
’3 ’)
!>(! %%$A"时%&6!’"&"%&!’"单调递减%所以%&!’"在’’>(! %处取得极大值%也即最大值
> !又’’>(! %时%&!’"’"!由题知不等式 @8’$! /2 ! ’( 5" 恒成立%所以(’2 ! ’( 5" 的
% ’% 2 2
5 ! 5"
图象恒在&!’"的图象的上方%显然2&"不符题意&当2’"时% 为直线(’2’( 的横
2 2
! ! 5"
截距%其最大值为&!’"的横截距%再令&!’"’"%可得’’ %且当直线(’2’( 与&!’"
> 2
!! " 5 ! !"
在点 %" 处相切时%横截距 取得最大值!此时%切线方程为(’>) ’( %2’>)%5’>%%
> 2 >
5 !
所以 取得最大值为 !
2 >
数学!文科"试题答案 第!!!!)页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查导数的应用等基础知识%考查化归与转化等
数学思想%考查数学抽象-逻辑推理-数学运算-直观想象等数学核心素养’
二!填空题
!)!#答案$(;
#解析$作出约束条件表示的可行域为以"!3%;"%#!"%%"%.!!%""三点为顶点的0"#.及其
内部%作出直线()’$(’"并平移%当直线(’)’$7经过点"!3%;"时%在(轴上的截距最
小%此时目标函数7’()’$(取得最小值7 ’()<3$;’(;!
B&8
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计简单的线性规划问题%主要考查不等式组的解法%
约束条件表示的可行域%直线平移及几何意义等基础知识&考查运算求解能力%数形结合思
想%化归与转化思想&考查数学运算-直观想象等数学核心素养
)槡!/
!3!#答案$
3
"#%$".%(#.% 3%$)%(%% = 槡!/
#解析$由余弦定理有456"’ ’ ’ %所以6&8"’ %所以
%"#,". %<3<) 7 7
! ! 槡!/ )槡!/
0"#.的面积8’ "#,".,6&8"’ <3<)< ’ !
% % 7 3
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计解三角形问题%主要考查余弦定理%同角间的三角
函数关系%三角形面积等基础知识&考查数形结合思想%化归与转化思想&考查数学运算-逻辑
推理等数学核心素养’
!/!#答案$(%
#解析$函数&!’"是定义域为"的奇函数%且当’&"时%&!’"’(>2’%由于@8)’"%所以
&!@8)"’(&!(@8)"’>(2@8)’>@8)(2 ’)(2’?%所以2’(%!
#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查函数奇偶性等基本性质-考查化归与转化等
数学思想&考查数学抽象-逻辑推理-数学运算等数学核心素养’
槡;
!;!#解析$如图%设,, ’,)’9%,)’,, ’ :%则在
! % ! % % !
)
0,),中% :%’),%$9%%在0,)* 中%%:%’9%$
! % ! ! % !
:%
)*%%两式相减%得 )*%’ !$),%%在0,)*中%:%’
% ! ! !
:%
)*%$),%%所以:%’ !$%),%%可得"’%!
! ! % !
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计球与截面问
数学!文科"试题答案 第!!!!3页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}题%主要考查球被平面所截后相关元素的关系%空间线线-线面位置关系%与球相关的量的运
算等基础知识&考查运算求解能力%空间想象能力%推理论证能力&考查数学运算素养%直观想
象素养%逻辑推理等数学核心素养’
三!解答题
!$%$)$3$/
!=!#解析$!!"依题意%’1’ ’)%………………………………………………… !分
/
/
2!’<’1"% ’!!()"%$!%()"%$!)()"%$!3()"%$!/()"%’!"%………………… %分
%
%;!
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2!’<’1"!(<( 3"
% %
%/ %/ %/
则:; %;! ; ; 4 4"C?7%
/ / 槡!"= 槡;/ !"= 槡;C/ !"<%C//
槡2!’
%
<’1"%,槡2!(
%
<( 3"%
%;! %;!
…………………………………………………………………………………………… 3分
则:’"C=/%故变量(与’的相关程度很强!……………………………………………… /分
!%"令变量(与’的线性回归方程为>
(’
>
2$
>
5’!
/
2!(<( 3"!’<’1"
% %
> 5; %;! ’ %/ ’%C/%……………………………………………………… 7分
/ !"
2!’<’1"%
%
%;!
所以> 2’( 3( > 5’1’="C/(%C/<)’;)%……………………………………………………… ?分
所以%变量(关于’的回归方程为(’%C/’$;)C ……………………………………… !"分
%"%3年%即’’;时%(’%C/<;$;)’=7!亿元"!
所以%该公司%"%3年利润(的预报值为=7!亿元"!……………………………………… !%分
#命题意图$本小题设置生活实践情境%主要考查回归分析的基本思想及其初步应用%考查统
计基本思想以及抽象概括-数据处理等能力和应用意识&考查数学运算-数学建模等数学核心
素养’
!7!#解析$!!"由%8’)2()%
? ?
当?’!时%%2’)2()%得2’)%………………………………………………………… %分
! ! !
当?5%时%%2’%8(%8 ’)2()(!)2 ()"%
? ? ?(! ? ?(!
整理得%2’)2 %
? ?(!
2
又2 ."%所以 ? ’)%…………………………………………………………………… /分
?(! 2
?(!
所以数列(2)是首项为)%公比为)的等比数列%
?
所以2’)?! ………………………………………………………………………………… ;分
?
数学!文科"试题答案 第!!!!/页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}!%"由!!"可得%5’)?@5D2’?,)?%……………………………………………………… =分
? ) ?
所以@’!<)$%<)%$)<))$/$?,)?%
?
)@’!<)%$%<))$)<)3$/$?,)?$!%
?
两式相减得(%@’)$)%$))$/$)?(?,)?$! ………………………………………… ?分
?
)!!()?"
’ (?,)?$!
!()
!! " )
’ (? ,)?$!( !
% %
!? !" )
所以@’ ( ,)?$!$ !?%#6"!………………………………………………… !%分
? % 3 3
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计数列问题%主要考查数列的前?项和与通项公式%
等比数列的性质%错位相减法求数列的和等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%化
归与转化思想&考查数学运算素养%逻辑推理等数学核心素养%应用意识’
!?!#解析$!!"如图%取"#%./的中点)%*%连接)A%A*%*1%1)!
因为1*,/.%平面1./,平面"#./%平面1./-平面"#./’./%
所以1*,平面"#./!………………………………………… %分
同理%A),平面"#./!
所以1*+)A!…………………………………………………… )分
又0"A#和0.1/是等腰直角三角形%所以1*’)A%
四边形)A*1为平行四边形%所以)1+A*%
又因为"#+./%"#-)1’)%./-*A’*%
所以平面"#1+平面./A!………………………………………………………………… /分
!%"如图%连接)*%过)作)B,*A于B!
因为A),平面"#./%/.7平面"#./%所以/.,A)!
因为/","#%平面"#A,平面"#./%平面"#A-平面"#./’"#%
所以/",平面"#A%所以/","A!……………………………………………………… =分
同理可得%.#,#A!
又因为"/’#.%A"’A#%
所以0"/A80#.A%所以A/’A.!……………………………………………………… 7分
因为*是/.的中点%所以/.,*A%
又因为*A-A)’A%所以/.,平面)A*%
数学!文科"试题答案 第!!!!;页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}所以)B,/.!
因为)B,*A%*A-/.’*%所以)B,平面/.A!
因为)%平面"#1%所以)B是平面"#1与平面./A的距离! …………………… !"分
在E90)A*中%易得)*’%%)A’槡%%*A’槡;%
)A,)* %槡) %槡)
所以%)B’ ’ !即平面"#1与平面./A的距离为 !……………… !%分
*A ) )
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计立体几何问题%主要考查空间线线-线面平行
的判定%线线-线面垂直的判定与性质%点到面的距离等基础知识&考查运算求解能力%推理论
证能力%空间想象能力&考查逻辑推理%直观想象等数学核心素养’
槡) !
%"!#解析$!!"由题知%4’ %则5’ 2%
% %
’% (%
故椭圆.的方程可表示为 $ ’!C …………………………………………………… %分
35% 5%
! !" ) !
由点 槡)% 在椭圆.上知% $ ’!%故5’!%2’%%
% 35% 35%
’%
即椭圆.的方程为 $(%’!C …………………………………………………………… 3分
3
!%"由!!"知"!(%%""%"!%%""%设-!3%+"%)!’%("%*!’%("!
! % ! ! % %
+ +
则-".(’ !’$%"%-".(’ !’(%"!………………………………………………… /分
! ; % %
联立直线-" 与椭圆.方程得%!+%$?"’%$3+%’$3+%();’"%
!
3+%(); (%+%$!7 + ;+
故(%’’ %’’ %(’ !’$%"’ !………………………… =分
! +%$? ! +%$? ! ; ! +%$?
联立直线-" 与椭圆.方程得%!+%$!"’%(3+%’$3+%(3’"%
%
3+%(3 %+%(% + (%+
故%’’ %’’ %(’ !’$%"’ !………………………………… ?分
% +%$! % +%$! % % % +%$!
取C!!%""%
))( !()+%$? ;+ "
则C)’!’(!%("’ % %
! ! +%$? +%$?
))( !+%() (%+"
C*’!’(!%("’ % !…………………………………………………… !!分
% % +%$!+%$!
()+%$? (%+ +%() ;+
从而!’(!"((!’(!"(’ , ( , ’"%
! % % ! +%$? +%$! +%$! +%$?
))( ))(
故C)+C*%即直线)*过定点!!%""! ………………………………………………… !%分
数学!文科"试题答案 第!!!!=页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计直线与椭圆相交问题%主要考查椭圆的方程%
直线与椭圆的位置关系%直线过定点等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%数形结
合思想%方程思想&考查数学运算-逻辑推理等数学核心素养%应用意识’
%!!#解析$!!"由于&!’"’’@8’(2’%(%’%则&6!’"’@8’(%2’(!!
因为&!’"在!!%$A"上单调递增%
@8’(!
所以’’!%&6!’"5"恒成立%即@8’(%2’(!5"%也即%2/ 恒成立%
’
@8’(! %(@8’
令D!’"’ !’’!"%则D6!’"’ !’’!"%
’ ’%
!
可知!&’&>% 时%D6!’"’"%D!’"单调递增%此时(!&D!’"& &
>%
!
当’’>% 时%D6!’"&"%D!’"单调递减%此时"&D!’"& %
>%
! !0 !
故’’!时%D!’"% (!% %所以%2/(!%即2/( %
>% %
! !0
所以%&!’"在!!%$A"上单调递增时%2的取值范围是 (A%( !
%
!%""由!!"知%&6!’"’@8’(%2’(!%
@8’(!
因为&!’"有两个极值点’%’%&6!’"’"即%2’ 有两个实数根’%’%
! % ’ ! %
@8’(! %(@8’
由!!"知D!’"’ %D6!’"’ %
’ ’%
!
可知"&’&>% 时%D6!’"’"%D!’"单调递增%此时D!’"& &当’’>% 时%D6!’"&"%D!’"单
>%
!
调递减%此时"&D!’"& %
>%
@8’(! !
所以&6!’"’"即%2’ 有两个实数根时%"&%2& !
’ >%
! ! "
则&!’"有两个极点时%2% "% ! ……………………………………………………… 7分
%>%
:@8’
!
(%2’
!
(!’"% :@8’
!
’%2’
!
$!%
@8’(@8’
#由9 即9 得%2’ ! %%
’(’
;@8’(%2’(!’"% ;@8’’%2’$!% ! %
% % % %
要证明’’%’!;>)%只需证明@8’$%@8’’3@8%$)!
! % ! %
’
@8 !
@8’(@8’ !’ " ’
由题%@8’$%@8’’%2!’$%’"$)’!’$%’", ! %$)’ !$% , % $)%
! % ! % ! % ’(’ ’ ’
! % % !(!
’
%
数学!文科"试题答案 第!!!!7页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}’
令E’ !!’’3’"%则E’3%
’ ! %
%
@8E
欲证明@8’$%@8’’3@8%$)%也即证明!E$%", ’3@8%!E’3"%………………… !"分
! % E(!
E(!
只需证明@8E(3@8%, ’"!E’3"即可%
E$%
E(!
令F!E"’@8E(3@8%, !E’3"%
E$%
3
E$3$ (!%@8%
! ) E%$3E$3(!%@8%,E E
可知F6!E"’ (3@8%, ’ ’ %
E !E$%"% E!E$%"% E%!E$%"%
3
则
#
!E"’E$3$ (!%@8%在E’3时单调递增%故
#
!E"’# !3"’?(!%@8%’"%则F6!E"’"%
E
!
令F!E"在E’3时单调递增%则F!E"’F!3"’@83(3< <@8%’"%
%
@8E
故!E$%", ’3@8%!E’3"%即@8’$%@8’’3@8%$)%
E(! ! %
所以’’%’!;>)!…………………………………………………………………………… !%分
! %
#命题意图$本小题设置探究创新情境%主要考查导数几何意义-极值-函数的零点%函数与导
数的综合应用等基础知识%考查化归与转化-函数与方程等数学思想&考查数学抽象-逻辑推
理-数学运算等数学核心素养’
选考题
%%!#解析$!!"由题知%<.的直角坐标方程为..!’(%"%$!((%"%’3%…………………… %分
即’%$(%(3’(3($3’"%
故<.的极坐标方程为
$
%(3$456%(3$6&8%$3’"C……………………………………… 3分
! !"
!%"设-C.%’!%!% "%
%
%,-’$! %,C’$% !
联立直线-C和圆.的方程得.
$
%(3$456!(3$6&8!$3’"%………………………………………………………………… ;分
则 $! $$% ’3!456!$6&8!"% $!$% ’3C ……………………………………………………… =分
! !"
故$,-$$$,C$’$! $$% ’3!456!$6&8!"’3槡%6&8!$
3
%…………………………… ?分
!
故当!’ 时%$,-$$$,C$取得最大值3槡%!…………………………………………… !"分
3
#命题意图$本小题设置课程数学情境%设计极坐标问题%主要考查直角坐标方程与极坐标方
数学!文科"试题答案 第!!!!?页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}程的互化%直线与圆的位置关系%弦长等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%应用
意识’
%)!#解析$!!"当’&(%时%&!’"’()’(%’3&当(%/’/%时%&!’"’’$;%13%70&当’’%
时%&!’"’)’$%’7!则&!’"的最小值为3C ……………………………………………… %分
由于对任意’%"%使得&!’"52%()2恒成立%
所以352%()2%解得(!/2/3%
故2的取值范围是1(!%30!………………………………………………………………… /分
! ! 3
!%"由!!"可知&!’"的最小值为)’3%则 $ $ ’3%
2 5 3
!! ! 3" 5 3 2 3 32 35
则3!2$5$3"’ $ $ !2$5$3"’;$ $ $ $ $ $ ……………… ;分
2 5 3 2 2 5 5 3 3
!5 2" !3 35" !3 32"
’;$ $ $ $ $ $ …………………………………………………… 7分
2 5 5 3 2 3
5 2 3 35 3 32
5;$%槡, $%槡, $%槡,
2 5 5 3 2 3
’!;%
5 2 3 353 32 ! ! 3
当且仅当 ’ % ’ % ’ 且 $ $ ’3取2’3%即2’5’!%3’%取2’3!
2 5 5 3 2 3 2 5 3
所以2$5$353C ………………………………………………………………………… !"分
#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查均值不等式应用-不等式的证明方法等基础
知识%考查分类与整合思想%考查运算求解-推理论证等数学能力’
数学!文科"试题答案 第!!!!"页!共!"页"
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
