文档内容
2023-2024（上）创新部高三第一次月考数学试卷 A． B． C． D．
二、多选题(20分)
9．下列命题为真命题的是（ ）
一、单选题（40分）
A．若 ，且 ，则 B．若 ，则
1．集合 ，集合 ，则 （ ）
C．若 ，则 D．若 ，则
A． B． C． D．
10．已知函数 的定义域为 ，函数 的图象关于点 对称，且满足
2．已知a为实数，若复数 为纯虚数，则 的值为（ ）
，则下列结论正确的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
A．函数 是奇函数 B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 是最小正周期为2的周期函数
3．数列 满足 ，若 ，则 等于（ ）
D．若函数 满足 ，则
A． B． C． D．
11．如图，直角梯形 中， ， ， ， 为 中点，以
4．若六位老师前去某三位学生（同学1，同学2，同学3）家中家访，每一位学生至少有一位老师
为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且
家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学1，则
有（ ）种安排方法 .则下列说法正确的有（ ）
A．335 B．100 C．360 D．340
A． 平面
5．函数 的图象大致为（ ）
B．四棱锥 外接球的体积为
C．二面角 的大小为
A． B． C． D．
D． 与平面 所成角的正切值为
12．已知直线 与曲线 相交于 ， 两点，与曲线 相交于 ， 两点， ， ，
6．已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，则 的
取值范围是（ ） 的横坐标分别为 ， ， .则（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．已知 是圆 上不同的两个动点， 为坐标原点，则 的
三、填空题(20分)
取值范围是（ ）
13． 的展开式中含 项的系数为 .
A． B．
C． D． 14．如图1是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的
正四棱台部分的直观图如图2所示，则该正四棱台
8．已知双曲线 的右焦点 ，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分
部分的体积为 .
别交于 、 两点，以 为直径的圆过点 ，延长 交右支于 点，若 ，则双曲线
15．已知函数 （ ，且
的渐近线方程是（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司(1)求 人得分之和为 分的概率；
），曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 .
(2)设随机变量 为 人中得分为 的人数，求随机变量 的数学期望．
16．双曲线 的左焦点为F，直线 与双曲线C的右支交于点D，A，B为线
段 的两个三等分点，且 （O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 .
四、解答题（70分）
20．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和
17．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .
的中点， 为棱 上的点， ．
(1)求角 的值；
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
(2)当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最大？
18．已知数列 中， ， .
21．已知函数
（1）令 ，求证：数列 是等比数列；
（1）若 ，证明： ；
（2）令 ，当 取得最大值时，求 的值．
（2）若 在 上有两个极值点，求实数a的取值范围.
19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有 、 、 三位员工参加比赛，比赛规则为：
先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题
中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独
立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得 分，否则得 分；乙类问题中每 22．已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆
个问题回答正确得 分，否则得 分．已知 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答
乙类问题的概率为 ； 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答乙类问题的概率为 上异于A，B的两个动点， 面积的最大值为2.
； 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答乙类问题的概率为 ． (1)求椭圆C的方程；
2
学科网（北京）股份有限公司(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ， 和 的面积分别为 ， .若 ，求 ，即 ，解得 ， ， ，由
勾股定理得 ，即 ， ，所以， ，则
的最大值.
.因此，双曲线 的渐近线方程是 .
9．AD 10．ABD
11．ABC【详解】对于A， 为 中点， ， ， 四边形 为平行四边
形，又 ， 四边形 为矩形， ； ， ，
， ， ，又 ， 平面 ， 平
面 ，A正确；对于B， ， ， ，即 ， 平面
， 平面 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ；
矩形 的外接圆半径 ， 四棱锥 的外接球半径
创新部高三第一次月考数学参考答案：
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B ，
6．D【详解】由题设有 ，令 ，则有
四棱锥 外接球的体积 ，B正确；对于C， 平面 ， 平
面 ， ；又 ， 二面角 的平面角为 ， ，
即 .因为 在区间 内没有零点，故存在整数 ，使得
， ， 二面角 的大小为 ，C正确；对于D， 平面
， 即为直线 与平面 所成角， ， ， ，
，即 ，因为 ，所以 且 ，故 或
，即直线直线 与平面 所成角的正切值为 ，D错误.
，
所以 或 ，
12．ACD【详解】设 ，得 ，令 ，可得 ，当 时，
7．C【详解】 圆 的圆心坐标 ，半径 ，
，则函数 单调递增，当 时， ，则函数 单调递减，则当 时， 有极
设圆心到直线 的距离为 ，由圆的弦长公式，可得 ，即 ，解得
大值，即最大值 .设 ，得 ，令 ，则 ，当
，设 的中点为 ， 点 的轨迹表示以 为圆心，
时， ，则函数 单调递增，当 时， ，则函数 单调递减，则当
以 为半径的圆， 的轨迹方程为 ，因为 时， 有极大值，即最大值 ，从而可得 .由 ，
，又 ， ，即 得 ，故A正确；由 ，得 ，即 ，又 ，得
，
,即 的取值范围为 .
又 在 上单调递增，则 ，故B错误；由 ，得 ，即
8．A【详解】如下图所示，设双曲线 的左焦点为点 ，连接 、
，设 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，
.又 ，得 ，又 在 上单调递减，则 ，故C正确；
，由于以 为直径的圆经过点 ，且 、
由前面知 ， ，得 ，又由 ，得 ， ，则
，则四边形 为矩形，在 中，有勾股定理得
3
学科网（北京）股份有限公司， .故D正确. ，
， ，所以，当 时， .所以， ，
13． 14． 15． 16． 【详解】由题意得 ，取 中点 ，连接
.所以，数列 中， 最大，故 .
，设双曲线C的右焦点为 ，连接 ，因为 ，所以 ， 19．【详解】（1）解：设事件 为 员工答对甲类问题；设事件 为 员工答对乙类问题；设事
又A，B为线段 的两个三等分点，所以 ，即 为 的中点， 件 为 员工答对甲类问题；设事件 为 员工答对乙类问题；设事件 为 员工答对甲类问
题；设事件 为 员工答对乙类问题；三人得分之和为 分的情况有：① 员工答对甲类题，答
又 为 的中点，所以 ，故 ，设 ，则 ，又
错乙类题； 与 员工均答错甲类题，则
，由勾股定理得 ，则 ， ；
② 员工答对甲类题，答错乙类题； 与 员工均答错甲类题，
由双曲线定义得 ，即 ①，在Rt 中，由勾股定理得
；
，即 ②， ③ 员工答对甲类题，答错乙类题； 与 员工均答错甲类题，
，
由①得 ，两边平方得 ，解得
所以三人得分之和为 分的概率为 .
或 （负值舍去），将 代入②得 ，故离心率为 （2）解：因为 员工得 分的概率为 ，
B员工得 分的概率为 ，
.
员工得100分的概率为 ，
所以，随机变量 ，所以， .
17．【详解】（1）由 及正弦定理可得：
20．【详解】（1）证明：连接 ， ， 分别为直三棱柱
，则 ，因为 ，则 ，所以， ，可得
的棱 和 的中点，且 ， ，
，故 . （2）由于 的面积为 ，所以， ，解得
， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，故
， ，
，当且仅当 ，即 ， 时， 的最小值为 . ，即 ，故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
18．【详解】（1）在数列 中， ， ，则 ， ，则 则 ， ， ， ， ，
，则 ， 设 ，且 ，则 ， ， ，
，即 ．
所以，数列 为等比数列，且首项为 ，所以， ；
（2）解： 平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
（2）由（1）可知， 即 ，可得 ，
由（1）知， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即
，令 ，则 ， ， ，
累加得 ， . ，
，
， ，令
又 当 时，面 与面 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当
，则 ，所以， .
4
学科网（北京）股份有限公司时，面 与面 所成的二面角的正弦值最大．
21.【详解】(1)证明: 时, ,令 ,则 ,
当 时, , 在 上为递减函数,当 时, , 在 上为增函数,所
以 ,而 ,且 ,所以 ,即 .
(2) 在 上有两个极值点等价于 在 上有两个不同的实数根,
等价于 ,设 , ,令
,得 ,当 时, , 在 上为减函数,当 时, , 在 上为
增函数,又 , ,所以当 时,方程 在
上有两个不同的实数根,所以 的取值范围是 .
22．【详解】（1） 当点P为椭圆C短轴顶点时， 的面积取最大值 ，结合 及
，解得 ，故椭圆C的标准方程为 .
（2） 设点 ，若直线PQ的斜率为零，由对称性知 ， ，
则 ， ， ，不合题意.设直线PQ 的
方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则 联立
得 ，由 可得 ，
， ，
所以 ,解得 即直线PQ的方
程为 ，故直线PQ过定点 .由韦达定理可得 ， 由平面几
何知识 ，
所以 ，设 ，则
，当 时， ，故 在 单调增，因为
，所以 ，因此， 的最大值为 .
5
学科网（北京）股份有限公司
