文档内容
银川市、石嘴山市 2024 年普通高中学科教学质量检测
理科数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设全集 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
3．设a，b，l是三条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，已知两枚骰子向上的点数之和为偶数，则向上的点数之和为8的概率为
（ ）
A． B． C． D．
5．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为 ，其中Q（单位
）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参
数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验
采集数据进行拟合后获得 ，相关统计学参数 ，且预测值与实际值误差很小．在研究M对
Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为
，经实验采集数据进行拟合后获得 ，相关统计学参数 ，
且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为 ，存放16天后，电容量损失量约为
（ ）
（参考数据为： ）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
学科网（北京）股份有限公司6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在 中， ，P是 内一点， ，且 的面积是
的面积的2倍，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，当 时，方程 有且只
有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数 在 处取得极大值，则 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，球 与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球
的体积为 ，圆锥PO的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．若 ，设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆与双曲线
C在第一象限的交点为P，圆O与y轴负半轴的交点为Q，若直线PQ与x轴的交点M平分线段 ，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中， 项的系数是__________．
14．己知点F是抛物线 的焦点，点A在抛物线上，且AF与x轴垂直，过点A与OA垂直
的直线交抛物线于另一点B，若 ，则抛物线C的方程为__________．
15．在 中， ，点D在线段AB的延长线上，且 ，
则 __________．
16．若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ，则
__________．
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
己知等差数列 的前n项和为 ， ，数列 的前n项和 ，从下面两个条件中任选一
个作为已知条件，解答下列问题：
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前n项和 ．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
学科网（北京）股份有限公司滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们
面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海
盐碱地 土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采
集了12个土壤样本，平均分成A、B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 ，方差
，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 ，方差 ．用技术1对A组土壤
进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数
据如下：
0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
A组
0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
B组
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ；
（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若
，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低．）
19．（12分）
如图，在四棱锥 中，己知 ，O是AC的中点．
（1）证明： 平面ABCD；
（2）若 ，设点E是PC上的动点，当OE与平面PCD所成的角最大时，求二面角
的余弦值．
20．（12分）
设函数 ．
（1）已知曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，求m的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，证明： ．
21．（12分）
已知椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆E上，直线
与椭圆E交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线OA，OB的斜率分别为 ，证明： ；
（3）设直线l与两坐标轴的交点分别为P，Q，证明： ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一道作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为 ，半径为1．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出最小距离．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
己知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若对任意的 恒成立时m的最小值为t，且正实数a，b满足 ，证明：
．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司理科数学参考答案
一、选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C A B C B B C C A D B
二、填空题答案
13． 14． 5． 16．2
三、解答题
17．解：（1）设等差数列 的公差为d，
，
3分
选① ，
，取
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
6分
选② ，
，
当 时， ，得：
学科网（北京）股份有限公司当 时，
由①②得
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）知：
当 时，
当 时，
12分
18．解：（1） ，
3分
（2）当 时，
学科网（北京）股份有限公司， ，
应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低 9分
当 时，
， ，
∴应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低． 12分
19．（1）证法1： ，O是AC的中点
连接OD，
，
在 和 中
， 平面ABCD，
平面ABCD 4分
证法2：设G是AD的中点
，
学科网（北京）股份有限公司又 且
平面POG
又
又
平面ABCD
连接OD，连接PG、OG
，
在 和 中
平面ABCD，
平面ABCD 4分
（2）以D为原点建立如图所示的坐标系
设 ，由题意知：
，
设平面PDC的一个法向量为
设 ，并设
学科网（北京）股份有限公司设OE与平面PCD所成的角为
当 时， 取得最大值，从而OE与平面PCD所成角取得最大值
此时，
设平面EBD的一个法向量为
取平面PDC的一个法向量为
12分
20．（1）解：由 ，得
曲线 在点 处的切线斜率为1
学科网（北京）股份有限公司曲线 在点 处的切线为
设曲线 与直线 相切于 则：
4分
（2）证明： 时，
从而
令
令
在 单调递增
，
使得 ①
时， 时，
在 上单调递诚， 上单调递增，
由①得：
12分
学科网（北京）股份有限公司证法2：
（2）证明：当 时，
要证 ，先证
令
时，
时，
在 单调递减，在 单调递增
，即
令
时，
．01，h'（x）>0
∴．h（x）在 上单调递减， 上单调递增，
，即
的x不存在
即 12分
21．解：（1） ，又
学科网（北京）股份有限公司又
椭圆方程为 2分
（2）联立直线与椭圆方程得
又因为有两个交点，所以 ，解得
设
故
又
6分
（3）由已知得： ，
学科网（北京）股份有限公司即 12分
22．解，（1） 直线l的参数方程是 （t是参数）
的普通方程为：
又 圆心C的极坐标为 ，则C直角坐标为
又圆C的半径为1
∴圆C的直角坐标方程为 5分
（2） 在圆C上，设 ，则点P到直线 的距离为：
当 ，即 时， ，
此时p的坐标为 即： 10分
23．解：（1）当 时，
则 的图像如下：
学科网（北京）股份有限公司由 得：
不等式 的解集
（2）由对任意的 恒成立
即：
又 ，则 ，即
由正实数a，b满足 得：
证法一：分析法证明：
，要证：
只需证： ，即：
只需证： ，即：
，则
只需证： ，即
且
，即证
成立 10分
证法二：综合法证明：
学科网（北京）股份有限公司又 ，故 ；
，
， ， ． 10分
学科网（北京）股份有限公司
