2024届江苏扬州市高邮市高三下学期开学考试答案(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

高三答案
一、单选题
1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D
二、多选题
9.BCD 10.AC 11.ABD
三、填空题
2 1
12.-20 13.164π 14. ,
3 2
四、解答题
15.解（1）在锐角△ABC中，R2+2bcosA=b2+c2.
∴R2=b2+c2-2bccosA=a2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
a 1
∴R=a= ,∴sinA= ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
2sinA 2
π
又A为锐角，∴A= ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
6
5π π
（2）∵a=2 2,B= ，A= ，
12 6
π 5π
∴C=π- +
6 12

5π
= ,∴b=c，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
12
由余弦定理得8=b2+c2-2bccosA=2- 3  b2，
∴b2=82+ 3  ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
1 1
∴S = bcsinA= b2sinA=4+2 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分
△ABC 2 2
16.（1）证明：因为EF//AD,∠EAD=120°，所以∠AEF=60°.
因为AF= 3EF= 3，所以由AF2=AE2+EF2-2AE⋅EF⋅cos60° 得AE=2.
因为AF2+EF2=1+3=AE2，所以AF⏊EF.
因为EF//AD，所以AF⏊AD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
因为平面ADFE⏊平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，AF⊂平面ADFE,
所以AF⏊平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
因为BD⊂平面ABCD,所以AF⏊BD,
连接AC，在正方形ABCD中，AC⏊BD,
因为AF、AC相交，且AF、AC⊂平面AFC,
所以BD⏊平面AFC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
因为CF⊂平面AFC,所以BD⏊CF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
  
（2）由（1）知AB,AD,AF两两垂直，以A为原点，AB,AD,AF 的方向为x,y,z轴的正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系.则B2,0,0  ,D0,2,0  ,C2,2,0  ,F0,0, 3  ,

BD=-2,2,0 

,BF=-2,0, 3 

,BC=0,2,0  ,

设平面BDF的一个法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1  ,
 
由   m  ∙B  D  =0 得：  -2x 1 +2y 1 =0 ,
m∙BF=0 -2x + 3z =0
1 1

令x 1 = 3,则y 1 = 3，z 1 =2 得m= 3, 3,2  ．⋯⋯⋯⋯⋯10 分

设平面BCF的一个法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2  ,
{#{QQABJYoEogiAAAJAAAhCQwFYCEIQkAEAAAoOAAAAIAIBiBFABAA=}#} 
由   n  ∙B  F  =0 得：  -2x 2 + 3z 2 =0 ,
n∙BC=0 2y =0
2

令z 2 =2,则x 2 = 3,得n= 3,0,2  .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
 
m,n 
 
m∙n
= 
m 

∙n 
7 70
cos = = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
10∙ 7 10
70
设平面BDF与平面BCF所成角为θ，由图可知θ为锐角，即cosθ= ,
10
70
所以平面BDF与平面BCF所成角的余弦值为 .⋯⋯⋯⋯⋯15 分
10
17.（1）解：圆F 1 的标准方程为：x+2  2+y2=36,所以圆心F 1-2,0  ，半径为6.
由题意得PQ=PF,
2
∴PF+PF =PF+PQ=6>FF =4
1 2 1 1 2
∴P的轨迹是以F,F 为焦点的椭圆.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
1 2
x2 y2
设曲线E的方程为 + =1a>b>0
a2 b2

则2a=6,2c=4,∴a=3,c=2,b= 5
x2 y2
∴曲线E的方程为 + =1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
9 5
（2）设l的方程是x=my+2
x=my+2

由x2 y2 得5m2+9
+ =1
9 5
 y2+20my-25=0
设Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2 
20m -25
则y +y =- ,yy = .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
1 2 5m2+9 1 2 5m2+9
∴ k 1 = y 1 + x 2 -3 = y 1my 2 -1
k x +3 y 2 1 2

my 1 +5 
-25
m× -y
myy -y 5m2+9 1 = 1 2 1 =
y myy +5y -25 2 1 2 2 m× +5y
5m2+9 2
-25m 20m
-- -y
5m2+9 5m2+9 2
=

z
E F
A
D y
B
C
x
-5m
+y
5m2+9 2 1
= =
-25m -25m 5
+5y +5y
5m2+9 2 5m2+9 2
k 1
∴ 1 为定值 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
k 5
2
{#{QQABJYoEogiAAAJAAAhCQwFYCEIQkAEAAAoOAAAAIAIBiBFABAA=}#}18.解（：1）由题意，第3关的难度是Ⅲ的概率为
1 1 1 1 1 1 11
P= × + × + × = ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
6 3 4 3 3 2 36
（2）由题意可得，P n 表示第n关的难度为Ⅲ的概率，P n-1 表示第n-1  关的难度为Ⅲ的概率，
1 1
则P n = 2 P n-1 + 3 1-P n-1 
2 1 2
(n≥2),整理可得：P - = P - n 5 6 n-1 5  ,⋯⋯⋯7 分
根据题意得：P=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
1
2
所以P -
 n 5

2 1
是首项为- ，公比为 的等比数列，
5 6
2 2 1
所以P - =- ×
n 5 5 6

n-1 2 2 1
,即P = - ×
n 5 5 6

n-1
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
2 2 1
（3）由（2）知P = - ×
n 5 5 6

n-1
1
2×
6
∴a =
n

n
2 2 1 [ - ×
5 5 6
 n-1 2 2 1 ] - ×
5 5 6
  n 


1 =
2 2 1 - × 5 5 6 
1 -
n-1 2 2 1 - × 5 5 6 
5 1 =
n 2 1 1- 6 
1 -
n-1 1 1- 6 
 
 n 
 ⋯⋯⋯13 分
∴fn  =a +a +⋯+a 2 3 n
5 1
=
2 1 1- 6 
1
-
1 1 1- 6 
1
+
2 1 1- 6 
1
-
2 1 1- 6 
1
+⋯+
3 1 1- 6 
1
-
n-1 1 1- 6 


 n 

5 6 1
= -
2 5 1 1- 6 


 n 

5 1
=3- ×
2 1
1-
6

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分
n
∵fn  单调递增，
∴fn  min =f2 
5 1 3
=3- × = 2 1 7
1-
36
∵fn  ≥λ对任意n≥2,n∈N*恒成立，
3 3
∴λ≤ ，即λ的最大值为 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17 分
7 7
19.解（：1）a=1时，fx  =x-2  ex-2x2+4x
fx  =ex+x-2  ex-4x+4=x-1  ex-4 
∴切线斜率k=f0  =3,又f0  =-2
∴切线方程为：y+2=3x,即：y=3x-2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
（2）fx  =x-1  ex-4ax+4a=x-1  ex-4a  ,
令fx  =0,得x=1或ln4a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
e
①当ln4a<1,即0<a< 时，
4
令fx  <0,得ln4a<x<1;令fx  >0,得x<ln4a或x>1,
所以fx  在区间ln4a,1  上单调递减，在区间-∞,ln4a  和1,+∞  上单调递增，
所以fx  在x=1处取得极小值，此时符合题意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
{#{QQABJYoEogiAAAJAAAhCQwFYCEIQkAEAAAoOAAAAIAIBiBFABAA=}#}e
②当ln4a=1,即a= 时，fx
4
 =x-1  ex-4a  ≥0,
所以fx  在区间R上单调递增，
所以fx  在x=1处不取极值，此时不符合题意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
e
③当ln4a>1,即a> 时，
4
令fx  <0,得1<x<ln4a;令fx  >0,得x<1或x>ln4a,
所以fx  在区间1,ln4a  上单调递减，在区间-∞,1  和ln4a,+∞  上单调递增，
所以fx  在x=1处取得极大值，此时不符合题意.
综上所述，fx  的单调递减区间为ln4a,1  ,
单调递增区间为-∞,ln4a  和1,+∞  .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
（3）因为fx  =x-2  ex-2ax2+4ax=x-2  ex-2ax  ,
所以x=2是fx  的一个零点.
因为fx  恰有三个零点，所以方程ex-2ax=0有两个不为2的实数根，
1 x
即方程 = 有两个不为2的实数根.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
2a ex
令hx 
x
= ,所以hx
ex

1-x
= ,
ex
令hx  <0,得x>1;令hx  >0,得x<1,
所以hx  在区间-∞,1  上单调递增，在区间1,+∞  上单调递减，
当x∈(-∞,1]时，hx 
1
的值域为(-∞, ];
e
当x∈1,+∞  时，hx 
1
的值域为0,
e
 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分
1 1 1 2 e e2
所以0< < ,且 ≠ ,所以a> ,且a≠ ,
2a e 2a e2 2 4
e e2
所以a的取值范围是 ,
2 4

e2
∪ ,+∞
4
 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17 分
{#{QQABJYoEogiAAAJAAAhCQwFYCEIQkAEAAAoOAAAAIAIBiBFABAA=}#}