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第一次月考（理科）答案
一、选择题
BBDBD AACAA BB
二、填空题
13. 4 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：解：（1）由 及正弦定理知 ，
则 ，整理得 ，得 . ..........................4分
（2）在 中， ，由余弦定理有
，即 ，解得 或 （舍去）
，则
在 中，
故 ..................................................................................12分
18.解：（1）由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台．
设“这台机器利润率高于0.2”为事件 ，则 ． ..................................................4分
（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，
第一类有 台，第三类有 台，共有 台，随机选取 台有 种不同方法，两台机器的利润率不同，则
每类各取一台有 种不同方法，
设两台机器的利润率不同为事件 ，则 ． ....................................................8分
学科网（北京）股份有限公司（3）由题意可得， 可能取的值为
， ， ， ，
因此
又 ，所以 . ..........................................................................12分
注：概率应用题没有必要的文字叙述，先扣掉2分.
19.解：（1）证明：因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ．
因为四边形 为矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
.........................5分
（2）因为 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，则 两两互相垂直，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以在 中，由勾股定理，得 ，
则点 ， ， ， ，
，则 ， ， ． ......................................7分
设平面 的法向量为 ，则由
得 解得
学科网（北京）股份有限公司不妨令 ，得 则 是平面 的一个法向量． .......................................9分
由（1）知， 平面 ，又因为 ，所以 平面 ，
所以向量 是平面 的一个法向量． .................................................................11分
设二面角 的平面角为 ，根据图形判断 为钝角，
则 ，
所以二面角 的余弦值是 ． ......................................................................................12分
20.解：（1）由已知， ，即 ，则
椭圆 的标准方程为 ................................................................................................4分
（2）椭圆的右焦点 ，设直线 的方程为 ，
由 得
......................................................................................6分
...............................8分
，故
，点 的坐标为 ，则 ............................................10分
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 取等号
故 的最大值为 ...........................................................................................................12分
21.解：（1） ................................................................................................1分
当 时，函数定义域为 ， 恒成立，函数在 单调递增； .................3分
当 时，函数定义域为 ， 恒成立，函数在 单调递增. ..................5分
（2） 时，函数定义域为 ， 在(0，1]上单调递增， 在 上单调递减，
不妨设 ，则 ，
∴ 等价于 ，即
令 ，则 在 上是减函数， ..........................................7分
恒成立，
即 在 恒成立，得 ............................................................................9分
令 ， .
∴ 在 递减，
∴ ，又 ，∴ ，
又 ，故实数 的取值范围为 ....................................................................................12分
22.解：（1）曲线 的极坐标方程为： ......................................................2分
学科网（北京）股份有限公司因为曲线 的普通方程为： ， ......................................4分
曲线 的极坐标方程为 ...........................................................................................5分
（2）由（1）得：点 的极坐标为 ， 点 的极坐标为 ，
点到射线 的距离为
............................................................................5分
23.解：（1）由 得 ，代入 得
即
又
故 ......................................................................................................................5分
（2）
当且仅当 即 等号成立 ..........................................................................10分
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