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贵州省贵阳市七校2025届高三下学期联合考试（三）数学试题
一、单选题
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，且 则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列函数在 上是单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列 是公差为2的等差数列，且 ，则数列 的前20项之和为（ ）
A．80 B．208 C．680 D．780
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”､“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如
图甲）．图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 ､ 所在圆的半径分别是6和
12，且 ，则圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
8．已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点为 ，过点 的直线交 于 两点，且
，线段 的中点为 ，则直线 的斜率绝对值最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．如图所示，在正方体 中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 与 是异面直线 D． 平面
10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件 ：两次的点数之和为偶数， ：两次的点数之积为奇
数， ：第一次的点数小于 ，则（ ）
A． B．
C． 与 相互独立 D． 与 互斥11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史
上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，
则下列说法正确的是（ ）
A．第2025行共有2025个数
B．从第0行到第10行的所有数之和为2047
C．第21行中，从左到右的第3个数是210
D．第3斜列为： ，则该数列的前 项和为
三、填空题
12．设向量 ， 的夹角的余弦值是 ，且 ，则 ．
13．三名篮球运动员甲､乙､丙进行传球训练（不能传给自己），由甲开始传，经过4次传递后，球被传给
丙，则不同的传球方式共有 种．
14．已知定义在 上的函数 满足： ，则 ；若
，对任意的 ，都有 ，则当 时，不
等式 的解集为
四、解答题
15．已知在 中，角 所对的边分别为 ，若 ．
(1)求角 ；(2)若点 在线段 上，且 ，求 的长度.
16．如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为 ，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他
以往挑战的经验，关卡 挑战成功的概率为 ，关卡 挑战成功的概率为 ，关卡 挑战成功的概率为 ，
各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先
后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中
若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜．
(1)求甲最后积分为6分的概率；
(2)记甲最后的积分为随机变量 ，求 的分布列和期望．
18．已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线过坐标原点，求 的值；
(2)若 有两个不同的零点，求 的取值范围．
19．在平面直角坐标系 中，若在曲线 的方程 中，以 （ 为正实数）代替 得到曲线 的方程 ，则称曲线 ､ 关于原点“伸缩”，变换 称为“伸缩变
换”， 称为伸缩比．
(1)已知双曲线 的方程为 ，伸缩比 ，求 关于原点伸缩变换后所得双曲线 的方程；
(2)已知椭圆 ： 经“伸缩变换”后得到椭圆 ，若射线 ： 与椭圆 ､ 分别交
于两点 ， ，且 ，求椭圆 的方程；
(3)已知抛物线： 作“伸缩变换” 得到 ： ，即 ： ；对
作变换 ，得抛物线 ： ；如此进行下去，对抛物线 ： 作变换
，得抛物线 ： ，若 ， ，求数列 的通项公式.参考答案
1．C
【详解】 ，所以 ，
故选:C．
2．D
【详解】 ，所以 ，对应点的坐标为 ，
故选：D．
3．A
【详解】由方程 ，可得 ，
若 时，可得 ，此时方程 表示圆，即充分性成立；
反之：方程 表示圆时，
例如：当 时，方程可化为 也可以表示圆，所以必要性不成立，
所以“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【详解】因为 ，所以两边平方得：
.
故选：B．
5．D
【详解】对于A， 单调递减， 有减区间，所以错
误；
对于B．当 时， 单调递减， 单调递增，所以当 时 单调
递减，错误；对于C． ，在 ，故 ，错误；
对于D． 在 恒成立，正确，
故选：D．
6．B
【详解】因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，前 项和 ，
所以数列 的前20项中，前8项为负数，后12项为正数，
所以
.
故选：B．
7．C
【详解】设圆台上下底的半径分别为 ，由题意知 ，得 ，
，得 ，
作出圆台的轴截面如图1所示，则圆台的高 ，
则上底面面积 ，下底面面积 ，
由圆台的体积计算公式得： ，
故选：C．8．A
【详解】由题意可知直线 的斜率存在，设直线方程为 ， ，
联立 得： ，
由韦达定理得： ， ， ，
则 ，
，
又因 ，则 ，得 ，
故抛物线 ，且 ， ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.故选：A．
9．ACD
【详解】对于选项A，因为 为正方体，所以 平面 ，所以A正
确；
对于选项B，因为 平面 ，
所以 与平面 也有交点，所以B错误；
对于选项C，因为 与 相交，所以 与 异面，所以C正确；
对于选项D，因为 平面 ， 平面 ，
所以 且 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，所以 平面 ，所以D正确.
故选：ACD．
10．BC
【详解】根据题意，抛掷两次，其样本空间共有36个样本点．
事件 的样本空间
，有18个样本点；
事件 的样本空间有9个样本点， 错误；
正确：
， 正确；
事件 与事件 能同时发生，所以不互斥，D错误，
故选：BC．
11．BCD【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误；
对于B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，所以B正确；
对于C：第21行的二项式系数为 且 ，
所以从左到右第三个数是 ，所以C正确；
对于D：由公式 得：
，所以D正确.
故选：BCD．
12．
【详解】 ．
故答案为： .
13．5
【详解】第一次传球，因为由甲开始传，且不能传给自己，所以甲可以传给乙或丙.
分情况讨论后续传球
情况一：甲第一次传给乙
第二次传球，乙可以传给甲或丙.
若乙传给甲，第三次传球，甲可以传给乙或丙.
若甲传给乙，第四次传球，乙只能传给丙，此时传球方式为甲→乙→甲→乙→丙.
若甲传给丙，此时传球方式为甲→乙→甲→丙.
若乙传给丙，第三次传球，丙可以传给甲或乙.
若丙传给甲，第四次传球，甲只能传给丙，此时传球方式为甲→乙→丙→甲→丙.
若丙传给乙，第四次传球，乙只能传给丙，此时传球方式为甲→乙→丙→乙→丙.
情况二：甲第一次传给丙
第二次传球，丙可以传给甲或乙.
若丙传给甲，第三次传球，甲可以传给乙或丙.若甲传给乙，第四次传球，乙只能传给丙，此时传球方式为甲→丙→甲→乙→丙.
若甲传给丙，此时传球方式为甲→丙→甲→丙.
若丙传给乙，第三次传球，乙可以传给甲或丙.
若乙传给甲，第四次传球，甲只能传给丙，此时传球方式为甲→丙→乙→甲→丙.
若乙传给丙，此时传球方式为甲→丙→乙→丙.
由上述分析可知，不同的传球方式共有 种.
故答案为：5.
14．
【详解】由 ，令 ，得 ，解得 ；
设 ，则 ，由 ，得 ，即
，
设 ，则 在 上单调递减．由 ，得 ，
即 ．
所以 解得 ，即不等式 的解集为 ．
故答案为：2； .
15．(1) 或 ．
(2)
【详解】（1）由 得 ， ，因为 ，所以 或 ；
（2）当 时，因为 ，所以 为等边三角形，
，不符合题意；
当 时，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 得 ．
所以 的长度为 ．
16．(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
，
以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）由题意， ，
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，可得 ，
．
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 ．
（3）由题意， ，
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，可得 ，
则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为【详解】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间 ，
有7个样本点，设 “甲积分为6分”，包含 两种组合且均成功，
则 ；
（2）根据题意， 的所有可能取值为 ；
其中 ，
， ，
， ，
，
，
变量 的分布列为：
0 2 4 6 8 10 12
所以期望 ．
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ，
又因为切线经过原点，所以 ．（2）令 ，则 ，
令 则 ，
则①当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
又 ，所以 只有唯一零点，即 ，不符合题意．
②当 时：
令 ，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增；当 时，
在 上单调递减．所以 ，
（i）若 ，则 ，
所以 在 上单调递增，最多一个零点，不符合题意．
（ii）若 ，则 ，当 时， ，
所以 ，使得 ；
又因为 ，所以当 和 时， 在 和 上单
调递增；
当 时， 在 上单调递减；
因为 ，当 时， ，所以 ．
此时， 有两个零点0和 ，符合题意．
（iii）若 ，
则 ，当 时， ；
所以 ，使得 ，
又因为 ，所以当 和 时， 在 和 上
单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
因为 ，当 时， ，所以 ，
此时， 有两个零点0和 ，符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ．
19．(1)
(2) 或 ．(3)
【详解】（1）由条件得 ，整理得 ，
所以 的方程为 ．
（2）因为 关于原点“伸缩变换”，
对 作变换 ，得 ，
联立 ，解得点 的坐标为 ，
联立 ，解得点 的坐标为 ，
所以 ，
即 或 ，解得 或 ，
因此椭圆 的方程为 或 ．
（3）对 作变换 ，
得抛物线 ，得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
当 时， ，得 适用上式，
所以数列 的通项公式 ．
